Chuyên đề Đại số Lớp 8: Các bài toán về sự chia hết của số nguyên

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 8: Các bài toán về sự chia hết của số nguyên

1. CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A. MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương * Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết vào các bài toán cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 1. Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m + Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì: +) an - bn chia hết cho a - b (a - b) +) (a + 1)n là BS(a )+ 1 +) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b +)(a - 1)2n là B(a) + 1 + (a + b)n = B(a) + bn +) (a - 1)2n + 1 là B(a) - 1 2. Bài tập: 2. Các bài toán Bài 1: chứng minh rằng a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13 c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải a) 251 - 1 = (23)17 - 1 M 23 - 1 = 7 b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 M 4 + 9 = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 1 M 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 M 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 M 18 d) 3663 - 1 M 36 - 1 = 35 M 7 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2 e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 M 24 - 1 = 15 Bài 2: chứng minh rằng a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ; b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z n c) 10 +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) M 6 vì (n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
2. Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 ( ) Từ (*) và ( ) suy ra đpcm 4 2 4 2 2 2 2 b) Đặt A = n -10n + 9 = (n -n ) - (9n - 9) = (n - 1)(n - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A M 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 n n c) 10 +18n -28 = ( 10 - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 M 27 (1) n + 10 - 9n - 1 = [(9{ 9 + 1) - 9n - 1] = 9{ 9 - 9n = 9( 1{ 1 - n) M 27 (2) n n n vì 9 M 9 và 1{ 1 - n M 3 do 1{ 1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 n n Từ (1) và (2) suy ra đpcm 3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a) a3 - a chia hết cho 3 b) a7 - a chia hết cho 7 Giải: a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3 b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k Z) thì a chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7 Vậy: a7 - a chia hết cho 7 Bài 4: CMR: A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + + 100 Giải Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B Bài tập về nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho 5 b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 e) 20092010 không chia hết cho 2010
3. f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia Bài 1: Tìm số dư khi chia 2100 a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1 Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7 Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7 b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1 Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 c)Sử dụng công thức Niutơn: 100 50 50 49 50.49 2 2 = (5 - 1) = (5 - 5. 5 + + . 5 - 50 . 5 ) + 1 2 Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49 . 52 - 50.5 2 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu? 1995 Giải: Đặt 1995 = a = a1 + a2 + + an. 3 3 3 3 3 3 3 3 Gọi S a1 a 2 + a3 + + a n = a1 a 2 + a3 + + a n + a - a 3 3 3 = (a1 - a1) + (a2 - a2) + + (an - an) + a Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6. Vì 1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3 Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân giải: Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8 Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376 Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376 Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7 1930 a) 2222 + 5555 b)31993 c) 19921993 + 19941995 d)32 Giải a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55 = BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0 b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1 Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó: 1993 6k + 1 3 2k 2k 3 = 3 = 3.(3 ) = 3(BS 7 – 1) = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
4. c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó: 19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1 Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên 19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3 1930 d) 32 = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 Bài tập về nhà Tìm số d ư khi: a) 21994 cho 7 b) 31998 + 51998 cho 13 c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + + 99 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n Giải: Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n + 3)(n2 - n) + 2 Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có: n 1 - 1 2 - 2 n - 1 0 - 2 1 - 3 n(n - 1) 0 2 2 6 loại loại Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n thì n  1;2 Bài 2: a) Tìm n N để n5+1 chia hết cho n3+1 b) Giải bài toán trên nếu n Z Giải Ta có: n5 +1M n3+1 n2(n3+1) - (n2-1)M n3+1 (n + 1)(n - 1) M n3 + 1 (n + 1)(n - 1) M (n + 1)(n2 - n + 1) n - 1 M n2 - n + 1 (Vì n + 1 0) a) Nếu n = 1 thì 0 M 1 Nếu n > 1 thì n - 1< n(n - 1)+1< n2- n+1nên không thể xẩy ra n-1M n2 - n + 1 Vậy giá trị của n tìm được là n = 1 b) n - 1 M n2 - n + 1 n(n - 1) M n2 - n + 1 (n2 - n + 1 ) - 1 M n2 - n + 1 1 M n2 - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra: M 2 n 0 + n - n + 1 = 1 n(n - 1) = 0 (Tm đề bài) n 1 + n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm) Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: a) n2 + 2n - 4 M 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 M n4 - 1 d) n3 - n2 + 2n + 7 M n2 + 1 Giải a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11) n2 + 2n - 4 M 11 (n2 - 2n - 15) + 11 M 11 (n - 3)(n + 5) + 11 M 11 n 3M1 1 n = B(11) + 3 (n - 3)(n + 5) M 11 n + 5 M1 1 n = B(11) - 5 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5
