Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Số chính phương

1. CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. Số chính phương: A. Một số kiến thức: Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác Ví dụ: 4 = 22; 9 = 32 A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2 + Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8 + Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24, + Số 1 1 1 = a thì 9 9 9 = 9a 9a + 1 = 9 9 9 + 1 = 10n n n n B. Một số bài toán: 1. Bài 1: Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Giải Gọi A = n2 (n N) a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 nên chia hết cho 3 n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho 3 dư 1 Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia hết cho 4 n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1 Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1 Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4 + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1) 2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3 M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương
2. b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương e) R = 13 + 23 + + 1003 k(k + 1) k(k - 1) Gọi Ak = 1 + 2 + + k = , Ak – 1 = 1 + 2 + + k = 2 2 2 2 3 Ta có: Ak – Ak -1 = k khi đó: 3 2 1 = A1 3 2 2 2 = A2 – A1 3 2 2 n = An = An - 1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có: 2 2 3 3 3 2 n(n + 1) 100(100 1) 2 1 + 2 + +n = An = 50.101 là số chính phương 2 2 3. Bài 3: CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương. a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1 n 1 n+1 10 1 n 1 A = (11  1)(10 + 5) + 1 .(10 5) 1 n 10 1 2 a - 1 a 2 + 4a - 5 + 9 a 2 + 4a + 4 a + 2 Đặt a = 10n+1 thì A = (a + 5) + 1 = 9 9 9 3 b) B = 111 . 1 555  5 6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5) n n - 1 n n B = 111 . 1 555  5 + 1 = 111 . 1. 10 + 555  5 + 1 = 111 . 1. 10 + 5 111 . 1 + 1 n n n n n n n Đặt 11  1 = a thì 10 = 9a + 1 nên n 2 2 2 B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1) = 3 3 34 n - 1 c) C =11  1.+ 44 .4 + 1 2n n n Đặt a = 11  1 Thì C = 11  111  1 + 4. 11  1 + 1 = a. 10 + a + 4 a + 1 n n n n
3. = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 n d) D = 99  9 8 00  0 1 . Đặt 99  9 = a 10 = a + 1 n n n n + 2 n + 1 n n D = 99  9 . 10 + 8. 10 + 1 = a . 100 . 10 + 80. 10 + 1 n 2 2 2 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a + 180a + 81 = (10a + 9) = (99  9 ) n + 1 n + 2 e) E = 11  1 22  2 5 = 11  1 22  2 00 + 25 = 11  1.10 + 2. 11  100 + 25 n n + 1 n n + 1 n n 2 2 2 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a + 300a + 25 = (30a + 5) = (33  3 5) n f) F = 44  4 = 4.11  1 là số chính phương thì 11  1 là số chính phương 100 100 100 Số 11  1 là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1 100 Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 1 11  1 có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3 100 vậy 11  1 không là số chính phương nên F = 44  4 không là số chính phương 100 100 Bài 4: a) Cho các số A = 11  .11 ; B = 11  11 ; C = 66  66 2m m + 1 m CMR: A + B + C + 8 là số chính phương . 102m 1 10m 1 1 10m 1 Ta có: A ; B = ; C = 6. Nên: 9 9 9 102m 1 10m 1 1 10m 1 102m 1 10m 1 1 6(10m 1) 72 A + B + C + 8 = + + 6. + 8 = 9 9 9 9 m 2 m 2 102m 1 10.10m 1 6.10m 6 72 10 16.10 64 10m 8 = = 9 9 3 b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2 Giải
4. a) Với n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương Với n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 là số chính phương Với n > 2 thì n2 – n + 2 không là số chính phương Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta có n5 – n chia hết cho 5 Vì n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Với n = 5k thì n chia hết cho 5 Với n = 5k 1 thì n2 – 1 chia hết cho 5 Với n = 5k 2 thì n2 + 1 chia hết cho 5 Nên n5 – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n5 – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên n5 – n + 2 không là số chính phương Vậy : Không có giá trị nào của n thoã mãn bài toán Bài 6 : a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Giải Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3 Với a = 4k + 1 thì a = 4k2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Với a = 4k + 3 thì a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên A = (10k 3)2 =100k2 60k + 9 = 10.(10k2 6) + 9 Số chục của A là 10k2 6 là số chẵn (đpcm) Bài 7: Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị Giải Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận cùng của b2 Theo đề bài , chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b2 phải lẻ Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ, chúng đều tận cùng bằng 6 Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị là 6 Bài tập về nhà: Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương
5. a) A = 22  2 4 b) B = 11115556 c) C = 99 .9 00  0 25 50 n n 2 2 2 d) D = 44 .4 8 8 8 9 e) M =11. .1 – 22  2 f) N = 1 + 2 + + 56 n n - 1 2n n Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương a) n3 – n + 2 b) n4 – n + 2 Bài 3: Chứng minh rằng a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị