Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Định lí ta-lét

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Định lí ta-lét

1. CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức: A 1. Định lí Ta-lét: M N ABC  AM AN * Định lí Ta-lét:  = MN // BC AB AC B C AM AN MN * Hệ quả: MN // BC = AB AC BC B. Bài tập áp dụng: 1. Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G B a) chứng minh: EG // CD A b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG O Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD E G OE OA a) Vì AE // BC = (1) OB OC OB OG D C BG // AC = (2) OD OA OE OG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = EG // CD OD OC b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên AB OA OD CD AB CD = = AB2 CD. EG EG OG OB AB EG AB Bài 2: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng: D a) AH = AK A b) AH2 = BH. CK H K F Giải Đặt AB = c, AC = b. C BD // AC (cùng vuông góc với AB) B AH AC b AH b AH b nên HB BD c HB c HB + AH b + c
2. AH b AH b b.c Hay AH (1) AB b + c c b + c b + c AK AB c AK c AK c AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c Hay AK (2) AC b + c b b + c b + c Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC b) Từ và suy ra (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH AH2 = BH . KC 3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE2 = EK. EG 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi Giải A a B a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên b K AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: E EK EB AE EK AE = = AE2 EK.EG AE ED EG AE EG D C G AE DE AE BE b) Ta có: = ; = nên AK DB AG BD AE AE BE DE BD 1 1 1 1 1 = 1 AE 1 (đpcm) AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG BK AB BK a KC CG KC CG c) Ta có: = = (1); = = (2) KC CG KC CG AD DG b DG BK a Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = BK. DG = ab không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ b DG dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi) 4. Bài 4:
3. Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, B BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: E A a) EG = FH P b) EG vuông góc với FH H F O Giải D Q Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG N M 1 1 BM 1 BE BM 1 Ta có CM = CF = BC = = = 2 3 BC 3 BA BC 3 G EM BM 2 2 C EM // AC = EM = AC (1) AC BE 3 3 NF CF 2 2 Tương tự, ta có: NF // BD = NF = BD (2) BD CB 3 3 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) 1 Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = AC (b) 3 Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM  MG E· MG = 900 (4) Tương tự, ta có: F· NH = 900 (5) Từ (4) và (5) suy ra E· MG = F· NH = 900 (c) Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì P· QF = 900 Q· PF + Q· FP = 900 mà Q· PF = O· PE (đối đỉnh), O· EP = Q· FP ( EMG = FNH) Suy ra E· OP = P· QF = 900 EO  OP EG  FH 5. Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải CP AF a) EP // AC = (1) PB FB
4. CM DC AK // CD = (2) D C AM AK các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) P M I CP CM Kết hợp (1), (2) và (3) ta có MP // AB (Định lí PB AM K B Ta-lét đảo) (4) A F CP CM DC DC b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có: = PB AM AK FB DC DI CP DI Mà (Do FB // DC) IP // DC // AB (5) FB IB PB IB Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy 6. Bài 6: Cho ABC có BC < BA. Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của A· BC ; đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh B rằng đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau Giải M K Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của DF và BC G F KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên KBC cân tại B BK = BC và FC = FK A D E C Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của AKC DF // AK hay DM // AB Suy ra M là trung điểm của BC 1 DF = AK (DF là đường trung bình của AKC), ta có 2 BG BK BG BK 2BK = ( do DF // BK) = (1) GD DF GD DF AK CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD Mổt khác 1 1 (Vì AD = DC) 1 1 DE DE DE DE DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB Hay 1 2 2 (vì = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF
5. CE AK + BK 2(AK + BK) 1 CE 2(AK + BK) 2BK Suy ra 2 2 (Do DF = AK) 2 DE DE AK 2 DE AK AK (2) BG CE Từ (1) và (2) suy ra = EG // BC GD DE OG OE FO Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có = = OG = OE MC MB FM Bài tập về nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F a) Chứng minh FE // BD b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H. Chứng minh: CG. DH = BG. CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh: a) AE2 = EB. FE 2 AN b) EB = . EF DF CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A. Kiến thức: A 2. Tính chất đường phân giác: BD AB ABC ,AD là phân giác góc A = CD AC B D C A BD' AB AD’là phân giác góc ngoài tại A: = D' B C CD' AC B. Bài tập vận dụng 1. Bài 1:
6. Cho ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD A AI b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số: ID c b Giải I BD AB c a) AD là phân giác của B· AC nên CD AC b B D C BD c BD c ac BD = a CD + BD b + c a b + c b + c ac ab Do đó CD = a - = b + c b + c AI AB ac b + c b) BI là phân giác của A· BC nên c : ID BD b + c a 2. Bài 2: Cho ABC, có Bµ 4 DM Giải A Aµ Aµ + Cµ 1800 - Bµ a)Ta có A· DB = Cµ + > = 600 2 2 2 A· DB > Bµ AD 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thật vậy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Bất đẳng thức (1) được c/m Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E a) Chứng minh DE // BC
7. b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ABC có BC cố định, A AM = m không đổi d) ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó I D E Giải DA MB a) MD là phân giác của A· MB nên (1) DB MA B M C EA MC ME là phân giác của A· MC nên (2) EC MA DA EA Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra DE // BC DB EC x m - DE AD AI x 2a.m b) DE // BC . Đặt DE = x 2 x = BC AB AM a m a + 2m 1 a.m c) Ta có: MI = DE = không đổi I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập hợp các 2 a + 2m a.m điểm I là đường tròn tâm M, bán kính MI = (Trừ giao điểm của nó với BC a + 2m d) DE là đường trung bình của ABC DA = DB MA = MB ABC vuông ở A 4. Bài 4: Cho ABC ( AB DE > BE A Giải a) BD là phân giác nên K D AD AB AC AE AD AE = EB E nằm giữa K và B KB EB b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có C· BD = K· DB(Góc so le trong) K· BD = K· DB mà E nằm giữa K và B nên K· DB > E· DB K· BD > E· DB E· BD > E· DB EB E· CB D· EC > D· CE (Vì D· CE = E· CB )
8. Suy ra CD > ED CD > ED > BE 5. Bài 5: Cho ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh DB EC FA a. . . 1. DC EA FB 1 1 1 1 1 1 b. . AD BE CF BC CA AB H Giải A DB AB a)AD là đường phân giác của B· AC nên ta có: = (1) DC AC F E EC BC FA CA Tương tự: với các phân giác BE, CF ta có: = (2) ; = EA BA FB CB (3) C B D DB EC FA AB BC CA Tửứ (1); (2); (3) suy ra: . . = . . = 1 DC EA FB AC BA CB b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA ở H. AD BA BA.CH c.CH c Theo ĐL Talét ta có: AD .CH CH BH BH BA + AH b + c 2bc 1 b c 1 1 1 1 1 1 1 Do CH c), các phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD. Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD