Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Bài 2: Hàm số bậc nhất

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Bài 2: Hàm số bậc nhất

1. §2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) . 2. Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ · Hàm số số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a 0 ) - ¥ x - ¥ + ¥ y = ax + b + ¥ ( a < 0 ) - ¥ 3. Đồ thị. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ¹ 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a , cắt trục hoành tại æ b ö Aç- ;0÷ và trục tung tại B(0;b) èç a ø÷ Chú ý: · Nếu a = 0 Þ y = b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. · Phương trình x = a cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a. · Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d đi qua điểm M(x0 ; y0 ), khi đó phương trình của đường thẳng d là: y- y0 = a(x- x0 ). B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ . 1. Phương pháp giải. · Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau
2. Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b,a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a,b , từ đó suy ra hàm số cần tìm. · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2 . Khi đó: ïì a = a a) d và d trùng nhau Û íï 1 2 ; 1 2 ï = îï b1 b2 ïì a = a b) d và d song song nhau Û íï 1 2 ; 1 2 ï ¹ îï b1 b2 ïì y = a x + b c) d và d cắt nhau Û a ¹ a . Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình íï 1 1 1 2 1 2 ï = + îï y a2x b2 d) d1 và d2 vuông góc nhau Û a1.a2 = - 1. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua A(1; 3), B(2;- 1) A. y = - 4x + 2 B. y = - 2x + 3 C. y = - 4x + 5 D. y = - 4x + 7 b) d đi qua C(3;- 2) và song song với D : 3x- 2y + 1= 0 1 3 3 13 3 3 3 3 A. y = x- B. y = x- C. y = x- D. y = x + 2 2 2 2 2 2 2 2 c) d đi qua M(1; 2) và cắt hai tia Ox,Oy tại P,Q sao cho SDOPQ nhỏ nhất. A. y = - 2x + 2 B. y = - 2x + 3 C. y = - 2x + 4 D. y = 2x- 1 d) d đi qua N(2;- 1)và d ^ d' với d' : y = 4x + 3 . 1 1 1 1 1 1 1 1 A. y = - x- B. y = - x- C. y = - x + D. y = x- 4 2 4 3 4 2 4 2 Lời giải: Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b,a ¹ 0 a) Vì A Î d và B Î d nên ta có hệ phương trình ïì 3 = a + b ïì a = - 4 íï Û íï îï - 1= 2a + b îï b = 7 Vậy hàm số cần tìm là y = - 4x + 7
3. ïì 3 ï a = 3 1 ï b) Ta có D : y = x + . Vì d / /D nên íï 2 (1) 2 2 ï 1 ï b ¹ îï 2 Mặt khác C Î d Þ - 2 = 3a + b (2) ïì 3 ï a = ï Từ (1) và (2) suy ra íï 2 ï 13 ï b = - îï 2 3 13 Vậy hàm số cần tìm là y = x- 2 2 æ b ö c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại Pç- ;0÷ và cắt Oy tại Q(0;b) với a 0 èç a ø÷ 1 1 b b2 Suy ra S = OP.OQ = . - . b = - (3) DOPQ 2 2 a 2a Ta có M Î d Þ 2 = a + b Þ b = 2- a thay vào (3) ta được 2 (2- a) 2 a S = - = - - + 2 DOPQ 2a a 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 2 a æ 2ö æ aö - - ³ 2 ç- ÷.ç- ÷= 2 Þ S ³ 4 a 2 èç aø÷èç 2ø÷ DOPQ ïì 2 a ï - = - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í a 2 Û a = - 2 Þ b = 4 ï îï a < 0 Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x + 4 . d) Đường thẳng d đi qua N(2;- 1) nên - 1= 2a + b (4) 1 1 Và d ^ d' Þ 4.a = - 1 Û a = - thay vào (4) ta được b = - . 4 2 1 1 Vậy hàm số cần tìm là y = - x- . 4 2 Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d' : y = 3x + 2 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng A. M(2m- 1; 3m- 1) B. M(m- 2; 3m- 2)
4. C. M(m+ 1; 3m+ 1) D. M(m- 1; 3m- 1) b) Tìm m để ba đường thẳng d,d' và d" : y = - mx + 2 phân biệt đồng quy. A. m = - 1 B. m = 3 C. m = 1 D. m = 2 Lời giải: a) Ta có ad = 1¹ ad' = 3 suy ra hai đường thẳng d, d' cắt nhau. ïì y = x + 2m ïì x = m- 1 Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d' là nghiệm của hệ phương trình íï Û íï îï y = 3x + 2 îï y = 3m- 1 suy ra d, d' cắt nhau tại M(m- 1; 3m- 1) b) Vì ba đường thẳng d, d', d" đồng quy nên M Î d" ta có ém = 1 - = - - + Û 2 + - = Û ê 3m 1 m(m 1) 2 m 2m 3 0 ê ëm = - 3 · Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d : y = x + 2, d' : y = 3x + 2, d" : y = - x + 2, phân biệt và đồng quy tại M(0; 2). · Với m = - 3 ta có d' º d" suy ra m = - 3 không thỏa mãn Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m- 1)x + m và d' : y = (m2 - 1)x + 6 a) Tìm m để hai đường thẳng d, d' song song với nhau A. m = 0 và m = 3 B. m = 0 và m = 2 C. m = 0 và m = 1 D. m = 0 và m = 4 b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A , d' cắt trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân tại O A. m = ± 4 B. m = ± 2 C. m = ± 3 D. m = ± 1 Lời giải: a) Với m = 1 ta có d : y = 1, d' : y = 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau æ 7 ö Với m = - 1 ta có d : y = - 2x- 1, d' : y = 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại Mç- ;6÷ èç 2 ø÷ Với m ¹ ± 1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ ïì é = 2 ï m 1 ïì m- 1= m - 1 ï ê ém = 1 khi íï Û íï êm = 0 Û ê ï ï ë ê îï m ¹ 6 ï ëm = 0 îï m ¹ 6 Đối chiếu với điều kiện m ¹ ± 1 suy ra m = 0 .
