Chuyên đề Hình học Lớp 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

1. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. 2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. A A' B C B' C' 3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng. Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. Định lí 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng MH.MA = MB.MC. C. BÀI TẬP. Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB và HK vuông góc với AC. a) Chứng minh AH2 AI.AB b) Chứng minh AIK ACB EB 2 BI c) Đường phân giác của AHB cắt AB tại E. Biết . Tính tỉ số AB 5 AI Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Kẻ BH vuông góc với CM, nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH ( N thuộc BC). Chứng minh rằng: a) DHC và NHB đồng dạng b) MBH và BCH đồng dạng c) NB MB Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Có AD = 6cm, AB = 8cm và hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với DB, D cắt tia BC tại E. a) Chứng minh rằng BDE và DCE đồng dạng b) Kẻ CH vuông góc với DE tại H.Chứng minh DC2 CH.DB c) Gọi K là giao điểmcủa OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC và S tính tỉ số EHC SEDB 1
2. d) Chứng minh OE, DC, BH đồng quy. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB AD; AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao cho DM = 2CM. Biết AMB 900 a) Chứng minh DAM và CMB đồng dạng. Tính độ dài MC? b) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc với AB K MB c) Tia EK cắt AM tại H, Tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là phân giác của BMH Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) , vẽ đường cao AH (H thuộc BC) a) Chứng minh ABH và CBA đồng dạng. b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh CE.CA CD.CB c) Chứng minh AE=AB d) Gọi M là trung điểm của BE, Chứng minh AH.MB AB.HM AM.BH Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB//CD), có AB = m, CD = n nm . Các điểm P, Q lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ//AB//CD và SSABQP PQCD . Chứng minh mn22 rằng PQ2 2 Bài 8. Cho tam giác ABC cân đỉnh Avà H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng BCI và AOHđồng dạng Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Chứng minh rằng AED và ABC đồng dạng b) Cho biết SABC 2S ADHE . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân tại A Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, BC. S AD.AE a) Chứng minh rằng: ADE SABC AB.AC 2
3. b) Trong ba tam giác ADE, BDF, CEF tồn tại một tam giác có diện tích không 1 vượt quá diện tích tam giác ABC. Khi nào cả ba tam giác đó cùng có diện tích 4 1 bằng diện tích tam giác ABC. 4 Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC), Kẻ đường cao AH. AB22 AC a) Chứng minh rằng: BH CH b) Kẻ AD là tia phân giác của BAH D BH . Chứng minh tam giác ACD cân và DH.DC BD.HC 2 2 c) Tính độ dài AH trong trường hợp SABH 15,36 cm và SACH 8,64 cm d) Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh rằng: CE//AD. 3