Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh vòng 2 môn Toán Lớp 11 (Buổi thi thứ hai) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Long An

Nội dung text: Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh vòng 2 môn Toán Lớp 11 (Buổi thi thứ hai) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Long An

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VềNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Mụn thi: TOÁN Ngày thi: 21/9/2018 (Buổi thi thứ hai) Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Cỏch giải khỏc nếu đỳng thỡ giỏm khảo vẫn cho đủ số điểm. NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 5 (6,0 điểm): Cho hàm số f : Ă đ Ă thỏa f (xf (y))+ f (f (x)+ f (y)) = yf (x)+ f (x + f (y)) , với mọi x,y ẻ Ă . a) Chứng minh rằng: “Nếu tồn tại a ẻ Ă sao cho f (a) ạ 0 thỡ f là đơn ỏnh”. b) Tỡm tất cả cỏc hàm số f . Lấy y1,y2 ẻ Ă sao cho f (y1) = f (y2) (1) . Thế x bởi a và thế y lần lượt bởi y1,y2 ta được: 1,0 f (af (y1))+ f (f (a)+ f (y1)) = y1f (a)+ f (a + f (y1)) (2) f (af (y2))+ f (f (a)+ f (y2)) = y2f (a)+ f (a + f (y2)) (3) Từ (1), (2), (3) ta được: y f (a) = y f (a) ị y = y (vỡ f (a) ạ 0 ). 1 2 1 2 1,0 Vậy f là một đơn ỏnh. TH1: Nếu f (x) = 0 với mọi x ẻ Ă . Thử lại ta thấy thỏa món. 1,0 TH2: Nếu tồn tại a sao cho f a 0 . Thế x = 0,y = 1 vào đề bài ta được: f (0)+ f (f (0)+ f (1)) = f (0)+ f (f (1)) . 1,0 Vỡ f là đơn ỏnh nờn ta được: f (0) = 0 . Mặt khỏc, thế y = 0 vào đề bài ta được: 1,0 f (xf (0))+ f (f (x)+ f (0)) = 0.f (x)+ f (x + f (0)), " x ẻ Ă . Vỡ f (0) = 0 nờn f (f (x)) = f (x), " x ẻ Ă hay f (x) = x, " x ẻ Ă . 1,0 Vậy f (x) = 0, " x ẻ Ă hoặc f (x) = x, " x ẻ Ă . Cõu 6 (7,0 điểm): ùỡ u = 2020 ù 1 Cho dóy số (u ) được xỏc định như sau: ớù . n ù 2018n + 2 ù un+ 1 = (un + 1), " n = 1,2,3, ợù 2019n + 2 Chứng minh rằng dóy số đó cho cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú. Trang 1/ 3
2. Ta cú: un > 0, " n = 1,2 0,5 (2018n + 2)(u + 1) - (2019n + 2)u 2018n + 2- nu Xột hiệu: u - u = n n = n 1,0 n+ 1 n 2019n + 2 2019n + 2 Ta đi chứng minh: 2018n + 2- nun 2018n + 2, " n = 2,3,4, ( ) 0,5 Khi n = 1 , dễ thấy mệnh đề ( ) đỳng. Giả sử: kuk > 2018k + 2, " k = 2,3,4, 0,5 2018k + 2 (k + 1)u = (k + 1) (u + 1) k+ 1 2019k + 2 k 1,0 k + 1 = (2018ku + 2u + 2018k + 2) 2019k + 2 k k k + 1 ộ 2018k + 2 ự > ờ2018(2018k + 2) + 2 + 2018k + 2ỳ ờ ỳ 2019k + 2 ở k ỷ ổ ử 1,0 (k + 1)(2018k + 2) ỗ 1ữ (k + 1)(2018k + 2) = ỗ2019 + 2 ữ= 2019k + 2 ốỗ kứữ k 2 = 2018k + 2 + 2018 + > 2018k + 2020, " k = 2,3,4, 1,0 k Vậy un+ 1 < un, " n = 2,3,4, 0,5 Mà (un ) bị chặn dưới nờn dóy số đó cho cú giới hạn hữu hạn. Gọi L = limun . 2018 1,0 Ta cú: L = (L + 1) Û L = 2018 2019 Cõu 7 (7,0 điểm) Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 2018 chữ số, trong mỗi số đú cỏc chữ số đều lớn hơn 1 và khụng cú hai chữ số khỏc nhau cựng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau? Xột trường hợp tổng quỏt với số tự nhiờn cú n chữ số, với n là số nguyờn dương. Gọi An,Bn lần lượt là tập cỏc số tự nhiờn cú n chữ số thỏa yờu cầu đề bài mà chữ số tận 0,5 cựng nhỏ hơn 7 và chữ số tận cựng lớn hơn 6. Lấy một phần tử a thuộc An , cú một cỏch thờm vào chữ số cuối cho a (thờm vào bờn phải chữ số cuối cựng của a ) để được một phần tử của An+ 1 và cú 3 cỏch thờm vào chữ số cuối 0,5 cho a để được một phần tử của Bn+ 1 . Lấy một phần tử b thuộc Bn , cú 5 cỏch thờm vào chữ số cuối cho b để được một phần tử 0,5 của An+ 1 và cú 3 cỏch thờm vào chữ số cuối cho b để được một phần tử của Bn+ 1 . Trang 2/ 3
3. ùỡ A = A + 5 B ù n+ 1 n n Ta cú:ớ . 1,0 ù B = 3 A + 3 B ợù n+ 1 n n Khi đú: An+ 1 + Bn+ 1 = 4 An + 8 Bn = 4(An + Bn )+ 4 Bn . 1,0 = 4(An + Bn )+ 4.3(An- 1 + Bn- 1 ) = 4(An + Bn )+ 12(An- 1 + Bn- 1 ),n ³ 2 1,0 với A1 = 5, B1 = 3, A2 = 20, B2 = 24 Kớ hiệu xn = An + Bn , ta được: xn+ 2 = 4xn+ 1 + 12xn , trong đú x1 = 8,x2 = 44 . 1,0 1 ộ n ự Sử dụng sai phõn tuyến tớnh, ta được: x = ờ5.6n - (- 2) ỳ . 1,0 n 4 ởờ ỷỳ 1 Áp dụng cho n = 2018 , ta cú 5.62018 - 22018 số cần tỡm. 0,5 4( ) . HẾT . Trang 3/ 3