›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số

docx 78 trang xuanha23 09/01/2023 4590
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_dai_so_lop_11_bai_1_gioi_h.docx

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số

  1. CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA. 1 a1 a a Bài 1. Cho dãy số an xác định bởi : 3 2 . Chứng minh rằng với mọi số thực a 0 2a 2a 2 n n an 1 2 3an 4an 1 thì dãy an hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy an . Hướng dẫn giải 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM). a 1 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên a 2. a a * Nếu a 1 thì a1 2 . Ta chứng minh: an 2, n ¥ . Hiển nhiên a1 2 . 2.23 2.22 2 Giả sử a 2 a 2 . k k 1 3.22 4.2 1 Vậy lim an lim 2 2 . a 0 * . Nếu thì a1 2 . Ta chứng minh an 2 n ¥ . a 1 Rõ ràng a1 2 . . Giả sử ak 2 . Ta chứng minh ak 1 2 . 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 2 2 2 2ak ak 2 0 ( đúng). 3ak 4ak 1 Ta chứng minh an là dãy giảm, thật vậy :. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 ( do tử âm, mẫu dương vì. 2 7 an 2 3 3an 4an 1 0 . 2 7 a n 3 2 7 Mà a 2 3a 2 4a 1 0 ). n 3 n n
  2. an giảm và bị chặn dưới an có giới hạn là L . 3 2 3 2 2an 2an 2 2L 2L 2 lim an 1 lim 2 2 3an 4an 1 3L 4L 1 . L 2 an 2 L 1 Vậy lim an 2 . . Nếu a 0 thì a1 2 . Tương tự, ta có:. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 nên an tăng. Hơn nữa an bị chặn trên bởi 1, thật vậy. 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 1 2 1 ak 1 (2a 3) 0 . 3ak 4ak 1 Vậy an tăng và bị chặn trên an có giới hạn là L . an 1,n , an 1 an 0,n 2L3 2L2 2 . L L 1 a 1 L 2 3L2 4L 1 n Vậy lim an 1. Tóm lại: + Nếu a 1 thì lim an 2 . a 0 + Nếu thì lim an 2 . a 1 + Nếu a 0 thì lim an 1. x1 0 Bài 2. Cho dãy số xn được xác định bởi 1 2 3 2015 * . Tìm giới hạn x x L n ¥ n 1 n 2 3 2015 xn xn xn xn của dãy nxn khi n , với là số thực cho trước. Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh được xn 0,n 1 bằng qui nạp. Ta có. 2 1 2 1 2 1 2 xn 1 xn , n 1 xn 1 xn xn 2 2 xn 2 ; n 1. xn xn xn 2 2 2 2 Bởi vậy n N, n 2 thì xn xn 1 2 xn 2 4  x1 2 n 1 . xn 1, n 2 và lim xn . n
  3. * 1 2 3 2015 Với n N , đặt xn 1 xn tn trong đó tn 2 3  2015 . xn xn xn xn t xn 1; n 2 0 tn 2 , với t 2 3  2014 2015 (1), suy ra. xn 2 2 2 1 2 1 2 2tn xn 1 xn xn tn xn 2 tn 2 2xntn 2 . khi n . xn xn xn 2 b1 x1 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy bn với 2 2 . bn xn xn 1, n 2. b1 b2  bn ta có lim bn 2 suy ra lim limbn 2 n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 b b  b n 1 Mà n 1 2 n suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 n 1 Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro). n 2 xn 2 2 2 2 Xét dãy cn : c1 x1 2; cn xn xn 1 2 với n 2,3. *  lim cn 0 nên  0 tồn tại m N sao cho cn ,  n m. . n 2 Gọi M max ci  với 1 i m 1. 2 m 1 M 2 m 1 M m 1 M  Với  ở trên tồn tại m 1 thì m' hay .   m 2 Xét n max m,m'. ta có.  n n m 1 n m 1 | ci | ci | ci | m 1 M  m 1 M   i 1 i m i 1 2 . o đó theo định n n n n n 2 m 2 2 n | c | nghĩa lim i 1 i 0 . n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 c c  c n 1 n 1 2 n 2 . suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 1 Nếu 2 thì n.x n.x 2 khi n . n n 2 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn khi n . 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn 0 khi n .
  4. Cho hai số a ,b với 0 b 1.Lập hai dãy số a , b với n 1,2, Theo quy tắc sau: Bài 3. 1 1 1 a1 n n 1 giải nghĩa cái đó là:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn Tính: lim an và limbn . 2 . n n Hướng dẫn giải Tính a ,b với 0 b a 1ta có thể chọn 0 a sao cho: b cosa ,. 2 2 1 1 2 1 2 Suy ra a1 cos a . 1 1 a a (cos2 a cos a) cos a(cos a 1) cosa.cos2 . 2 2 2 2 a a b cos a.cos2 .cos a cos a.cos . 2 2 2 Bằng quy nạp, chứng minh được:. a a a a a a cos a.cos cos cos (1) b cos a.cos cos (2) . n 2 2n 1 2n 1 n 2 2n 1 a Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n 1 a sin 2a.cos n 1 sin 2a a 2 , b . n a n a 2n.sin 2n.sin 2n 1 2n 1 Tính giới hạn:. sin 2a sin 2a lim an , limbn . n 2a n 2a 1 an Bài 4. Cho dãy số an ,a1 1 và an 1 an .Chứng minh: lim 2 . n an n Hướng dẫn giải 1 n n 1 n 1 1 a2 a2 2 a2 a2 2(n 1). k 1 k 2  i  j  2 . ak i 2 j 1 j 1 a j n 1 1 a2 2n 1 . n  2 Vậy an 2n 1 , n 2 j 1 a j 2 1 1 1 1 1 1 1 ak 2k 1 k 2 4 2 2 . a k (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k n 1 1 1 1 1 n 1 1 1 5 (1 ) 1 Suyra:  4  4 . k 2 ak 4 n 1 4 j 1 a j 4 4 n 1 1 n 1 1 5 Suyra: (n 1) (n 1) (n 2)  2  4 j 1 a j j 1 a j 4
  5. 5(n 1) Vậy: a2 2n 1 (n 2) . n 2 5(n-1) 1 a 5(n-1) Suyra: n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < n 2n-1+ . n 2 n n 2 a Dođó: lim n 2 . n n Bài 5. Cho hai số a ,b với a cos2 , b cos . Lập hai dãy số a , b với n 1,2, theo quy 1 1 1 8 1 8 n n 1 tắc sau:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn . Tính: lim an và limbn . 2 n n Hướng dẫn giải +Tính a2 ,b2 :. 1 1 a (cos2 cos ) cos (cos x 1) cos .cos2 . 2 2 8 8 2 8 8 8 16 b cos cos2 cos cos cos . 2 8 16 8 8 16 + Bằng quy nạp, chứng minh được:. a cos cos cos cos (1) b cos cos cos (2) . n 2.4 22.4 2n .4 2n.4 n 2.4 22.4 2n .4 +Nhân hai vế của (1) và (2) chosin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n .4 sin .cos n sin a 4 2 .4 , b 4 . n n 2n.sin 2n.sin 2n .4 2n .4 +Tính giới hạn:. 4sin 4sin 4 4 lim an , limbn . n n Bài 6. Cho dãy số un biết:. u1 1 * u ,n N . u n n 1 2 1 un Hãy tính lim (un n) . n Hướng dẫn giải * Ta có:u1 0 un 0 ,n N .
  6. 2 3 2 * un 1 un un / (1 un ) un ( un ) / (1 un ) 0 n N . un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 . lim un a (a R,a 0) n . 2 Từ un 1 un / (1 un ), cho n ta được:. 3 a a / (1 a ) a 0. Vậy lim un 0 . x 2 2 * Đặt vn 1/ (un 1) 1/ (un ), n N . 2 2 2 2 Ta có vn ((1 un ) / un ) 1/ (un ) 2 un 2 khi n ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:. 1 1 v v  v u2 u2 lim 1 2 n 2 lim n 1 1 2 . n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 u u u u lim n 1 n n 1 2 . n n 1 1 1 u2 u2 v u2 1 Mà lim n 1 n lim n 0 ; lim 1 lim 0 . n n n n n n n n 1 2 un 1 1 lim 2 lim 2 lim (un n) . n n 2 n n n.un 2 U 2 1 Bài 7. Cho dãy U xác định bởi: 2 n N * . n Un 2009Un Un 1 2010 n Ui  Ta lập dãy Sn với Sn  .Tính lim Sn .  x i 1 Ui 1 1 Hướng dẫn giải a Tacó a 0 0 . 1 2 Giả sử a1,a2 , ,an 1 0 . Tacó. a a a n n 1 0 0 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 an an 1 an 2 a0 . a a a 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 2 0 0 1 2 n
  7. a a a a Hay a n 1 n 2 1 0 . n 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) Do a1,a2 , ,an 1 0 nên. an 1 an 2 a1 2an 1 3an 2 na1 1.2 2.3 (n 1)n 1 2 n 1 . 2 2 an 1 an 2 a1 a0 2 1 2 (n 1) n 2 an 1 an 2 a1 a0 . 1.2 2.3 (n 1)n 2 2an 1 3an 2 na1 n 1 2 n 1 Ta lại có. 2an 1 3an 2 na1 2an 1 3an 2 a1 n 1 2 n 1 n 2n n 1 . an 1 an 2 a1 a0 n n a0. 1 2 n 1 n an 1 an 2 a1 a0 2 . 1.2 2.3 (n 1)n n a a a a a a a n 1 n 2 1 0 0 0 0 . n 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) n2 n(n 1) Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2 1 un 1 Bài 8. Cho dãy số un xác định bởiu1 1, un 1 ,n 1. un a) Chứng minh:. u tan ,n 1 n 2n 1 b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của un . HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh bằng quy nạp toán học. b) Nhận xét 0 n 1 ,n 1 và hàm số tanx đồng biến trên 0; . 2 4 4 nên dãy số un giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0 . và bị chặn trên bởi số tan 1. 4 . Bài 9. Cho dãy số xn xác định bởi:.
  8. 1 2 3 2014 2015 * x1 0; xn 1 xn 2 3 2014 2015 ,n ¥ . . xn xn xn xn xn * n 1.Với mỗi n ¥ ,đặt yn 2 .Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. xn 2.Tìm các số để dãy nxn có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0 . HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2 2 1 2 1.Từ giả thiết suy ra xn 1 xn 0 xn 1 xn 2 2 xn 2 xn xn . Suy ra x2 x2 2 x2 2 x2 2n do đó lim x n 1 n n 1 1 n . Xét 2 2 1 2 3 2014 2015 1 2 3 2014 2015 xn 1 xn xn 1 xn xn 1 xn 2xn 2 3 2014 2015 2 3 2014 2015 xn xn xn xn xn xn xn xn xn xn . 1 2 3 2014 2015 2 3 2014 2015 2 2 3 4 2015 2016 1 2 2013 2014 xn xn xn xn xn xn xn xn xn . Suy ra lim x2 x2 2 n 1 n . 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2 x2 x1 x1 Ta có n . n n Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có. 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2 x2 x1 x1 lim n lim 2 . n n n 1 Do đó lim x2 2 n . n 2.Xét z nx x 2 n n x2 n n . Từ đó:. +) Nếu 2 thì lim zn . +)Nếu 2 thì lim zn 0 .
  9. 1 +) Nếu 2 thì lim z n 2 . Vậy 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài. 3 Bài 10. Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn ,n 1. y  Chứng minh rằng dãy số n  có giới hạn bằng 0 khi n . n  Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có y3 y y3 ,n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì. n 1 n n nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) . 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 y2 n 1. 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có. n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0. n 1 n 1 n un (0;1) Bài 11. Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: n 1. un 1(1 un ) c đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau. 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có un 1 4cun ; n 1. 4 1 un un (1 un ) 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra u (4c)n 1u . Do 4c 1 nên u khi n . Do đó, c không n 1 n 4 thỏa mãn. 1 1 1 4c 1 1 4c a(1 b) c + Nếu 0 c , thì tồn tại a,b ; , a b sao cho . Thật vây, lấy 4 2 2 b(1 a) c 1 1 4c 1 1 4c a ; , đặt b a x (x 0) , thì. 2 2 a(1 a) c a(1 b) c a(1 a x) c x . a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi.
  10. a nêu n 2m un . b nêu n 2m 1 1 thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 c cũng không thỏa mãn. n 4 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ. 4 4(1 un ) 4un (1 un ) 1 1 1 Đặt x limu , thì từ giả thiết ta có x(1 x) hay x . Vậy limu n 4 2 n 2 1 x 1 2 Bài 12. Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1). n 2 Thật vậy: n 1 đúng. k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1: x k 2 . k 2 2 2 xk 2 xk 2 2 xk 1 k 1 xk 2 k 1 2 xk k k 1 . k k 2 k 1 k k 1 2 3 k 1 k k 1 1 k 1 . k 2 2 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 2 xn với mọi n 1. xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n 2 2 Vậy xn có giới hạn. 4 2 un 2013 * Bài 13. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014, un 1 3 ,n ¥ . Đặt un un 4026 n 1 v , n * n  3  ¥ . Tính lim vn . k 1 uk 2013 Hướng dẫn giải
  11. 4 2 3 un 2013 (un 2013)(un 2013) + Ta có un 1 2013 3 2013 3 (1). un un 4026 (un 2013) (un 2013) * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un 2013,n ¥ . 1 1 1 1 1 1 + Từ (1) suy ra 3 3 . un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 1 1 Do đó vn  1 . k 1 uk 2013 uk 1 2013 u1 2013 uk 1 2013 uk 1 2013 + Ta chứng minh limun . 2 2 2 un 4026un 2013 (un 2013) * Thật vậy, ta có un 1 un 3 3 0,n ¥ . un un 4026 un un 4026 Suy ra un là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 a4 20132 Giả sử u bị chặn trên và limu a thì a 2014 . Khi đó a . n n a3 a 4026 a 2013 2014 ( vô lí). Suy ra un không bị chặn trên, do đó limun . 1 Vậy limvn lim (1 ) 1. uk 1 2013 u 2013 2 1 un 1 Bài 14. Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 - Vì u 2013 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a Bằng quy nạp, ta chứng minh được. 2n 1 un 1 a n , n ¥ . a2 - Xét. n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2 1.0  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 . 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 20132 4 1.0 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 Bài 15. Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1 3an ) 4 . Tính lim an .