5. 2n 1 = - 5 n = - 2 2n 1 = -1 n = 0 Để 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1 thì 5 M 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 2n 1 = 1 n = 1 2n 1 = 5 n = 3 Vậy: n  2; 0; 1; 3  thì 2n3 + n2 + 7n + 1 M 2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 M n4 - 1 Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B n - 1 M n + 1 (n + 1) - 2 M n + 1 n 1 = - 2 n = -3 n 1 = - 1 n = - 2 2 M n + 1 n 1 = 1 n = 0 $ n 1 = 2 n = 1 (khong Tm) Vậy: n  3; 2; 0  thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 M n4 - 1 d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8 Để n3 - n2 + 2n +7M n2+1 thì n+8 M n2 +1 (n + 8)(n - 8) M n2 + 1 65 M n2+1 Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8 Thử lại có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m) Vậy: n3- n2+2n +7M n2 +1 khi n = 0, n = 8 Bài tập về nhà: Tìm số nguyên n để: a) n3 – 2 chia hết cho n – 2 b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 c)5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Bài 1: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 Giải n 3k k Nếu n = 3k ( k N) thì 2 – 1 = 2 – 1 = 8 - 1 chia hết cho 7 Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1 Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3 V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – 1 chia hết cho 8 b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho 9 Giải a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2 Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N) b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n A = 25. 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n) Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25 Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1, còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6 suy ra 2((9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25 c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n–2n=53k–23k chia hết cho 53–23=117 nên chia hết cho 9 Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k
6. = BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3 Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9
7. CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. Số chính phương: A. Một số kiến thức: Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác Ví dụ: 4 = 22; 9 = 32 A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2 + Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8 + Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24, n + Số 1{1 1 = a thì 9{9 9 = 9a 9a + 1 = 9{9 9 + 1 = 10 n n n B. Một số bài toán: 1. Bài 1: CMR: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Giải: Gọi A = n2 (n N) a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 nên chia hết cho 3; n = 3k 1 (k N) A=9k2 6k +1, chia cho 3 dư 1; Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 M 4; n = 2k +1 (k N) thì A=4k2+4k+1 chia cho 4 dư 1 Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1 Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4 + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1) 2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3 M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số ch/phương e) R = 13 + 23 + + 1003 k(k + 1) k(k - 1) Gọi Ak = 1 + 2 + + k = , Ak – 1 = 1 + 2 + + k = 2 2 2 2 3 Ta có: Ak – Ak -1 = k khi đó: 3 2 3 2 2 3 2 2 1 = A1 2 = A2 – A1 n = An = An - 1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có: 2 2 3 3 3 2 n(n + 1) 100(100 1) 2 1 + 2 + +n = An = 50.101 là số chính phương 2 2 3. Bài 3: CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương. a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1 n 1 n+1 10 1 n 1 A = (1112 3 1 )(10 + 5) + 1 .(10 5) 1 n 10 1 2 2 2 n+1 a - 1 a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2 Đặt a = 10 thì A = (a + 5) + 1 = 9 9 9 3
8. b) B = 114112 4.3 1 514552 43 5 6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5) n n - 1 n n B = 114112 4.3 1 514552 43 5 + 1 = 114112 4.3 1 . 10 + 514552 43 5 + 1 = 114112 4.3 1 . 10 + 5 114112 4.3 1 + 1 n n n n n n n Đặt 1112 3 1 = a thì 10 = 9a + 1 nên n 2 2 2 B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1) = 3{3 34 n - 1 c) C =1112 3 1 .+ 41442 43.4 + 1 2n n n Đặt a = 1112 3 1 Thì C = 1112 3 11112 3 1 + 4. 1112 3 1 + 1 = a. 10 + a + 4 a + 1 n n n n = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 n d) D = 9192 3 9 80102 3 0 1 . Đặt 9192 3 9 = a 10 = a + 1 n n n n + 2 n + 1 n n D = 9192 3 9 . 10 + 8. 10 + 1 = a . 100 . 10 + 80. 10 + 1 n 2 2 2 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a + 180a + 81 = (10a + 9) = (9192 3 9 ) n + 1 n + 2 e) E = 1112 3 1 2122 3 2 5 = 1112 3 1 2122 3 2 00 + 25 = 1112 3 1 .10 + 2. 1112 3 1 00 + 25 n n + 1 n n + 1 n n 2 2 2 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a + 300a + 25 = (30a + 5) = (3132 3 3 5) n f) F = 4142 3 4 = 4.1112 3 1 là số chính phương thì 1112 3 1 là số chính phương 100 100 100 Số 1112 3 1 là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1 100 Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 1 1112 3 1 có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3 100 vậy 1112 3 1 không là số chính phương nên F = 4142 3 4 không là số chính phương 100 100 Bài 4: a) Cho các số A = 1114 2 4.131 ; B = 1114 2 4131 ; C = 6146 2 4636 2m m + 1 m CMR: A + B + C + 8 là số chính phương . 102m 1 10m 1 1 10m 1 Ta có: A ; B = ; C = 6. Nên: 9 9 9 102m 1 10m 1 1 10m 1 102m 1 10m 1 1 6(10m 1) 72 A + B + C + 8 = + + 6. + 8 = 9 9 9 9 m 2 m 2 102m 1 10.10m 1 6.10m 6 72 10 16.10 64 10m 8 = = 9 9 3 b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương
9. a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2 Giải a) Với n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương Với n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 là số chính phương Với n > 2 thì n2 – n + 2 không là số chính phương Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta có n5 – n chia hết cho 5 Vì n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Với n = 5k thì n chia hết cho 5 Với n = 5k 1 thì n2 – 1 chia hết cho 5 Với n = 5k 2 thì n2 + 1 chia hết cho 5 Nên n5 – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n5 – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên n5 – n + 2 không là số chính phương Vậy : Không có giá trị nào của n thoã mãn bài toán Bài 6 : a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Giải Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3 Với a = 4k + 1 thì a = 4k2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Với a = 4k + 3 thì a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên A = (10k 3)2 =100k2 60k + 9 = 10.(10k2 6) + 9 Số chục của A là 10k2 6 là số chẵn (đpcm) Bài 7: Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị Giải Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận cùng của b2. Theo đề bài , chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b2 phải lẻ Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ, chúng đều tận cùng bằng 6. Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị là 6 Bài tập về nhà: Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương a) A = 2122 3 2 4 b) B = 11115556 c) C = 9192 3.9 0102 3 0 25 50 n n 2 2 2 d) D = 41442 43.4 8{8 8 9 e) M =1141.2 43.1 – 2122 3 2 f) N = 1 + 2 + + 56 n n - 1 2n n Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương a) n3 – n + 2 b) n4 – n + 2 Bài 3: Chứng minh rằng a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị