Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chứng minh bất đẳng thức

1. A 1. Bài toán 1 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có : v2 3 cos A cos B cosC 2 v3 M + Cách 1: Dùng tam thức bậc hai. v3 + Cách 2: Dùng vectơ. v2 v1 Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC.  Qua điểm M dựng các vectơ : v1 , v2 , v3 B v1 C có độ dài bằng  1 và vuông góc với các cạnh : BC , AC , AB. Ta có : (v1;v2 ) C ; (v2;v3 ) A ; (v3;v1) B ;     2  2  2       2 Ta thấy : (v1 + v2 + v3 ) 0 v1 v2 v3 2v1v2 2v2 v3 2v3.v1 0       3 3 2[cos(v ;v ) cos(v ;v ) cos(v ;v )] 0 cos A cos B cosC 1 2 2 3 3 1 2 + Cách 3: Dùng vectơ.   Chọn các vectơ : v , v , v là vectơ đơn vị của BC , CA , AB.   1 2  3   Ta có : (v1;v2 ) C ; (v2;v3 ) A ; (v3;v1) B     2  2  2       2 Ta thấy :(v1 + v2 + v3 ) 0 v1 v2 v3 2v1v2 2v2 v3 2v3.v1 0       3 3 2[cos(v ;v ) cos(v ;v ) cos(v ;v )] 0 cos A cos B cosC 1 2 2 3 3 1 2 2. Bài toán 2 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có : A B C 3 sin sin sin (*) 2 2 2 2 B C A C A B 3 Bg : (*) cos cos cos 2 2 2 2 B C A C A B Đặt : ; ; khi đó ta có : 2 2 2 3 (*) cos cos  cos với ,  ,  là ba góc trong tam giác. 2 3. Bài toán 3 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có : 3 cos2A cos2B cos2C    2 Bg : Chọn: v , v , v là vectơ đơn vị của OA , OB , OC. A 1  2 3     Ta có : (v ;v ) 2C ; (v ;v ) 2A ; (v ;v ) 2B   1 2 2 3 3 1 2 (v1 v2 v3 ) 0 v1  2  2  2       O v1 v2 v3 2v1v2 2v2 v3 2v3.v1 0       v2 v3 3 2[cos(v ;v ) cos(v ;v ) cos(v ;v )] 0 1 2 2 3 3 1 B C 3 cos2A cos2B cos2C 2
2. 4. Bài toán 4 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có: x2 y2 z2 yz.cos A zx.cos B xy.cosC x, y, z R A 2 Bg : Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC.    v2 Qua điểm M dựng các vectơ : v1 , v2 , v3 có độ dài bằng 1 và vuông góc với các cạnh : BC , AC , AB.       v3 M (v1;v2 ) C ; (v2;v3 ) A ; (v3;v1) B ; v3    v2 (xv yv zv )2 0 1 2 3 v1  2  2  2       2 2 2 x v y v z v 2xy.v v 2yz.v v 2xz.v .v 0 B v1 1 2 3   1 2   2 3   3 1 C 2 2 2 x y z 2[cos(v1;v2 ) cos(v2;v3 ) cos(v3;v1)] 0 x2 y2 z2 yz.cos A zx.cos B xy.cosC x, y, z R 2 5. Bài toán 5 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có: x2 cos A x.(cos B cosC ) 1 x, y, z R 2 Bg : Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC. Qua điểm M dựng các vectơ : v1, v2 , v3 có độ dài bằng 1 và vuông góc với các cạnh : BC , AC , AB. (v ;v ) C ; (v ;v ) A ; (v ;v ) B ; 1 2    2 3 3 1 2 (xv1 v2 v3 ) 0  2  2  2       x2 v v v 2x.v v 2.v v 2x.v .v 0 1 2  3  1 2  2 3  3 1 2 x 2[x.cos(v1;v2 ) cos(v2;v3 ) x.cos(v3;v1)] 0 x2 cos A x(cos B cosC) 1 x, y, z R 2 6. Bài toán 6 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có: A x2 y2 z2 yz.cos2A zx.cos2B xy.cos2C 2    v1 Bg : Chọn: v , v , v là vectơ đơn vị của : OA , OB , OC. 1  2 3     O Ta có : (v ;v ) 2C ; (v ;v ) 2A ; (v ;v ) 2B v2  1 2  2 3 3 1 v3 2 C (x.v1 y.v2 z.v3 ) 0 B  2  2  2       x2 v x2 v z2 v 2xy.v v 2yz.v v 2zx.v .v 0 1 2 3   1 2 2 3 3 1   2 2 2 x y z 2[xy.cos(v1;v2 ) yz.cos(v2;v3 ) zx.cos(v3;v1)] 0 3 cos2A cos2B cos2C 2