  12. Hướng dẫn giải Đặt an 2 bn . Từ giả thiết suy ra lim(5bn 1 3bn ) 0 . Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n N thì ta có:.  5b 3b (1). n 1 n 5  - Nếu b .b 0 thì từ (1) dẫn đến 5b 3b b  . n 1 n n 1 n 5 n - Xét trường hợp bn 1.bn 0 hay bn 1, bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.   . Nếu 2b b 0 thì kết hợp với (1): 3(2b b ) b dẫn đến b . n 1 n n 1 n n 1 5 n 1 5  Mà từ (1) ta có 3b 5b b  . n n 1 5 n 5 1  . Nếu 2b b 0 thì kết hợp với (1): (b b ) b dẫn đến b  . n 1 n 2 n 1 n 2 n 5 n Tóm lại luôn có bn  , hay lim(bn ) 0 . Vậy lim(an ) 2 . 2015 un 2un 4 Bài 16. Cho dãy (un ) xác định như sau: u1 = 3 và un 1 2014 , n 1,2,3 Với mỗi số nguyên un un 6 n 1 dương n , đặt vn . Tìm lim vn .  2014 n i 1 ui 4 Hướng dẫn giải 2015 un 2un 4 (un 2)(un 4) Đặt 2014 ta có un 1 2 2014 2 , (*) . un un 6 (un 4) (un 2) Bằng quy nạp ta chứng minh được un 3, n 1. 1 2 un 2un 4 (un 2) Xét un 1 un un 0, un 3. un un 6 un un 6 Do đó (un ) là dãy tăng và 3 u1 u2 L un L. a 1 a 4 Giả sử (un ) bị chặn trên, suy ra lim un a , a 3. Khi đó ta có a a 2 3(vô lí), suy ra n a a 6 (un ) không bị chặn trên. Vậy lim un . n 1 1 1 1 1 1 Từ (*) suy ra , hay . un 1 2 un 2 un 4 un 4 un 2 un 1 2 n 1 n 1 1 1 v L 1 . n  2014  i 1 ui 4 i 1 ui 2 ui 1 2 un 1 2
  13. 1 Vậy lim vn lim (1 ) 1. n n un 1 2 u1 3 Bài 17. Cho dãy số u được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy u có n 3 n un 1 3un 1 2 un , n 1 giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải u1 3 Dãy số u được xác định bởi . n 3 un 1 3un 1 2 un , n 1 Ta chứng minh un 2, n 1. Thật vậy ta có u1 3 2 . 3 Giả sử uk 2, k 1, khi đó uk 1 3uk 1 2 uk 2 2 2 nên. 3 2 uk 1 3uk 1 2 0 uk 1 1 uk 1 2 0 uk 1 2 . Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un 2, n 1. Xét hàm số f t t3 3t trên khoảng 2, . Ta có f ' t 3t 2 3 0, t 2. Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 2, . 3 3 Mặt khác ta có u1 3u1 18 5 u2 3u2 f u1 f u2 u1 u2 . 3 3 Giả sử uk uk 1 k 1 2 uk 2 uk 1 uk 1 3uk 1 uk 2 3uk 2 . f uk 1 f uk 2 uk 1 uk 2 . Do đó un un 1, n 1 Dãy un là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy un có giới hạn hữu hạn. 3 Giả sử limun a a 2 . Từ hệ thức truy hồi un 1 3un 1 2 un chuyển qua giới hạn ta được:. 2 a3 3a 2 a a3 3a 2 a a 2 a5 2a4 2a3 4a2 a 1 0 . a 2 a2 a3 4 2a3 a 1 a 1 0 a 2 a 2 . Vậy limun 2 . 2 * Bài 18. Cho dãy số xn thỏa mãn: x1 2015 và xn 1 xn . xn 1 n N (*). n 1 Tìm: lim  . i 1 xi 1 Hướng dẫn giải
  14. * * Ta có: xn 0 n N . 2 xn 1 * Và: xn 1 0 n N xn là dãy số tăng. xn * Đặt un xn . * * un xác định vì xn 0 n N và un 0 n N . 2 un 1 xn 1 xn 1 un 1 . Nên từ giả thiết (*) ta có:. 2 2 2 2 un 1 un . un 1 un . un 1 . 2 * un 1 un un n N (1). * Xét dãy số un ta có:. 2 * . un 1 un un 0 n N un tăng. . Giả sử un có giới hạn là a . Từ (1) ta có:. a a2 a a 0 (loại). un tăng và không bị chặn limun . * Ta có:. 1 u2 u u u u 1 1 n n 1 n n 1 n . 2 2 un 1 un 1 un un un .un un 1.un un un 1 n 1 1 1  . i1 1 ui 1 u1 un 1 n 1 1 1 1 lim  lim . i 1 ui 1 u1 un 1 2015 n 1 1 Vậy: lim  . . i 1 xi 1 2015 u1 5 Bài 19. Cho dãy số un ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi: . Chứng minh dãy số un có un 1 un 12 giới hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:. a 0 a a 12 a 4 . 2 a a 12 Nhận xét u1 5.
  15. u2 u1 12 17 u1 . u3 u2 12 17 12 u2 . Ta dự đoán dãy số un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un 4 . Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un 4 . khi n 1, u1 5 4 vậy n 1 đúng. Giả sử uk 4 , ta chứng minh:uk 1 4 . Thật vậy ta có:. 2 2 2 uk 1 uk 12 0 uk 1 uk 12 uk 1 12 uk 4 uk 1 16 uk 1 4 . Vậy dãy số un bị chặn dưới. Ta chứng minh dãy số un là dãy số giảm. Ta có:. 2 un un 12 (un 4)(un 3) un 1 un un 12 un un 1 un 0 (vì un 4 ). un 12 un un 12 un Vậy dãy số un giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn. Đặt limun a thì limun 1 a Ta có:. un 1 un 12 limun 1 lim un 12 a a 12 a 4 . Vậy limun 4 Bài 20. Cho dãy số xn được xác định bởi. x1 2,1 x 2 x2 8x 4 . x n n n * ,n 1,2, n 1 2 n 1 y Với mỗi số nguyên dương n, đặt n  2 . Tìm lim yn . i 1 xi 4 Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2 bất kì, ta có. a 2 a 2 8a 4 a 2 a 2 4a 4 a 2 a 2 a . 2 2 2 Do đó 2,1 x1 x2 xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2 . Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình.
  16. x 2 x 2 8x 4 x x 2 4 x 3 x 2 . 2 phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy xn tăng và không bị chặn trên nên lim xn . x 2 x 2 8x 4 Ta có x n n n 2x x 2 x 2 8x 4 . n 1 2 n 1 n n n 2 2 2 2xn 1 xn 2 xn 8xn 4 xn 2 4 xn 3 xn 2 . 1 x 3 x 2 1 1 1 n n . 2 2 2 xn 2 xn 1 4 xn 1 4 xn 1 2 xn 1 4 1 1 1 . 2 xn 1 4 xn 2 xn 1 2 n 1 1 1 1 Suy ra y 10 . n  2 i 1 xi 4 x1 2 xn 1 2 xn 1 2 Vậy lim yn 10 . 2 Bài 21. Cho dãy số xn được xác định bởi x1 2016, xn 1 xn xn 1,n 1,2,3, a)Chứng minh rằng xn tăng và lim xn . 1 1 1 b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn 2016 . Tính lim yn . . x1 x2 xn Hướng dẫn giải x x x2 2x 1 x 1 2 0 x x ,n 1. x a)Ta có n 1 n n n n n 1 n Do đó n tăng. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn n 1,n 1 (1). Thật vậy, (1) đúng với n 1.Giả sử (1) đúng với n (n 1) thì. 2 xn 1 xn xn 1 1 n n 1 1 n n 1 n 2. Vậy (1) đúng với mọi n. Từ xn tăng ngặt và xn n 1,n 1 suy ra lim xn 1 1 1 1 b)Ta có xn 1 1 xn xn 1 . Suy ra . xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn 1 1 1 Từ đó x x 1 x 1 n n n 1 . 1 1 1 1 1 1 1 yn 2016 2016 2016 x x x x 1 x 1 2015 x 1 1 2 n 1 n 1 n 1 . 1 2016 Từ lim xn lim 0 . Vậy lim yn . . xn 2015
  17. 1 1 1 a Bài 22. Cho dãy a : 2 2 2 . Chứng minh dãy n n n 1 an sin1 2 sin 3 sin n sin n 1 2 2 3 n n n 1 a hội tụ và tính lim n . n2 Hướng dẫn giải 1 Bổ đề 1: x sin x x x3x 0 . 6 1 1 1 1 Bổ đề 2: lim 2 3 n 0 . n 1 1 1 1 1 1 Đặt x n2 sin . Áp dụng bổ đề 1: sin k x k . n n k k k 6k 3 k 6k 1 1 1 1 2 n an 1 2 n 1 . 6 2 n 1 1 1 1 a 1 Chia các vế cho n2 : n 2 n . 2 n2 2 6n2 an 1 Cho n , và lấy giới hạn, suy ra lim 2 . n 2 . 2 n 1 un Bài 23. Cho dãy số u1 2,un 1 n 1. Tính giới hạn lim . n un 1 n Hướng dẫn giải n2 Ta chứng minh quy nạp u n 1 , n 1. n 1 n Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 . 2 k 2 k 1 Giả sử đã có u k 1, k 1. Ta chứng minh u k 2 . k 1 k k 2 k 1 2 (k 1)2 k 1 Thật vậy: uk k 1 uk 1 . uk 1 k 2 2 k 2 (k 1)2 k 1 1 u u k 2 k 2 k k 1 k 1 u 1 k 2 k 2 k 1 k 1 k 1 2 n un Vậy ta có un n 1, n 1 lim 1. n 1 n n
  18. x1 Bài 24. Cho 2 và dãy số x với: . n 2 n 3 * 2x n 1 3x n n N n * a) Chứng minh: x n 1 với n N . b) Chứng minh dãy số x n có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Ta chứng minh x n 1 với n N bằng quy nạp. Ta có: x1 nên x1 1. * Giả sử: x k 1 với k N . n 1 n 3 Ta có: 3x 2 3 và 1 nên 3x 2 2 . Suyra: x 1. k n n n n 1 * Vậy x n 1 với n N . Ta chứng minh xn là dãy giảm bằng quy nạp. 2 Vì 2 nên 3 4 2 .Ta có x 2 x1 . n 1 Giả sử: x x . Ta có: 3 x 2 3x 2 và f n = là hàm nghịch biến nên:. k 1 k k 1 k n k 4 k 3 3x 2 3x 2 . k 1 k 1 k k Suy ra: x k 2 x k 1 . Vậy xn là dãy giảm. xn lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ. x1 1 2 * * Đặt lim x n .Ta có 2 3 1 1. xn 3x 4 (n N ) un un x2n 1 n N . x n n 1 xn 1 Vậy lim x n 1. u1 2011 Bài 25. Cho dãy số un được xác định: . 2n u 2n u 1 , n N * n 1 n Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 Ta có 2n u 2n.u 1 u u . n 1 n n 1 n 2n 1–n Chứng minh : un 2 (bằng quy nạp). 0 *với n 1 ta có u1 2011 2 .
  19. 1–k *Giả sử uk 2 (với k 1 ). –k *Cần chứng minh : uk 1 2 . k 1 k k k Ta có uk 1 uk 2 2 2 2 . Suy ra điều phải chứng minh. 1 Từ đó ta có u – 2–n 0 với mọi n u u . n n 1 n 2n 1 1 1 1 Ta có u u ; u u ; u u ; ;u u . 2 1 2 3 2 22 4 3 23 n n 1 2n 1 1 1 1 1 un u1 . 2 22 23 2n 1 n 1 1 1 n 1 1 2 1 Công thức tổng quát : un 2011 . 2011 1 . 2 1 2 2 Vậy lim un 2010. u a 1 Bài 26. Cho số thực a 0;1 , xét dãy số un với: 1 2013 . u u2 u ,n  n 1 2014 n 2014 n a) Chứng minh rằng: 0 un 1,n  . b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải a) Chứng minh: 0 un 1,n  1 . n 1:u1 a 0;1 1 đúng với n=1. 1 1 Giả sử 0 u 1với k 1,k  . Ta có: 0 u2 1 0 u2 . k k 2014 k 2014 2013 2013 0 u 1 0 u . k 2014 k 2014 1 2013 0 u2 u 1 0 u 1. 2014 k 2014 k k 1 Vậy: 0 un 1,n  . b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Ta chứng minh: un là dãy tăng. 1 2013 1 n  ,u u u2 u u u u u u 2013 0 . n 1 n 2014 n 2014 n n 2014 n n n n
  20. un 1 un ,n  hay un là dãy tăng.(2). Từ (1),(2) suy ra un có giới hạn hữu hạn.Giả sử un có giới hạn là a, o a 1 . 1 2013 Ta có: a a2 a a 1. Vậy limu 1. 2014 2014 n 3 u 1 2 Bài 27. Cho dãy số(un) xác định như sau: . 1 2 u u3 , n N n 1 3 n 3 a) Chứng minh rằng: 1 un 2,n  . b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 3 a) Với: n 1:u 1 đúng với n=1. 1 2 Giả sử: 1 uk 2 với k 1,k  . 1 3 8 1 2 Ta có: uk 1 2 uk uk 2 uk 2uk 4 0 uk 1 2 . 3 3 3 1 3 uk 1 1 uk 1 0 uk 1 1. 3 1 uk 1 2 . Vậy: 1 un 2,n  . 1 2 b) n  ,u u u 1 u 2 0 u u ,n  hay u là dãy giảm (2). n 1 n 3 n n n 1 n n Từ (1),(2) suy ra un có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn của un , 1 a 2 . 1 2 Ta có a a3 a 1. Vậy limu 1. 3 3 n u2 Bài 28. Cho dãy số u xác định bởi: u 1;u n u ,n N * . Tìm giới hạn sau: n 1 n 1 2015 n u u u lim 1 2 n . n u2 u3 un 1 Hướng dẫn giải 2 un un 1 1 Từ đề bài ta có: un 1 un . Suy ra: 2015 . 2015 un 1 un un 1 u u u 1 1 1 Ta có: 1 2 k 2015 2015 1 . u2 u3 uk 1 u1 uk 1 uk 1
  21. Ta có un là dãy đơn điệu tăng và u1 1. 2 Nếu lim un thì 0 . n 2015 ( vô lí vì un là dãy đơn điệu tăng và u1 1). Suy ra: lim un . n u u u Kết luận: lim 1 2 n 2015 . n u2 u3 un 1 u1 2013 * Bài 29. Cho dãy số un xác định bởi 2 n N . Chứng minh rằng dãy (un) có un 2un .un 1 2013 0 giới hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un 1 un 2013. Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n. Do đó ta có:. 2 un 1 2013 1 2013 2013 un un 1 un . 2013,n 1. 2un 1 2 un 1 un Mặt khác ta có :. 2 un 1 un 2013 1 2013 1 1 2 2 1. un 2un 2 2un 2 2 (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2013 , do đó (un) có giới hạn hữu hạn. Đặt limun a . a2 2013 Ta có : a a 2013 . Vậy limu 2013 . 2a n 4 xn 9 * Bài 30. Cho dãy số xn xác định bởi: x1 4, xn 1 3 ,n ¥ . xn xn 6 a) Chứng minh rằng lim xn ;. n n 1 n y b) Với mỗi số nguyên dương , đặt n  3 . Tính lim yn . k 1 xk 3 Hướng dẫn giải 4 3 x 9 xn 3 xn 3 a) Xét x 3 n * . n 1 3 3 xn xn 6 xn 3 xn 3 Bằng quy nạp chứng minh được xn 3,n 1.
  22. 4 2 xn 9 xn 6xn 9 Xét xn 1 xn 3 xn 3 . xn xn 6 xn xn 6 2 xn 3 * xn 1 xn 3 0, n ¥ . xn xn 6 Do đó xn là dãy tăng và 4 x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a4 9 Do đó: a a 3 4 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . a3 a 6 n n 1 1 1 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: 3 3 . xn 1 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 1 3 n 1 n 1 1 1 Suy ra: y 1 . n  3  k 1 xk 3 k 1 xk 3 xk 1 3 xn 1 3 1 Vậy lim yn lim 1 1. xn 1 3 x 1 1 x2014 x2014 x2014 2015 1 2 n Bài 31. Cho dãy số x . Tìm giới hạn của dãy số un với un . n x x x xn 1 xn 2 3 n 1 2015 Hướng dẫn giải 2015 2015 2015 xn xn xn 1 xn xn xn 1 xn xn 1 xn 2015 2015 xn 1xn 2015xn 1xn . 1 1 x2014 1 1 x2014 n 2015 n xn xn 1 2015xn 1 xn xn 1 xn 1 . 1 Từ đó un 2015 1 . xn 1 Dễ thấy xn là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 . Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a2015 Do đó: a a a 0 1 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . 2015 n n 1 Vậy limun lim 2015 1 2015 . xn 1
  23. x 1 1 Bài 32. Cho dãy số{x } xác định bởi 2 . Tìm giới hạn của dãy (S ) với n xn n xn 1 xn 2015 x1 x2 xn Sn . x2 x3 xn 1 Hướng dẫn giải 2 2 xn 2 xn 1 xn xn xn 1 1 xn 1 xn 2015 xn 1 xn xn 2015 2015 2015 xn 1xn xn 1xn xn 1 xn xn 1 x1 x2 xn 1 1 1 Suy ra: Sn 2015 2015 1 . x2 x3 xn 1 x1 xn 1 xn 1 Dễ thấy xn là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 . Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a2 Do đó: a a a 0 1 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . 2015 n n 1 Vậy limSn lim 2015 1 2015 . xn 1 n x1 1 1 Bài 33. Cho dãy số (xn ) xác định bởi . Đặt Sn .  x 2 xn 1 xn (xn 1)(xn 2)(xn 3) 1 k 1 k Tìm limSn . Hướng dẫn giải x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 (x 2 3x )(x 2 3x 2) 1 x2 3x 1 n 1 n n n n n n n n n n . 1 1 1 n 1 1 1 1 1 Ta có Sn  . xn 2 xn 1 xn 1 1 k 1 xk 2 x1 1 xn 1 1 2 xn 1 1 2 * Dễ thấy: xn 1 xn xn 1 0,n N suy ra xn là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 . Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . 2 Do đó: a a 3a 1 a 1 1 (vô lý). Suy ra xn không bị chặn trên. Vậy lim xn . 1 1 1 Vậy limSn lim . 2 xn 1 1 2 2016 u1 1 1 1 Bài 34. Cho dãy số (un) xác định bởi: 2015 . Đặt Sn . . . 2 u1 2 u2 2 un 2 2un 1 un 2un , n ¥ * Tính: limSn.
  24. Hướng dẫn giải u u 2 1 1 1 1 1 1 2u u u 2 u n n n 1 n n n 1 2 u u u 2 u 2 u u n 1 n n n n n 1 . n 1 1 1 2015 1 Sn  . k 1 uk 2 u1 un 1 2016 un 1 * Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un 0,n N . 1 2016 Khi đó: u u u 2 0,n N * suy ra u là dãy tăng và u u u . n 1 n 2 n n 2015 1 2 3 Giả sử un bị chặn trên limun a . 2016 Do đó: 2a a2 2a a 0 (vô lý). Suy ra u không bị chặn trên. 2015 n Vậy limun . 2015 1 2015 Vậy limSn lim . 2016 un 1 2016 4 xn 9 * Bài 35. Cho dãy số xn xác định bởi: x1 4, xn 1 3 ,n ¥ . xn xn 6 a) Chứng minh rằng lim xn ;. n n 1 n y b) Với mỗi số nguyên dương , đặt n  3 . Tính lim yn . k 1 xk 3 Hướng dẫn giải 4 3 x 9 xn 3 xn 3 a) Xét x 3 n * . n 1 3 3 xn xn 6 xn 3 xn 3 Bằng quy nạp chứng minh được xn 3,n 1. 4 2 xn 9 xn 6xn 9 Xét xn 1 xn 3 xn 3 . xn xn 6 xn xn 6 2 xn 3 * xn 1 xn 3 0, n ¥ . xn xn 6 Do đó xn là dãy tăng và 4 x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a4 9 Do đó: a a 3 4 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . a3 a 6 n n
  25. 1 1 1 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: 3 3 . xn 1 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 1 3 n 1 n 1 1 1 Suy ra: y 1 . n  3  k 1 xk 3 k 1 xk 3 xk 1 3 xn 1 3 1 Vậy lim yn lim 1 1. xn 1 3 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN u1 1 Bài 1. Cho dãy số an thỏa mãn 1 . Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số xn un 1 un n ¥ * 3 un ua xác định bởi x n ( n ¥ * ) hội tụ và giới hạn của nó khác 0. n n Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có dãy số un là dãy số dương và tăng(1). 1 Giả sử u bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt L limu , ta có ngay L L (vô lý). n n 3 L Vì vậy un không bị chặn trên (2). Từ (1) và (2) ta có limun . 4 4 3 3 1 Xét lim un 1 un . Đặt vn 4 ( n ¥ *), ta có limvn 0 . 3 un 4 3 4 4 4 1 1 1 1 v 3 1 v3 4v2 6v 4 u 3 u 3 v 4 n n n n . n 1 n 3 n v v 8 4 4 n n 1 v 3 1 v 3 1 vn n n 4 4 4 3 3 3 4 un 4 Suy ra lim un 1 un . Từ đó lim (sử dụng trung bình Cesaro). 3 n 3 4 khi a 4 3 a 4 u u 3 a 4 Ta có lim n lim n .u 3 0 khi a . n n n 3 4 4 khi a 3 3 4 Vậy a là giá trị cần tìm. 3
  26. 1 u ;u 3 1 2 2 Bài 2. Cho dãy số u xác định như sau: n u .u 1 n 1 n * un 2 ,n N un 1 un a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un 1. b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * un 1 1 un 1 a) Trước hết ta luôn có un 0, n N . Xét un 2 1 (1). un 1 un * * Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n , u3n 1 1,n N và u3n 2 1, n N . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. un 1 1 un 1 b) Ta có un 2 1 (2). un 1 un u 1 u 1 u 1 Chia vế của (1) cho (2) có n 2 n 1 . n ,n N * . un 2 1 un 1 1 un 1 un 1 * * Đặt vn n N , ta có vn 2 vn 1.vnn N . un 1 Fn 1 Fn 2 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được vn v2 .v1 , với Fn là dãy số Phibonxi: F1 F2 1 * . Fn 2 Fn 1 Fn ,n N F F 1 n 1 1 n 2 Hay vn . 0 khi n , dẫn đến limun 1. 2 3 Bài 3. Cho dãy số un được xác định như sau. u1 1 . u u u 2 u 4 u 6 16,n * n 1 n n n n ¥ n 1 Đặt vn  , hãy tính limvn . i 1 ui 5 Hướng dẫn giải * Dễ thấy un 0,n ¥ . Theo bài ra ta có. 2 2 2 2 2 un 1 un 6un un 6un 8 16 un 6un 4 un 6un 4 . 1 1 1 Suy ra un 1 1 un 1 un 5 . un 1 1 un 1 un 5
  27. n 1 n 1 1 1 1 1 1 Do đó vn   . i 1 ui 5 i 1 ui 1 ui 1 1 u1 1 un 1 1 2 un 1 1 2 Mặt khác, từ un 1 un 6un 4 ta suy ra un 1 6un . Kết hợp với u1 1 ta có. n 1 * 1 un 6 ,n ¥ limun lim 0 . un 1 1 1 1 1 Từ đó ta có limvn lim . 2 un 1 1 2 * 2 * Bài 4. Cho dãy số thực un với n ¥ thỏa mãn ln 1 un nun 1,n ¥ . n 1 nu Tìm lim n . n un Hướng dẫn giải * 2 Với mỗi n ¥ , đặt fn x ln 1 x nx 1, x ¡ . 2 2x x 1 Ta có f ' x n n 1 0 . n 1 x2 1 x2 ' x 1 fn x 0 . n 1 Do đó fn x là hàm tăng thực sự trên ¡ . fn 0 1 0 Ta có 1 1 . fn ln 1 2 0 n n 1 Do đó !u ¡ sao cho f u 0 và 0 u . n n n n n Ta thấy lim un 0 . n 1 2 u2 lim ln 1 un n 1 Do đó: n . 2 lim nun lim 1 ln 1 un 1 n n 2 1 n 1 nu nln 1 un n 2 u2 Vậy lim lim lim nun ln 1 un n 1 n n n un un 4 a1 Bài 5. Cho dãy số an thỏa mãn: 3 n 1,n ¥ . 2 2 n 2 an n an 1 n 1 anan 1 Tìm lim an .
  28. Hướng dẫn giải 2 2 * n 2 n Dễ thấy an 0,n ¥ . Từ giả thiết ta có n 1 . an 1 an * 1 1 Với mỗi n ¥ , đặt yn ta có y1 1 và. an 4 2 2 1 2 1 2 2 n n 2 yn 1 n yn n 1 n 2 yn 1 n yn yn 1 2 yn . 4 4 n 2 2 2 2 2 n 1 n 2 1 4 4n2 n 1 Do đó yn y1 2 an 2 . n 1 n 1 3 n 1 n2 16 n2 n 1 Vậy lim an 4 . Bài 6. Tính các giới hạn sau: x3 8 2x 1 a) lim 2 . b) lim . x 2 x 4 x 2 x 2 Hướng dẫn giải 2 x3 8 x 2x 4 a).lim lim 3 . x 2 x2 4 x 2 x 2 2x 1 b) lim . x 2 x 2 x x2 xn n Bài 7. Tính giới hạn lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải x x2 xn n (x 1) (x2 1) (xn 1) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)[1 (x 1) (x2 x 1) (xn 1 1)] lim . x 1 x 1 lim 1 (x 1) (x2 x 1) (xn 1 1) . x 1 n(n 1) 1 2 3  n 2 . n 1 ax 1 a Bài 8. Cho n là số nguyên dương và a 0 .Chứng minh rằng: Lim x 0 x n Hướng dẫn giải Đặt y n 1 ax, khi đó từ x 0 y 1 n 1 ax y 1 y 1 a Vậy Lim aLim a Lim x 0 x y 1 yn 1 y 1 y 1 yn 1 yn 2 y n
  29. Bài 9. Tính các giới hạn sau:. 1 13 53 93 (4n 3)3 cos5x xsin x a/ lim 2 b/ lim . n 1 5 9 (4n 3) x 0 cos3x Hướng dẫn giải Câu a. n n 13 53 93 (4n 3)3 (4i 3)3 (64i3 144i2 108i 27) . i 1 i 1 n n n = 64i3 144i2 108i 27n . i 1 i 1 i 1 n(4n 2) 1 5 9 (4n 3) 2n2 n . 2 n n n 2 n(n 1) 2 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1) Mà ta có các công thức: i ; i ; i . i 1 2 i 1 6 i 1 2 Do đó: P(x) 13 53 93 (4n 3)3 là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 16 . 2 Và Q(x) 1 5 9 (4n 3) là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4 . 13 53 93 (4n 3)3 16 Do đó: lim 4 . n 1 5 9 (4n 3)2 4 Câu b. cos5x cos3x 1 cos3x xsin x.cos3x cos5x xsin x cos5x cos3x cos5x cos3x lim = lim 1 . x 0 cos3x x 0 cos3x cos5x cos3x 2sin 4xsin x sin 4x sin x 8 Vì lim lim lim . . 8 . x 0 xsin x.cos3x x 0 xsin x.cos3x x 0 4x x cos3x 1 1 xsin x cos5x cos3x cos5x 8 Vì lim 0 và áp dụng công thức lim 1 u u e , nên lim e . x 0 cos3x u 0 x 0 cos3x x 2 1 Bài 10. Cho dãy số xn thỏa mãn x 2x 3x (n 1)x . Tìm limu với x 1 2 3 n 1 ,n 1,n . n n 2 ¥ n(n 1) 3 un (n 1) xn . . Hướng dẫn giải 1 Ta có x . 2 3 Với n 3: x 2x 3x nx n3 x (1). 1 2 3 n n
  30. 3 x1 2x2 3x3 (n 1)xn 1 (n 1) xn 1 (2). 3 3 Từ (1) và (2) ta có nxn n xn (n 1) xn 1 . (n 1)3 x n 1 n Suy ra x n 1 ( )2. .x . n n3 n n n 1 n 1 n 1 n 2 2 n n 1 3 x ( )2.( )2 ( )2. . x . n n n 1 3 n 1 n 4 2 4 4(n 1)2 x suy ra limu = lim 4 . n n2 (n 1) n n2 3x 1.3 2 x 2 Bài 11. Tính giới hạn hàm số : L lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải Ta có:. 3x 1.3 2 x 2 3x 1.3 2 x 3x 1 3x 1 2 lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x 1 3x 1 2 = lim 3x 1 lim . x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 2 3 ( 2 x 1) (2 x) 2 x 1 ( 3x 1 2)( 3x 1 2) = lim 3x 1 lim . x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) (2 x 1) (3x 1 4) = lim 3x 1 lim . x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) ( 3x 1) 3 1 = lim lim = . x 1 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 ( 3x 1 2) 12 x2 3 2011x 2009 Lim Bài 12. Tính: x 1 x 1 . Hướng dẫn giải x2 3 2 2011(x 1) x2 3 4 lim lim[ 2011] x 1 x 1 x 1 (x 1)( x 3 2) . x 1 4021 lim( 2011) x 1 x 3 2 2 4 a 1 3 Bài 13. Cho dãy số an thỏa mãn: n 1,n ¥ . Tìm lim an . 2 2 n 2 an n an 1 n 1 anan 1 Hướng dẫn giải
  31. 2 2 * n 2 n Dễ thấy an 0,n ¥ . Từ giả thiết ta có n 1 . an 1 an * 1 1 Với mỗi n ¥ , đặt yn ta có y1 1 và. an 4 2 2 1 2 1 2 2 n n 2 yn 1 n yn n 1 n 2 yn 1 n yn yn 1 2 yn . 4 4 n 2 2 2 2 2 n 1 n 2 1 4 4n2 n 1 Do đó yn y1 2 an 2 . n 1 n 1 3 n 1 n2 16 n2 n 1 Vậy lim an 4 . 1 a Bài 14. Cho dãy số xn thỏa mãn x1 0, xn (3xn 1 3 ), n 2,3, 4 xn 1 Hướng dẫn giải 1 a 4 Ta có xn (xn 1 xn 1 xn 1 3 ) a với mọi n 2 . 4 xn 1 Do đó dãy xn bị chặn dưới. xn 3 a 3 1 Với mọi n 3 , ta có 4 1 xn xn–1 . xn 1 4 4xn 1 4 4 Do đó xn là dãy giảm. 4 Từ đó suy ra dãy xn có giới hạn và dễ dàng tìm được lim xn a . x1 3 Bài 15. Cho dãy số thực xn : 1 . Xét dãy số yn cho bởi : x 3 ,n 1,2,3, n 1 xn (3 5)n yn n ;n 1,2,3, Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó. 2 .x1.x2.x3 xn Hướng dẫn giải 1 . Ta có : xn 1 3 xn .xn 1 3xn 1 ;n 1,2,3, xn . Đặt : zn x1.x2.x3 xn thì ta có zn 2 x1.x2.x3 xn .xn 1.xn 2 . zn .xn 1.xn 2 . zn .(3xn 1 1) . 3zn xn 1 zn . 3zn 1 zn .
