Dạng đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Nội dung text: Dạng đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

1. DẠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. (5,0 điểm) 2 1) Cho phương trình: x− 2mm x + 2 − 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x12 , x 2x12 x+ 3 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 22 khi m thay đổi. x1+ x 2 + 2(1 + x 1 x 2 ) 1 1 1 2) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn + =  Chứng minh rằng A= a2 + b 2 + c 2 là số hữu tỉ. a b c 3) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 111 là số hữu tỉ. B =++ 22 (xy)(zx)−−(yz)− 2 Câu II. (5,0 điểm) 22 xx10 1) Giải phương trình += x1x19−+ 2 11 xx14+++= yy 2) Giải hệ phương trình xx1 2 x4.3 +++= 23 yyy Câu III. (2,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính số đo góc BPE. Câu IV. (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O A B ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( PA, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( NP ). 1) Chứng minh rằng ANPBNP= và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm) 1) Cho a1 , a 2 , , a 45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a 2 a 45 130. Đặt daajj =−=+ 1j ;(j 1,2, ,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần (toán tổ hợp). 2 2 2 2 2 2 2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a+ b + b + c + c + a = 2011. Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 1 2011 + + . b+ c c + a a + b 2 2 HẾT