5. Vậy m = 0 và m = 1 là giá trị cần tìm. ì ï y = (m- 1)x + m ïì x = 0 b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ í Û íï Þ A(0; m) ï ï îï x = 0 îï y = m ì 2 ì 2 ï y = (m - 1)x + 6 ï (m - 1)x + 6 = 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ íï Û íï (*) ï ï îï y = 0 îï y = 0 Rõ ràng m = ± 1 hệ phương trình (*) vô nghiệm ïì 6 ï x = æ 6 ö Với m ¹ ± 1 ta có (*) Û í - 2 Þ Bç ;0÷ 1 m ç 2 ÷ ï è1- m ø îï y = 0 6 Do đó tam giác OAB cân tại O Û m = 1- m2 ém- m3 = 6 Û m- m3 = 6 Û ê ê 3 ëêm- m = - 6 ém3 - m+ 6 = 0 ém = - 2 Û ê Û ê (thỏa mãn) ê 3 ê ëêm - m- 6 = 0 ëm = 2 Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.16: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua A(1;1), B(3;- 2) 2 5 2 5 2 2 2 5 A. y = - x- B. y = - x + C. y = - x + D. y = - x + 3 3 3 3 3 3 5 3 b) d đi qua C(2;- 2) và song song với D : x- y + 1= 0 A. y = - x- 1 B. y = x- 4 C. y = x- 1 D. y = x- 2 c) d đi qua M(1; 2) và cắt hai tia Ox,Oy tại P,Q sao cho DOPQ cân tại O. A. y = x + 13 B. y = x + 3 C. y = - x + 3 D. y = - x + 2 d) d đi qua N(1;- 1)và d ^ d' với d' : y = - x + 3 . A. y = x- 3 B. y = 2x- 2 C. y = 2x- 3 D. y = x- 2 Lời giải: Bài 2.16: Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b,a ¹ 0
6. a) Vì A Î d và B Î d nên ta có hệ phương trình ïì 2 ï a = - ïì 1= a + b ï 2 5 íï Û íï 3 Þ y = - x + ï 3 = - 2a + b ï 5 3 3 îï ï b = îï 3 ïì a = 1 b) Ta có D : y = x + 1. Vì d / /D nên íï îï b ¹ 1 Mặt khác C Î d Þ - 2 = 2a + b Þ b = - 4 Vậy hàm số cần tìm là y = x- 4 æ b ö c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại Pç- ;0÷ và cắt Oy tại Q(0;b) với a 0 èç a ø÷ b éb = 0(l) Ta có = Û - = Û + = Û ê OP OQ b b(a 1) 0 ê a ëa = - 1 Ta có M Î d Þ 2 = a + b Þ b = 3 Vậy hàm số cần tìm là y = - x + 3 . d) Đường thẳng d đi qua N(1;- 1) nên - 1= a + b Và d ^ d' Þ a = 1 suy ra b = - 2 . Vậy hàm số cần tìm là y = x- 2 . Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d' : y = - x + 6, d'' : y = m2x + 5m+ 3 phân biệt đồng quy. - 5± 3 - 5± 23 - 5± 33 5± 33 A. m = B. m = C. m = D. m = 4 4 4 2 Lời giải: Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường thẳng d, d' là nghiệm của hệ phương trình ïì y = 2x ïì x = 2 íï Û íï suy ra d, d' cắt nhau tại M(2; 4) îï y = - x + 6 îï y = 4 Vì ba đường thẳng d, d', d" đồng quy nên M Î d" ta có - 5± 33 4 = 2m2 + 5m+ 3 Þ 2m2 + 5m- 1= 0 Û m = 4 - 5± 33 Dễ thấy với m = ba đường thẳng đó phân biệt và đồng quy 4
7. - 5± 33 Vậy m = là giá trị cần tìm 4 ➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = 3x + 6 1 3 b) y = - x + 2 2 Lời giải: a) TXĐ: D = ¡ , a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ¡ Bảng biến thiên y x - ¥ + ¥ + ¥ 3 y = 3x + 6 - ¥ -2 -1O 1 x Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A(- 2;0), B(- 1; 3) 1 b) TXĐ: D = ¡ , a = - < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên ¡ 2 y Bảng biến thiên 3/2 x - ¥ + ¥ 1 3 + ¥ O 1 3 x y = - x + 2 2 - ¥ 1 3 æ 3ö Đồ thị hàm số y = - x + đi qua A(3;0), Bç0; ÷ 2 2 èç 2ø÷ Ví dụ 2. Cho các hàm số : y = 2x- 3, y = - x- 3, y = - 2 . a) Vẽ đồ thị các hàm số trên b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Lời giải:
8. a) Đường thẳng y = 2x- 3 đi qua các điểm y æ3 ö A(0;- 3),Bç ;0÷ èç2 ø÷ 3 Đường thẳng y = - x- 3 đi qua các điểm A(0;- 3),C(- 3;0) 2 -3 -1 O 1 x Đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 -2 b) Đường thẳng y = 2x- 3, y = - x- 3 cắt nhau tại -3 A(0;- 3), Đường thẳng y = - x- 3, y = - 2 cắt nhau tại A'(- 1;- 2), Đường thẳng y = 2x- 3, y = - 2 cắt nhau tại æ1 ö A"ç ;- 2÷. èç2 ÷ø Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ) y é ù a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3; 3û 3 2 b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên é ù 1 ë- 4; 2û -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x Lời giải: -1 é ù -2 a) Bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3; 3û -3 x - 3 - 2 1 3 2 2 y b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có max = 3 khi và chỉ khi x = - 4 é ù ë- 4;2û 1 min = 0 khi và chỉ khi x = 2 é ù - 2 ë - 4 ;2 û 2. Bài tập luyện tập. 3 Bài 2.18: Cho các hàm số : y = - 2x + 3, y = x + 2, y = . 2 a) Vẽ đồ thị các hàm số trên b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Lời giải:
9. æ3 ö Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số y = - 2x + 3 đi qua A(0; 3), Bç ;0÷ èç2 ø÷ y Đồ thị hàm số y = x + 2 đi qua A'(0; 2), B'(- 2;0) 3 2 3 æ 3ö hoành Đồ thị hàm số y = đi qua Mç0; ÷ và song song với trục 2 èç 2ø÷ b) Giao điểm của hai đồ thị hàm số y = - 2x + 3, y = x + 2 là -2 O x æ1 7ö M ç ; ÷ 1 èç3 3ø÷ 3 æ3 3ö Giao điểm của hai đồ thị hàm số y = - 2x + 3, y = là M ç ; ÷ 2 2 èç4 2ø÷ 3 æ 1 3ö Giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x + 2, y = là M ç- ; ÷ 2 2 èç 2 2ø÷ Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ) y 3 é ù a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3; 3û 2 é ù b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên ë- 2; 2û -3 -2 -1 O 1 2 3 x Lời giải: Bài 2.19: -3 a) Bảng biến thiên của hàm số trên é ù ë- 3; 3û x 3 - 3 - 1 0 3 2 2 2 0 y 0 - 3 b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có max = 2 khi và chỉ khi x = 0 é ù ë- 2;2û
10. min = - 2 khi và chỉ khi x = 2 é ù ë- 2;2û ➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y = ax + b . 1. Phương pháp giải. Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = ax + b ta làm như sau b Cách 1: Vẽ (C ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ³ - , Vẽ 1 a b (C ) là đường thẳng y = - ax- b lấy phần đồ thị sao cho x < - . Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C ) 2 a 1 và (C2 ). Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = - ax- b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C). Chú ý: · Biết trước đồ thị (C): y = f (x) khi đó đồ thị (C1): y = f (x ) là gồm phần : - Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung; - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung. · Biết trước đồ thị (C): y = f (x) khi đó đồ thị (C2 ): y = f (x) là gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau ïì 2x khi x ³ 0 a) y = íï . b) y = - 3x + 3 . îï - x khi x < 0
11. Lời giải: y y a) Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 2x là phần 2 đường thẳng đi qua hai điểm O(0;0), A(1; 2) nằm bên phải của đường x thẳng x = 0 . -2 O 1 x O 1 Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần đường thẳng đi qua hai điểm B(- 1;1), C(- 2; 2) nằm bên trái của đường thẳng x = 0 . b) Vẽ hai đường thẳng y = - 3x + 3 và y = 3x- 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = x - 2 b) yy= x - 2 Lời giải: ïì x- 2 khi x ³ 0 a) Cách 1: Ta có y = íï îï - x- 2 khi x < 0 Vẽ đường thẳng y = x- 2 đi qua hai điểm x A(0;- 2), B(2;0) và lấy phần đường thẳng bên phải -2 O 1 2 của trục tung -2 Vẽ đường thẳng y = - x- 2 đi qua hai điểm A(0;- 2), C(- 2;0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung. Cách 2: Đường thẳng d : y = x- 2 đi qua A(0;- 2), B(2;0). y Khi đó đồ thị của hàm số y = x - 2 là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung 2 b) Đồ thị y = x - 2 là gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía trên trục -2 O 1 2 x hoành - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) : y = 3 x- 2 - 2x- 6