  32. z1 x1 3 8 Khi đó : z2 x1.x2 3. 8 . Suy ra zn là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. 3 zn 2 3zn 1 zn ;n 1,2,3, 3 5 Xét phương trình đặc trưng : t 2 3t 1 0 t . 2 n n 3 5 3 5 Dãy có số hạng tổng quát dạng z  . n 2 2 3 5 3 5  3 5 3 5 2 2 10 trong đó : . 7 3 5 7 3 5 5 3 5   8 2 2 10 . Lúc này, ta có. n n 3 5 3 5 n (3 5) 2 2 1 yn n n n n . 2 .x1.x2.x3 xn zn 3 5 3 5 3 5   2 2 3 5 1 1 1 3 5 5 Suy ra : lim yn n . 3 5  5 3 5 2 .lim  10 3 5 3 5 5 . Vậy : y khi n . n 2 un 3 Bài 16. Cho dãy số un xác định bởi: u0 1, un 1 n ¥ . Tìm lim n un ? . 2 2 n n un un 1 Hướng dẫn giải u u 1 n Từ giả thiết u n n ta có u n n * nên v xác định bởi v u có n 1 2 2  ¥ n 1 2 2  ¥ n n  k n un un 1 n un n k 0 giới hạn hữu hạn, giả sử lim vn c (c hữu hạn). n un 1 2 1 Cũng từ un 1 2 2 n ¥ ta có n un n ¥ . n un un 1 un 1 un 1 1 2 n un n ¥ . un 1 un 1 1 2 Do đó 0 u0 . u1 u0
  33. 1 1 2 1 u1 . u2 u1 . 1 1 2 (n 1) un 1 . un un 1 1 1 (n 1)n(2n 1) n 1 Cộng theo vế ta được : uk . un u0 6 k 0 1 (n 1)n(2n 1) vn 1 1 3 3 3 . n un 6n n 1 vn Mà lim 0 ( do lim vn c ) nên. n n3 n 1 (n 1)n(2n 1) 1 3 lim lim hay lim n un 3. n 3 n 3 n n un 6n 3 4 Bài 17. Cho dãy số xn xác định bởi : x1 1, xn 1 1 , n 1. Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu 1 xn hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 4 4 4 Ta có x 1 3; x 1 2 x ; x 1 x . 2 2 3 4 1 4 3 2 4 Hàm số f (x) 1 liên tục và nghịch biến trên [0,+ ), 1 f (x) 5 . 1 x 4 Ta có xn 1 1 f (xn ),n (xn ) bị chặn. 1 xn x1 x3 f (x1) f (x3 ) x2 x4 f (x2 ) f (x4 ) x3 x5 suy ra dãy (x2n 1) tăng và dãy (x2n ) giảm suy ra (x2n 1),(x2n ) là các dãy hội tụ. Giả sử lim x2n a;lim x2n 1 b (a,b 1) . Từ x2n 1 f (x2n ) lim x2n 1 lim f (x2n ) b f (a) . Từ x2n 2 f (x2n 1) lim x2n 2 lim f (x2n 1) a f (b) . 4 b 1 1 a Giải hệ phương trình a b 4 2 . Vậy lim xn 2 . 4 a 1 1 b 1 xn Bài 18. Cho x1 2014, x2 2013 và xn 2 (1 )xn 1 , n 2,3, Tìm lim xn . n n n Hướng dẫn giải
  34. n n n k xn 1 xn ( 1) ( 1) ( 1) Ta có xn 2 xn 1 xn 2 xn 1 (x2 x1) và xn 2 x1  . n n! n! k 1 k! ( 1)k ( 1)k 1 Dãy này rõ ràng hội tụ và có giới hạn là x1  x1 1  x1 1 . k 1 k! k 0 k! e 1 Từ đó suy ra lim xn 2015 . n e 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 1 Bài 1. Tìm lim . n n n! Hướng dẫn giải n Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) n (*) ( n N*). 3 1 Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có 1 > (đúng). 3 k Giả sử (*) đúng với n = k tức là : k! > ( )k. Ta đi chứng minh (*) đúng với. 3 n = k+1. k k 1 3 k 1 Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( ) k (k+1) = ( )k+1. > ( )k+1. 1 3 3 (1 )k 3 k Bất đẳng thức cuối này đúng vì :. 1 k k(k 1) 1 k(k 1)(k 2) (k k 1) 1 (1+ )k =1+ + . +.+ . =. k k 2! k 2 k! k k 1 1 1 1 2 k 1 1 1 1 1 = 1+1+ (1 ) +.+ (1 )(1 ) (1 ) 0 < < . n n! n 3 Vì lim = 0. n n 1 Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim = 0. n n n!
  35. 1 Vậy lim(2014 ) =2014. n n! x1 1; x2 2 5 Cho dãy số xn thoả mãn 2 x . x n 1 ;n * n 2 2 ¥ 4 xn Tính I lim xn . Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương. y1 0; y2 1 Đặt yn log2 xn , ta có dãy * . 2yn 2 5yn 1 2yn ;n ¥ z1 2, z2 1 z 2; z 1 1 2 2zn 2 5zn 1 zn Lại đặt yn zn 2 , ta có dãy * . 2zn 2 5zn 1 zn ;n ¥ 1 Tìm được số hạng tổng quát của dãy là z 4. . n 2n Từ đó ta có lim yn 2 lim xn 4 . 2 an 5an 10 Bài 2. Cho dãy (an )n 1 : a1 1; an 1 , n 1 . 5 an a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an . a a a 5 5 b) Chứng minh 1 2 n , n 1 n 2 Hướng dẫn giải 3 a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1 a , n . n 2 5 5 x2 5x 10 10 Đặt A và xét hàm f (x) x, (x 5) . 2 5 x 5 x 10 3 1 Suy ra f (x) 1 0, x 1; . , như vậy f (x) nghịch biến trên đoạn ;1 2 5 x 2 2 a1 a3 a5 a2k 1 A lim a2k 1 b A Dẫn đến . . a2 a4 a6 a2k A lim a2k c A Kết hợp công thức xác định dãy ta được. c2 5c 10 b 5 c 5 5 b c . b2 5b 10 2 c 5 b
  36. 5 5 Vậy lim a . . n 2 5 5 b) Nhận xét: t 1; . thì t f (t) 5 5 2 Dẫn đến a2k 1 a2k 5 5 , k 1. 5 5 a a a a 2k . (1). 1 2 2k 1 2k 2 Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2k . 5 5 Trường hợp n 2k 1, chú ý a , kết hợp với (1) thu được:. 2k 1 2 5 5 a a a a a (2k 1) . 1 2 2k 1 2k 2k 1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. un 1 une * Bài 3. Cho dãy số thực un :u1 , un 1 ,n ¥ . Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm 2 1 eun giới hạn đó. Hướng dẫn giải Chứng minh 1 un 0,n 2 1 . 1 e Với n 2, u 2 1;0 đúng. 2 1 e Giả sử 1 đúng với n k 2 , ta chứng minh 1 đúng với n k 1. un un un une Ta có un 0 e 1 1 e 0 0 . 1 eun u eun un 1 n un un un un 1 e ; 1 une e 1 e un 1 1(luôn đúng). e 1 eun Vậy (1) được chứng minh. x x xex e 1 x e Xét hàm f x x trên ;0 . Ta có f ' x 2 . 1 e 1 ex Hàm g x 1 x ex có g ' x 1 ex 0 với mọi x ;0 nên hàm này đồng biến trên ;0 . ex 1 x ex Suy ra g x g 0 0 , suy ra f ' x 2 0 . 1 ex hay hàm f x nghịch biến trên ;0 .
  37. e e 2 1 e 1 e e 2 1 e 2 e Ta có u2 , u3 , u4 u2 . 1 e 2 1 e e 2 1 e 1 e Suy ra f u4 f u2 u5 u3 0 u1 . Quy nạp ta được dãy u2n 1 giảm và dãy u2n tăng. Hơn nữa 1 un 0,n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limu2n a, limu2n 1 b a,b 1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được. beb a a b ae 1 e a 2 a a 1 e e e1 e . aea b 1 ea t a 1 2 Đặt e t t ;1 , ta được phương trình 1 t t.t1 t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t 0 . e Hàm h t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận 1 thấy t là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất. 2 1 1 Suy ra a ln , thay vào được b ln . 2 2 1 Vậy limu ln . n 2 2n 3 Bài 4. Cho dãy số a ,n 1 thỏa mãn a 1,a a ,n 2 và dãy b ,n 1 thỏa mãn n 1 n 2n n 1 n n bn  ai ,n 1. Chứng minh dãy bn có giới hạn và tìm giới hạn đó. i 1 Hướng dẫn giải Ta có 2nan 2n 3 an 1 an 1 2 n 1 an 1 nan ,n 1. n Do đó bn  2 iai i 1 ai 1 2 1 n 1 an 1 . i 1 1 Ta chứng minh bằng quy nạp rằng na ,n 1. n n Thật vậy:. - Với n = 1, ta có a1 1 nên khẳng định đúng.
  38. 2 n 1 3 2n 1 1 - Giả sử khẳng định đúng với n n 1 . Ta có an 1 an , ta cần chứng minh 2 n 1 2n 2 n n 2n 1 1 1 2n 1 n 1 2n n . 2n 2 n n n 1 n 1 4n2 4n 1 n 1 4n3 1 3n . Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n 1. Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh. 1 Ta có 2 1 2 1 n 1 an 1 bn 2 . n 1 Theo nguyên lí kẹp thì dãy bn có giới hạn và limbn 2 . 1 u1 2 Bài 5. Cho dãy số bn được xác định bởi: . 1 1 u u u 2 n 1 n n n 2 4 Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limun . x Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh u cot ;n ¥ (*) . n 2n 2n 1 1 1 Thật vậy: n 1 : u cot . 1 21 21 1 2 (*) đúng với n 1. 1 Giả sử (*) đúng tới n k , k ¥ * , nghĩa là có : u cot . k 2k 2k 1 1 1 Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy u u u 2 . k 1 k k k 2 4 1 1 1 1 1 cot cot2 cot cot2 1 . k k 1 k k 1 k k 1 k 1 k 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 1 1 cot ( vì khi k thì 0; sin 0 ). k 1 k 1 k 1 2 2 sin 2 2k 1 cos 1 2cos2 1 k 1 1 k 2 1 . 2 2 cot . k 1 k 1 k 1 k 2 2 sin 2 2sin cos 2 2 2k 1 2k 2 2k 2 (*) cũng đúng với n k 1.
