Công phá Toán Lớp 12 - Ngọc Huyền

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 12 - Ngọc Huyền

1. MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 10 I. Tính đơn điệu của hàm số 10 II. Cực trị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 49 III. Đường tiệm cận 152 IV. Các dạng đồ thị hàm số thường gặp 181 V. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số 205 VI. Tổng ôn tập chủ đề 1 222 CHỦ ĐỀ 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 240 I. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa 240 II. Logarit – Hàm số logarit 243 III. Hàm số mũ 244 IV. Ứng dụng của hàm số mũ, hàm số logarit trong thực tế 246 V. Phương trình mũ và phương trình logarit 272 VI. Các bài toán biến đổi logarit 292 VII. Tổng ôn tập chủ đề 2 323 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 333 I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản 333 II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm 334 III. Các dạng toán về nguyên hàm 338 IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm 344 V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân 358 VI. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân 360 VII. Ứng dụng hình học của tích phân 363 VIII. Một số bài toán tích phân gốc thường gặp 369 IX. Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân trong thực tế 396 X. Tổng ôn tập chủ đề 3 404 1
2. CHỦ ĐỀ 4. SỐ PHỨC 416 I. Số phức 416 II. Các phép toán với số phức 417 III. Tổng ôn tập chủ đề 4 452 CHỦ ĐỀ 5. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC 457 I. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện 457 II. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều 460 III. Thể tích khối đa diện 461 IV. Tổng ôn tập chủ đề 5 501 CHỦ ĐỀ 6. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN 507 I. Mặt cầu, khối cầu 507 II. Mặt nón, hình nón, khối nón 541 III. Mặt trụ, hình trụ, khối nón 547 IV. Tổng ôn tập chủ đề 6 564 CHỦ ĐỀ 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 571 I. Hệ tọa độ trong không gian 571 II. Phương trình mặt phẳng 573 III. Phương trình đường thẳng 581 IV. Mặt cầu 626 V. Tổng ôn tập chủ đề 7 641 LOVEBOOK.VN|2
3. LOVEBOOK.VN|4
4. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Chủ đề I Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm I. Tính đơn điệu của hàm số Vấn đề cần nắm: A. Lý thuyết I. Tính đơn điệu 1. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K (với K là một khoảng (đoạn), nửa của hàm số khoảng) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. II. Cực trị hàm số III. GTLN, GTNN 2. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm của hàm số và Định lý ứng dụng Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K. IV. Đường tiệm cận V. Các dạng đồ thị a. Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K. VI. Tương giao b. Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x nghịch biến trên K. Tóm lại, trên K: Chú ý f ' x 0 f x đồng biến. Nếu f ' x 0,x K thì f ' x 0 f x nghịch biến. f x không đổi trên K. Định lý mở rộng 1. Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng K. a. Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên K. b. Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số nghịch biến trên K. c. Nếu f ' x 0 với mọi x K thì hàm số không đổi trên K. 2. Giả sử hàm số f x liên tục trên nửa khoảng a;b và có đạo hàm trên khoảng a;b a. Nếu f ' x 0 (hoặc f ' x 0 ) với mọi x a;b thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng a;b . b. Nếu f ' x 0 với mọi x a;b thì hàm số không đổi trên nửa khoảng a;b . - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải (hình 1.1). Ví dụ: Hàm số có đồ thị ở hình 1.1 nghịch biến trên khoảng ;a , không đổi trên khoảng a;b và đồng biến trên khoảng b; . LOVEBOOK.VN|6
5. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Ta có thể nói rằng hàm số có đồ thị ở hình 1.1 nghịch biến trên ;a bởi STUDY TIP f x 0 với mọi x ;a và dấu bằng chỉ xảy ra tại x a (tức là hữu Với các hàm sơ cấp, để xét dấu của đạo hàm hạn nghiệm). Lí giải: trên khoảng xn ; xn 1 vừa tìm được hay Ở phần trên về cách xác định tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm phải có không, ta chỉ cần xét điều kiện dấu bằng xảy ra tại hữu hạn nghiệm bởi: Nếu là vô hạn nghiệm, hay là dấu của đạo hàm tại xảy ra trên toàn khoảng đó thì hàm số không còn tính đơn điệu nữa, mà là hàm một điểm trên khoảng không đổi trên khoảng đó. Ví dụ như ở hàm số có đồ thị như hình 1.1 thì trên đó. a;b hàm số là hàm hằng. 3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số a. Tìm tập xác định. b. Tính đạo hàm f ' x . Tìm các điểm xi i 1,2,3, n làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. c. Sắp xếp các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần và xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xi ; xi 1 . d. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Dạng 1 Bài toán không chứa tham số Ví dụ 1: Hàm số y x x2 nghịch biến trên khoảng: STUDY TIP 1 1 A. ;1 B. C. 0; D. ;0 1; Ở đây ta chọn STEP 2 2 b a STEP với Đáp án A. 20 a;b là khoảng cần xét Phân tích: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số thì ta đi tìm nghiệm của phương trình y ' 0 hoặc giá trị làm cho phương trình y ' 0 không xác định, là 0.1 bởi khoảng khá từ đó tìm được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. nhỏ, và ta cần xét tính đồng biến, nghịch biến Lời giải 1 Cách 1: Điều kiện: x 0;1 trên 2 khoảng là 0;   2 2x 1 1 1 Ta có y ' x x2 ' ; y ' 0 khi x 0;1 . và ;1 . 2 2 2 2 x x 2x 1 1 Ta có y ' 0 0 x 1 do đó hàm số nghịch biến trên 2 x x2 2 1 ;1 . 2 Hình 1.2 là đồ thị hàm số y x x2 , ta thấy bài làm đã xác định đúng. Cách 2: Nhận thấy điều kiện là x 0;1 , do vậy loại luôn C và D. 7
6. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Sử dụng máy tính Ở B và A, các đầu mút của các khoảng cách nhau 0,5, do vậy ta có thể chọn được Sử dụng lệnh TABLE STEP khi sử dụng TABLE trong máy tính. để liệt kê các giá trị của Giải thích: hàm số khi cho x chạy Lệnh TABLE trong máy tính dùng để tính giá trị của hàm số tại một vài điểm. trên khoảng cần xét với bước nhảy nhất định. Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số f x và g x . Bởi vậy, khi sử dụng TABLE trong việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến trong một khoảng là khá dễ dàng, bởi ta chỉ cần xét xem giá trị của hàm số tăng hay giảm khi x chạy trên khoảng đó thôi. Thao tác: 1. Ấn , nhập hàm số cần tính giá trị. 2. START? Nhập x bắt đầu từ đâu. 3. END? Nhập x kết thúc ở đâu. 4. STEP? Bước nhảy giữa các giá trị, tính từ điểm đầu mút. Áp dụng vào bài toán này ta được: Ấn , và nhập f x X X 2 ấn. START? Nhập. END? Nhập. STEP? Nhập. Sau khi nhập máy hiện như hình bên: 1 Nhận thấy từ khi x chạy từ 0 đến 0,5 thì giá trị của hàm số tăng, tức hàm số 2 1 1 đồng biến trên 0; . Còn với x chạy từ đến 1 thì giá trị của hàm số giảm, tức 2 2 1 hàm số nghịch biến trên ;1 . Chọn A. 2 Xét bài toán tổng quát sau: Xét sự biến thiên của hàm số y ax4 bx2 c, a 0 . Lời giải TXĐ: D ¡ . Ta có y ' 4ax3 2bx x 0 2 y ' 0 2x 2ax b 0 2 2ax b 0 b +) TH1: 0 a LOVEBOOK.VN|8
7. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Ghi nhớ b x b 2 2a Từ bài toán tổng quát * Với 0 và a 0 (hay a 0;b 0 ) thì 2ax b 0 a b bên, ta đưa ra các kết x luận sau về sự biến thiên 2a của hàm số Lúc này ta có bảng xét dấu: 4 2 y ax bx c, a 0 b b x b 0 * Trường hợp 0 2a 2a a f ' x 0 + 0 0 + - Với a 0 thì hàm số 4 2 đồng biến trên Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax bx c, a 0 nghịch biến trên b b b b ;0 và ; và 0; ; hàm số đồng biến trên ;0 và 2a 2a 2a 2a b ; ; nghịch b 2a ; . 2a b biến trên ; b 2a x b 2a * Với và (hay ) thì 2 b 0 a 0 a 0;b 0 2ax b 0 và 0; . a b 2a x 2a - Với a 0 thì hàm số Lúc này ta có bảng xét dấu: nghịch biến trên b b b x 0 ;0 và 2a 2a 2a f ' x + 0 0 + 0 b ; ; đồng 4 2 2a Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax bx c, a 0 nghịch biến trên b b b b ;0 và ; ; hàm số đồng biến trên ; và biến trên ; 2a 2a 2a 2a b b và 0; 0; . 2a 2a b * Trường hợp 0 +) TH2: a b 0 thì phương trình 2ax2 b 0 : - Với a 0 thì hàm số a nghịch biến trên ;0 b +) vô nghiệm khi 0 và đồng biến trên a 0; . b +) có duy nhất một nghiệm x 0 khi 0 . - Với a 0 thì hàm số a đồng biến trên ;0 +) Với a 0 thì ta có bảng xét dấu: và nghịch biến trên 0; . 9
8. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB x 0 f ' x 0 + Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax4 bx2 c, a 0 nghịch biến trên ;0 ; hàm số đồng biến trên 0; . +) Với a 0 thì ta có bảng xét dấu: x 0 f ' x + 0 Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax4 bx2 c, a 0 nghịch biến trên 0; ; hàm số đồng biến trên ;0 . STUDY TIP 1 Ví dụ 2: Cho hàm số y x4 2x2 1 . Chọn khẳng định đúng Với hàm số bậc bốn 4 trùng phương có dạng A. Hàm số đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; y ax4 bx2 c a 0 B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0;2 b * Nếu 0 thì: a C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; 1. Với a 0 thì đồ thị D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; hàm số có dạng chữ W. Đáp án A. 2. Với a 0 thì đồ thị Phân tích hàm số có dạng chữ M, 1 Hướng tư duy 1: Ta thấy hàm số y x4 2x2 1 có: (chỉ là mẹo nhớ đồ thị). 4 1 b b - Hệ số a 0; 8 0 nên áp dụng kết quả của bài toán tổng quát phía * Nếu 0 thì: 4 a a 1 trên thì ta có hàm số y x4 2x2 1 đồng biến trên 2;0 và 2; ; 1. Với a 0 đồ thị hàm 4 số có dạng Parabol quay nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . bề lõm lên trên. 3 x 0 Hướng tư duy 2: Xét phương trình y ' 0 x 4x 0 . Như đã 2. Với a 0 thì đồ thị x 2 hàm số sẽ có dạng 1 giới thiệu về cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a 0 Parabol quay bề lõm 4 xuống dưới. nên ở đây ta có thể xác định nhanh hàm số đồng biến trên 2;0 và 2; , hàm số nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . Hướng tư duy 3: Sử dụng lệnh TABLE. Sử dụng lệnh TABLE với START là 5 và END 5, STEP 1 ta có thể xác định được: giá trị của hàm số tăng khi x chạy từ 2 đến 0 và từ 2 đến 5, giá trị của hàm số giảm khi x chạy từ 5 đến 2 và từ 0 đến 2. LOVEBOOK.VN|10
9. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Do đó ta có thể xác định được hàm số đồng biến trên 2;0 và 2; . Hàm số nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . STUDY TIP 1. Với hàm số dạng ax b y ; cx d x 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? ad bc 0;c 0 ; thì x 3 ad bc A. Hàm số đồng biến trên ¡ . y ' , đặt cx d 2 B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 3; .  ad bc thì: C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 3 và 3; . a. Với  0 thì hàm số D. Hàm số nghịch biến trên ¡ . đồng biến trên từng khoảng xác định. Đáp án B. b. Với  0 thì hàm số Tập xác định D ¡ \ 3 nghịch biến trên từng 3.1 3 .1 6 khoảng xác định. Ta có y ' 0 với mọi x D . Vậy hàm số đồng biến x 3 2 x 3 2 trên từng khoảng xác định. Tức là hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 3; . STUDY TIP Lưu ý: Ta nói: “Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 3; ”. Mà Các mệnh đề nói hàm số đồng biến hay nghịch không thể nói “Hàm số đồng biến trên ; 3  3; ” hoặc “Hàm số đồng biến trên một tập số biến trên tập xác định.” không liên tục, bị gián đoạn là mệnh đề sai. Ví dụ 4: Cho hàm số y x2 3 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;0 . STUDY TIP B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; . Với hàm số bậc ba có C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;2 . dạng y ax3 bx2 cx d D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;3 . a 0 . Nếu phương Đáp án C. trình y ' 0 có hai Lời giải nghiệm phân biệt: 2 x 0 Nếu a 0 thì đồ thị Ta có y ' 3x 6x 0 x 2 hàm số có dạng chữ N, tức hàm số có hai Nhận thấy đây là hàm số bậc ba, có hệ số a 1 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đồng biến một 0;2 . khoảng nghịch biến. Nhận xét: Việc nhớ dạng đồ thị giúp ta làm nhanh các bài toán đơn điệu mà không Còn a 0 thì ngược lại. cần vẽ bảng biến thiên. 11
10. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví dụ 5: Trong các hàm số sau hàm nào đồng biến trên ¡ ? x 1 A. y x4 x2 1 B. y x 3 C. y x2 1 D. y x3 x Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Đáp án D. Lời giải Ta có thể loại phương án A, B, C do: Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến trên ¡ . Tương tự hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol nên cũng luôn có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến trên ¡ . Còn phương án B: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất gián đoạn tại x 3 , do đó hàm số này không thể luôn đồng biến trên ¡ . Mà chỉ luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định. Qua bài toán trên ta rút ra các kết quả sau: Kết quả 1: Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có một điểm cực trị là x 0 , do vậy hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến trên ¡ . Kết quả 2: Hàm bậc hai luôn có một điểm cực đại hoặc một điểm cực tiểu, hoặc nhớ nôm na là đồ thị hàm bậc hai là một parabol, do vậy hàm bậc hai không thể đơn điệu trên ¡ . Kết quả 3: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể đơn điệu trên ¡ do hàm số bị gián đoạn tại giá trị làm cho mẫu số không xác định, do đó ta chỉ có thể nói hàm số này đơn điệu trên từng khoảng xác định chứ không nói đơn điệu trên tập xác định hoặc đơn điệu trên ¡ . Kết quả 4: Để hàm số bậc ba có dạng y ax3 bx2 cx d a 0 đơn điệu trên ¡ thì phương trình y ' 0 3ax2 2bx c 0 (có ' b2 3ac ) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất, tức ' 0 b2 3ac 0 (trong công thức này a, b, c lần lượt là các hệ số của hàm bậc ba ban đầu). Lúc này dấu của hệ số a quyết định tính đơn điệu của hàm số. a. Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến trên ¡ . b. Nếu a 0 thì hàm số đồng biến trên ¡ . LOVEBOOK.VN|12
11. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 2x 1 Ví dụ 6: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số y ? x 1 A. Hàm số đồng biến trên 1; B. Hàm số đồng biến trên ¡ C. Hàm số không có cực trị D. Hàm số đồng biến trên ; 1 Đáp án B. Lời giải Từ kết quả 3 ở trên ta chọn luôn B. Ví dụ 7: Hỏi hàm số y x2 4x 3 đồng biến trên khoảng nào? A. 2; B. C. ;3 D. ;1 3; Đáp án D. Lời giải Tập xác định: D ;13; 2x 4 x 2 Ta có y ' 2 x2 4x 3 x2 4x 3 y ' 0 x 2 , kết hợp với điều kiện xác định thì hàm số đồng biến trên 3; Ví dụ 8: Cho hàm số y x3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 0; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; . STUDY TIP D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 và đồng biến trên khoảng Với hàm số bậc ba có 0; . dạng y ax3 bx2 cx d Đáp án C. a 0 . Nếu phương Lời giải trình y ' 0 vô nghiệm Cách 1: Lời giải thông thường thì: Ta có y ' 3x2 3 3 x2 1 0,x ¡ . Suy ra hàm số y x3 3x 2 luôn * Với a 0 hàm số đồng biến trên ; . đồng biến trên ¡ . * Với a 0 hàm số Cách 2: nghịch biến trên ¡ . 13
12. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ta thấy phương trình y ' 0 vô nghiệm và a 1 0 nên hàm số đã cho luôn đồng biến trên ; . Ví dụ 9: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? x 1 x 1 A. y B. y x C.3 x D.y y x3 3x x 3 x 2 Đáp án B. Lời giải ax b d - Hàm số dạng y , x luôn đơn điệu (đồng biến, hoặc nghịch biến) cx d c d d trên mỗi khoảng ; và ; . c c Ta loại ngay hai đáp án A và C. - Với phương án B: Ta có y ' 3x2 1 0,x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . LOVEBOOK.VN|14
13. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Bài tập rèn luyện kỹ năng x C. ¡ D. 1;3 Câu 1: Cho hàm số y . Trong các khẳng ln x Câu 6: Cho hàm số y x3 6x2 10 . Chọn định dưới đây, khẳng định nào đúng? khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Hàm số luôn đồng biến trên 0; A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng B. Hàm số luôn nghịch biến trên 0;e và đồng ;0 biến trên e; B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng C. Hàm số nghịch biến trên 0;1 và đồng biến ; 4 trên 1; C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; D. Hàm số nghịch biến trên 0;1 và 1;e ; D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng đồng biến trên e; 4;0 Câu 2: Cho hàm số y x ln x 1 . Khẳng định 4 2 Câu 7: Cho hàm số y x 2x 1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? nào sau đây là đúng? A. Hàm số có tập xác định là ¡ \ 1 A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng B. Hàm số đồng biến trên 1; ; 1 và khoảng 0;1 C. Hàm số đồng biến trên ;0 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; D. Hàm số nghịch biến trên 1;0 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng Câu 3: Hỏi hàm số y x3 3x2 4 nghịch biến ; 1 và khoảng 0;1 trên khoảng nào? D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. 2;0 B. ; 2 1;0 C. 0; D. ¡ Câu 8: Hàm số f x có đạo hàm x 2 f ' x x2 x 2 . Phát biểu nào sau đây là đúng? Câu 4: Cho hàm số y . Khẳng định nào x 1 A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; ; 2 và 0; B. Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 ;1 và 1; và 0; C. Hàm số nghịch biến trên ¡ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 D. Hàm số nghịch biến với mọi x 1 Câu 9: Hàm số y 2x4 1 đồng biến trên khoảng Câu 5: Hàm số y x3 3x2 9x đồng biến trên nào? khoảng nào sau đây? A. 2;3 B. 2; 1 15
14. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 1 Câu 16: Hỏi hàm số y x2 4x 3 nghịch biến A. ; B. 0; 2 trên khoảng nào? 1 A. 2; B. 3; C. ; D. ;0 2 C. ;1 D. ;2 Câu 10: Biết rằng hàm số Câu 17: Xét tính đơn điệu của hàm số y ax4 bx2 c a 0 đồng biến trên 0; , y x3 3x 2 . khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. a 0;b 0 B. ab 0 1;1 , đồng biến trên các khoảng ; 1 và C. ab 0 D. a 0;b 0 1; 1 Câu 11: Hàm số y x4 2x2 3 nghịch biến B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;1 , 4 trong khoảng nào sau đây: nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; A. ;0 B. 2;0 C. Hàm số đã cho đồng biến trên ; C. 2; D. 0; D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;3 , đồng biến trên các khoảng ;0 và Câu 12: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó: 3; 3 x 1 3 A. y x x 1 B. y Câu 18: Hàm số y ln x 2 đồng biến x 1 x 2 C. y x3 2x 3 D. y x4 2 x2 3 trên khoảng nào? A. ;1 B. 1; Câu 13: Hỏi hàm số y 2x x2 đồng biến trên khoảng nào?? 1 1 C. ;1 D. ; A. ;2 B. 0;1 2 2 2 4 C. 1;2 D. 1; Câu 19: Hàm số y 2x x nghịch biến trên những khoảng nào? Tìm đáp án đúng. Câu 14: Cho hàm số y sin x cos x 3x . Tìm A. 1;0 ; 1; B. ; 1 ; 0;1 khẳng định đúng trong các khẳng định sau: C. 1;0 D. 1;1 A. Hàm số nghịch biến trên ;0 2x 3 B. Hàm số nghịch biến trên 1;2 Câu 20: Hàm số y nghịch biến trên x2 1 C. Hàm số là hàm lẻ khoảng nào trong các khoảng dưới đây? D. Hàm số đồng biến trên ; 3 3 A. ; 1 và B. 1 ; ; Câu 15: Hàm số y x4 2x2 7 nghịch biến trên 2 2 khoảng nào? 3 C. 1; D. ; 1 A. 0;1 B. 0; 2 C. 1;0 D. ;0 LOVEBOOK.VN|16
15. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Câu 21: Cho hàm số y x3 3x2 1 . Mệnh đề Câu 25: Cho hàm số y x3 3x2 . Mệnh đề nào nào sau đây là mệnh đề đúng? dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 Câu 22: Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có Câu 26: Cho hàm số y f x có đạo hàm đồ thị hàm số y f ' x là đường cong trong hình f ' x x2 1, x ¡ . Mệnh đề nào dưới đây bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; . Câu 27: Cho hàm số y x4 2x2 . Mệnh đề nào A. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;2 dưới đây đúng? B. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 0;2 B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;1 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 1;1 2 Câu 23: Hàm số y nghịch biến trên x2 1 khoảng nào dưới đây? A. 0; B. 1;1 C. ; D. ;0 Câu 24: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? x 1 A. y B. y x3 x x 3 x 1 C. y D. y x3 3x x 2 17
16. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng 2 Bài toán chứa tham số Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định, hoặc trên từng khoảng xác định. Kiến thức cơ bản cần nắm Cho hàm số y f x,m , với m là tham số, xác định trên một khoảng K. a. Hàm số đồng biến trên K y ' 0,x K và y ' 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm. b. Hàm số nghịch biến trên K y ' 0,x K và y ' 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm. Chú ý: Để xét dấu của y ' ta thường sử dụng phương pháp hàm số hay định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau: Cho tam thức bậc hai g x ax2 bx c, a 0 a. Nếu 0 thì g x luôn cùng dấu với a. b b. Nếu 0 thì g x luôn cùng dấu với hệ số a (trừ x ) 2a c. Nếu 0 thì phương trình g x 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, khi đó dấu của g x trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a. Các kiến thức cần sử dụng về tam thức bậc hai khi giải bài toán dạng này. 2 1. So sánh nghiệm x1; x2 của tam giác bậc hai dạng f x ax bx c , a 0 với số 0. Điều kiện để x1 x2 0 Điều kiện để 0 x1 x2 Điều kiện để x1 0 x2 0 0 là x1x2 0 là x1x2 0 là x1x2 0 x1 x2 0 x1 x2 0 2. So sánh nghiệm x1; x2 của tam giác bậc hai dạng f x ax2 bx c, a 0 với ; là hai số thực. 1. Muốn có x1 x2 ta phải có a. f 0 LOVEBOOK.VN|18
17. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 0 2. Muốn có x2 x1 ta phải có a. f 0 x x 1 2 2 0 3. Muốn có x1 x2 ta phải có a. f 0 x x 1 2 2 a. f 0 4. Muốn có x1  x2 ta phải có a. f  0 a. f 0 5. Muốn có x1 x2  ta phải có a. f  0 x1 x2  a. f 0 6. Muốn có ta phải có x  x 1 2 a. f  0 0 a. f 0 7. Muốn có x x  1 2 ta phải có a. f  0 x x 1 2  2 Ví dụ minh họa Tìm m để hàm số y f x;m đơn điệu trên D. Trong đó D có thể là ; , ; , ; , ¡ , Phương pháp chung Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (lưu ý hàm số phải xác định trên D.) STUDY TIP Bước 2: Điều kiện để y f x;m đơn điệu trên D. Chẳng hạn Trong một số bài toán đơn giản ta có thể thử Hàm số y f x;m đồng biến trên D f ' x,m 0 với mọi x D . Dấu bằng lệnh MODE 7: bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. TABLE của máy tính cầm tay thay vì làm các Hàm số y f x;m nghịch biến trên D f ' x,m 0 với mọi x D . Dấu bước trong phương pháp bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. ở bên. Cách 1: Cô lập m. Bước 3: Độc lập m khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x ta được 19
18. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB m g x ,x D m g x ,x D Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Bước 4: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g x trên D. Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên kết luận + Khi m g x ,x D m max g x D + Khi m g x ,x D m min g x D Cách 2: Sử dụng định lý về xét dấu của tam thức bậc hai đối với các hàm số bậc ba có biểu thức đạo hàm là tam thức bậc hai (áp dụng bảng phía trên). STUDY TIP * Với hàm số bậc ba dạng f x ax3 bx2 cx d, a 0 thì Khi xét hàm số bậc ba: a 0 1. Nếu y ' 0 vô + Hàm số đồng biến trên ¡ / b2 3ac 0 nghiệm hoặc có nghiệm f ' kép: hàm số đồng biến a 0 khi a 0 và nghịch + Hàm số nghịch biến trên ¡ / 2 biến khi a 0 . f ' b 3ac 0 2. Nếu y ' 0 có 2 nghiệm: hàm số có 2 khoảng đồng biến và 1 Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: 1 khoảng nghịch biến khi y x3 m 1 x2 m 1 x 1 đồng biến trên ¡ . a 0 và ngược lại. 3 A. m 1 hoặc m 2 B. 2 m 1 C. 2 m 1 D. hoặc m 1 m 2 Đáp án C. Lời giải Tập xác định: D ¡ 1 Xét hàm số y x3 m 1 x2 m 1 x 1 có 3 y ' x2 2 m 1 x m 1 LOVEBOOK.VN|20
19. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 1 Do hệ số a 0 nên để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì phương 3 trình y ' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. 2 ' 0 m 1 m 1 0 1 m 1 0 2 m 1. Ví dụ 2: Trong tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 y x3 mx2 mx m đồng biến trên ¡ , giá trị nhỏ nhất của m là: 3 A. 4B. 1C. 0D. 1 Đáp án B. Phân tích: Tiếp tục là một hàm số bậc ba, ta xét y ' 0 với mọi x ¡ , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm để tìm giá trị nhỏ nhất của m. Lời giải Tập xác định: D ¡ . Ta có y ' x2 2mx m 1 Do hệ số a 0 nên để hàm số đã cho luôn đồng biến trên ¡ thì / 0 3 y ' m2 m 0 1 m 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của m thỏa mãn là m 1 Hình 1.6 là đồ thị hàm số đã cho khi m 1 (thỏa mãn, vậy suy luận trên là đúng). Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 mx2 4m 9 x 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; ? A. 7B. 4C. 6D. 5 Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Đáp án A. Lời giải Đạo hàm y ' 3x2 2mx 4m 9 . Để hàm số nghịch biến trên ; khi y ' 0,x ¡ 3x2 2mx 4m 9 0,x ¡ ' m2 3 4m 9 0 m2 12m 27 0 9 m 3 . Do m ¢ nên 21
20. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB m  9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 4: Cho hàm số y x x2 x a . Tìm a để hàm số luôn nghịch biến trên ¡ . 1 1 1 A. a B. C. a D. a a  STUDY TIP 4 4 4 Ở đây trước tiên, để hàm Đáp án A. số luôn nghịch biến trên Lời giải ¡ thì hàm số phải xác định trên ¡ . Do vậy ta Cách 1: Để hàm số xác định với mọi x ¡ x2 x a 0,x ¡ phải tìm điều kiện để 1 căn thức luôn xác định 0 1 4a 0 a . với mọi số thực x. 4 1 Với a thì 4 2x 1 Tính đạo hàm: y ' 1 2 x2 x a Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên ¡ y ' 0,x ¡ . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm 2x 1 2x 1 Ta có y ' 0 1 0 1 2 x2 x a 2 x2 x a Lúc này: 1 1 x 2 x 2 2x 1 2 x x a 2 STUDY TIP 1 1 4a a Đến đây nhiều độc giả 4 chọn luôn B, hoặc C là Kết hợp với điều kiện để hàm số xác định với mọi số thực x thì ta thấy không có sai, nên kết hợp cả điều giá trị nào của a thỏa mãn. kiện ban đầu, từ đó rút 1 1 ra kết luận. Cách 2: Với x 0 thì y ' 1 0,a . 2 a 4 Vậy không có giá trị nào của a để y ' 0,x ¡ . Kết quả Sau bài toán trên ta thấy, với các bài toán hàm căn phức, phân phức thì nếu đề bài yêu cầu tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên ¡ , hoặc trên khoảng I nào đó, thì ta cần tìm điều kiện để hàm số luôn xác định trên ¡ hoặc trên khoảng I đó. LOVEBOOK.VN|22
21. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Ví dụ 5: Tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 3x2 3mx 1 nghịch biến trên 0; là A. m 1 B. m 1 C. m ; 1  1; D. m 1 STUDY TIP Đáp án B. Ở bài toán trong ví dụ 5 Lời giải trong hàm số y ' h x Để hàm số đã cho nghịch biến trên 0; có tham số m có thể cô y ' h x 3x2 6x 3m 0,x 0 lập được nên ta hoàn 2 toàn có thể áp dụng cách m x 2x g x ,x 0; . cô lập m để tìm điều Xét hàm số g x x2 2x trên 0; ta có g ' x 2x 2 0 x 1 . kiện của m nhanh hơn việc sử dụng định lý về Ta có Bảng biến thiên: dấu của tam thức bậc x 0 1 hai. g ' x 0 + 0 g x 1 Do m g x ,x 0; m min g x 1 . Vậy m 1 thỏa mãn yêu 0; cầu. Bài toán trong ví dụ 5 là một bài toán ta hoàn toàn có thể cô lập được m và giải quyết bằng BBT một cách nhanh gọn. Sau đây là một bài toán về tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước mà ta không cô lập được m. Ví dụ 6: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2x3 3 2m 1 x2 6m m 1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; là A. m ;1 B. m 1; C. m D.¡ \1 m 1 Đáp án A. STUDY TIP Lời giải Ở đây ta kết luận được Hàm số y 2x3 3 2m 1 x2 6m m 1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; m 1 2 bởi vì nếu 2 2 m 1 hoặc cả m và y ' 6x 6 2m 1 x 6m 6m 0,x 2 . m 1 đều nằm trong x m khoảng 2; thì lúc Ta có y ' 1 và phương trình y ' 0 có hai nghiệm x m 1 đó khoảng này có nhiều hơn một khoảng đơn Ta có bảng xét dấu của y ' điệu, điều này trái với x m m 1 yêu cầu bài toán. y ' + 0 − 0 + Chú ý 23 Ta đưa ra lưu ý: đối với dạng toán này, nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu một tam thức bậc hai thì ta phải chia hai trường hợp: * TH1: 0 . Tùy vào dấu của hệ số a mà kết luận hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến. * TH2: 0 . Ta lập bảng biến thiên và sử dụng định lý Viet và bảng so sánh nghiệm ở phần trên để giải quyết bài toán.
22. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy để y ' 0,x 2 thì m 1 2 m 1 . Ví dụ 7: Điều kiện của tham số m để hàm số f x 2x3 3x2 6mx 1nghịch biến trên 0;2 là 1 1 A. m 6 B. C.m 6 D. m 6 m 4 4 Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Đáp án A. Lời giải Tập xác định: D ¡ . Ta có f ' x 6x2 6x 6m 6 x2 x m . Xét phương trình x2 x m 0 có 1 4m . 1 * Với m ta có 0 nên f ' x 0,x ¡ do đó hàm số luôn đồng biến 4 (không thỏa mãn). 1 * Với m ta có 0 nên phương trình f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt 4 x1; x2 (x1 x2 ). Ta có bảng biến thiên của hàm số f x x x1 x2 f ' x + 0 − 0 + f x Từ bảng biến thiên ta thấy điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên 0;2 là 1. f ' 0 0 m 0 x1 0 2 x2 m 6 (áp dụng bảng ở phần lý 1. f ' 2 0 m 6 thuyết về so sánh nghiệm). Ví dụ 8: Tất cả các giá trị của m để hàm số f x x3 3mx2 3 2m 1 x đồng biến trên 2;3 là STUDY TIP Với bài toán này, ta chú LOVEBOOK.VN|24 ý có 3 trường hợp. Nhiều độc giả quên không xét trường hợp m = 1 nên dẫn đến kết quả sai.
23. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 3 3 A. B. C. D. m m ;m 1 2 2 Đáp án C. Lời giải Tập xác định: D ¡ . 2 x 1 Ta có f ' x 3x 6mx 6m 3; f ' x 0 x 2m 1 * Nếu m 1 thì f ' x 0,x ¡ . Vậy hàm số luôn đồng biến trên ¡ . Do vậy hàm số cũng đồng biến trên 2;3 . * Nếu m 1 thì ta có bảng biến thiên của hàm số f x là x 1 2m 1 f ' x + 0 − 0 + f x m 1 3 Để hàm số đồng biến trên 2;3 thì 1 m 2m 1 2 2 * Nếu m 1 thì ta có bảng biến thiên của f x x 2m 1 1 f ' x + 0 − 0 + f x Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến trên 2;3 . 3 Kết hợp cả ba trường hợp thì ta có m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2 Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 3 3 A. m 0 B. C. m D. m m 2 2 2 Đáp án C. Lời giải Cách 1: Do hàm số t sin x đồng biến trên 0; nên đặt sin x t;t 0;1 2 3 2 2 STUDY TIP Khi đó ta có hàm số y f t 2t 3t mt; y ' 6t 6t m Ở đây ta có thể loại luôn trường hợp hai bởi xét 25 tổng hai nghiệm không thỏa mãn.
24. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Để hàm số đã cho đồng biến trên 0; thì hàm số y f t phải đồng biến trên 2 0;1 phương trình y ' 0 hoặc là vô nghiệm, có nghiệm kép (1); hoặc là có hai t1 t2 0 1 nghiệm t1 t2 thỏa mãn (2). 0 1 t1 t2 Trường hợp (1): phương trình y ' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 3 ' 0 9 6m 0 m 2 3 m 2 ' 0 m 0 t t 0 1 2 6 t1 t2 0 1 0 Trường hợp (2): Thỏa mãn (loại) ' 0 3 m t 1 t 1 0 2 1 2 m t1 t2 1 1 0 1 6 2 1 1 2 Cách 2: Ở đây chỉ có hai trường hợp: một là vô nghiệm, có nghiệm kép; hai là 0;1 nằm ngoài khoảng hai nghiệm. 3 3 Nhận thấy 3 phương án B, C, D cùng có số nên ta xét trước. Do phương án C 2 2 có dấu do vậy, ta sẽ xét dấu bằng trước, nếu dấu bằng thỏa mãn thì ta loại luôn B và D 2 3 2 3 1 1 Với m thì y ' 6t 6t 6 t 0 t (phương trình y ' 0 có 2 2 2 2 nghiệm kép, thỏa mãn). Đến đây ta loại luôn B và D. 3 Hình 1.4 là đồ thị hàm số y f t khi m . 2 3 Tiếp theo ta chỉ cần xét đến A. Ta sẽ thử m 1 ; . 2 3 3 3 3 3 3 Với m 1 thì y ' 6t 2 6t 1 0 t , nhận xét 0 1 6 6 6 (không thỏa mãn). Vậy loại A, chọn C. Hình 1.5 là đồ thị hàm số y f t khi m 1 . Vậy suy luận của ta là đúng. Do y ' 6t 2 6t m là một tam thức bậc hai có hệ số a 0 nên LOVEBOOK.VN|26
25. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 1. Nếu 0 thì y ' cùng dấu với hệ số a (mà a 0 ) nên hàm số luôn đồng biến. 2. Nếu 0 thì phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt t1;t2 . Khi đó, trong khoảng hai nghiệm thì y ' khác dấu với a và ngoài khoảng hai nghiệm thì y ' cùng dấu với a. Nên để y ' 0,t 0;1 thì 0;1 phải nằm ngoài khoảng hai nghiệm. Nhận xét: Ở đầu lời giải cách 1, tôi có chỉ rõ rằng “Do hàm số y sin x đồng biến trên 0; nên đặt sin x t;t 0;1 ” bởi khi đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện 2 của hàm hợp. Ở bài toán trên nếu thay sin x bằng cos x , lúc này, nếu đặt 3 cos x t và tiếp tục giải như trên thì kết quả đạt được m là hoàn toàn sai. 2 Thật vậy: Với m 2 lúc này hàm số y 2cos3 x 3cos2 x 2cos x nghịch biến trên 0; . 2 Tiếp theo để hiểu rõ hơn vấn đề này, ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x4 2 m x2 4 2m nghịch biến trên  1;0 . A. m 4 B. C. m 4 D. m 2 m 2 Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Lời giải sai Nếu làm theo như bài toán trên, ta đặt t x2 , do x  1;0 nên t 0;1 Khi đó để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì y f t t 2 2 m t 4 2m phải nghịch biến trên 0;1 . Ta có y ' f ' t 2t 2 m Hàm số f t nghịch biến trên 0;1 f ' t 0,t 0;1 m 2t 2,t 0;1 m 4 , chọn A. 27
26. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Nhận xét: Đây là kết quả sai. Thật vậy nếu thử m 2;m 1; .vẫn thỏa mãn yêu cầu đề bài. Lời giải đúng Đáp án C. Cách 1: Ta đặt t x2 , do x  1;0 nên t 0;1 Khi đó để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì y f t t 2 2 m t 4 2m phải đồng biến trên 0;1 . Ta có y ' f ' t 2t 2 m Hàm số f t đồng biến trên 0;1 f ' t 0,t 0;1 m 2t 2,t 0;1 m 2 Cách 2: Xét hàm số y x4 2 m x2 4 2m có y ' 4x3 2. 2 m x 2x 2x2 2 m Để hàm số đã cho nghịch biến trên  1;0 thì y ' 0,x  1;0 . Ta có 2x 0,x  1;0 , nên để thỏa mãn điều kiện thì 2x2 2 m 0,x  1;0 2 m 0 m 2 . Như vậy, ta rút ra nhận xét sau: Xét hàm số f x g u x trên I (với I là khoảng (đoạn), nửa khoảng). Đặt u x t ; t K (với K là một khoảng (đoạn), nửa khoảng được tính chặt chẽ theo điều kiện của x). 1. Nếu u x là hàm số đồng biến trên I thì hàm số thu được sau khi đặt ẩn phụ hay chính là hàm g t cùng tính đơn điệu trên K với hàm số ban đầu. 2. Nếu u x là hàm số nghịch biến trên I thì tuhowngf hàm số thu được sau khi đặt ẩn phụ hay chính là hàm g t ngược tính đơn điệu trên K với hàm số ban đầu. Thường trong trường hợp này ta không đặt ẩn mà giải quyết bài toán bằng cách đạo hàm trực tiếp. mx 5 Ví dụ 10: Điều kiện cần và đủ của m để hàm số y đồng biến trên từng x 1 khoảng xác định là A. m 5 B. C.m 5 D. m 5 m 5 Đáp án D. LOVEBOOK.VN|28
27. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Lời giải m 5 Ta có y ' để hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì x 1 2 m 5 0 m 5 . ax b ad bc Hàm số dạng y ; ad bc 0;c 0 có đạo hàm y ' luôn cx d cx d 2 đơn điệu trên từng khoảng xác định. (chứ không phải trên tập xác định) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi ad bc 0 , nghịch biến trên từng khoảng xác định khi ad bc 0 . mx 2 2m Ví dụ 11: Cho hàm số y (1) (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) x m đồng biến trên từng khoảng xác định. m 1 m 1 3 A. 3 m 1 B. 3 C.m 1 D. m 3 m 1 3 Đáp án D. Phân tích: Một bài toán về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhưng có tham số ở mẫu. Nếu bài toán hỏi “Tìm m để hàm số (1) nghịch biến (hoặc đồng biến) trên một khoảng a,b nhất định thì bài toán lại phải thêm điều kiện, tuy nhiên, ở đây ta có thể giải đơn giản như sau: Lời giải Điều kiện: x m . m2 2m 2 Ta có y ' . Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định x m 2 m 1 3 thì m2 2m 2 0 (đến đây ta loại luôn được A, B, C). m 1 3 x 2 2m Ví dụ 12: Tìm m để hàm số y đồng biến trên 1;2 . x m 2 2 2 A. m B. C. m 1 D. 2 m m 1 3 3 3 Đáp án B. Lời giải Tập xác định: D ¡ \ m . Để hàm số đã cho đồng biến trên 1;2 thì y ' 0 với mọi x 1;2 STUDY TIP Hàm số đơn điệu trên khoảng nào thì phải xác định trên khoảng đó 29 trước. Do vậy ở đây cần có điều kiện cho m 1;2 .
28. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2 3m 2 0 m m 2 2m 0 3 m 1 m 1 m 1 m 1;2 m 2 m 2 Chú ý: Phải có điều kiện m nằm ngoài khoảng 1;2 bởi nếu m nằm trong khoảng 1;2 thì hàm số bị gián đoạn trên 1;2 . Tức là không thể đồng biến trên 1;2 được. Đây là phần mà tôi muốn nhấn mạnh với quý độc giả. Bởi nếu không có điều kiện đó, sẽ chọn thành A là sai. mx 2m 3 Ví dụ 13: Cho hàm số y , m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m x m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . A. m ; 3  1;2 B. m ; 3  1; C. m ; 3 D. m 1; Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Đáp án A. Lời giải Từ STUDY TIP trên ta có được hàm số đơn điệu trên khoảng nào thì phải xác định trong khoảng đó trước, do vậy trong ví dụ này, ta phải có điều kiện để m 2; . Tập xác định: D ¡ \m m2 2m 3 mx 2m 3 Ta có y ' . Hàm số y nghịch biến trên 2; khi x m 2 x m và chỉ khi: 2 m 1 y ' 0 m 2m 3 0 1 m 2 m 3 m 2; m 2 m 3 m 2 Phân tích sai lầm: Ở đây nhiều độc giả không xét điều kiện để hàm số luôn xác định trên 2; nên chọn B là sai. STUDY TIP LOVEBOOK.VN|30 Trong bài toán này do hệ số bậc cao nhất của tam thức 3x2 6x m là a 3 0 nên áp dụng quy tắc trong trái ngoài cùng thì trong khoảng hai nghiệm giá trị của tam thức sẽ mang dấu “ ” nên để hàm số ban đầu nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì x1 x2 2 .
29. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Ví dụ 14: Giá trị của m để hàm số y x3 3x2 mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 là A. m 2 B. C. m 4 D. m 1 m 0 Đáp án D. Lời giải Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 2 y ' 3x 6x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 x2 2 m 3 ' 0 9 3m 0 2 2 4m m 0 . x1 x2 4 x1 x2 4x1x2 4 4 4 3 1 Ví dụ 15: Tìm tham số m để hàm số y x3 2x2 mx 10 nghịch biến trên đoạn 3 có độ dài bằng 1. STUDY TIP 15 15 A. m 2 B. C. m 4 D. m m Hàm số bậc ba đơn điệu 4 4 (nghịch biến khi a 0 Đáp án C. hoặc đồng biến khi a 0 ) trên một khoảng Lời giải có độ dài bằng d khi Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1 phương trình y ' 0 có 2 y ' x 4x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 x2 1 hai nghiệm phân biệt ' 0 4 m 0 m 4 x1; x2 thỏa mãn 15 2 2 15 m . 2 2 x x 4x x d x1 x2 1 x1 x2 4x1x2 1 m 4 1 2 1 2 4 31
30. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao 1 Câu 6: Cho hàm số y x3 mx2 3m 2 x 1 . ex m 2 3 cho hàm số y đồng biến trên khoảng ex m2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 nghịch biến trên khoảng ; . ln ;0 4 m 2 A. B. m 2 1 1 A. m  1;2 B. m ; m 1 2 2 C. 2 m 1 D. 1 m 0 1 1 C. m 1;2 D. m ; 1;2 m 1 x 2 2 2 Câu 7: Cho hàm số y . Tìm tất cả x m Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên x 3 từng khoảng xác định. hàm số y đồng biến trên từng khoảng xác x m m 1 định của nó. A. 2 m 1 B. m 2 A. m 3 B. m 3 m 1 C. m 3 D. m 3 C. 2 m 1 D. m 2 m 1 x 1 2 Câu 3: Cho hàm số y . Tìm tất Câu 8: Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 . Tìm tất x 1 m cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến biến trên khoảng ;0 trên khoảng 17;37 . A. m 1 B. m 3 m 2 C. m 3 D. m 3 A. 4 m 1 B. m 6 Câu 9: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số 4 m 1 y sin x cos x 2017 2mx đồng biến trên ¡ m 2 C. D. 1 m 2 A. m 2017 B. m 0 m 4 1 1 Câu 4: Xác định các giá trị của tham số m để hàm C. m D. m 2017 2017 số y x3 3mx2 m nghịch biến trên khoảng Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 0;1 ? 2sin x 1 y đồng biến trên khoảng 0; . 1 1 sin x m 2 A. m B. m 2 2 A. m 1 B. m 1 C. m 0 D. m 0 C. m 0 D. m 1 Câu 5: Để hàm số y x3 3mx2 x đồng biến trên Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m ¡ thì: sin x m để hàm số y nghịch biến trên ; : A. m 0 B. m 0 sin x m 2 C. m 0 D. m 0 A. m 0 hoặc m 1 B. m 0 C. 0 m 1 D. m 1 LOVEBOOK.VN|32
31. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Câu 12: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số Câu 18: Tìm m để hàm số 3 2 1 3 2 y x x 2 m x 1 tăng trên đoạn có độ dài y x m 1 x m 3 x 10 đồng biến 3 bằng 2. trong khoảng 0;3 ? 11 7 A. m B. m 12 12 3 3 A. m B. m 7 7 5 14 C. m D. m 7 3 3 C. m ¡ D. m 12 Câu 19: Tất cả các giá trị của m để 3 2 Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số Cm : y x 3mx 3 m 1 x 2 nghịch biến 3 2 y mx mx m m 1 x 2 đồng biến trên ¡ . trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 là 4 4 A. m 1;2 A. m B. và m m 0   3 3 1 21 1 5 4 4 B. m ; C. m 0 hoặc m D. m 2 2 3 3 Câu 14: Giá trị của m để hàm số 1 5 1 21 C. m ; 3 2 y m 1 x 3 m 1 x 3 2m 3 x m nghịch 2 2 biến trên ¡ là 1 21 1 21 A. m 1 B. m 1 D. m ;  ; 2 2 C. m 1 D. m 1 Câu 20: Tất cả các giá trị của m để hàm số Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mx 4 1 2 y luôn nghịch biến trên khoảng ;1 là hàm số y x3 m 1 x2 2m 3 x đồng x m 3 3 biến trên 1; . A. m  2; 1 B. m  2;2 A. m 2 B. m 2 C. m 2; 1 D. m 2; 1 C. m 1 D. m 1 m Câu 21: Cho hàm số y x3 mx2 3x 1 (m là Câu 16: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số 3 1 mx2 tham số thực). Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm y x3 2x 2017 đồng biến trên ¡ . 3 2 số trên luôn đồng biến trên ¡ . A. m 1 B. m 0 A. 2 2 m 2 2 B. m 2 2 C. m 2 D. m 3 C. 2 2 m D. 2 2 m 2 2 Câu 22: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m Câu 17: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của để hàm số y msin x 7x 5m 3 đồng biến trên 3 2 tham số m để hàm số y x m 1 x 3x 1 ¡ . đồng biến trên khoảng từ ; A. 7 m 7 B. m 1 A.  4;2 B. ; 4  2; C. m 7 D. m 7 Câu 23: Hàm số: C. ; 4  2; D. 4;2   1 2 y x3 m 1 x2 2m 5 x nghịch biến 3 3 trên ¡ thì điều kiện của m là: 33
32. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB A. m 2 B. 2 m 2 Câu 30: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao m 2sin x C. D.m 2 2 m 2 cho hàm số y f x nghịch biến trên 1 cos2 x Câu 24: Tìm các giá trị của m sao cho hàm số x 1 khoảng 0; . y nghịch biến trên khoảng 2; . 6 x m A. m 1 B. m 0 A. 2 m 1 B. m 2 9 C. m D. . 3 m 5 C. m 2 D. m 2 2 Câu 25: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx m 1 x 2 1 nghịch biến trên D 2; . A. m 0 B. m 1 C. m 1 D. 2 m 1 mx 2 Câu 26: Tìm m để hàm số y nghịch x m 3 biến trên các khoảng xác định của nó. A. 1 m 2 B. 1 m 2 C. m 2 hoặc m 1 D. m hoặc 2 m 1 mx 3 Câu 27: Cho hàm số y . Tất cả các giá x m 4 trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: A. m 3 B. m 1 C. 1 m 3 D. 1 m 3 Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y mx3 mx2 m m 1 x 2 đồng biến trên ¡ . 4 4 A. m B. và m m 0 3 3 4 4 C. m 0 hoặc m D. m 3 3 Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m 3 x 3 để hàm số y nghịch biến trên 1;1 . 3 x m 1 1 A. m B. . m 3 3 3 1 C. m D. . m 3 3 LOVEBOOK.VN|34
33. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Hướng dẫn giải chi tiết Dạng 1: Bài tập không chứa tham số Câu 1: Đáp án D. tính đồng biến nghịch biến trên 0; ; 0;1 ; Cách 1: Cách tư duy. 0;e ; 1;e . Tập xác định: D 0; \ 1 .   Ấn = máy hiện Step ? Nhập 0,2 máy hiện như sau: / x ln x 1 Ta có: y ' 2 . ln x ln x y ' 0 ln x 1 x e; y ' không xác định tại x 1 + y ' 0x e; nên hàm số đồng biến trên e; . Từ đây ta nhận thấy giá trị của hàm số giảm khi cho + y ' 0x 0;1 nên hàm số nghịch biến trên x chạy từ 0 đến 1. Vậy hàm số nghịch biến trên 0;1 . 0;1 ; từ đây ta loại A và B. Tiếp theo kéo xuống thì máy hiện: + y ' 0x 1;e ynên hàm số nghịch biến trên 1;e . Cách 2: Sử dụng máy tính casio: Nhận thấy ở các phương án có các khoảng sau: 0; ; 0;1 ; 0;e ; 1;e ; e; . Lúc này ta sử dụng lệnh MODE 7 TABLE để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: Lúc này ta thấy các giá trị của hàm số tiếp tục giảm x Nhập vào máy F x : khi cho x chạy từ 1 đến e. Do vậy hàm số nghịch ln x biến trên 1;e , từ đây ta loại C, chọn D. Câu 2: Đáp án D. Tập xác định: D 1; ⇒ loại A, C. Ấn 2 lần = máy hiện Start ? Ta chọn x 0 , ấn 0 = / x y ' x ln x 1 . x 1 End ? Ta nhập SHIFT (chính là chọn end là y ' 0 x 0 e). Do ở đây ta cho chạy từ 0 đến e bởi ta cần xét 35
34. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB / y ' 0 x 0 hàm số đồng biến trên 0; . y ' x4 2x2 1 4x3 4x y ' 0 1 x 0 x 1 y ' 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên 1;0 x 0 Cách 2: Sử dụng máy tính casio bằng lệnh Do hệ số a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng W từ TABLE trong MODE 7 tương tự bài 1. đây suy ra hàm số nghịch biến trên ; 1 và Câu 3: Đáp án A. 0;1 ; hàm số đồng biến trên 1;0 và 1; . Tập xác định: D ¡ . Câu 8: Đáp án A. / y ' x3 3x2 4 3x2 6x Vì f ' x x2 x 2 0x 2; nên hàm số x 0 đồng biến trên 2; . y ' 0 x 2 Câu 9: Đáp án B. Ta có hệ số a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng N, Cách suy luận 1: tức hàm số nghịch biến trên 2;0 . Tập xác định: D ¡ . / Câu 4: Đáp án B. y ' 2x4 1 8x3 . Tập xác định: D ¡ \1 . y ' 0 x 0 Ta có ad bc 1 2 1 0 Vì y ' 0x 0; nên hàm số đồng biến trên Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng 0; . ;1 và 1; . Cách suy luận 2: Câu 5: Đáp án D. Đồ thị hàm số có dạng Parabol có đỉnh là I 0;1 và Tập xác định: D ¡ . hệ số a 2 0 nên đồ thị hàm số là Parabol có bề 3 2 / 2 y ' x 3x 9x 3x 6x 9 lõm hướng lên, tức hàm số đồng biến trên 0; . x 3 Câu 10: Đáp án D. y ' 0 x 1 Ở phần sau ta sẽ học về đồ thị hàm số bậc 4 trùng Ta thấy hàm số có hệ số a 1 0 nên hàm số phương, ở phần dạng đồ thị ta có sơ đồ về dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương. Từ đó ta rút ra đồng biến trên 1;3 . nhận xét: Câu 6: Đáp án D. Do hàm số đồng biến trên 0; nên đồ thị hàm Tập xác định: D ¡ . số không thể có ba điểm cực trị, vậy đồ thị hàm số / y ' x3 6x2 10 3x2 12x có dạng parabol quay bề lõm lên trên và có đỉnh là I 0;c . x 0 y ' 0 Áp dụng sơ đồ tôi vừa giới thiệu ở bài sau để thỏa x 4 a 0 a 0 Do hệ số a 1 0 nên hàm số đồng biến trên mãn điều kiện trên thì ab 0 b 0 4;0 Câu 11: Đáp án D. Câu 7: Đáp án C. Tập xác định: D ¡ . LOVEBOOK.VN|36
35. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Từ việc xem xét sơ đồ tôi giới thiệu ở câu 10 thì ta x 0 1 1 y ' 0 4x3 4x 0 x 1 có: ab . 2 0 và a 0 nên đồ thị 4 4 x 1 hàm số là parabol quay bề lõm hướng xuống, tức Hệ số a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng W, từ hàm số nghịch biến trên 0; . đây suy ra hàm số nghịch biến trên ; 1 và Câu 12: Đáp án C. 0;1 . Phương án A. Tập xác định: D ¡ . / Câu 16: Đáp án C. y ' x3 x 1 3x2 1 Tập xác định: D ¡ \ 1;3 1 y ' 0 x 2x 4 x 2 3 y ' 2 x2 4x 3 x2 4x 3 ⇒ Hàm số này không đồng biến trên tập xác định y ' 0 x 2 (không thuộc D) của nó. Vì y ' 0x ;1 nên hàm số nghịch biến trên Phương án B. Loại vì hàm số nghịch biến trên từng ;1 . khoảng ;1 và 1; . Câu 17: Đáp án A. Phương án C. Tập xác định: D ¡ . Tập xác định: D ¡ . y ' 3x2 2 0x D y ' 3x2 3 ⇒ Hàm số này đồng biến trên tập xác định của nó. y ' 0 x 1 Câu 13: Đáp án B. Mặt khác hệ số a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng Tập xác định: D 0;2 . N, tức hàm số đã cho đồng biến trên ; 1 và 2x 2 1 x 1; nghịch biến trên 1;1 . y ' 2 2 2 2x x 2x x Câu 18: Đáp án B. y ' 0 x 1 Tập xác định: D 2; Vì y ' 0x 0;1 nên hàm số đồng biến trên 1 3 x 1 y ' 0;1 . x 2 x 2 2 x 2 2 Câu 14: Đáp án D. Vì y ' 0x 1; nên hàm số đồng biến trên / y ' sin x cos x 3x 1; . Câu 19: Đáp án A. cos x sin x 3 2.sin x 3 4 Tập xác định: D ¡ . y ' 4x3 4x 4x x2 1 2. sin x 1 3 2 0 4 x 0 y ' 0 Vậy hàm số đồng biến trên ; x 1 Câu 15: Đáp án A. Tập xác định: D ¡ . 37
36. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Mặt khác hệ số a 1 0 , suy ra đồ thị hàm số có Đây là một bài toán dễ mắc sai lầm, do đồ thị trong dạng chữ M, tức hàm số nghịch biến trên 1;0 và hình vẽ 1; . Câu 20: Đáp án D. Với các bài toán mà ta khó tính đạo hàm, ta nên dùng TABLE để giải quyết bài toán. Nhập MODE 7 :TABLE Nhập như sau: Nhận thấy trên ; 2 và 0;2 thì f ' x 0 nên hàm số y f x nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . Tiếp theo ấn 2 lần dấu =. Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh tưởng đây là đồ Start? ấn 3 = thị của hàm số y f x và chọn luôn D. End? ấn 3 = Câu 23: Đáp án A. Step? 0.5 = 2 / Máy hiện: 2 x 1 4x Đạo hàm y ' 2 2 . x2 1 x2 1 Ta có y ' 0,x 0; và y ' 0,x ;0 . Nên hàm số nghịch biến trên khoảng 0; và đồng biến trên khoảng ;0 . Câu 24: Đáp án B. ax b d - Hàm số dạng y , x luôn đơn điệu cx d c (đồng biến, hoặc nghịch biến) trên mỗi khoảng d d ; và ; . Ta loại ngay hai đáp án c c A và C. - Với phương án B: Ta có y ' 3x2 1 0,x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . Từ đây ta thấy hàm số nghịch biến trên ; 1 . Câu 25: Đáp án A. Câu 21: Đáp án C. 2 x 0 x 0 Ta có y ' 3x 6x 3x x 2 ; y ' 0 2 x 2 Ta thấy hàm số có y ' 3x 6x 0 x 2 Do y ' 0,x 0;2 nên hàm số đã cho nghịch Mặt khác hệ số a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng chữ N, tức hàm số nghịch biến trên 0;2 . biến trên khoảng 0;2 ; và Câu 22: Đáp án B. LOVEBOOK.VN|38
37. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing y ' 0,x ;0  2; nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;0 và 2; Câu 26: Đáp án D. Ở bài toán này, nhiều bạn không nhìn kĩ đề lại đi xét hàm số f x x2 1 là sai. Vì đề cho f ' x chứ không phải f x . Ta có f ' x x2 1 0,x ¡ nên hàm số luôn đồng biến trên ¡ . Từ đây ta loại A; B; C. Chọn D. Câu 27: Đáp án C. Hàm số đã cho xác định trên ¡ x 0 3 y ' 4x 4x, y ' 0 x 1 x 1 Bảng biến thiên: x 1 0 1 y ' 0 + 0 0 + y Dựa vào BBT, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; 1 nên nghịch biến trên khoảng ; 2 Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 39
38. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng 2: Bài toán chứa tham số Câu 1: Đáp án D. Câu 4: Đáp án A. Đặt ex t t 0 D ¡ ; y ' 3x2 6mx 1 x 0 Vì x ln ;0 y ' 0 , mặt khác hàm số có hệ số 4 x 2m a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng chữ N, suy ra m 1 hàm số nghịch biến trên 0;2m . 1 2 1 t ;t m  ;1 m 1 4 4 Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 thì 1 1 m 1 2 2 2m 1 m . 2 t m 2 m2 m 2 Câu 5: Đáp án B. y 2 ; y ' 2 t m t m2 D ¡ 1 Để hàm số đã cho đồng biến trên ¡ thì Hàm số đồng biến trên khoảng ln ;0 2 4 b 3ac 0 Khi y ' 0 hay m2 m 2 0 1 m 2 02 3.1. 3m2 0 9m2 0 m 0 . 1 1 Câu 6: Đáp án C. Vậy m hoặc 1 m 2 . 2 2 Để hàm số luôn nghịch biến trên ; thì Câu 2: Đáp án A. 2 2 1 Điều kiện: x m . b 3ac 0 m 3. . 3m 2 0 3 m 3 y ' 2 2 m 3m 2 0 2 m 1. x m Câu 7: Đáp án A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác m 3 0 m 3 định thì m 1 . m 2 0 m2 m 2 0 Câu 3: Đáp án B. 2 m 1. Đặt x 1 t . Câu 8: Đáp án C. Vì x 17;37 . ⇒ t 4;6 m 6; 4 y ' 3x2 6x m m 1 t 2 2 y Phương trình y ' 0 có ' b 3ac t m 32 3.1. m 9 3m m2 m 2 y ' . t m 2 Trường hợp 1: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, thì x 0 phải là điểm cực đai, lúc này: 2 m 2 Hàm số đồng biến khi m m 2 0 . y ' 0 0 m 0 (không thỏa mãn) m 1 Vậy hàm số phải luôn đồng biến trên ¡ m 3 m 2 Câu 9: Đáp án C. Kết hợp các điều kiện ta có m 6 4 m 1 LOVEBOOK.VN|40
39. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Ta có y ' 2 sin x 2017 2m . Để hàm số Do x ; thì cos x 1;0 , do vậy để hàm 4 2 đã cho đồng biến trên ¡ thì y ' 0 với mọi x ¡ . số đã cho nghịch biến trên ; thì Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. 2 2m 0 sin x 2017m với mọi x ¡ . Điều này 4 m 0 m 0 . 1 m 1 xảy ra khi 2017m 1 m . 2017 Cách 2: Đặt ẩn Câu 10: Đáp án C. Đặt sin x t , Đặt sin x t Vì x ; nên t 0;1 . 2 Vì x 0; t 0;1 2 2t 1 Ta thấy hàm số y sin x nghịch biến trên ; Hàm số trở thành y . Để thỏa mãn yêu cầu 2 t m do đó để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì hàm số 2t 1 để bài thì hàm số y phải đồng biến trên t m t m y f t phải đồng biến trên 0;1 t m 0;1 m 0 ad bc m m 0 1 Tức là m 0 m 0 m m 0;1 ad bc 2m 1 0 2 m 0 . m 1 m 0 m 0;1 Cách 3: Sử dụng TABLE m 1 Ta thấy với m 0 không thỏa mãn, do là hàm hằng Vì m 0;1 nên m 0 . nên ta loại A. Câu 11: Đáp án B. Vậy ta sẽ thử m 1 ; Start ; End Step thì ta Cách 1: Đạo hàm trực tiếp 2 10 được: Ta có / sin x m cos x sin x m cos x sin x m y ' 2 sin x m sin x m 2mcos x 2 , để hàm số nghịch biến trên ; sin x m 2 2mcos x 0 thì Vậy với m 1 không thỏa mãn. Do vậy ta loại m 0;1 được C, D. Từ đây ta chọn B. Câu 12: Đáp án A. Cách 1: Giải toán thông thường Ta có y ' x2 2 m 1 x m 3 Ta có y ' x2 2 m 1 x m 3 41
40. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hàm số đã cho đồng biến trên 0;3 Chú ý: Với bài toán này việc hiểu bản chất và suy luận nhanh hơn rất nhiều so với việc bấm máy thử y ' 0,x 0;3 . từng phương án. Vì hàm số y ' x liên tục tại x 0; x 3 nên Câu 14: Đáp án A. y ' 0,x 0;3 y ' 0,x 0;3 (mục đích là Ta có y ' 3 m 1 x2 6 m 1 x 3 2m 3 để cô lập tham số m) * m 1 y ' 3 0,x ¡ hàm số nghịch x2 2x 3 biến trên . m ,x 0;3 . ¡ 2x 1 * m 1 , hàm số nghịch biến trên (Do 2x 1 0,x 0;3 nên khi chia cả hai vế m 1 0 ¡ 2 không làm đổi dấu bất phương trình). m 1 2m 3 m 1 0 x2 2x 3 m max g x với g x m 1 x 0;3 2x 1 m 1. Vậy m 1 . m 2 0 12 Mặt khác ta tìm được max g x g 3 . Câu 15: Đáp án D. x 0;3 7 Ta có 12 Vậy m . 2 7 y ' x 2 m 1 x 2m 3 x 1 x 2m 3 0 Cách 2: Thử giá trị. với mọi x 1; . Lúc này ta thử một giá trị m nằm trong khoảng Do x 1 nên x 1 0 , nên x 2m 3 phải 7 12 ; là có thể xác định được kết quả, ta chọn 0 với mọi x 1 12 7 x 2m 3 0 2m 2 0 m 1 1 m 1 khi đó hàm số trở thành y x3 4x 10 . 3 Câu 16: Đáp án A. 2 1 3 mx 2 x 2 Hàm số y x 2x 2017 luôn đồng biến Có y ' 0 x 4 0 . 3 2 x 2 trên ¡ 1 Do hệ số a 0 nên hàm số đồng biến trên 2 2 2 m 1 m 3 b 3ac 0 3. .2 0 2 2 3 4 2;2 vậy không thỏa mãn đề bài. Vậy loại B, C, D, chọn A. 2 2 m 2 2 Câu 13: Đáp án D. Câu 17: Đáp án A. Với m 0 thì hàm số trở thành y 2 là hàm hằng, Hàm số đồng biến trên ¡ khi: loại. Từ đây ta loại A, C. y ' 0,x ¡ 3x2 2 m 1 x 3 0 x ¡ Với m 0 : m 1 2 9 0 m 2 m 4 0 Đến đây ta không cần thử mà có thể chọn luôn D, bởi hàm số đồng biến trên ¡ khi hệ số a 0 và 4 m 2 . phương trình y ' 0 có nghiệm kép hoặc vô Câu 18: Đáp án D. 4 nghiệm, tuy nhiên với phương án B, m thì m có Hàm số đã cho tăng trên đoạn có độ dài bằng 2 3 y ' 3x2 2x 2 m 0 có hai nghiệm phân thể âm, tức hệ số a âm thì không thể đồng biến trên biệt x ; x sao cho x x 2 . ¡ được. Vậy ta chọn D. 1 2 1 2 LOVEBOOK.VN|42
41. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 2 2 ' 0 1 3 m 2 0 y ' 0,x ;1 m 4 0 2 m 2 2 x x 4 2 m ;1 m ;1 m 1 1 2 x1 x2 4x1x2 4 5 5 m m 2 m 1. 3 3 2 Câu 21: Đáp án B. 2 2 m 14 4. 4 m 3 m 3 2 2 3 3 Ta có: y x mx 3x 1; y ' mx 2mx 3 3 14 Vậy m thỏa mãn yêu cầu. 3 + Nếu m 0 thì y ' 3 0 thỏa mãn. Câu 19: Đáp án D. + Nếu m 0 thì: Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ m 0 2 y ' 0,x ¡ . Điều này chứng tỏ hơn 4 3x 6mx 3 m 1 0 có hai nghiệm ' 0 m 0 trong trường hợp này. phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 x2 4 . Vậy số nhỏ nhất để hàm đồng biến là m 0 . 2 ' 3m 9 m 1 0 Câu 22: Đáp án A. x x 2 4x x 16 1 2 1 2 Ta có: y msin x 7x 5m 3 y ' mcos x 7 . 2 9m 9m 9 0 Hàm số đồng biến khi y ' 0 m 7 . 2 2m 4. m 1 16 Câu 23: Đáp án B. 1 2 1 5 y x3 m 1 x2 2m 5 x m 3 3 2 1 5 y ' x2 2 m 1 x 2m 5 2 m m m 1 0 2 2 2 y ' 0,x ¡ ' m 1 2m 5 0 ; 4m 4m 4 16 1 21 m 2 2 m 4 0 2 m 2 1 21 Câu 24: Đáp án A. m 2 x 1 m 1 y y ' 2 1 21 x m x m m 2 Hàm số nghịch biến trên 2; khi: 1 21 m 2 m 2; 2 m 1 Câu 20: Đáp án C. m 1 0 Hàm số đã cho xác định trên D ¡ \ m Câu 25: Đáp án B. 1 m2 4 y mx m 1 x 2 1 y ' m m 1 . Ta có y ' 2 . 2 x 2 x m Để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng y ' 0;x 2 lim y ' 0 m 1 0 m 1 ;1 thì x 2 Với m 1 dễ thấy hàm số nghịch biến. 43
42. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 26: Đáp án A. y ' 3 X 3 : 3 X 2 , START 1, END 1, 2 Ta có: ad bc m. m 3 2 m 3m 2 STEP 0,1 mx 2 Nhìn bảng giá trị thấy hàm số có tăng có giảm nên Để hàm số y nghịch biến trên từng x m 3 m 2 sai, loại B. khoảng xác định của nó thì X X 1 2 y 3 3 : 3 , START 1, END 1, m 3m 2 0 1 m 2 3 Câu 27: Đáp án C. STEP 0,1 2 1 Ta có ad bc m. m 4 3 m 4m 3 Nhìn bảng giá trị thấy hàm số có giảm nên m 3 Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì đúng, nhận C. ad bc 0 1 m 3. Câu 28: Đáp án D. Xét hàm số f x g u x trên I (với I là TH1: m 0 y 2 là hàm hằng nên loại m 0 khoảng (đoạn), nửa khoảng). Đặt TH2: m 0 . Ta có: y ' 3mx2 3mx m m 1 . u x t;t K (với K là một khoảng (đoạn), nửa khoảng được tính chặt chẽ theo điều kiện Hàm số đồng biến trên ¡ của x). 2 2 4 ' m 3m m 1 0 m 4 1. Nếu u x là hàm số đồng biến trên I thì 3 m 3m 0 3 hàm số thu được sau khi đặt ẩn phụ hay chính m 0 là hàm g t cùng tính đơn điệu trên K với Câu 29: Đáp án C. hàm số ban đầu. Cách 1: Xét hàm số 2. Nếu u x là hàm số nghịch biến trên I thì x 1 Đặt t 3 nên t ;3 thì hàm số đã cho trở hàm số thu được sau khi đặt ẩn phụ hay chính 3 là hàm g t ngược tính đơn điệu trên K với t 3 m 3 thành: y ; y ' t m t m 2 hàm số ban đầu. x Do hàm t 3 nghịch biến trên 1;1 Câu 30: Đáp án C. 3 x 3 m 2sin x m 2sin x Để hàm số y nghịch biến trên 1;1 thì Ta có y f x 2 2 . 3 x m 1 cos x 2 sin x t 3 1 1 y phải đồng biến trên ;3 Đặt t sin x , do x 0; nên t 0; . Khi đó t m 3 6 2 m 2t 1 1 hàm số có dạng: g t . Nên m 3 và m ;3 m 2 3 3 2 t 2 Cách 2: CASIO 2t 2mt 4 Đạo hàm g ' t 2 . Hàm số f x MODE 7 2 t 2 y 3 X 3 : 3 X 4 , START 1, END 1, STEP nghịch biến trên 0; khi hàm số g t nghịch 0,1 6 1 1 Nhìn bảng giá trị thấy hàm số tăng nên m 4 sai, biến trên 0; g ' t 0,t 0; loại D. 2 2 LOVEBOOK.VN|44
43. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 2 1 2t 2mt 4 0,t 0; 2 2 1 m t ,t 0; (*) t 2 2 1 Xét hàm số h t t trên 0; . t 2 2 1 Có h' t 1 2 0,t 0; . t 2 Khi đó (*) Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 . 45
44. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB II. Cực trị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số A. Lý thuyết về cực trị của hàm số Ở phần I.1 ta vừa học cách sử dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu của hàm số. Ở phần này ta sẽ xác định điểm nằm giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, và ngược lại. Những điểm này được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Điểm cực trị bao gồm cả điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số ở hình 1.7 có điểm cực đại là điểm phía bên trái và điểm cực tiểu ở phía bên phải (điểm được đánh dấu). 1. Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a;b (có thể a là ; b là ) và điểm x0 a;b . a, Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số f x đạt cực đại tại x0 . b, Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại x0 . Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y ' 0 hoặc y 'không xác định được thể hiện ở hình 1.8 STUDY TIP Điểm cực trị của hàm số là x c ; còn điểm cực trị của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ Nếu hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x c thì x c là điểm làm cho y ' bằng M c; f c . 0 hoặc y ' không xác định. 2. Chú ý Chú ý 1. Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại Trong các bài trắc (điểm cực tiểu) của hàm số; f x0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) nghiệm thường có các của hàm số, kí hiệu fCD fCT , còn điểm M x0 ; f x0 được gọi là điểm cực đại câu hỏi đưa ra để đánh (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. lừa thí sinh khi phải phân biệt giữa điểm cực 2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của trị của hàm số và điểm hàm số. cực trị của đồ thị hàm số. 3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a;b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f ' x0 0 . LOVEBOOK.VN|46
45. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị STUDY TIP Ta thừa nhận định lí sau đây Ở định lý 1 ta có thể Định lý 1 hiểu như sau: Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng K x h; x h và có đạo Khi f ' x đổi dấu từ 0 0 dương sang âm qua hàm trên K hoặc trên K \x0 , với h 0 . x c thì x c được gọi a. Nếu f ' x 0 trên khoảng x h; x và f ' x 0 trên khoảng là điểm cực đại của hàm 0 0 số. x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x . Khi f ' x đổi dấu từ b. Nếu f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng âm sang dương qua x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x . x c thì x c được gọi là điểm cực tiểu của Hình 1.9 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị: hàm số. STUDY TIP Nếu x c là điểm cực trị của hàm y f x thì f ' c 0 hoặc f ' c không xác định, nhưng nếu f ' c 0 thì chưa chắc x c đã là điểm cực trị của hàm số. 4. Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1 1. Tìm tập xác định. 2. Tính f ' x . Tìm các điểm tại đó f ' x bằng 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng biến thiên. 4. Từ bảng biến thiên suy ra cực trị. Quy tắc 2 1. Tìm tập xác định. 47
46. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2. Tính f ' x . Giải phương trình f ' x 0 và kí hiệu xi i 1,2,3, ,n là các nghiệm của nó. 3. Tính f '' x và f '' xi , i 1;2;3; n . 4. Dựa vào dấu của f '' xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi . Nếu f '' xi 0 thì xi là điểm cực tiểu. Nếu f '' xi 0 thì xi là điểm cực đại. B. Các dạng toán liên quan đến cực trị Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số, tìm Dạng 1 giá trị cực trị của hàm số Phương pháp chung Sử dụng hai quy tắc 1 và quy tắc 2 ở phần lý thuyết. 1 5 Ví dụ 1: Điểm cực trị của hàm số f x x3 x2 3x là 3 3 22 10 A. x 1; x 3 B. x ; x 3 3 C. x 1; x 5 D. x 4; x 3 Đáp án A. Lời giải 1 5 Cách 1: Xét hàm số f x x3 x2 3x 3 3 2 x 3 Có TXĐ: D ¡ . Ta có f ' x x 2x 3; y ' 0 x 1 Bảng biến thiên x −1 3 f ' x 0 + 10 f x 3 22 3 Từ BBT ta thấy hàm số có điểm cực đại x 1 và điểm cực tiểu x 3 . Cách 2: Sử dụng MTCT. Ta sẽ sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của máy tính. Ấn thì máy hiện như hình bên. LOVEBOOK.VN|48
47. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Chú ý 1 5 Nhập hàm số X 3 X 2 3X tại giá trị X 1 (Ta lần lượt thử các phương 3 3 Trong STUDY TIP án). trang 35 có chú ý rằng Tại x 1 thì y ' 0 suy ra x 1 là một điểm cực trị của hàm số. y ' c 0 thì x c chưa chắc đã là điểm Tương tự ta giữ nguyên màn hình và thay x 1 thành x 3 thì được kết quả cực trị của hàm số, do tương tự. Từ đó ta chọn A. vậy ta cần thử xem y ' Ví dụ 2: Điểm cực trị của hàm số f x x3 3x2 3x 5 là có đổi dấu qua x c A. x 1; x 3 B. x 1; x 3 hay không. C. x 0; x 1 D. hàm số không có điểm cực trị Đáp án D. Lời giải 2 TXĐ: D ¡ . Ta có y ' 3 x 1 0,x ¡ hàm số đồng biến trên ¡ . Ta có BBT: x f ' x + STUDY TIP f x Xét hàm số bậc ba f x ax3 bx2 cx d Từ BBT suy ra hàm số không có cực trị. với a 0 có Từ ví dụ 1 và ví dụ 2 ta nhận thấy với hàm số bậc ba có dạng 2 b 3ac 3 2 y' f x ax bx cx d, a 0 thì khi tìm cực trị của hàm số ta nên giải bằng * Nếu b2 3ac 0 thì cách 1 (xét phương trình y ' 0 thay vì sử dụng máy tính bởi phương trình hàm số có hai cực trị y ' 0 là phương trình bậc hai giải quyết nhanh chóng hơn việc bấm máy thử * Nếu b2 3ac 0 thì trường hợp, tham khảo STUDY TIP bên cạnh để suy luận nhanh trong bài toán hàm số không có cực trị. này. 1 5 Ví dụ 3: Xét hai hàm số f x x4 2x2 1 và hàm số g x x4 x2 . 4 4 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số f x có hai điểm cực đại là A 1;2 và B 1;2 . B. Hàm số f x có điểm cực tiểu là x 0 và hàm số g x có giá trị cực đại 5 là y . 4 C. Hàm số f x có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại, hàm số g x có một điểm cực đại. D. Hàm số f x và hàm số g x cùng có điểm cực tiểu là x 0 . Đáp án B. 49
48. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Lời giải Từ bài toán xét sự biến thiên tổng quát của hàm số bậc bốn trùng phương mà tôi đã giới thiệu ở trang 21 và trang 22 trước đó thì ta có: b Hàm số f x x4 2x2 1 có 2 0 nên phương trình f ' x 0 có ba a x 0 b nghiệm phân biệt là x 1 2a b x 1 2a Kết hợp với STUDY TIP trang 22 thì ta có f x có hệ số a 1 0 ta có nhanh bảng biến thiên * Từ đây ta loại C do hàm số f x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. * Ta loại A do hàm số f x có hai điểm cực đại là x 1 và x 1 . Còn A 1;2 và B 1;2 là hai điểm cực đại của đồ thị hàm số, chứ không phải của hàm số (xem lại chú ý đầu tiên (phần mở đầu chủ đề cực trị của hàm số) về phân biệt các khái niệm). * Để loại một trong hai phương án B và D còn lại ta tiếp tục xét hàm số g x TXĐ: D ¡ . Ta có y ' x3 2x; y ' 0 x 0 Bảng biến thiên: x 0 f ' x + 0 − STUDY TIP 5 Đối với hàm bậc bốn f x 4 trùng phương có dạng y ax4 bx2 c , Từ BBT ta loại D do x 0 là điểm cực đại của hàm số g x . Vậy ta chọn B. a 0 thì nếu: ab 0 thì hàm số có Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) một điểm cực trị là x 0 . ab 0 thì hàm số có ba LOVEBOOK.VN|50 điểm cực trị là b x 0; x 2a
49. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing x 0 Ta có y ' 4ax3 2bx 0 b 2ax2 b 0 x2 2a Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm của phương trình 2ax2 b 0 . b a. Nếu 0 (tức a; b trái dấu) thì hàm số có ba điểm cực trị là 2a b x 0; x 2a b b. Nếu 0 (tức a; b cùng dấu hoặc b 0 thì hàm số có duy nhất một điểm 2a cực trị là x 0 . Tiếp tục là một bài toán áp dụng kết quả vừa thu được. 4 2 STUDY TIP Ví dụ 4: Cho hàm số y x 2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Đối với hàm bậc bốn A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu. trùng phương có dạng B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu. 4 2 y ax bx c , C. Hàm số có một cực đại và không có cực tiểu. a 0 có ab 0 , khi D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu. đó nếu: Đáp án B. a. a 0 thì x 0 là Lời giải điểm cực tiểu; Áp dụng kết quả vừa thu được ta có kết luận hàm số luôn có ba điểm cực trị do hai b x là hai điểm hệ số a, b trái dấu. 2a cực đại của hàm số. Mặt khác hệ số a 1 0 nên đồ thị hàm số có dạng chữ M (mẹo nhớ), do vậy hàm số có hai điểm cực đạ và một cực tiểu. b. a 0 thì ngược lại x 0 là điểm cực đại; Đến đây ta tiếp tục thu được kết luận ở phần STUDY TIP. b 4 2 x là hai điểm Ví dụ 5: Cho hàm số y x 6x 8x 1 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2a A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 1 . cực tiểu của hàm số. B. Hàm số có giá trị cực đại là y 25 và giá trị cực tiểu là y 2 . C. Hàm số có duy nhất một điểm cực trị x 2 là điểm cực đại. D. Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực tiểu là A 2;25 . Đáp án C. Lời giải 3 x 2 TXĐ: D ¡ . Ta có y ' 4x 12x 8; y ' 0 x 1 BBT x −2 1 Từ ví dụ 5 ta thấy đạo hàm bằng 0 tại x 1 51 nhưng qua điểm này y ' không đổi dấu nên điểm x 1 không phải là điểm cực trị của hàm số.
50. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB f ' x + 0 − 0 − 25 f x Hàm số đạt cực đại tại x 2 . Từ đây ta chọn C. Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, vì đạo hàm là đa thức bậc 3 nên hàm chỉ có thể có một cực trị hoặc ba cực trị. Hàm số có một cực trị khi phương trình y ' 0 có một nghiệm hoặc 2 nghiệm (1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 6: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ \2 và có bảng biến thiên phía dưới: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 và đạt cực tiểu tại điểm x 4 . B. Hàm số có đúng một cực trị. C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng −15. Đáp án C. x 0 2 4 y ' − 0 + + 0 − −15 y 1 Lời giải 3 x 2 TXĐ: D ¡ . Ta có y ' 4x 12x 8; y ' 0 x 1 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị của x mà qua đó y 'đổi dấu, đó là x 0 và x 4 , do vậy đây là hai điểm cực trị của hàm số. Ta thấy y ' đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 , do vậy x 0 là điểm cực tiểu của hàm số, ngược lại x 4 lại là điểm cực đại của hàm số. Từ đây ta loại được A, B. D sai do đây là các giá trị cực trị, không phải giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ta chọn C bởi tại x 0 thì hàm số có giá trị cực tiểu là y 1 . LOVEBOOK.VN|52
51. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Ví dụ 7: Hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 2 x 3 . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại. C. Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị. D. Hàm số đã cho không giá trị cực tiểu. Đáp án A. STUDY TIP x 1 2 Ở quy tắc 1 ta có hàm số y ' + 0 − + đạt cực trị tại điểm 3 khiến cho đạo hàm bằng y 0 hoặc không xác định. 0 Lời giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị của x mà khi qua đó y ' đổi dấu. Do vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị đó là x 1; x 2 . Chú ý: Nhiều độc giả nghĩ rằng tại x 2 không tồn tại y ' thì x 2 không phải là điểm cực trị của hàm số, đây là một sai lầm rất lớn. Bởi hàm số vẫn đạt cực trị tại điểm khiến cho đạo hàm không xác định. Ví dụ: Hàm số y x có đạo hàm không tồn tại khi x 0 nhưng đạt cực tiểu tại x 0 . Ví dụ 8: Hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 2 x 3 . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số có một điểm cực đại.B. Hàm số có hai điểm cực trị. C. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.D. Hàm số không có điểm cực trị. STUDY TIP Đáp án C. Trong đa thức, dấu của Lời giải đa thức chỉ đổi khi qua x 1 Ta thấy f ' x 0 nghiệm đơn và nghiệm x 3 bội lẻ, còn nghiệm bội Đến đây có nhiều độc giả kết luận luôn hàm số có hai điểm cực trị, tuy nhiên đó là chẵn không khiến đa 2 thức đổi dấu. kết luận sai lầm, bởi khi qua x 1 thì f ' x không đổi dấu, bởi x 1 0,x . Do vậy hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị là x 3 . 53
52. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví dụ 9: Hàm số nào sau đây không có cực trị? 2 x A. y x3 3x 1 B. y x 3 C. yD. x4 4x3 3x 1 y x2n 2017x n ¥ * STUDY TIP Đáp án B. 1. Hàm phân thức bậc Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công nhất trên bậc nhất không phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình có cực trị. bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công 2. Hàm bậc bốn luôn phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với luôn có cực trị (có ba mình qua Zalo 0988 166 193 cực trị hoặc có duy nhất một cực trị). Lời giải Với A: Ta thấy đây là hàm bậc ba có y ' 3x2 3 , phương trình y ' 0 luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại). Với B: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên không có cực trị. Do đó ta chọn B. Với C: Từ các kết quả về hàm số y ax4 bx2 c a 0 thì ta có kết luận rằng hàm số bậc bốn trùng phương luôn có điểm cực trị (do đồ thị hoặc dạng M; dạng W hoặc parabol). Với D: Ta có y ' 2nx2n 1 2017 (phương trình luôn có nghiệm). Ví dụ 10: Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị? A. y x4 2x2 10 B. y x4 2x2 3 1 C. yD. x3 3x2 5x 2 y 2x4 4 3 Đáp án B. Lời giải Ta có thể loại luôn C bởi hàm số bậc ba chỉ có nhiều nhất là hai cực trị. Tiếp theo ta đến với các hàm bậc bốn. Ta có hàm bậc bốn trùng phương có hai trường hợp, hoặc là có một điểm cực trị, hoặc là có ba điểm cực trị. Đến đây ta có thể suy ra, nếu hệ số a, b khác dấu thì hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị, do vạy ta chọn luôn được B. LOVEBOOK.VN|54
53. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Dạng 2 Tìm điều kiện để hàm số đã cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 2.1 Xét hàm số bậc ba có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) Chú ý: Hàm số y f x xác định trên D có cực trị x0 D thỏa mãn hai điều kiện sau: i. Đạo hàm của hàm số tại x0 phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x0 ii. f ' x phải đổi dấu qua x0 hoặc f '' x0 0 . Một số lưu ý đối với cực trị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) Ta có y ' 3ax2 2bx c - Để hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt. ' 0 b2 3ac 0 STUDY TIP - Ngược lại, để hàm số không có cực trị thì phương trình y ' 0 vô nghiệm hoặc Qua đây ta rút ra kết có nghiệm kép b2 3ac 0 quả, đồ thị hàm số bậc - Hoành độ x ; x của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y ' 0 . ba hoặc là có hai điểm 1 2 cực trị, hoặc là không có - Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số điểm cực trị nào. bậc ba, ta thường sử dụng phương pháp tách đạo hàm (xem bài toán tổng quát ở phía dưới). Một số bài toán thường gặp: Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d, a 0 . Tìm điều kiện để: a. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (hay hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ trái dấu). b. Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu (hay hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ cùng dấu). c. Hàm số có hai điểm cực trị x x1; x x2 so sánh với số thực α. d. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị (điểm cực đại và điểm cực tiểu) nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng). Lời giải tổng quát Ta có y ' 3ax2 2bx c ; phương trình 3ax2 2bx c 0 có ' b2 3ac a. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ac 0 . 55
54. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Chú ý b. Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng b2 3ac 0 Phương trình y ' 0 ta dấu c x1x2 0 xét ở đây có các hệ số 3a lần lượt là 3a; 2b; c do c. Điều kiện để hàm số có 2 cực trị x ; x thỏa mãn: vậy trong tất cả các bài 1 2 toán tổng quát về hàm số * x1 x2 * x1 x2 * x1 x2 bậc ba trong sách ta đều xét các hệ số này. (tham khảo bảng trang 28; 29). Ví dụ ' b2 3ac (ở d. Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía đây 2b; 3a; c lần lượt là với một đường thẳng : mx ny k 0 các hệ số của y ' 0 Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x1; y1 , B x2 ; y2 . khác với biệt số delta 2 b 4ac tổng quát mà ta * Nếu mx1 ny1 k mx2 ny2 k 0 thì A, B nằm cùng phía so với . vẫn ghi nhớ. * Nếu mx1 ny1 k mx2 ny2 k 0 thì A, B nằm khác phía so với . Một số trường hợp đặc biệt - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba nằm cùng phía so với trục Oy phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba nằm về hai phía đối với trục Oy phương trình y ' 0 có hai nghiệm trái dấu. - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía với trục Ox y ' 0 có hai nghiệm phân biệt và yCD .yCT 0 . - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía với trục Ox y ' 0có hai nghiệm phân biệt và yCD .yCT 0 . - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng nằm về một phía trên đối với trục Ox yCD .yCT 0 y ' 0 có hai nghiệm phân biệt và yCD yCT 0 - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía dưới với trục Ox y ' 0 yCD .yCT 0 có hai nghiệm phân biệt và yCD yCT 0 LOVEBOOK.VN|56
55. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Bài toán tổng quát 2: Viết phương trình đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d, a 0 Lời giải tổng quát Giả sử hàm bậc ba y f x ax3 bx2 cx d, a 0 có hai điểm cực trị là x1; x2 . Khi đó thực hiện phép chia f x cho f ' x ta được f x Q x . f ' x Ax B . f x1 Ax1 B Khi đó ta có (Do f ' x1 f ' x2 0 ). f x2 Ax2 B Vậy phương trình đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y f x có STUDY TIP dạng y Ax B . Phương trình đường Đến đây ta quay trở về với bài toán 1, vậy nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm số dư thẳng đi qua hai điểm đó một cách tổng quát. cực trị của đồ thị hàm số 2 bậc ba biểu diễn theo Ta có y ' 3ax 2bx c; y '' 6ax 2b . y ' ; y '' ; y là Xét phép chia y cho y ' thì ta được: y '.y '' g x y 1 b 18a y y '. x g x (*), ở đây g x là phương trình đi qua hai điểm cực 3 9a trị của đồ thị hàm số bậc ba. 3ax b 6ax 2b Tiếp tục ta có (*) y y '. g x y y '. g x 9a 18a y '' y '.y'' y y. g x g x y 18a 18a Một công thức khác về phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba là: Cho hàm số y ax3 bx2 cx d, a 0 . Sau khi thực hiện phép chia tổng quát thì ta rút ra được công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của 2c 2b2 bc đồ thị hàm số bậc ba theo a, b, c, d là y x d 3 9a 9a Sau đây tôi xin giới thiệu một cách bấm máy tính để tìm nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba như sau: Trước tiên ta xét ví dụ đơn giản: Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 2x2 3x 1 là: A. 26x 9y 15 0 B. 2 5x 9y 15 0 C. 26x 9y 15 0 D. 2 5x 9y 15 0 57
56. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 Đáp án A. Lời giải Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số xác định bởi: 6x 4 g x x3 2x2 3x 1 3x2 4x 3 . 18 Chuyển máy tính sang chế độ tính toán với số phức bằng cách nhập: Nhập vào máy tính biểu thức g x như sau: 6X 4 X 3 2X 2 3X 1 3X 2 4X 3 . 18 5 26 Ấn , gán X bằng I (ở máy tính i là nút ) khi đó máy hiện: i . 3 9 Vậy phương trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 5 26 Sử dụng máy tính y x 26x 9y 15 0 . 3 9 Sử dụng tính toán với số Tiếp theo ta có một bài tham số. phức để giải quyết bài Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 3x2 3 1 m x 1 3m , tìm m sao cho đồ thị hàm toán. số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. A. m 0; : 2mx y 2m 2 0 B. m 0; : 2mx y 2m 2 0 C. m 0; : y 202 200x D. m 0; : y 20 2 200x STUDY TIP Đáp án B. Với những dạng toán Lời giải này, ta lưu ý rằng trước Ta có y ' 3x2 6x 3 1 m , y '' 6x 6 . tiên, ta cần tìm điều kiện 2 để hàm số có hai cực trị. Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thì ' 3 9. 1 m 0 m 0 . Với m 0 thì ta thực hiện: Chuyển máy tính sang chế độ . y '' Nhập vào máy tính biểu thức y y ' ta có 18a LOVEBOOK.VN|58
57. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 6X 6 X 3 3X 2 3 1 M X 1 3M 3X 2 6X 3 1 M 18 Ấn Máy hiện X? nhập i = Máy hiện M? nhập 100 = Khi đó máy hiện kết quả là 202 200i Ta thấy 202 200i 2.100 2 2.100.i y 2m 2 2mx Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có dạng 2mx y 2m 2 0 . STUDY TIP Ta rút ra kết luận về cách làm dạng toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai Với bước cuối cùng, ta điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba này như sau: cần có kĩ năng khai triển Bước 1: Xác định y ' ; y '' . đa thức sử dụng máy tính cầm tay, do khuôn Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán với số phức: khổ của sách nên tôi không thể giới thiệu vào y '' sách, do vậy mong quý Nhập biểu thức y y '. 18a độc giả đọc thêm về phần này. Chú ý: Nếu bài toán không chứa tham số thì ta chỉ sử dụng biến X trong máy, tuy nhiên nếu bài toán có thêm tham số, ta có thể sử dụng các biến bất kì trong máy để biểu thị cho tham số đã cho, ở trong sách này ta quy ước biến M để dễ định hình. Bước 3: Gán giá trị. Ấn , gán X với i, gán M với 100 Lúc này máy hiện kết quả, từ đó tách hệ số và i để đưa ra kết quả cuối cùng, giống như trong hai ví dụ trên. Bài toán tổng quát 3: Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d, a 0 . Giả sử hàm số có hai điểm cực trị (một điểm cực đại, một điểm cực tiểu). Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Lời giải tổng quát Hàm số có hai điểm cực trị b2 3ac 0 . STUDY TIP 2 Cho hàm số bậc ba dạng Xét phương trình y ' 0 3ax 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . y ax3 bx2 cx d , Lúc này hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là A x1; y1 , B x2 ; y2 với a 0 . 2 2 2 Ta có d AB x x y y - Nếu b 3ac 0 thì 1 2 1 2 khoảng cách giữa hai Áp dụng bài toán tổng quát 2 ta có phương trình đi qua 2 điểm A; B là điểm cực trị của đồ thị hàm số là 59 4k 3 k d 2 với a b2 3ac k . 9a
58. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2c 2b2 bc : y x d 3 9a 9a b2 3ac 2c 2b2 3ac b2 bc Đặt k 2. thì : y 2kx d . 9a 3 9a 9a 9a 2 2 2 Lúc này ta có AB x1 x2 4x1x2 2k x1 x2 2 2 2b c 2 2b c AB 4. 4k . 4. 3a 3a 3a 3a 2 2 4 b2 3ac 2 4b 12ac 2 4b 12ac 2 2 AB 2 4k . 2 AB 1 4k 9a 9a a.9a 4 4k 3 k b2 3ac AB2 .k. 1 4k 2 AB 2 với k . a a 9a 3 2 3 Ví dụ 1: Giá trị của m để Cm : y x x m 1 x m m để khoảng cách 2 85 giữa hai điểm cực trị của đồ thị C bằng là m 27 A. m 2 B. C.m 1 D. m 4 m 3 Đáp án B. Lời giải - Ta có b2 3ac 1 3 m 1 3m 2 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 2 3m 2 0 m 3 - Lúc này áp dụng công thức trong bài toán tổng quát 3 thì ta có 3 3m 2 3m 2 4. 9 9 2 85 2 . Đến đây ta có thể nhập phương trình vào máy 1 27 tính và thử các giá trị của m trong 4 phương án, từ đó ta chọn được B thỏa mãn. Trường hợp m 2 3 3X 2 3X 2 85 Cách bấm máy tính: Nhập vào màn hình 4 (do có 9 9 27 cùng thừa số chung là 2 nên ta bỏ 2 đi). Trường hợp m 1 Thử với A: Ấn thì máy kết quả khác 0 nên ta loại A. Thử với B: Tiếp tục ấn thì máy kết quả 0 nên ta chọn B. Bài toán tổng quát 4: Định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d, a 0 đối xứng nhau qua đường thẳng d : y kx e . STUDY TIP Lời giải tổng quát Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba là điểm có hoành độ thỏa mãn LOVEBOOK.VN|60 y '' 0 và nằm trên đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d , a 0
59. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing Do đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên lúc này điểm uốn I xI ; yI sẽ thuộc d và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông yI kxI e góc với d. Tức là m thỏa mãn hệ sau: 2 b2 . c .k 1 3 3a 3 2 3 Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3mx 4m (với m là tham số) có đồ thị Cm . Tập tất cả các giá trị của m để hai điểm cực trị của đồ thị C đốim xứng nhau qua đường thẳng d : y x là 1  1 1  1 1  1  A.  B. C.;  D.; ;0 ;0 2  2 2  2 2  2  Đáp án B. Lời giải Ta có: y ' 3x2 6mx ; y '' 6x 6m; y '' 0 x m . Lúc này điểm uốn I là điểm có tọa độ m;2m3 . Từ bài toán tổng quát ở trên ta có: 2m3 m 2 1 2 3m m . . .1 1 2 3 3 Ví dụ 2: Xác định tất cả các giá trị của m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 mx đối xứng nhau qua đường thẳng x 2y 5 0 . A. m 0 B. C.m 2 D. m  m 2 Đáp án A. Lời giải Ta có y ' 3x2 6x m; y '' 6x 6; y '' 0 x 1 Vậy điểm uốn I 1;m 2 Trên đây là bốn bài toán tổng quát đưa ra phương Từ bài toán tổng quát ở trên ta có: hướng công thức cụ thể 1 2. m 2 5 0 cho các dạng bài hay 2 32 1 m 0 . gặp. Sau đây tôi xin đưa . m . 1 3 3 2 ra một số ví dụ khác không nằm trong 4 bài Một số ví dụ khác toán tổng quát trên, nhưng tuy nhiên các ví dụ dưới đây có chung một điểm là phương trình y ' 0 có thể tìm 61 được rõ nghiệm x1; x2 theo tham số m.
60. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 3 2 Ví dụ 1: Giá trị của m để đồ thị Cm : y 2x 3 m 3 x 11 3m có hai điểm cực trị A và B sao cho ba điểm A; B;C 0; 1 thẳng hàng là A. m 3 B. C. m 4 D. m 1 m 1 Đáp án B. Lời giải 2 x 0 Xét phương trình y ' 0 6x 6 m 3 x 0 x 3 m Đồ thị Cm có hai điểm cực trị A và B khi và chỉ khi 3 m 0 m 3 Áp dụng bài toán tổng quát số 2 thì ta có phương trình đi qua hai điểm cực trị A; B là AB : y m 3 2 x 11 3m . Để A, B, C thẳng hàng thì C 0; 1 AB : y m 3 2 x 11 3m 1 11 3m m 4 (thỏa mãn yêu cầu đề bài). Ví dụ 2: Tất cả các giá trị của m để đồ thị 3 2 2 3 Cm : y x 3mx 3 m 1 x m m có hai điểm cực trị trong đó A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu sao cho OA 2OB là A. m 3 2 2 B. m 2 3 2;m 2 3 2 C. m 3 2 3 D. m 3 2 2;m 3 2 2 Đáp án D. Lời giải Ta có b2 3ac 9 0,m ¡ . Suy ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. STUDY TIP Ta có y' 9 phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt Sở dĩ trong bài toán này x1 m 1; x2 m 1 x1 x2 ta kết luận được x x1 Vì hệ số a 1 0 nên x x là điểm cực đại của hàm số và x x là điểm cực là điểm cực đại của hàm 1 2 tiểu của hàm số. số và x x2 là điểm cực tiểu của hàm số bởi ta A m 1;2 2m và B m 1; 2 2m . dựa vào cách nhận dạng 2 2 2 đồ thị hàm bậc ba có Theo đề ta có OA 2OB OA 2OB m 6m 1 0 phương trình y ' 0 có m 3 2 2 hai nghiệm phân biệt và (thỏa mãn yêu cầu đề bài). m 3 2 2 hệ số thì đồ thị dạng chữ N. 3 Ví dụ 3: Giá trị của m để đồ thị hàm số Cm : y x 3mx 1 có hai điểm cực trị B, C sao cho tam giác ABC cân tại A với A 2;3 là LOVEBOOK.VN|62
61. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing 1 1 A. m 0;m B. m 1;m C.2 m D. m 2 2 2 Đáp án C. Lời giải Để hàm số có hai cực trị thì y ' 0 3x2 3m 0 có hai nghiệm phân biệt STUDY TIP 3 m 0 . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị B; C lần lượt là B m;2 m 1 ; Khi giải các bài toán  chứa tham số ta nên chú C m; 2 m3 1 BC 2 m; 4 m3 ý xem phương trình y ' 0 có thể giải ra Gọi I là trung điểm của BC I 0;1 . nghiệm được hay không.   3 1 Ta có một số kết quả ABC cân tại A AI.BC 0 4 m 8 m 0 m 0;m . 2 sau: 1 1. Tổng các hệ số của Đối chiếu với điều kiện ta có m là giá trị cần tìm. 2 các số hạng trong phương trình bằng 0 thì 3 2 2 3 Ví dụ 4: Giá trị của m để đồ thị Cm : y x 3mx 3 m 1 x m 4m 1 có phương trình có một nghiệm x 1. hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại A là 2. Tổng các hệ số bậc A. m 1;m 2 B. m 1;m 2C. m 1;m D. 1 m 1;m 0 chẵn và các hệ số bậc lẻ Đáp án A. của các số hạng trong Lời giải phương trình bằng nhau thì phương trình có một 2 2 x m 1 y m 3 Ta có y ' 3x 6mx 3 m 1 0 nghiệm x 1. x m 1 y m 1 3. Lưu ý xét b2 3ac để  A m 1;m 3 OA m 1;m 3 giải nghiệm phương  B m 1;m 1 trình y ' 0 nhanh hơn. OB m 1;m 1   2 m 1 Do tam giác OAB vuông tại O OA.OB 0 2m 2m 4 0 m 2 Vậy m 1 hoặc m 2 là các giá trị cần tìm. Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 63
62. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2.2. Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y = ax4 + bx2 + c, (a ≠ 0) x 0 Ta có y ' 4ax3 2bx 0 2 2ax b 0 Đến đây ta có nhận xét hàm số bậc bốn trùng phương luôn có điểm cực trị. Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm của phương trình 2ax2 b 0 . b a. Nếu 0 tức là a, b cùng dấu hoặc b 0 thì phương trình vô nghiệm 2a hoặc có nghiệm x 0 . Khi đó hàm số chỉ có một điểm cực trị là x 0 . b b. Nếu 0 tức là a, b trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2a b b x . Nghĩa là hàm số có ba điểm cực trị là x 0; x . 2a 2a Ta vừa chứng minh ở trên, nếu ab 0 thì hàm số có ba điểm cực trị là x 0 ; b x . 2a Khi đó đồ thị hàm số đã cho sẽ có ba điểm cực trị là: b b 2 A 0;c , B ; ,C ; với b 4ac (Hình minh họa) 2a 4a 2a 4a 4 2 b b b ab2 b2 (Chứng minh: ta có f a b. c c 2 2a 2a 2a 4a 2a ab2 2ab2 4a2c ab2 4ac b2 4ac (đpcm)) 4a2 4a2 4a b4 b b AB AC ; BC 2 16a2 2a 2a STUDY TIP Bài toán 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 Qua đây ta rút ra kết y ax bx c, a 0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông. quả, để đồ thị hàm số Lời giải tổng quát y ax4 bx2 c , a 0 có ba điểm cực Với ab 0 thì hàm số có ba điểm cực trị. trị tạo thành tam giác Do điểm A 0;c luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C. Nên tam giác vuông cần điều kiện là ABC phải vuông cân tại A. Điều này tương đương với AB  AC (do AB AC b3 có sẵn rồi). 8. Ta loại được a  b b2  b b2 điều kiện a, b trái dấu Mặt khác ta có AB ; ; AC ; 2a 4a 2a 4a do từ công thức cuối cùng thu được thì ta luôn có a, b trái dấu. LOVEBOOK.VN|64
63. Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing   b b4 b3 Do AB  AC nên AB.AC 0 0 8 2a 16a2 a Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 8m2 x2 3 có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân. 1  1  1 1  A. 0 B. C. D.  ;  2 2 2 2 Đáp án D. Lời giải Cách 1: Lời giải thông thường. Cách 2: Áp dụng công thức. TXĐ: D ¡ . Để các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam Ta có: y ' 4x x2 4m2 giác vuông cân thì Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 2 3 b3 8m phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt 8 8 a 1 m 0 . 1 Lúc đó, ba điểm cực trị là: m 2 A 2m; 16m4 3 , B 0;3 ,C 2m; 16m4 3 Nên BA BC . Do đó, tam giác ABC cân tại B Khi đó, tam giác ABC vuông cân khi và   chỉ khi: BA.BC 0 4m2 256m8 0 1 m 6 2 1 64m 0 m 0 1 m 2 Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức và làm nhanh hơn rất nhiều so với việc suy ra từng trường hợp một. Bài tập rèn luyện lại công thức: 1. Cho hàm số y x4 2mx2 m2 2 . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông? A. m 1 B. C.m 1 D. m 2 m 2 4 2 2 2. Cho hàm số y f x x 2 m 2 x m 5m 5 Cm . Giá trị nào của m để đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân thuộc khoảng nào sau đây? 65
64. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB STUDY TIP 4 3 3 21 1 A. B. ; C. ; D. 0; 1;0 Độc giả nên làm các bài 7 2 2 10 2 tập rèn luyện này mà 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số không nhìn lại công 4 2 y x m 2015 x 2017 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. thức để có thể ghi nhớ công thức lâu hơn. A. m 2017 B. m 2 0C.1 4 D. m 2016 m 2015 Đây là trích đoạn một phần rất nhỏ của bộ công phá toán 3 ( chương trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng mình có tất cả 3 cuốn công phá 1 + 2 và 3 Thầy cô nào cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2 m 2016 x2 2017m 2016 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A. m 2017 B. m 20 1C.7 D.m 2018 m 2015 5. Tìm m để đồ thị hàm số f x x4 2 m 1 x2 m2 có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông. A. m 2 B. C.m 1 D. m 0 m 1 Đáp án 1. A 2. A 3. A 4. A 5. C Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c, a 0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. STUDY TIP Lời giải tổng quát Qua đây ta rút ra kết quả, để đồ thị hàm số Với ab 0 thì hàm số có ba điểm cực trị. 4 2 y ax bx c , Do AB AC , nên ta chỉ cần tìm điều kiện để AB BC . a 0 có ba điểm cực Mặt khác ta có trị tạo thành tam giác b4 b b 3 b AB AC 2 ; BC 2 đều thì 24 . 16a 2a 2a a b b4 2b b3 Do vậy AB BC 24 2a 16a2 a a Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2mx2 m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Ta có kết LOVEBOOK.VN|66