Đáp án đề thi lập đội tuyển dự thi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 2 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk

Nội dung text: Đáp án đề thi lập đội tuyển dự thi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 2 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 23/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm 4 trang) A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1 3 5 Cho tập hợp  xxx1; 2 ; 3 | xi , i 1,2,3. Với mọi x xxx1; 2 ; 3 ; 3 y yyy1; 2 ; 3 thuộc ta xác định 3 2 dxy1 ,  yxi i i 1 d2 xy, Maxyi x i i 1,2,3 3 dxy3 ,  yxi i i 1 Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương ,, sao cho dxy1 ,,,, dxy 2  dxy 3  dxy 1 2 2 1 y1 x 1 Max yi x i i 1,2,3 3 2 2 2 2 Ta có yx2 2 Maxyx ii yx ii 3 Maxyx ii i 1,2,3 i 1,2,3 i 1 2 2 y3 x 3 Maxy i x i i 1,2,3 3 2 yii x3 Maxy ii x dxy1, 3 dxy 2 , 1 i 1,2,3 i 1 3 1 Dễ thấy Maxyii x y ii x dxy2, dxy 3 , 2 i 1,2,3 i 1 3 1 Mặt khác yxi i 1. yx1 1 1. yx 2 2 1. yx 3 3 i 1 3 2 2 2 2 1 1 1  yxi i 3 dxy1 , dxy 3 , 3 dxy 1 , 3 i 1 1 Từ 1 , 2 , 3 ta có dxy1 , 3 dxy 2 , 3 dxy 3 , 3 dxy 3 , Vậy 3,  3,  3 suy ra điều phải chứng minh 1 2 x1 2015 5 Cho dãy số thực xn xác định bởi xn * . Tìm xn 1 3 , n 2 xn 1
2. lim xn n * Dễ thấy xn 3,  n 1 xn 1 x 3 3 1  3 2, n 1 xn n 1 2 2 nên dãy   bị chặn. xn 1 xn 1 x 1 Xét hàm số fx 3 , x 3; 3 2 x2 1 1 fx' , x 3; 3 2 3 x2 1 1 1 1 fx' , x 3; 3 2 3 3 x2 1 2 2 2 3 1 Xét phương trình 1 x fxx  3 xx 3; 3 2 x2 1 3 15  x x 3; 3 2 2 o 1 xn 1 x o fx n fx o n 1 1 1 fcxx' n o xx n o xx1 o 0 khin 2 2 2 2 3 15 1 Vậy lim xn x o n 2 3 Cho tứ diện đều ABCD , M là điểm nằm phía trong của tứ diện. Gọi 5 MM1; 2 ; MM 3 ; 4 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (BCD );( CDA );( DAB );( ABC ).     4  Chứng minh rằng: MM MM MM MM MG 1 2 3 4 3 Qua M dựng các mp song song với các mặt 1 (BCD );( CDA );( DAB );( ABC ) Các mặt phẳng đó cắt (BCD) theo giao là các giao tuyến NN1 2,, NN 2 3 NN 3 1 lần lượt song song BC, CD, DB nên tam giác NN1 2 N 3 đều. Tương tự các tam giác PPP1 2 3,Q, 1 QQ 2 3 KKK 1 2 3 là các tam giác đều
3. Các tứ diện MNN1 2 N 3 , MPPP1 2 3,MQ 1 QQ 2 3 ,M KKK 1 2 3 là các tứ diện đều 1 Do vậy MM1; 2 ; MM 3 ; 4 là tâm các tam giác đều NN1 2 N 3 , PPP1 2 3,Q, 1 QQ 2 3 KKK 1 2 3  1    1 MM MN MN MN 1 3 1 2 3  1    MM MP MP MP 23 1 2 3 Nên ta có:  1    MM MQ MQ MQ 33 1 2 3  1    MM4 MK 1 MK 2 MK3 3     1 MM1 MM 2 MM3 MM 4 1       MN MQ MK MN MK MP 3 1 3 2 2 3 1 1       MN MP MQ MP MQ MK 3 3 2 2 3 1 1 4  MG 3     4  1 Vậy MM MM MM MM MG 1 2 3 4 3 4 Tìm các số tự nhiên a1;;; a 2 a 3  ; an thỏa mãn 5 a1 a 2 a 3  an 2015 sao cho biểu thức P a1 a 2 a 3 an lớn nhất có thể. Ta chứng tỏ trong các số a1;;; a 2 a 3  ; an cần tìm không có số 1. 1
4. Thật vậy: giả sử tồn tại một số bằng 1, chẳng hạn là a1 1, khi đó trong các số còn lại phải có số a j 2 , ta giả sử là a2 2 , vì ngược lại dễ thấy điều vô lý Khi đó ta thay a1 bởi số 2 và a2 bởi a2 1 2 1 2 a2 1 a 3  an 2015  a2 2 2 a2 1 a 3 an 1 a 2 a 3  a n Vi phạm P a1 a 2 a 3 an lớn nhất có thể. Ta chứng tỏ trong các số a1;;; a 2 a 3  ; an không có số nào lớn hơn 4. 1 Thật vậy giả sử a1 5 Khi đó ta thay a1 2 a 1 2 a1 a 2 an2 a 1 2 a 2  a n 2015   a14 a 1 5 2 a1 2 a 2 an a 1 a 2 a 3  a n Mâu thuẫn với P a1 a 2 a 3 an lớn nhất có thể. Suy ra trong n số tự nhiên cần tìm a1;;; a 2 a 3  ; an chỉ nhận các giá trị 2, 1 3, 4. Tuy nhiên 4=2.2 và 4=2+2 nên thay số 4 bởi hai số 2 Trong n số có nhiều nhất là hai số 2 vì nếu giả sử có 3 số 2 thì 2 2 2 6 3 3 6 2.2.2 8 3.3 9 Tức là có thể thay ba số 2 thành hai số 3 để có tích lớn hơn. Lại có 2015=3.671+2 Từ đó suy ra có 672 số a1;;; a 2 a 3  ; a672 trong đó có 671 số 3 và một số 2 1 thì tích bằng 3671 .2 đạt giá trị lớn nhất có thể. B. HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số. 2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó. Hết