  39. 1 Vậy u cot ;n ¥ . n 2n 2n 1 cos 2n 1 1 2n 1 2 2 limun lim . lim cos . x x n x n 1 2 2 2n 1 2n 1 2 Vậy dãy hội tụ và có limun . x Bài 6. Cho phương trình: xn x2 x 1 0 với n N, n 2 . 1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 2 , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất xn . 2)Xét dãy số sau đây: Un n xn 1 , n 2,3,4, Tìm limUn ? . Hướng dẫn giải Xét phương trình: f x x n x 2 x 1 0 , với n nguyên, n 2 (1). +) Ta có: f ’ x nxn 1 – 2x –1. Do n 2 , nên khi x 1 thì f ’ x 0 . Vậy f x là hàm số đồng biến trên 1; . Lại có: f 1 2 0 ; f 2 2n – 7 0 ( vì n nguyên và n 2 n 3). Ta có: f 1 f 2 0 và f x liên tục, đồng biến nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất trên 1; . +) Mặt khác với 0 x 1 thì xn x2 ( do n 2 ) suy ra f x 0 với mọi 0 x 1. Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2 . n 2 Gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình x – x – x –1 0 . Bây giờ xét dãy Un với Un n xn 1 , n 3,4,5, . n 2 n 2 Ta có: xn xn xn 1 0 hay xn xn xn 1 . Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:. 2 xn xn 1 1   1 n 2 2 n so 1 xn xn xn 1 n xn xn 1 .1.1 1 < (2). n 1 sô 1 n 2 (Chú ý rằng ở đây 1 xn nên xn xn 1 1, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng). 6 +) Mặt khác do x 2 , nên x 2 x 6 , nên từ (2) có: 1 x 1 (3). n n n n n 6 Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n 3 và lim 0 nên từ (3) ta có: lim x 1. n n 2 n 2 2 ln xn xn 1 +) Ta có: xn xn xn 1 nln xn ln xn xn 1 n . ln xn
  40. xn 1 2 Từ đó: n xn 1 ln xn xn 1 (5). ln xn Đặt yn xn 1 lim yn 0 . Ta có: suy ra từ (5) limUn lim n xn 1 ln 3. Vậy: limUn ln 3 . ln xn ln yn 1 ln t 1 Bài 7. Cho số thực a, xét dãy số xn được lim lim lim 1 xác định bởi n 1 t 0 xn 1 yn t 3 xn 6xn 6 x1 a, xn 1 2 ,n 1,2, Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, 3xn 9xn 7 tìm giới hạn đó?. Hướng dẫn giải Với a 1thì xn 1,n 1nên lim xn 1. n 3 3 xn 1 1 xn 1 2 Với a 1 thì xn 1 2 , xn 2 2 ,n 2 . 3xn 1 9xn 1 7 3xn 1 9xn 1 7 3 3n 1 xn 2 xn 1 2 a 2 Do đó ,n 1. xn 1 xn 1 1 a 1 n 1 n 1 2 a 1 3 a 2 3 Từ đó, tính được xn n 1 n 1 ,n 1,. a 2 3 a 1 3 3 Kết luận + a a 1 a 2 lim xn 2 . 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1. 2 n 3 3 3 + a xn ,n 1 lim xn 2 2 n 2 2012 u1 Bài 8. Cho dãy số (un ) xác định như sau: 2013 . Tìm lim un . n 2 un 2un 1 1 0 , n 1,2,3, Hướng dẫn giải u2 1 Ta có : u 2 2u 1 0 u n . n n 1 n 1 2 2 x2 1 x2 1 1 Xét hàm số : f (x) . 2 2 2 2 f '(x) x . x 1 0 1 2
  41. . f x 0 Ta có :. f x 3 0 8 1 2 1 1 1 3 u 1 u 0 u 0. 2 1 2 2 2 3 8 Vậy : n 2 thì 1 un 0 . u2 1 u 2 2u 1 0 u n . n n 1 n 1 2 x2 1 1 Gọi a là nghiệm của : x ( x ( ;0)) a 1 2 . 2 2 Ta có : un 1 a f (un ) f (a) . Theo định lí La-grăng : f (un ) f (a) f '(a) . un a . 1 1 Do f '(a) f (u ) f (a) u a . 2 n 2 n 2 n 1 1 1 un 1 a un a un 1 a u1 a . 2 2 2 n 1 Mà lim 0 lim (un 1 a) 0 lim un 1 a 1 2 . n 2 n n Vậy : lim un 1 2 . n 1 u0 2 Bài 9. Cho dãy số u  xác định như sau: 2 . Chứng minh rằng dãy số u  có giới n u 5 n n un 1 ,n ¥ 2 un 2 hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Vì 0 u0 1 nên 0 un 1,n ¥ . 9 * Áp dụng BĐT Cauchy ta có un 2 6 . Dấu bằng xảy ra un 1. un 2 9 un 2 6 ,n ¥ . un 2 2 un 5 1 9 * un 1 un 2 2 1,n ¥ . 2 un 2 2 un 2 1 9 * un 1 un un 1 . 2 2 un 2
  42. 1 9 Xét hàm số f x x 1 . 2 2 x 2 1 9 f ' x 0,x 1 f x nghịch biến trên 1; . 2 2 x 2 2 * * Vì un 1 f un f 1 0 un 1 un ,n ¥ . ungiảm và bị chặn dưới un có giới hạn hữu hạn. 2 un 5 * Giả sử limun a 1 a . Từ un 1 chuyển qua giới hạn ta có. 2 un 2 a2 5 a 1 a . 2 a 2 a 5(loai) * Vậy limun 1. 2 * un 1 Bài 10. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u1 4 và un 1 un 2 , với n ¥ . Tìm lim . n u1.u2 un Hướng dẫn giải Với mọi n 1,2, ; ta có. 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 un 1 4 un 2 4 un 4un un un 4 un .un 1(un 1 4) . 2 2 2 2 2 2 un un 1 u2 u1 (u1 4) 12 un .un 1 u1 (1). 2 u 4 Từ (1) ta có: n 1 12 ; n 1,2, (2). u .u u 2 1 2 n u1.u2 un 2 Mặt khác, vì u1 4 2 nên từ un 1 un 2 và chứng minh bằng quy nạp ta thu được un 2 với mọi n 1,2, 4 4 Do đó u .u u 2n ; n ¥ * . Khi đó, 0 ; n 1,2, 1 2 n 2 22n u1.u2 un 4 nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: lim 0 . n 2 u1.u2 un 2 u Vậy, từ (2) suy ra: lim n 1 12 . n u1.u2 un Mặt khác, hàm số f (x) x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên. 2 2 u u u lim n 1 lim n 1 lim n 1 12 . n n n u1u2 un u1u2 un u1u2 un u Kết luận: lim n 1 12 . n u1.u2 un
  43. Bài 11. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực (xn )n 0 thỏa mãn. x x x 1, 0 x 1n 1và (1 x )2 (1 x )2 n n 1 n 1 0 n n n 1 2 b) Với dãy (xn ) xác định như trên, xét dãy (yn )n 0 xác định bởi yn x0 x1 xnn 0. Chứng minh rằng dãy (yn )n 0 có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng xn xác định duy nhất với mỗi n 0. Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [0;1] , phương trình t m (1 t)2 (1 m)2 có đúng một nghiệm trên [0;1] . 2 1 1 1 1 1 b) Để ý rằng y x (x x ) (x x ) L (x x ) x n 1 n 2 0 2 0 1 2 1 2 2 n 1 n 2 n 3 Ta có giới hạn cần tìm bằng . . 2 Bài 12. Giả sử Fn n 1,2, là dãy Fibonacci ( F1 F2 1; Fn 1 Fn Fn 1 với ). Chứng minh rằng nếu Fn 1 1 a với mọi n 1,2,3, thì dãy số xn , trong đó x1 a, xn 1 n 1,2,3 , là xác Fn 1 xn định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Giả sử x1, x2 , , xm đã được xác định. Khi đó xm 1 được xác định khi xm 1. 1 * Nếu xm 1 thì do xm nên xm 1 2 . 1 xm 1 F2 F3 Từ giả thiết F1 F2 1; Fn 1 Fn Fn 1 ta viết xm , xm 1 . F1 F2 Fi 2 Giả sử xm i , với i nào đó, 0 i m 2 . Fi 1 1 1 Fi 1 Fi 3 Vì xm i nên xm i 1 1 1 . 1 xm i 1 xm i Fi 2 Fi 2 Fm 1 Fm 1 Khi đó x1 . Mâu thuẫn với giả thiết x1 . Như vậy (xn ) là dãy số xác định. Fm Fm 1 5 1 5 1 Phương trình x x2 x 1 0 có hai nghiệm u ,v . Có hai trường hợp xảy ra:. 1 x 2 2 5 1 Trường hợp 1: x1 v . Khi đó xn x1,n 1. Do đó lim xn . n 2 1 1 v Trường hợp 2: x1 v . Chú ý v xn xn v . Do đó xn v,n 1. 1 xn v
  44. xn u Đặt zn , ta có. xn v 1 u x u 1 x (1 u) ux u2 ux u x u u z n 1 n n n . n .z . n 1 x v 1 (1 v) vx v2 vx v x v v n n 1 v n n n 1 xn n u u Từ đó có zn .z1 nên zn 0 khi n (vì 1). v v xn u u vzn Từ zn suy ra xn dần tới u khi n (do zn 0 ). xn v 1 zn 5 1 Tức là trong trường hợp này lim xn . n 2 3 yn  Bài 13. Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn ,n 1. Chứng minh rằng dãy số  có n  giới hạn bằng 0 khi n . Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có y3 y y3 ,n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì. n 1 n n nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) . 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 y2 n 1. 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có. n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0. n 1 n 1 n 3 3 3 Bài 14. Cho un là một dãy số dương. Đặt Sn u1 u2 un với n 1,2, Giả sử 1 un 1 Sn 1 un un 1 với n 2,3, Tìm limun . Sn 1 Hướng dẫn giải 3 Ta có Sn 1 Sn un 1 0,n 1,2, Sn là dãy số tăng. 3 Nếu dãy số Sn bị chặn trên thì Sn là một dãy hội tụ và limun lim Sn 1 Sn 0 limun 0 . Xét trường hợp dãy số Sn không bị chặn trên thì lim Sn . Từ giả thiết ta có Sn 1un 1 un Snun un 1,n 2,3, . Từ đây ta thu được Snun un 1 S2u2 u1,n 2,3, un 1 S2u2 u1 S2u2 u1 Do đó un 0 un ,n 2,3, Sn Sn Sn
  45. Theo nguyên lí kẹp ta có limun 0 . Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limun 0 . u1 1 Bài 15. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức truy hồi: 1 * . Chứng minh rằng u u 2,n n 1 n ¥ un dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt f (x) x 2; g(x) f ( f (x)) x 2 2 . Khi đó. 1 x x x 2 x 2 2 x x2 1 2 1 1 g '(x) 2 0 g(x) g( ) 0 f ( f (x)) x,x ( ;1) (*) 4 1 2 2 x x 2 x 1 Mặt khác f '(x) 0,x ( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1 f (x) f ( ) f ( f (x)) f ( ) ,x ( ;1) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra: f ( f (x)) x,x ( ;1) 2 2 1 1 Vậy: 1 u u 1 u u u , Do đó (u ) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 2 1 3 5 2 2n 1 1 tại limu2n 1 n 2 1 Vì f (x) liên tục trên ;1 nên. 2 1 u2n f (u2n 1) limu2n f limu2n 1 n n 2 Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (un ) có giới hạn 1 bằng 2 Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:. 1. f x y f (x) f (y) với mọi x, y ¡ . 2. f (x) ex 1 với mỗi x ¡ . Hướng dẫn giải f x 0 f (x) f (0) f (0) 0 và bởi vì f (0) e0 1 0 nên f (0) 0 .
  46. f (x ( x)) f (x) f ( x) f (x) f ( x) 0 (1) . x x x f (x) f f 2 e 2 1 . 2 2 x x x x f (x) 2 e 2 1 f (x) f f 4 e 4 1 . 2 2 x Dùng quy nạp theo ta CM được 2n . n 1,2, f (x) 2 e 1 x0 Cố định x ¡ ta có f (x ) 2n e 2n 1 . 0 0 x0 x0 2n n 2n e 1 Xét dãy an 2 e 1 ta có : lim an lim x0 x0 . x0 2n Vậy f (x0 ) x0 ,x0 ¡ (2) . Vậy f (x) f ( x) x ( x) 0 (3) . Kết hợp ( 1) và (3) ta được f (x) f ( x) 0 . Từ (2) f ( x) x f (x) x (4) . Kết hợp ( 2) và (4) ta được f (x) x,x ¡ . Thử lại f (x) x ta thấy đúng. x1 1, Bài 17. Cho dãy số x được xác định như sau 3 . Chứng minh rằng x có giới hạn n xn n xn 1 xn n 1 n2 hữu hạn khi n dần đến vô cùng. Hướng dẫn giải Dễ thấy xn 0 , với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự. Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên. * Ta chứng minh xn 8,n ¥ . Thật vậy, với n 1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng. Giả sử ta có: xn 8 , với n nguyên dương. Ta cần chứng minh xn 1 8. n 3 x n 1 Theo công thức xác định dãy số có: x x k 1 2 1 2.2 8 . n 1 1  2  2 k 1 k k 1 k Do đó xn 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.