12. a) Vẽ (C) é ù b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với x Î ë- 3; 4û A. max y = 4 B. min y = - 2 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai é- 3;4ù é ù ë û ë- 3;4û Lời giải: ïì x khi x ³ 3 y ï a) Ta có y = íï 5x- 12 khi 2 < x < 3 ï îï - x khi x £ 2 3 Vẽ đường thẳng y = x đi qua hai điểm O(0;0), A(1;1) và 2 lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng x = 3 1 Vẽ đường thẳng y = 5x- 12 đi qua hai điểm -3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 B(3; 3), C(2;- 2) và lấy phần đường thẳng nằm giữa của -2 hai đường thẳng x = 2, x = 3 . -3 Vẽ đường thẳng y = - x đi qua hai điểm O(0;0), D(- 1;- 1) và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng x = 2 b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có max y = 4 khi và chỉ khi x = 4 é ù ë- 3;4û min y = - 2 khi và chỉ khi x = 2 é ù ë- 3;4û Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau a) y = x2 + x2 - 2x + 1 . b) y = x2 + 4x + 4 - x + 1 . é ù Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë- 2; 2û Lời giải: ïì 2x- 1 khi x ³ 1 ï a) Ta có y = x + x- 1 = íï 1 khi 0 < x < 1 ï îï 1- 2x khi x £ 0 Bảng biến thiên x - ¥ 0 1 + ¥ + ¥ + ¥
13. y 1 1 Ta có y(- 2)= 5, y(2)= 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y = 5 khi và chỉ khi x = - 2 é ù ë- 2;2û min y = 1 khi và chỉ khi x Î é0;1ù é ù ë û ë- 2;2û ïì 1 khi x ³ - 1 ï b) Ta có y = x + 2 - x + 1 = íï 2x + 3 khi - 2 < x < - 1 ï îï - 1 khi x £ - 2 Bảng biến thiên x - ¥ - 2 - 1 + ¥ 1 1 y - 1 - 1 Ta có y(- 2)= - 1, y(2)= 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y = 1 khi và chỉ khi x £ - 2 é ù ë- 2;2û min y = 1 khi và chỉ khi x ³ - 1 é ù ë- 2;2û 3. Bài tập luyện tập Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x- 3. Từ đó suy ra đồ thị của: (C1): y = 2 x - 3, (C2 ): y = 2x- 3 , (C3 ): y = 2 x - 3 Lời giải: Bài 2.20: Đồ thị hàm số y = 2x- 3 đi qua A(0;- 3), B(2;1) ta gọi là (C)
14. · Khi đó đồ thị hàm số (C1): y = 2 x - 3 là phần được xác định như sau Ta giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị (C) ở phần bên phải trục tung qua trục tung. · (C2 ): y = 2x- 3 là phần đồ thị (C) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của (C). · (C3 ): y = 2 x - 3 là phần đồ thị (C1) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của (C1). y y y 1 1 3 O 2 x O 2 x (C) -2 -1 O 1 2 x -3 Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau y = x2 - 4x + 4 - 3 x2 - 2x + 1 é ù Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë0; 2û. A. B. C. D. Lời giải: Bài 2.21: Ta có y = x- 2 - 3 x- 1 ïì - 2x + 1 Khi x ³ 2 ï = íï - 4x + 5 Khi 1£ x < 2 y ï îï 2x- 1 Khi x < 1 1 Bảng biến thiên O 1 2 x -1 x - ¥ 1 2 + ¥ -3 1 y -3
15. - ¥ - ¥ max y = 1 khi và chỉ khi x = 1 é ù ë0;2û min y = - 3 khi và chỉ khi x = 2 . é ù ë0;2û x2 + 4x + 4 Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = - x- 2 x + 2 b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng y = m theo m. A. B. C. D. Lời giải: ïì - x + 3 Khi x ³ 2 x + 2 ï Bài 2.22: a) Ta có y = - x- 2 = íï x- 1 Khi - 2 1 thì có 1 giao điểm Với m = 1 thì có hai giao điểm Với m < 1 thì có ba giao điểm ➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT. 1. Phương pháp giải.
