Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 25/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 2 Bài 1.(5đ). Cho dãy số()xnn 0 xác định bởi x01 0;1 , xn x n x n ,  n 0 a.Chứng minh limnx 1 n n n(1 nx ) b.Tìm giới hạn lim n n lnn Bài 2.(5đ). Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc=1chứng minh a b c b c a 111 3 2(a b c ) b c a a b c b c a Bài 3.(5đ). Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại trực tâm H.Lấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm đoạn BC.Gọi K là giao điểm của MH và AB,L là giao điểm của AO với BH.Chứng minh KL đi qua trung điểm đoạn EF. Bài 4.(5đ). Cho a,b,c,d là các số nguyên dương và gcd(a,b)=1.chứng minh gcd(am b m , a n b n ) agcd( m , n ) b gcd( m , n ) ở đây gcd(x,y) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên x và y. Bài 5.(7đ). Cho dãy số a nguyên có tính chất với mọi số tự nhiên m,đa thức n n 0 mm 1 Pm( x ) a m x a m 1 x a 1 x a 0 có m nghiệm thực chứng minham n 1,  n Bài 6.(7đ). Cho tam giác nhọn ABC và D,E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ A,B,C.Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF và BDF tương ứng II12, .Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI12, BCI lần lượt là OO12, a.Chứng minh các điểm ABII,,,12thuộc 1 đường tròn b.Chứng minh II12song song OO12 Bài 7.(6đ). Cho n số nguyên dương tìm số hoán vị a12, a , , an của dãy 1,2, ,n thỏaa12 2 a nan