  47. 1 3 a ;a 1 4 2 10 Bài 18. Cho dãy số thực an xác định bởi . Chứng minh rằng dãy an 1 a a2 a n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 2 6 3 có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Có a1,a2 0;1 , giả sử a1,a2 , ,ak 0;1 ,k ¥ ,k 2 . Từ công thức truy hồi ta có:. 1 1 a a2 1 1 1 0 0 a k k 1 1, vì 0 a ,a 1 a 0;1 . 2 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 k k 1 * Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an 0;1 ,n ¥ . 1 3 x x y y 1 2 4 1 2 10 Xét hai dãy số mới xn : và yn : với n ¥ ;n 2 . 1 x x2 1 y y2 x n n 1 y n n 1 n 1 2 6 3 n 1 2 6 3 1 Có 0 x x x 1, giả sử ta có 0 x x x 1,k ¥ ,k 3 , khi đó. 1 2 2 3 1 2 k 1 x x2 1 x x2 x k 1 k 2 k k 1 x . k 2 6 3 2 6 3 k 1 Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được xn là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn lim xn . 3 1 2 Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được 2 . 2 6 3 1 Do xn  0;1 nên suy ra 1. Chứng minh tương tự đối với dãy số yn , ta cũng có lim yn 1. * Cuối cùng ta chứng minh xn an yn ,n ¥ (1) bằng phương pháp quy nạp:. Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2 , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k ¥ ,k 2 , tức là xi ai yi ,i 1,2, ,k . Khi đó. 1 x x2 1 a a2 1 y y2 x k k 1 a k k 1 k k 1 y . k 1 2 6 3 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 Từ xn an yn ,n ¥ ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim an 1. 2 2 Bài 19. Cho hai dãy số an ; bn xác định bởi a1 3,b1 2 , an 1 an 2bn và bn 1 2anbn với n = 1, 2, 2n 2n 3, . Tìm lim bn và lim a1a2 an . n n Hướng dẫn giải
  48. Với mọi n = 1,2,3, ta có. 2 2 2 an 1 bn 1 2 an 2bn 2 2anbn an bn 2 . Do đó:. 2 22 2n 1 2n 1 2n an bn 2 an 1 bn 1 2 an 2 bn 2 2 a1 b1 2 3 2 2 2 1 . 2n Tương tự ta có: an bn 2 2 1 . 1 2n 2n 1 2n 2n Từ đó: an 2 1 2 1 ;bn 2 1 2 1 . 2 2 2 2n 2n n 2 1 n 2 1 2 2n 2n 2 Chú ý: bn an 2 1 và lim 2 1, nên theo nguyên lí kẹp ta có: 4 2 n 4 2 2n 2n lim bn lim an 2 1. n n bn 1 b2 b3 bn 1 bn 1 Mặt khác: bn 1 2anbn hay an (n 1) . Suy ra: a1a2 an . n . Do đó 2bn 2b1 2b2 2bn 2 2 1 2n 2n 2n lim a1a2 an = lim bn 1 2 1 3 2 2 (vì lim 1). n n n 2n 1 3 a ;a 1 4 2 10 Bài 20. Cho dãy số thực an xác định bởi . Chứng minh rằng dãy an 1 a a2 a n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 2 6 3 có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải + Ta Có a1,a2 0;1 , giả sử a1,a2 , ,ak 0;1 ,k ¥ ,k 2 . Từ công thức truy hồi ta có:. 1 1 a a2 1 1 1 0 0 a k k 1 1, vì 0 a ,a 1 a 0;1 . 2 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 k k 1 * Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an 0;1 ,n ¥ . 1 x x 1 2 4 + Xét hai dãy số mới xn : . 1 x x2 x n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 1 2 6 3 3 y y 1 2 10 và yn : . 1 y y2 y n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 1 2 6 3 1 - Có 0 x x x 1, giả sử ta có 0 x x x 1,k ¥ ,k 3 , khi đó. 1 2 2 3 1 2 k
  49. 1 x x2 1 x x2 x k 1 k 2 k k 1 x . k 2 6 3 2 6 3 k 1 Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được xn là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có 3 1 2 giới hạn hữu hạn lim x . Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được 2 . n 2 6 3 1 Do xn  0;1 nên suy ra 1. - Chứng minh tương tự đối với dãy số yn , ta cũng có lim yn 1. * - Cuối cùng ta chứng minh xn an yn ,n ¥ (1) bằng phương pháp quy nạp:. Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2 , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k ¥ ,k 2 , tức là xi ai yi ,i 1,2, ,k . Khi đó. 1 x x2 1 a a2 1 y y2 x k k 1 a k k 1 k k 1 y . k 1 2 6 3 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 + Từ xn an yn ,n ¥ ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim an 1. 1 Bài 21. Tìm giới hạn: lim(2014 ) . n n! Hướng dẫn giải n n * Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: n! (*) n N ). 3 1 Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy: với n 1, ta có 1 (đúng). 3 k k Giả sử (*) đúng với n k tức là: k! . Ta đi chứng minh (*) đúng với. 3 n k 1. k k k 1 3 k 1 Ta có k 1 ! k! k 1 k 1 ( )k 1 . ( )k 1 . 1 3 3 (1 )k 3 k Bất đẳng thức cuối này đúng vì:. k 1 k k(k 1) 1 k(k 1)(k 2) (k k 1) 1 1 1 . 2 . 2 k k 2! k k! k 1 1 1 1 2 k 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! k k! k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! n! 2 2n 1 2 2n 1 1 . 1 3 1 1 2
  50. n n n n Vậy (*) đúng với n k 1. Do đó n! , từ đây ta suy ra n!> . 3 3 1 3 3 => 0 . Vì lim 0 . n n! n n n 1 Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim = 0. n n n! 1 Vậy lim(2014 ) =2014. n n! 3.4. CÁC DẠNG KHÁC x 2016 1 Bài 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để dãy số xn : m có giới hạn hữu hạn. x n N * n 1 2  1 xn Hướng dẫn giải *) m 0 0 xn m n 1. m 2mx Xét hàm số: f (x) ta có f '(x) f x nghịch biến trên 0;m . x2 1 (x2 1)2 Suy ra (x2n ),(x2n 1) đơn điệu và bị chặn. 2017 x1 x3 x5 + 0 m x1 x2 , x3 . 2016 x2 x4 x6 4m m f ( f (1)) 1, x 1 x 1 n N * . m2 4 2 2017 2n a(1 b2 ) m Giả sử lim x a,lim x b a 1, (I) . 2n 2n 1 2 b(1 a ) m a b (II) 3 a a m 1 (I) b . a (III) 1 a m a Khi o m 2 hệ (I) có nghiệm duy nhất xn có giới hạn hữu hạn. 2017 Khi 2 m hệ (II) có nghiệm duy nhất lớn hơn 1 và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn a b . Do đó 2016 lim x2n lim x2n 1 (xn ) không có giới hạn.
  51. 2017 x1 x3 x5 m 2017 2016 x1 x2 , x1 x3 . 2016 x2 x4 x6 lim x2n lim x2n 1 (xn ) không có giới hạn. * + m 2017 2016 xn 2016 n N limxn 2016 . x1 x3 x5 + m 2017 2016 x1 x2 , x1 x3 . x2 x4 x6 lim x2n lim x2n 1 (xn ) không có giới hạn. *) m 0 tượng tự ta có 0 m 2 và m 2017 2016 . x3 6x 6 Bài 2. Cho số thực xét dãy số x được xác định bởi x a, x n n ,n 1,2, Tìm a, n n 1 1 n 1 2 3xn 9xn 7 tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?. Hướng dẫn giải Với a 1thì xn 1,n 1nên lim xn 1. n 3 3 xn 1 1 xn 1 2 Với a 1 thì xn 1 2 , xn 2 2 ,n 2 . 3xn 1 9xn 1 7 3xn 1 9xn 1 7 3 3n 1 xn 2 xn 1 2 a 2 Do đó ,n 1. xn 1 xn 1 1 a 1 n 1 n 1 2 a 1 3 a 2 3 Từ đó, tính được xn n 1 n 1 ,n 1,. a 2 3 a 1 3 3 Kết luận + a a 1 a 2 lim xn 2 . 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1. 2 n 3 3 3 + a xn ,n 1 lim xn 2 2 n 2 1 an 1 an bn Bài 3. Cho hai dãy số dương a , b xác định bởi: a 3,b 2 và 1 a . Với n n 0 n n 0 0 0 n 1 2 2 an 1 bn mọi n 0,1,2, Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh bằng quy nạp a tan ,b ,n 0,1,2, (*) . Thật vậy. n n n 3.2 cos 3.2n
  52. 1 Với n 0 , ta có a 3 tan tan ,b 2 , vậy * đúng. 0 0 0 3 3.2 cos 3.20 1 2 1 Với n 1, ta có a tan tan ,b , vậy * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 cos 3.21 1 Giả sử khẳng định đúng đến n k,k 1, tức là a tan ,b . n n n 3.2 cos 3.2n 1 Ta chứng minh a tan ,b . Thật vậy. Từ 1 ta có. n 1 n 1 n 1 3.2 cos 3.2n 1 sin 1 2sin cos sin2 cos2 1 a n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 a 2 2 n 1 cos cos sin 3.2n 3.2n 1 3.2n 1 2 sin n 1 cos n 1 3.2 3.2 cos n 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 sin cos tan 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 a tan n 1 n 1 cos sin 1 tan 3.2 3.2n 1 3.2n 1 3.2n 1 1 1 Khi đó từ 2 , suy ra b2 a2 1 tan2 1 b . n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 cos2 cos 3.2n 1 3.2n 1 1 Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a tan ,b ,n 0,1,2, . n n n 3.2 cos 3.2n 1 1 Do đó lim an lim tan tan 0 0; lim bn lim 1. n n n n 3.2 n cos cos0 3.2n Kết luận: lim an 0; lim bn 1.■. n n u1 2014 Bài 4. Cho dãy số (un ) xác định như sau : 2 2 . Tìm điều kiện của a un 1 un (1 2a)un a ;n 1,2, để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng knn ; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
  53. 2 2 Giả sử lim un L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: n L L2 (1 2a)L a2 L a . * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k trái với kết quả lim un L a . n 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, a 1 u1 a a 1 2014 a . * Đảo lại: Nếu a 1 2014 a a 1 u1 a . 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a . và u1 u2 a 1 u2 a . Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, (H/s trình bày ra). Như vậy dãy (un ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 a thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và lim un a . n x1 a Bài 5. Cho dãy số x thỏa mãn 2x3 . Tìm a sao cho dãy số xác định và có giới n x n ,n 1,2,3, n 1 2 3xn 1 hạn hữu hạn. Hướng dẫn giải 2x3 3 Đặt f x , x . Ta có x a, x f x . Ta có. 3x2 1 3 1 n 1 n 2 2 6x4 6x2 6x x 1 f ' x 2 2 . 3x2 1 3x2 1 Bảng biến thiên. 3 Ta xây dựng dãy số như sau a , a f a , a f a , a f a , . 0 3 0 1 1 2 2 3 Nhận thấy a1,a3 , ,a2k 1, 0; a0 ,a2 , ,a2k , 0 . 3 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a ;0 ,a f 1 a 0; . 1 2 1 3 3 a2 a0 f a3 f a1 a3 a1 f a4 f a2 a4 a2 . 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy a đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và , dãy a đơn điệu 2k 3 2k 1 3 tăng và bị chặn bởi và 0. Từ đó tồn tại lim a2k , lim a2k 1 . 3 k k
  54. Ta có an f an 1 f f an 2 lim an f f lim an 2 l f f l . 3 2l3 2 2 3l 1 2 1 2 4 2 l 2 l l l 1 20l 15l 5 0 (*). 2l3 5 3 2 1 3l 1 2x3 3 3 3 (do f x , x liên tục trên ;0 , 0; và l lim an ). 2 n 3x 1 3 3 3 3 1 3 5 Xét 0 l . Ta có f f an an an 2 an 0 nên * an . Vậy l . 3 5 3 5 5 Tương tự ta chứng minh được dãy a đơn điệu tăng, hội tụ về . 2k 1 5 5 nÕu n ch½n 5 5 +) Nếu a thì x2 x1, x3 x2 nên ta có dãy xn . 5 5 nÕu n lÎ 5 Dãy này không hội tụ. 5 nÕu n ch½n 5 5 +) Nếu a ta có dãy xn . 5 5 nÕu n lÎ 5 Dãy này không hội tụ. +) Nếu tồn tại n sao cho a an thì ta có. 3 x a f x f a x a f x f a x a , , x a . 1 n 1 n 2 n 1 2 n 1 3 n 2 n 1 0 3 Khi đó không tồn tại xn 2 . Vậy nếu a an thì dãy không xác định. 5 +) Nếu 0 a thì hai dãy con x , x cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0. 5 2k 2k 1 Nếu a 1 thì x2 f a a x1 và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1. Khi đó dãy hội tụ về 1. 3 +) Nếu a 1 thì x f a 1. Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ x . Trường hợp này dãy đơn điệu 3 2 2 giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về1. +) Nếu a = 1 thì xn 1 n nên dãy hội tụ về 1.
  55. 5 3 5 3 +) Nếu a ta có lim a2n và a0 nên tồn tại a2k ,a2k 2 sao cho a2k 2 a a2k (Thật 5 3 5 n 3 3 vậy, các số hạng của a không thể cùng nằm bên trái a do a , chúng cũng không thể cùng nằm 2k 0 3 3 5 bên phải a do nếu thế thì a a2n lim a2n ). 3 n 5 3 Vậy a a ;a x a ;a , , x a ;a , x a ; x . Khi đó ta lại có dãy 2k 2 2k 2 2k 2k 2 2k 2 0 2k 2 0 2k 2 3 đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1. 5 3 Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp a 0, 1 a , a 1, a 1 ta khảo sát tương tự. 5 3 Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là. 3 5 a ; a ; a a ,n 1,2,3, 3 5 n n Bài 6. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và an 1 an ,n 1. Chứng minh rằng an lim an n 0 . n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 (do a1 1). a1 Nhận xét: an n,n 2 . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy. Với n 2 ta có a2 2 (đúng). Giả sử ak k . k 2 Ta có ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak . ak 2 ak k 1 ak k 0 . ak 1 ak k 0 (đúng). Suy ra ak 1 k 1. Như vậy an n,n 2 (điều phải chứng minh). n n Mặt khác, an 1 n 1 an n 1 an n 1. an an
  56. a2 n 1 a n a n a 1 n n n n (1). an an Áp dụng (1) ta có. a2 2 a2 1 a3 3 a 2 a3 3 a3 1 a4 4 a3 . an n an 1 an 1 n 1 an a2 2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 Suy ra a3 3 a4 4 an 1 n 1 . a2a3 an a2 2 a2 1 a3 1 an 1 an 1 n 1 . a2a3 an 1 1 1 an 1 n 1 a2 2 1 1 1 . a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 2  1 (2). i 2 ai n an 1 1 an 1 1 an an n Ta lại có 1 (do an n 1). an 1 an 1 an 1 an 1 an n 1 a a a a Suy ra  1 1 . 2 n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an a1 a1 Từ (2) an 1 n 1 a2 2 . a2 2 . (vì an n ). an n a 0 a n 1 a 2 . 1 . n 1 2 n a1 a1 Mà lim 0 lim a2 2 0 . n n n n Do đó lim an 1 n 1 0 hay lim an n 0 . n n * 1 a Bài 7. Cho p ¥ , a 0 và a1 0 . Xét dãy số (an ) được xác định bởi: an 1 ( p 1)an p 1 , p an với mọi n 1. Chứng minh dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Côsi ta có:.
  57. 1 a 1 p 1 a p a a a a p. p a . a , với  n 1. (1). n 1 p n nn a p 1 p n a p 1 p 1 n n 1 a an 1 an ( p 1)an p 1 an p a Do đó: n . p an a an a p 1 p 1 0;  n 2 (2) p p.an p.an p Từ (1) và (2) ta có dãy số (an ) giảm và bị chặn dưới bởi a ;. suy ra dãy số (an ) có giới hạn hữu hạn khi n p Giả sử lim an L ; ( L a ). n 1 a Chuyển qua giới hạn hệ thức an 1 ( p 1)an p 1 . p an 1 a ta có phương trình L ( p 1)L pLp ( p 1)Lp a . p Lp 1 Lp a L p a (thỏa mãn điều kiện). p Vậy lim an a . n 1 1 Bài 8. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương xn thỏa mãn xn 1 1 với mọi xn * n ¥ . Chứng minh rằng dãy xn hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) x , x 0 . x 1 1 1 x 1 Ta có f '(x) x 1 ; f '(x) 0 x x 1 . x2 x2 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):. x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) . 1 1 1 1 Suy ra f (x) f x0 ( 1) .