16. é ù Cho hàm số f (x)= ax + b và đoạn ëa;bûÌ ¡ . Khi đó, đồ thị của hàm y số y = f(x) trên [a;b] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất: f()  max f(x) = max{f( ); f(}, é ù ëa ,bû  min f(x) = min{f( ); f(}, é ù ëa ,bû f( )  max f (x) = max f (a) ; f (b) . O  x é ù { } ëa ,bû Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả. 2. Các ví dụ minh họa. é ù Ví dụ 1: Cho hàm số f (x)= 2x- m . Tìm m để giá trị lớn nhất của f (x) trên ë1; 2û đạt giá trị nhỏ nhất. A. m = - 3 B. m = 2 C. m = 3 D. m = - 2 Lời giải: Dựa vào các nhận xét trên ta thấy max f (x) chỉ có thể đạt được tại x = 1 hoặc x = 2 . [1;2] Như vậy nếu đặt M = max f (x) thì M ³ f (1)= 2- m và M ³ f (2)= 4- m . [1;2] Ta có f (1)+ f (2) 2- m + 4- m (2- m)+ (m- 4) M ³ = ³ = 1 . 2 2 2 ì ï 2- m = 4- m Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í Û m = 3 . ï îï (2- m)(m- 4) ³ 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3. Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x- x2 - 3m+ 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất. 3 3 A. m = - 3 B. m = - C. m = 3 D. m = 2 2 Lời giải: 2 Gọi A = max y . Ta đặt t = 2x- x2 Þ t = 1- (x- 1) do đó 0 £ t £ 1 é ù Khi đó hàm số được viết lại là y = t - 3m+ 4 với t Î ë0;1û suy ra
17. - 3m+ 4 + 5- 3m A = max t - 3m+ 4 = max{ - 3m+ 4 , 5- 3m+ } ³ [0,1] 2 Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có - 3m+ 4 + 5- 3m = 3m- 4 + 5- 3m ³ 1 1 3 Do đó A ³ . Đẳng thức xảy ra m = . 2 2 3 Vậy giá trị cần tìm là m = . 2 é ù Ví dụ 3: Cho a,b,c thuộc ë0; 2û. Chứng minh rằng: 2(a + b + c)- (ab + bc + ca)£ 4 Lời giải: Viết bất đẳng thức lại thành (2- b- c)a + 2(b + c)- bc- 4 £ 0 é ù Xét hàm số bậc nhất f (a)= (2- b- c)a + 2(b + c)- bc- 4 với ẩn a Î ë0; 2û Ta có: f (0)= 2(b + c)- bc- 4 = - (2- b)(2- c)£ 0 f (2)= (2- b- c)2 + 2(b + c)- bc- 4 = - bc £ 0 Suy ra f (a)£ max{ f (0); f (2)} £ 0 đpcm. Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 + xyz ³ 4 . Lời giải: Bất đẳng thức t\ưng đương với (y + z)2 - 2yz + x2 + xyz ³ 4 Û (3- x)2 + x2 + yz(x- 2)- 4 ³ 0 Û yz(x- 2)+ 2x2 - 6x + 5 ³ 0 2 æy + zö (3- x)2 é (3- x)2 ù Đặt t = yz , do yz ³ 0 và yz ≤ ç ÷ = nên t Î ê0; ú. ç ÷ ê ú è 2 ø 4 ë 4 û khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f (t) = (x- 2)t + 2x2 - 6x + 5 . æ 2 ö ç(3- x) ÷ Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f 0 ³ 0 và f ç ÷³ 0 . ( ) ç ÷ èç 4 ø÷
18. 2 æ 2 ö æ ö ç 3- x ÷ 2 2 ç 3÷ 1 ç( ) ÷ 1 Thật vậy, ta có f (0)= 2x - 6x + 5 = 2çx- ÷ + ³ 0 và f ç ÷= (x- 1) (x + 2)³ 0 nên bất èç ÷ø ç ÷ 2 5 èç 4 ø÷ 4 đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 . 3. Bài tập luyện tập. ïì x, y, z ³ 0 7 Bài 2.23: Cho íï . Chứng minh 0 £ xy + yz + zx- 2xyz £ . îï x + y + z = 1 27 Lời giải: é ù Bài 2.23: Từ giả thiết ta có x, y, z Î ë0; 1û Þ xy + yz + zx- 2xyz = xy + yz(1- x)+ zx(1- y) ³ 0 . (y + z)2 (1- x)2 Củng từ giả thiết ta suy ra yz £ = . Mặt khác ta lại có 4 4 7 7 xy + yz + zx- 2xyz £ Û f (yz) = (1- 2x)yz + x(1- x)- £ 0 (2). 27 27 Khi đó ta thấy rằng 1 1 Nếu x = khi đó BĐT (2) thành - £ 0 (hiển nhiên đúng). 2 108 1 Nếu x ¹ thì f (yz) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f (yz) £ 0 ta chỉ cần chứng minh 2 ì ï f (0) £ 0 ï 2 ï é 2 ù 7 æ 1ö 1 ï 1- x . Dễ thấy = - - = - ç - ÷ - < và í ê( ) ú f (0) x(1 x) çx ÷ 0 ï f ê ú£ 0 27 è 2ø 108 ï ê 4 ú îï ëê ûú é 2 ù 2 ê(1- x) ú (1- x) 7 1 2 f ê ú= (1- 2x). + x(1- x)- = - (6x + 1)(3x- 1) £ 0 . Vậy là trong hai trường ê 4 ú 4 27 108 ëê ûú hợp ta kết luận f (yz) £ 0 . Ta đã giải xong bài toán. ïì x, y, z ³ 0 Bài 2.24: Cho íï . Chứng minh x2 + y2 + z2 + xyz ³ 4 . îï x + y + z = 3 Lời giải:
