Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh vòng 2 môn Toán Lớp 11 (Buổi thi thứ nhất) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Long An

Nội dung text: Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh vòng 2 môn Toán Lớp 11 (Buổi thi thứ nhất) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Long An

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VềNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Mụn thi: TOÁN Ngày thi: 20/9/2018 (Buổi thi thứ nhất) Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Cỏch giải khỏc nếu đỳng thỡ giỏm khảo vẫn cho đủ số điểm. NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 1 ( 5,0 điểm): ỡ ù 2x + y - x + y = 1 (1) Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực: ớù . ù 2x + y + 4x + y = 2 (2) ợù ỡ ùỡ ù 2x + y ³ 0 ù u = 2x + y Điều kiện ớ . Đặt ớù (u,v ³ 0) 0,5 ù 4x + y ³ 0 ù v = 4x + y ợù ợù ỡ 2 2 ù u - v = - 2x 2- x Ta cú: ớù ị u = 1,0 ù u + v = 2 2 ợù 2- x 2- x 3 Thay u = vào (1) , ta cú: - x + y = 1 Û y = x 1,0 2 2 2 3 7 1 Thay y = x vào (1) , ta cú: x + x = 1 Û 14x = 2- x 1,0 2 2 2 ùỡ x Ê 2 ù ù ộ Û ớ ờx = 9 + 77 Û x = 9- 77 1,0 ù ờ ù ờx = 9- 77 ợù ở ổ ử 3 ỗ 27 - 3 77ữ ị y = 9- 77 ỗ ữ ( ). So điều kiện, hệ cú nghiệm ỗ9- 77; ữ 0,5 2 ốỗ 2 ứữ Cõu 2 (5,0 điểm): 4 2 Cho hàm số y = x + 2mx + 3 (m là tham số thực) cú đồ thị (Cm ) . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m sao cho trờn đồ thị (Cm ) tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của (Cm )tại điểm đú vuụng gúc với đường thẳng x - 8y + 2018 = 0 . Tiếp tuyến cú hệ số gúc bằng - 8 0,5 3 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm thỡ x0 là nghiệm của phương trỡnh x + mx + 2 = 0 (1) 1,0 Để thỏa yờu cầu bài toỏn thỡ (1) cú nghiệm duy nhất. 1,0 Trang 1/ 3
2. Vỡ x = 0 khụng là nghiệm của (1) nờn 2 (1) Û m = - x2 - x 2 2 - 2x3 + 2 Xột hàm số: f (x) = - x2 - ; f '(x) = - 2x + = 0,5 x x2 x2 Bảng biến thiờn x - Ơ 0 1 + Ơ f '(x) + + 0 - 1,0 + Ơ - 3 f (x) - Ơ - Ơ - Ơ Từ bảng biến thiờn, (1) cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m > - 3 . 1,0 Vậy m > - 3 thỏa yờu cầu bài toỏn. Cõu 3 (5,0 điểm): Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, khụng cõn và nội tiếp đường trũn (O) . Gọi H là chõn đường cao kẻ từ A và I là tõm đường trũn nội tiếp của tam giỏc ABC . Đường thẳngA I cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai M (M khỏc A ). Gọi AA ' là đường kớnh của (O) . Đường thẳng MA ' ã 0 cắt cỏc đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K . Chứng minh NIK = 90 . ã 0 1 ã 0 ã ã Ta cú OAC = 90 - AOC = 90 - ABC = BAH mà AI là phõn giỏc gúc A nờn 2 1,0 ã ã HAI = OAI . Suy ra tam giỏc ANA' cõn tại A. Gọi L là giao điểm của MA và BC. ã 0 ã ã ã Ta cú HKN = 90 - HNK = HAM = LAA ' . Suy ra, tứ giỏc ALA'K nội tiếp. 1,0 Do đú MA '.MK = ML.MA ị MN.MK = ML.MA . (1) Trang 2/ 3
3. ã ã ã ã Vỡ MAC = MCB hay MAC = MCL nờn hai tam giỏc MCL và MAC đồng dạng. 1,0 Suy ra ML.MA = MC 2 . (2) Do IA, IC là cỏc tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC nờn ta cú: ã 1ổ1 ằ ẳ ử ã 1ổ1 ằ ẳ ử MIC = ỗ sủ AB + sủMCữ và MCI = ỗ sủ AB + sủMBữ . 1,0 2ốỗ2 ứữ 2ốỗ2 ứữ ã ã Do đú, MIC = MCI nờn tam giỏc MIC cõn tại M . Suy ra,MI = MC . (3) 2 ã 0 Từ (1), (2), (3) suy ra MN.MK = MI ị NIK = 90 . 1,0 Cõu 4 (5,0 điểm): Cho K là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiờn một số từ K . Tớnh xỏc suất để số được chọn cú tổng cỏc chữ số là bội của 4. Ta cú: K = 9.103 = 9000 . 0,5 Gọi A là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú bốn chữ số mà tổng cỏc chữ số của nú chia hết cho 4. A = {abcd ẻ Ơ : (a + b + c + d)M4}. Xột b + c + d = 4k + r (0 Ê r Ê 3) . Nếu r ẻ {0;1;2} thỡ mỗi giỏ trị của r sẽ cú hai giỏ 1,0 trị của a sao cho (a + b + c + d)M4 (đú là a = 4- r, a = 8- r ). Nếu r = 3 thỡ mỗi giỏ trị của r sẽ cú ba giỏ trị của a sao cho (a + b + c + d)M4 (đú là a = 1, a = 5, a = 9 ). Gọi B = {bcd ẻ Ơ : 0 Ê b,c,d Ê 9, b + c + d = 4k + r, 0 Ê r Ê 2} , C = {bcd ẻ Ơ : 0 Ê b,c,d Ê 9, b + c + d = 4k + 3}. 1,0 Khi đú, ta cú: A = 2 B + 3C = 2(B + C )+ C = 2.103 + C . Xột tập hợp C với c + d = 4m + n . Nếu n ẻ {0;1} thỡ mỗi giỏ trị của n sẽ cú hai giỏ trị của b sao cho b + c + d = 4k + 3 . Nếu n ẻ {2;3} thỡ mỗi giỏ trị của n sẽ cú ba giỏ trị của 1,0 b sao cho b + c + d = 4k + 3 . Gọi D = {cd ẻ Ơ : 0 Ê c,d Ê 9,c + d = 4m + n, 0 Ê n Ê 1} , E = {cd ẻ Ơ : 0 Ê c,d Ê 9, c + d = 4m + n, 2 Ê n Ê 3} . 1,0 Khi đú, ta cú: C = 2 D + 3 E = 2(D + E )+ E = 2.102 + E , với E = 25 + 24 = 49 . Suy ra: A = 2.103 + 2.102 + 49 = 2249 . Gọi biến cố X : “Số được chọn cú tổng cỏc chữ số là bội của 4”. Khi đú, xỏc suất của biến 2249 0,5 cố X là: P (X ) = . 9000 . HẾT . Trang 3/ 3