  58. 1 1 1 Do đó xn 1 1 xn 1 . xn xn 1 Suy ra xn 1 xn hay xn là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy xn hội tụ. 1 Đặt lim x  0 . Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x . n  0 1 1 Vậy lim xn . un (0;1) Bài 9. Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn n 1đều un 1(1 un ) c hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau. 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có un 1 4cun ; n 1. 4 1 un un (1 un ) 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra u (4c)n 1u . Do 4c 1 nên u khi n . Do đó, c không n 1 n 4 thỏa mãn. 1 1 1 4c 1 1 4c a(1 b) c + Nếu 0 c , thì tồn tại a,b ; , a b sao cho . Thật vây, lấy 4 2 2 b(1 a) c 1 1 4c 1 1 4c a ; , đặt b a x (x 0) , thì. 2 2 a(1 a) c a(1 b) c a(1 a x) c x . a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi. a khi n 2m un . b khi n 2m 1 1 thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 c cũng không thỏa mãn. n 4 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ. 4 4(1 un ) 4un (1 un ) 1 1 1 Đặt x limu , thì từ giả thiết ta có x(1 x) hay x . Vậy limu n 4 2 n 2
  59. 2 * Bài 10. Cho dãy số un xác định như sau: u1 2 , un 1 un un 1, n ¥ . Tìm giới hạn của dãy sn 1 1 1 * với sn , n ¥ . u1 u2 un Hướng dẫn giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2 . 2 Xét tính đơn điệu của dãy un . Từ hệ thức un 1 un un 1 ta suy ra được * 2 n ¥ ,un 1 un un 1 0 , vậy dãy số un tăng. Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un 1 1 un un 1 . 1 1 1 1 1 1 1 * với n ¥ * . un 1 1 un un 1 un 1 un un un 1 un 1 1 Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :. 1 1 1 1 1 . u1 u2 un un 1 1 Do dãy un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:. 1) Dãy un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un a a 2 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: n a a2 a 1 a2 2a 1 0 a 1, vô lý. 2) Dãy không bị chặn trên, do un tăng và không bị chặn trên nên 1 lim un lim un 1 lim 0. n n n un 1 1 1 1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim lim 1 1. n n u1 u2 un un 3 1 un Bài 11. Cho dãy số (un) thỏa mãn : u0 2016;un 1 un . Tính lim . 2 n un n Hướng dẫn giải 3 3 1 3 3 1 (un 1) un 2 un 3 3 6 . un un un 3 3 3 1 3 Do un 0 n => (un 1) un 3 3 6 un 3 ,n . un un 3 3 3 suy ra (un ) u0 3n 2016 3n, n ¥ (1). Lại có.
  60. 3 3 1 3 3 1 (un 1) un 2 un 3 3 6 un un un . 3 3 1 3 1 1 un 3 3 2 un 3 2 2016 3n 20163 3n n 3n 3 3 1 1 => (un 1) un 3 n ¥ . n 3n 2 Suy ra. n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 (u )3 u3 3(n 1) u3 3n . n 1   2 1   2 k 1 k k 1 9k k 1 k k 1 9k n 1 1 1 1 1 Do 1 2 2 .  2 k 1 k 1.2 2.3 (n 1)n n 2 n 1 n 1 và n 2n (Bất đẳng thức Bunhiacopxki).   2 k 1 k k 1 k 2 suy ra (u )3 u3 3n 2n (2). n 1 9 Từ (1) và (2) suy ra. 2 20163 3n (u )3 u3 3n 2n , n ¥ n 1 9 . 20163 (u )3 u3 2 2 3 n 1 3 , n ¥ n n n 9n n u3 Do đó lim n 3. n n Bài 12. Cho số thực a, xét dãy số xn xác định bởi: x1 a, xn 1 ln 3 cos xn sin xn 2014, n 1,2 Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n Hướng dẫn giải Đặt f x ln 3 sin x cos x 2014,x ¡ . cos x sin x f ' x . 3 sin x cos x 3 f ' x 2 cos x 2 f ' x sin x 4 4 . 2 2 2 9 f ' x 2 2 f ' x f ' x q,x ¡ 7 Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ , thì với mọi số thực x,y tồn tại z ¡ sao cho:. f x f y f ' z x y q x y f x f y q x y ,x, y ¡ .
  61. * m n 1 Với m n m,n ¥ , ta có: xm xn f xm 1 f xn 1 q xm 1 xn 1 q xm n 1 x1 . * Mặt khác: 2014 xn 2014 ln 5,n ¥ xn bị chặn. * m n 1 Do đó:  0,N ¥ : q xm n 1 x1 ,m n N. . Vậy xn là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ. u v Bài 13. Cho hai dãy số u  và v  xác định như sau: u 1,v 2,vàu n 1 n 1 ,v u v khi n n 1 1 n 2 n n n 1 n 2 . Chứng minh rằng hai dãy un và vn có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 a b Ta có cos suy ra u cos v mà a n 1 n 1 ,b a b khi n 2 . 3 2 1 3 1 n 2 n n n 1 u v Suy ra u 1 1 2cos2 3 ,v u v 2cos 3 . 2 2 2 2 2 1 2 u v u 2 2 2cos 3 cos2 3 ,v u v 2cos 3 cos . 3 2 2 4 3 3 2 2 3 bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được. u v u n 1 n 1 2cos 3 cos 3 cos 3 cos2 3 . n 2 2 22 23 2n 1 v u v 2cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 . n n n 1 2 22 23 2n 1 sin 2 Mặt khác cos nên ta có. 2sin sin sin 3 sin2 3 n 2 1 u 2 3 . 2 2 sin cot 3 . n 2n 2 3 2n 1 2sin 3 2sin 3 22 sin2 3 2 22 2n 1 sin sin 3 sin 3 sin n 2 1 v 2 3 . 2 2 3 . n 2n 2 2sin 3 2sin 3 2sin 3 sin 3 2 22 2n 1 2n 1 Do đó.
  62. 3 cot 1 3 2n 1 limun lim n 2 sin cot n 1 2sin lim n 1 n n 2 3 2 3 n 2 . 2sin 3 2sin n 1 3 3 3 lim 2 3 n 3 tan 3 3 2n 1 n * 2 Bài 14. Với mỗi n ¥ , đặt Qn x  x i . i 0 a) Chứng minh đa thức Qn x có duy nhất 1 nghiệm thực xn thuộc 0;1 . b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy xn . Hướng dẫn giải 2 2 a) Ta có Qn 0 Qn 1 Qn 2 Qn n 0 . 2 0;1 1;4 , , n 1 ;n2 Q x 0 nên trong mỗi khoảng , có 1 nghiệm của phương trình n . Mặt khác, ta có det Qn x n nên đa thức Qn x có duy nhất 1 nghiệm xn thuộc khoảng 0;1 1 1 1 b) Ta có Qn x Qn x 2 2 . x x 1 x n Do Qn x có nghiệm không là nghiệm của Qn x nên nghiệm của phương trình Qn x 0 là nghiệm của phương trình:. 1 1 1 f x 0 . n x x 12 x n2 1 1 1 Ta có: fn x 2 2 2 0. x x 1 x n2 Nên fn x nghịch biến trên 0;1 . 1 1 1 Lại có: fn xn 2 2 0 . xn xn 1 xn n 1 1 1 1 1 0 . 2 x x 12 x n2 2 xn n 1 n n n xn n 1 fn 1 xn 0 fn xn fn 1 xn 1 xn xn 1 . Do đó dãy xn là dãy giảm. Lại có xn 0;1 . Vậy dãy xn có giới hạn. Bài 15. Cho x1 a, x2 b a,b ¡ và n.xn 2 (n 1).xn 1 xn 0 , n 1,2, Tìm lim xn . n Hướng dẫn giải
  63. x x Ta có x x n 1 n . n 2 n 1 n ( 1)n ( 1)n x x (x x ) . b a . n 2 n 1 n! 2 1 n! n ( 1)k n ( 1)k xn 2 x1  . b a x1 a b  . b a . k 1 k! k 0 k! 1 1 lim x x a b 2a b . n 1 e e 2 * Bài 16. Cho dãy un axác định bởi: u1 2;un 1 un un 1,n ¥ . Tìm M nhỏ nhất thỏa mãn 1 1 1 M , n ¥ * . u1 u2 un Hướng dẫn giải 2 Ta có u1 2 1 và un 1 (un 1) un . Chứng minh bằng quy nạp ta được un 2,n ¥ ,n 2 (*). 2 Ta lại có: ui 1 ui ui 1 ui 1 1 ui (ui 1) . 1 1 1 1 1 1 . ui 1 1 ui 1 ui ui ui 1 ui 1 1 n 1 1 1 1 (*) Do đó:  1 1,n ¥ * . i 1 ui u1 1 un 1 1 un 1 1 Suy ra M 1. Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy (un ) tăng. Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn L thì 2 L 2 . Vì phương trình L L L 1 có duy nhất nghiệm là L 1, bởi vậy dãy (un ) không có giới hạn n 1 hữu hạn. Suy ra lim un lim  1 ( ). i 1 ui n 1 n0 1 Với mọi a 1 thì từ lim  1 suy ra tồn tại n0 sao cho  a . Do đó M 1 M 1. i 1 ui i 1 ui Bài 17. Cho 4028 số thực: a1,a2 , ,a2014 , b1,b2 , ,b2014 . Xét dãy số xn xác định như sau:. 2014 xn ai .n bi , n 1,2,3, . i 1 2014 Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng  ai là số nguyên (với a là phần nguyên của i 1 số thực a – số nguyên lớn nhất không vượt quá a ). Hướng dẫn giải 2014 2014 Đặt A  ai , B  bi . Gọi d là công sai của cấp số cộng xn , thì: n.d xn 1 x1 . i 1 i 1
  64. * Với mọi n ¥ ta luôn có: ai .n bi 1 ai .n bi  ai .n bi ,i 1,2, ,2014 . Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:. A.n B 2014 xn A.n B . Thay n bởi n 1 và thay n bởi 1, có:. A n 1 B 2014 xn 1 A n 1 B . A B 2014 x1 A B A B x1 A B 2014 . Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được:. A.n 2014 xn 1 x1 A.n 2014 . A.n 2014 n.d A.n 2014 . d.n A.n 2014 . 2014 d A . n 2014 Vì lim 0 nên suy ra d A . Mặt khác dãy x gồm toàn số nguyên nên công sai d cũng là số n n nguyên. Vậy A nguyên. (đpcm). 1 x 1 2 Bài 18. Cho dãy số xn thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1). n 2 Thật vậy: n 1 đúng. k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1 : x k 2 . k 2 2 2 x 2 x k 1 x k k 1 . k 1 k k 2 xk 2 2 = 2 xk k k 1 . k k 1 k k 1 2 1 k 1 . k 2 2 3 k 1 2 k k 1 . 2 2
  65. k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 Ta có 2 . xn xn 1 xn n n n 1 1 1 1 2 1 2 . x1 xn n 1 x với mọi n 1. n 2 2 Vậy xn có giới hạn. Bài 19. Cho dãy số a tăng, a 0n 1,2,3, và 0 . Xét dãy số x xác định bởi n n n n ai 1 ai xn . Chứng minh rằng tồn tại lim xn .  n i 1 ai 1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy xn tăng ngặt. Trường hợp 1. Nếu 1. ai 1 ai 1 1 1 1 1 1 xn . ai 1ai ai ai 1ai ai ai 1 a1 vậy dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n . Trường hợp 2. Nếu 0 1. ai 1 ai 1 1 1 1 * thật vậy * ai 1 ai 1 ai ai 1 ai . ai 1ai ai ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 . ai 1 ai Ta chứng minh ( ). Xét hàm số f x x Trên đoạn ai ;ai 1 . Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c ai ;ai 1 thoả mãn ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai 1 ai f c c ai 1 (đpcm). ai 1 ai ai 1 ai ai 1 ai 1 Từ đó ta có xn dãy xn bị chặn trên do đó tồn tại lim xn n a1 .