19. (y + z)2 (3- x)2 Bài 2.24: Từ giả thiết ta có x, y, z Î é0; 3ù và yz £ = . Mặt khác ta thấy ë û 4 4 2 2 x2 + y2 + z2 + xyz ³ 4 Û x2 + (y + z) - 2yz + xyz- 4 ³ 0 Û x2 + (3- x) - 2yz + xyz- 4 ³ 0 Û f (yz) = (x- 2)yz + 2x2 - 6x + 5 ³ 0 (3). Nếu x = 2 thì BĐT (3) sẻ thành 1³ 0 (hiển nhiên đúng). Nếu x ¹ 2 thì f (yz) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f (yz) ³ 0 ta chỉ cần chứng minh ì ï f (0) ³ 0 ï 2 ï é 2 ù æ 3ö 1 ï 3- x . Dễ thấy = 2 - + = ç - ÷ + > và í ê( ) ú f (0) 2x 6x 5 2çx ÷ 0 ï f ê ú³ 0 è 2ø 2 ï ê 4 ú îï ëê ûú é 2 ù 2 ê(3- x) ú (3- x) 1 2 f ê ú= (x- 2). + 2x2 - 6x + 5 = (x + 2)(x- 1) ³ 0 . Vậy là trong hai trường hợp ta kết ê 4 ú 4 4 ëê ûú luận f (yz) ³ 0 . ïì x, y, z ³ 0 1 Bài 2.25: Cho íï . Chứng minh x3 + y3 + z3 + 6xyz ³ . îï x + y + z = 1 4 Lời giải: (y + z)2 (1- x)2 Bài 2.25: Từ giả thiết ta có x, y, z Î é0; 1ù và yz £ = . Mặt khác ta thấy ë û 4 4 1 1 x3 + y3 + z3 + 6xyz ³ Û x3 + (y + z)3 - 3yz(y + z)+ 6xyz- ³ 0 4 4 1 Û x3 + (1- x)3 - 3yz(1- x)+ + 6xyz- ³ 0 4 1 Û f (yz) = (3x- 1)yz + x2 - x + ³ 0 (4). 4 1 1 Nếu x = thì BĐT (4) sẻ thành ³ 0 (hiển nhiên đúng). 3 36 1 Nếu x ¹ thì f (yz) là hàm số bậc nhất. Theo TC2 thì để chứng minh f (yz) ³ 0 ta chỉ cần chứng minh 3 ì ï f (0) ³ 0 ï 2 ï é 2 ù 1 æ 1ö cho ï 1- x . Dễ thấy = 2 - + = ç - ÷ ³ và í ê( ) ú f (0) x x çx ÷ 0 ï f ê ú³ 0 4 è 2ø ï ê 4 ú îï ëê ûú
20. é 2 ù 2 ê(1- x) ú (1- x) 1 3 æ 1ö f ê ú= (3x- 1). + x2 - x + = xçx2 - x + ÷³ 0 (đúng vì 0 £ x £ 1 và ê 4 ú 4 4 4 èç 3÷ø ëê ûú 2 1 æ 1ö 1 x2 - x + = çx- ÷ + > 0 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận f (yz) ³ 0 . 3 èç 2ø÷ 12 Bài 2.26: Cho 0 £ a, b, c £ 1 . Chứng minh a2 + b2 + c2 £ a2b + b2c + c2a + 1 . Lời giải: Bài 2.26: Ta có a2 + b2 + c2 £ a2b + b2c + c2a + 1 Û (b- 1)a2 + b2c + c2a + 1- b2 - c2 ³ 0 . Vì 0 £ a £ 1Þ a ³ a2 Þ (b- 1)a2 + b2c + c2a + 1- b2 - c2 ³ (b- 1)a2 + b2c + c2a2 + 1- b2 - c2 = = (c2 + b- 1)a2 + b2c + 1- b2 - c2 = f (a2 ) . Ta chỉ cần chứng minh f (a2 ) ³ 0 (5) là được. Nếu c2 + b- 1= 0 Þ c2 = 1- b khi đó BĐT sẻ trở thành b2c + (b- b2 ) ³ 0 (đúng vì 0 £ b, c £ 1 ). Nếu c2 + b- 1¹ 0 thì ta có f (a2 ) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh ïì f (0) ³ 0 f (a2 ) ³ 0 ta chỉ cần chứng minh cho íï . Dễ thấy f (0) = b2c + 1- b2 - c2 îï f (1) ³ 0 = 1- c (1+ c- b2 ) = (1- c) éc + 1- b2 ù³ 0 (đúng vì 0 £ b, c £ 1 ) và f (1) = b2c + b- b2 ³ 0 (đúng ( ) ëê ( )ûú ( ) vì 0 £ b, c £ 1 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận f (a2 ) ³ 0 . Ta đã giải xong bài toán. ïì x, y, z ³ 0 4 Bài 2.27: Cho íï . Chứng minh x2 y + y2z + z2x £ . îï x + y + z = 1 27 Lời giải: 1 Bài 2.27: Giả sử x = min{x, y, z} thì từ giả thiết của bài toán ta suy ra 0 £ x £ . Mặt khác ta lại có 3 4 4 1 1 x2 y + y2z + z2x £ Û yx2 + y2z + z2x- £ 0 . Vì 0 £ x £ Þ x2 £ x 27 27 3 3 4 1 4 æ1 ö 4 Þ yx2 + y2z + z2x- £ yx + y2z + z2x- = ç y + z2 ÷x + y2z- = f (x) . Bây giờ ta sẻ chứng 27 3 27 èç3 ø÷ 27 minh f (x) £ 0 (6) là được.
21. 1 4 Nếu y + z2 = 0 Þ y = z = 0 thì BĐT (6) thành - £ 0 (hiển nhiên đúng). 3 27 1 Nếu y + z2 ¹ 0 thì f (x) là hàm số bậc nhất . Theo TC2 thì để chứng minh f (x) £ 0 ta chỉ cần chứng 3 ì ï f (0) £ 0 ï 2 4 minh cho í æ1ö . Dễ thấy f (0) = y z- ; vì x = 0 nên từ giả thiết Þ y + z = 1. Theo BĐT Côsi ï ç ÷£ ï f ç ÷ 0 27 îï è3ø 3 é2 y + z ù 2 1 1 ê ( )ú 4 ta có y z = .y.y.(2z) £ .ê ú = 2 2 ëê 3 ûú 27 4 æ1ö 1 1 4 1 Þ y2z- £ 0 Þ f (0) £ 0 và f ç ÷= y2z + y + z2 - ; vì x = nên từ giả thiết ta 27 èç3÷ø 9 3 27 3 2 2 2 æ1ö æ2 ö 1 1æ2 ö 4 1 suy ra y + z = Þ z = - y Þ f ç ÷= y2 ç - y÷+ y + ç - y÷ - = - y3 + y2 - y = 3 3 èç3ø÷ èç3 ø÷ 9 3èç3 ø÷ 27 3 æ ö éæ ö2 ù ç 2 1÷ êç 1÷ 1 ú = - yçy - y + ÷= - y êçy- ÷ + ú£ 0 (đúng vì y ³ 0 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận èç 3ø÷ èç 2ø÷ 12 ëê ûú f (x) £ 0 . Ta đã giải xong bài toán. 2 é Bài 2.28: Chứng minh rằng với " m £ 1 thì x - 2(3m- 1)x + m+ 3 ³ 0 với " x Î ë1; + ¥ ). Lời giải: Bài 2.28: Ta có x2 - 2(3m- 1)x + m+ 3 ³ 0 Û f (m) = (- 6x + 1)m+ x2 + 2x + 3 ³ 0 . Ta thấy f (m) là é hàm số bậc nhất có hệ số của m là - 6x + 1< 0 (do x Î ë1; + ¥ )). Theo TC1 thì f (m) là hàm nghịch biến Þ f (m) ³ f (1) với " m £ 1. Tức là ta có x2 - 2(3m- 1)x + m+ 3 ³ (x- 2)2 ³ 0 (đúng với é " x Î ë1; + ¥ )). Vậy là ta giải quyết xong bài toán. §3: HÀM SỐ BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c(a ¹ 0). 2. Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡
22. æ b ö æ b ö · Khi a > 0 hàm số đồng biến trên ç- ;+ ¥ ÷, nghịch biến trênç- ¥ ;- ÷ và có giá trị nhỏ nhất là èç 2a ø÷ èç 2aø÷ D b æ b ö æ b ö - khi x = - . Khi a 0 ) ( a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là Iç- ;- ÷ èç 2a 4aø÷ æ b D ö Khi a < 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là Iç- ;- ÷ èç 2a 4aø÷ b Đồ thị nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng. 2a y y b b 2a 2a O 1 x O 1 x a 0 a 0 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI . 1. Phương pháp giải. Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau
23. Gọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c,a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a,b,c , từ đó suy ra hàm số cần tìm. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c , a ¹ 0 biết: a) (P) đi qua A(2; 3) có đỉnh I(1; 2) A. y = x2 - 2x + 2 B. C. D. 3 b) c = 2 và (P) đi qua B(3;- 4) và có trục đối xứng là x = - . 2 A. B. y = - x2 - x + 1 C. D. 3 1 c) Hàm số y = ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng khi x = và nhận giá trị 4 2 bằng 1 khi x = 1. A. B. C. y = x2 - x + 2 D. d) (P) đi qua M(4; 3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho DINP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3 . A. B. C. D. y = x2 - 4x + 4 Lời giải: a) Vì A Î (P) nên 3 = 4a + 2b + c (1). b Mặt khác (P) có đỉnh I(1; 2) nên - = 1 Û 2a + b = 0 (2) và I Î (P) suy ra 2 = a + b + c (3) 2a ïì 4a + 2b + c = 3 ïì a = 1 ï ï Từ (1), (2) và (3) ta có íï 2a + b = 0 Û íï b = - 2 ï ï îï a + b + c = 2 îï c = 3 Vậy (P) cần tìm là y = x2 - 2x + 3 . b) Ta có c = 2 và (P) đi qua B(3;- 4) nên - 4 = 9a + 3b + 2 Û 3a + b = - 2 (4)