  66. n a1a2 an 1 Bài 20. Cho dãy số xác định bởi a0 1;a1 1;an 1 1 n 1,2,3, . Đặt Sn  . a n k 1 ak 1a k 2 2 Chứng minh tồn tại lim Sn ( trong đó x là phần nguyên của x ). n Hướng dẫn giải 1 1 a 1 1 1 Ta có k 1 . a a a a a a a a a a a a a a k 1 k a 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 1 2 k 1 k 1 2 ak 1 1 n 1 1 1 1 Suy ra Sn  . k 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 a1 a1a2 an 1 Chứng minh lim a1a2 an 1 . n Ta có : an 1 n 2 . n n an 1 an 1 suy ra dãy đã cho là tăng. 2 Như vậy an an 1 1 a1 n 1. 1 Vậy lim a1a2 an 1 , suy ra lim Sn . n n a1 u1 3, v1 2 2 2 Bài 21. Cho dãy số un ; vn được xác định như sau un 1 un 2vn n N vn 1 2unvn . 2n 2n Tìm các giới hạn sau: lim vn và lim u1.u2 un x x . Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta có: n N : un 1 2.vn 1 un 2vn 2 2.unvn un 2.vn (1). 2 Áp dụng (1) ta suy ra: un 2.vn un 1 2.vn 1 . 2n 1 2n 1 2n Theo quy nạp ta có: un 2.vn u1 2.v1 3 2 2 2 1 (2). 2n Lập luận tương tự ta cũng có: un 2.vn 2 1 (3). 1 2n 2n un 2 1 2 1 2 Từ (2) và (3) ta suy ra: . n n 1 2 2 vn 2 1 2 1 2 2
  67. 1 2n 2n 2n 2n Lại có: un 2 1 2 1 2 1 , từ đó suy ra: un 2 1. 2 2n 2n n n 2 2 2 1 n 2 1 1 n 2 Tương tự ta có : 2 . vn 2 1 2 1 vn 2 2 8 8 Mặt khác ta có: vn un . Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau:. n 1 2 n 2 1 1 2 2n 2n 2n 2 1 vn un 2 1. 8 8 2n 2n Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra lim un lim vn 2 1. n n vn 1 Hơn nữa theo đề bài ta có: vn 1 2unvn un . 2vn v2 v3 vn 1 vn 1 vn 1 Suy ra: u1.u2 un . n n 1 . 2v1 2v2 2vn 2 v1 2 v 1 2n 2n n 1 2n 2n Vậy lim u1.u2 un lim lim vn 1 .lim . n n 2n 1 n n 2n 1 1 n 1 2n 2n 2 2n 2n 2n lim 2unvn .lim lim 2.lim un .lim vn .lim . n n 2n 1 n n n n 2n 1 1. 2 1 . 2 1 .1 3 2 2 . 2n 2n Tóm lại ta có: lim vn 2 1 và lim u1.u2 un 3 2 2 . n n n Bài 22. Cho dãy số an xác định bởi 0 a1 1 và an 1 an ,n 1. Chứng minh rằng an lim an n 0 . n Hướng dẫn giải 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 (do a1 1). a1 Nhận xét: an n,n 2 . Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy. Với n 2 ta có a2 2 (đúng). Giả sử ak k . k 2 Ta có ak 1 ak k 1 ak k k 1 ak . ak
  68. 2 ak k 1 ak k 0 . ak 1 ak k 0 (đúng). Suy ra ak 1 k 1. Như vậy an n,n 2 (điều phải chứng minh). n n Mặt khác, an 1 n 1 an n 1 an n 1. an an a2 n 1 a n a n a 1 n n n n (1). an an Áp dụng (1) ta có. a2 2 a2 1 a3 3 a 2 a3 3 a3 1 a4 4 a3 . an n an 1 an 1 n 1 an a2 2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 Suy ra a3 3 a4 4 an 1 n 1 . a2a3 an a2 2 a2 1 a3 1 an 1 an 1 n 1 . a2a3 an 1 1 1 an 1 n 1 a2 2 1 1 1 . a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 2  1 (2). i 2 ai n an 1 1 an 1 1 an an n Ta lại có 1 (do an n 1). an 1 an 1 an 1 an 1 an n 1 a a a a Suy ra  1 1 . 2 n 1 1 . i 2 ai a2 a3 an an a1 a1 Từ (2) an 1 n 1 a2 2 . a2 2 . (vì an n ). an n a 0 a n 1 a 2 . 1 . n 1 2 n a1 a1 Mà lim 0 lim a2 2 0 . n n n n
  69. Do đó lim an 1 n 1 0 hay lim an n 0 . n n 1 1 Bài 23. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương xn thỏa mãn xn 1 1 với mọi xn * n ¥ . Chứng minh rằng dãy xn hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) x , x 0 . x 1 1 1 x 1 Ta có f (x) x 1 ; f (x) 0 x x 1 . x2 x2 0 Ta có bảng biến thiên của hàm f x :. x 0 x0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) . 1 1 1 1 Suy ra f (x) f x0 ( 1) . 1 1 1 Do đó xn 1 1 xn 1 . xn xn 1 Suy ra xn 1 xn hay xn là dãy giảm. Kết hợp với xn 0 với mọi n ta suy ra dãy xn hội tụ. 1 Đặt lim x  0 . Chuyển qua giới hạn ta được  ( 1) 1  x . n  0 1 1 Vậy lim xn . u ,u (0;1) 1 2 Bài 24. Cho dãy số thực un thỏa mãn 1 4 . Chứng minh rằng dãy (un ) có u u3 3 u , n 1 n 2 5 n 1 5 n giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải x min u ,u  1 1 2 Xét dãy (xn ) : 1 4 . 3 3 xn 1 xn xn 5 5 Ta thấy xn (0;1) .
  70. 3 3 3 3 3 13 1 4 x x x x x 5 Ta có x x3 3 x n n n n n x 3 x . n 1 5 n 5 n 5 n n Vậy dãy xn tăng, bị chặn trên nên hội tụ, lim xn a (0 a 1) . 1 4 Chuyển qua giới hạn ta được: a a3 3 a a 1. 3 5 Ta sẽ chứng minh xn u2n 1; u2n 1 (*) bằng quy nạp theo n. Ta có x1 u1;u2 1. Giả sử xn u2n 1;u2n 1. 1 4 1 4 Suy ra x x3 3 x u3 3 u u 1. n 1 5 n 5 n 5 2n 5 2n 1 2n 1 1 4 1 4 1 4 x x3 3 x x3 3 x u3 3 u u 1. n 1 5 n 5 n 5 n 1 5 n 5 2n 1 5 2n 2n 2 Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy ra limun 1. x1 2007 Bài 25. Cho dãy số thực x xác định bởi: x . Chứng minh dãy số (x ) có n x 3 n n 1 n n 1 2 xn 1 giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn 3 . x 1 Ta có: x 3 n = 3 1 3 2 n 1. n 1 2 x2 1 xn 1 n Vậy xn 2007 với mọi n nên dãy bị chặn. x 1 1 Xét f x 3 f x f x khi x 3 . 2 3 x 1 x2 1 2 2 Ta có:. 2 x 2 x f x x x 3 (x 3) 2 x2 1 x 1 . (x2 3x)2 2(x2 3x) 3 0 x2 3x 1 (L) 2 x 3x 3 . 3 15 x a 2 Áp dụng định lý Lagrang có:.
  71. n 1 1 xn 1 a f (xn ) f (a) f '(n ) xn a xn a x1 a n  0 Do đó 2 2 2 2 3 15 lim x a . n 2 u e 2 1 un 1 Bài 26. Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 Vì u e 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a 2n 1 Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được un 1 a n , n ¥ . a2 Xét. n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 . 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 e2 4 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 Bài 1. Cho dãy số xn xác định bởi. x1 a x2 7 . x n , n 1,2,3, n 1 2 xn 3 Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải Theo Côsy thì. 1 16 xn 1 xn 7 xn xn 3 6 1; xn 1 xn 0. 2 xn 3 2 xn 3 dãy giảm, bị chặn bởi 1, vậy dãy có giới hạn. Từ lim xn a a 1. x1 1 Bài 27. Cho dãy số xn , xác định bởi: 2014 . Chứng minh rằng dãy số xn có x 1 , n 1,2,3 n 1 1 xn giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
  72. Hướng dẫn giải 2014 Xét hàm số f (x) 1 trên 0; . Ta thấy f (x) liên tục và nghịch biến trên 0; (Vì 1 x 2014 f '(x) 0 ). Do đó 1 f (x) 2015 . 1 x 2 2014 Ta có xn 1 1 f (xn ) với mọi n dãy xn bị chặn. 1 xn Mặt khác, ta có x1 x3 f (x1) f (x3 ) x2 x4 f (x2 ) f (x4 ) x3 x5 .Suy ra dãy x2n 1 là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy x2n là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy x2n 1 , x2n có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim x2n 1 a và lim x2n b , ( a,b 1). Từ x2n 1 f (x2n ) lim x2n 1 lim f (x2n ) b f (a) . x2n 2 f (x2n 1) lim x2n 2 lim f (x2n 1) a f (b) . 2014 b 1 1 a Vậy ta có hệ a b 2015 . 2014 a 1 1 b Vậy lim xn = 2015 . x1 2,1 2 Bài 28. Cho dãy số xn được xác định bởi x 2 x 8x 4 với mỗi số x n n n * ,n 1,2, n 1 2 n 1 y nguyên dương n, đặt n  2 . Tìm lim yn . i 1 xi 4 Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2 bất kì, ta có. a 2 a2 8a 4 a 2 a2 4a 4 a 2 a 2 a . 2 2 2 Do đó 2,1 x1 x2 Suy ra dãy xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2 . Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. x 2 x2 8x 4 x x2 4 x 3 x 2 . 2 phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy xn tăng và không bị chặn trên nên lim xn .
  73. x 2 x2 8x 4 Ta có x n n n 2x x 2 x2 8x 4 . n 1 2 n 1 n n n 2 2 2 2xn 1 xn 2 xn 8xn 4 xn 2 4 xn 3 xn 2 . 1 xn 3 xn 2 1 1 1 2 2 2 . xn 2 xn 1 4 xn 1 4 xn 1 2 xn 1 4 1 1 1 2 . xn 1 4 xn 2 xn 1 2 n 1 1 1 1 y 10 Suy ra n  2 . i 1 xi 4 x1 2 xn 1 2 xn 1 2 Vậy lim yn 10 . x0 a Bài 29. Dãy số thực x n được xác định bởi: n . Tìm tất cả các giá trị của n ¥ 2  ¥ xn 1 2xn 1 a để xn 0 với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải Giả sử xn 0 với n ¥ . 2 Từ x 2x2 1 0 có x 0 . n 2 n 1 2 n 1 2 2 2 2 1 Lại từ 2x2 1 0 có x 1 x ,n ¥ . 2 n 2 n 2 n 4 1 3 1 Suy ra x và x 1,n ¥ . n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó x 2x2 1 2 x2 2 x . x x ,n ¥ . n 1 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:. 2 n n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 a x0 x1 x2 xn ,n ¥ . 2 2 3 2 3 2 3 2 3 n 2 1 1 Mà lim 0 nên phải có a 0 a . n 3 2 2 1 1 Thử lại với a thì x 0,n . 2 n 2 1 Vậy a là giá trị duy nhất cần tìm. 2 x1 2014 Bài 30. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: . 3 * xn 1 6xn 6sin xn ,n ¥
  74. Hướng dẫn giải x3 Sử dụng bất đẳng thức x sin x x,x 0. 6 Xét hàm số f x 3 6x 6sin x, x 0. 6 1 cos x Ta có: f ' x 0,x 0 f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 2 33 6x 6sin x Do đó: f x f 0 0x 0 . mà x2 f x1 0 vì x1 2014 0 * Vậy ta có xn 1 f xn 0,n N . 6x 6sin x x3 Mặt khác: x x 3 6x 6sin x x n n n . n 1 n n n n 2 3 3 2 6xn 6sin xn xn 6xn 6sin xn xn x3 Vì x sin x x,x 0 6x x3 – 6sinx 0,x 0 . 6 3 6xn – 6sinxn xn 0 do xn 0 xn 1 – xn 0 . xn là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limxn x(x 0) , ta có phương trình:. x 3 6x 6sin x x3 6x 6sin x 0. Xét hàm số g x x3 6x 6sin x . g ' x 3x2 – 6 6cosx . g’’ x 6x – 6sinx 0x 0 . g’ x g’ 0 0 . Do đó g x luôn đồng biến và liên tục với mọi x 0 . phương trình g x 0 có nghiệm duy nhất x 0 . Vậy limxn 0 . 1 an 1 an bn Bài 31. Cho hai dãy số dương a , b xác định bởi: a 3,b 2 và 1 a . Với n n 0 n n 0 0 0 n 1 2 2 an 1 bn mọi n 0,1,2, Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh bằng quy nạp a tan ,b ,n 0,1,2, (*) . Thật vậy. n n n 3.2 cos 3.2n
  75. 1 Với n 0 , ta có a 3 tan tan ,b 2 , vậy * đúng. 0 0 0 3 3.2 cos 3.20 1 2 1 Với n 1, ta có a tan tan ,b , vậy * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 cos 3.21 1 Giả sử khẳng định đúng đến n k,k 1, tức là a tan ,b . n n n 3.2 cos 3.2n 1 Ta chứng minh a tan ,b . Thật vậy. Từ 1 ta có. n 1 n 1 n 1 3.2 cos 3.2n 1 sin 1 2sin cos sin2 cos2 1 a n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 a 2 2 n 1 cos cos sin 3.2n 3.2n 1 3.2n 1 2 sin n 1 cos n 1 sin cos tan 1 3.2 3.2 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 Khi đó từ 2 , suy cos sin 1 tan cos n 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 a tan n 1 3.2n 1 1 1 ra b2 a2 1 tan2 1 b . n 1 n 1 n 1 n 1 3.2 cos2 cos 3.2n 1 3.2n 1 1 Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a tan ,b ,n 0,1,2, . n n n 3.2 cos 3.2n 1 1 Do đó lim an lim tan tan 0 0; lim bn lim 1. n n n n 3.2 n cos cos0 3.2n Kết luận: lim an 0; lim bn 1.■. n n u1 2014 Bài 32. Cho dãy số (un ) xác định như sau:. 2 2 . Tìm điều kiện của a un 1 un (1 2a)un a ;n 1,2, để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng knn; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
  76. 2 2 Giả sử lim un L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: n L L2 (1 2a)L a2 L a . * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k trái với kết quả lim un L a . n 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, a 1 u1 a a 1 2014 a . * Đảo lại: Nếu a 1 2014 a a 1 u1 a . 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a . và u1 u2 a 1 u2 a . Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, . Như vậy dãy (un ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 a thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi n và lim un a . n u1 1 Bài 33. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức truy hồi 1 * . Chứng minh u u 2,n n 1 n ¥ un rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt f (x) x 2; g(x) f ( f (x)) x 2 2 . Khi đó. 1 x x x 2 x 2 2 x x2 1 2 1 1 g '(x) 2 0 g(x) g( ) 0 f ( f (x)) x,x ( ;1) (*) 4 1 2 2 x x 2 x 1 Mặt khác f '(x) 0,x ( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1 f (x) f ( ) f ( f (x)) f ( ) ,x ( ;1) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra: f ( f (x)) x,x ( ;1) 2 2 1 1 Vậy: 1 u u 1 u u u , Do đó (u ) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 2 1 3 5 2 2n 1 1 tại limu2n 1 n 2
  77. 1 1 Vì f (x) liên tục trên ;1 nên u2n f (u2n 1) limu2n f limu2n 1 2 n n 2 Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (un ) có giới hạn 1 bằng 2 u1 2 n uk Bài 34. Cho dãy số un xác định 1 . Tính lim . 2 n  un 1 un un un ,n 1 k 1 uk 1 1 2014 Hướng dẫn giải u u 1 Theo giả thiết ta có: u n n u mà u 2 suy ra. n 1 2014 n 1 2 u1 u2 u3 do đó dãy un là dãy tăng. Giả sử dãy un bị chặn trên suy ra limun L với L 2 khi đó. n 2 2 un 2013un L 2012L L 0 limun 1 lim L . n 2014 2014 L 1 Vô lý do L 2 . Suy ra dãy un không bị chặn trên do đó. 1 limun lim 0 . n n un Ta có. u2 2013u u n n u u 1 2014 u u n 1 2014 n n n 1 n . u 1 1 n 2014 un 1 1 un 1 un 1 1 1 1 Sn 2014 lim Sn 2014. x u1 1 un 1 1 x1 2014 Bài 35. Cho dãy số thực x xác định bởi: . Tính lim x ? . n 3 * n xn 1 6xn 6sin xn ,n ¥ Hướng dẫn giải x3 Sử dụng bất đẳng thức x sin x x,x 0. 6 Xét hàm số f x 3 6x 6sin x, x 0. 6 1 cos x Ta có: f ' x 0,x 0 f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 2 33 6x 6sin x