24. 3 b 3 (P) có trục đối xứng là x = - nên - = - Û b = 3a thay vào (4) ta được 2 2a 2 1 3a + 3a = - 2 Û a = - Þ b = - 1 . 3 1 Vậy (P) cần tìm là y = - x2 - x + 2 . 3 3 1 c) Hàm số y = ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng khi x = nên ta có 4 2 2 b 1 3 æ1ö æ1ö - = Û a + b = 0 (5) , = aç ÷ + bç ÷+ c Û a + 2b + 4c = 3 (6) và a > 0 2a 2 4 èç2ø÷ èç2ø÷ Hàm số y = ax2 + bx + c nhận giá trị bằng 1 khi x = 1 nên a + b + c = 1 (7) ïì a + b = 0 ïì a = 1 ï ï Từ (5), (6) và (7) ta có íï a + 2b + 4c = 3 Û íï b = - 1 ï ï îï a + b + c = 1 îï c = 1 Vậy (P) cần tìm là y = x2 - x + 1 . d) Vì (P) đi qua M(4; 3) nên 3 = 16a + 4b + c (8) Mặt khác (P) cắt Ox tại N(3;0) suy ra 0 = 9a + 3b + c (9), (P) cắt Ox tại P nên P(t;0), t < 3 ïì b ï t + 3 = - ï Theo định lý Viét ta có íï a ï c ï 3t = îï a 1 æ b D ö Ta có S = IH.NP với H là hình chiếu của Iç- ;- ÷ lên trục hoành DIBC 2 èç 2a 4aø÷ D 1 D Do IH = - , NP = 3- t nên S = 1 Û - .(3- t)= 1 4a DINP 2 4a 2 2 æb ö c 2 (t + 3) 2 3 8 Û (3- t)ç ÷ - = Û (3- t) - 3t = Û (3- t) = (10) èç2aø÷ a a 4 a a 3- 7a 1 4- t Từ (8) và (9) ta có 7a + b = 3 Û b = 3- 7a suy ra t + 3 = - Û = a a 3 3 8(4- t) Thay vào (10) ta có (3- t) = Û 3t3 - 27t2 + 73t - 49 = 0 Û t = 1 3 Suy ra a = 1Þ b = - 4 Þ c = 3 .
25. Vậy (P) cần tìm là y = x2 - 4x + 3 . 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.29: Xác định phương trình của Parabol (P): y = x2 + bx + c trong các trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm A(1; 0) và B(- 2;- 6) A. y = x2 + 3x – 5 B. y = x2 + 3x – 4 C. y = x2 + 3x – 6 D. y = x2 + 3x – 2 b) (P) có đỉnh I(1; 4) A. y = x2 – 2x + 1 B. y = 2x2 – 2x + 5 C. y = x2 + 2x + 5 D. y = x2 – 2x + 5 c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S(- 2;- 1). A. y = x2 + 4x + 1 B. y = 2x2 + 4x + 7 C. y = x2 + 4x + 5 D. y = x2 + 4x + 3 Lời giải: ïì 0 = 1+ b + c ïì b + c = - 1 ïì b = 3 Bài 2.29: a) Vì (P) đi qua A, B nên íï Û íï Û íï . îï - 6 = 4- 2b + c îï 2b- c = 10 îï c = - 4 Vậy (P): y = x2 + 3x – 4 . ì ï - b ï = 1 ì ï 2 ï b = - 2 b) Vì (P) có đỉnh I(1; 4) nêníï Û íï . ï b2 - 4c ï c = 5 ï - = 4 îï îï 4 Vậy (P): y = x2 – 2x + 5 . c) (P) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra c = 3 ì ï b ì ï - = - 2 ï b = 4 (P) có đỉnh S(- 2;- 1)suy ra: í 2a Û í ï îï a = 1 îï - 1= 4a- 2b + 3 Bài 2.30: Tìm Parabol y = ax2 + 3x- 2 , biết rằng Parabol đó : a) Qua điểm A(1; 5) A. y = 4x2 + 3x- 3 B. y = 4x2 + x- 2
26. C. y = 4x2 + 3x- 1 D. y = 4x2 + 3x- 2 b) Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 A. y = x2 + 3x- 2 B. y = - x2 + x- 2 C. y = - x2 + 3x- 3 D. y = - x2 + 3x- 2 c) Có trục đối xứng x = - 3 1 A. y = x2 + 3x- 2 B. y = x2 + x- 2 2 1 1 C. y = x2 + 3x- 3 D. y = x2 + 3x- 2 2 2 æ 1 11ö d) Có đỉnh Iç- ;- ÷ èç 2 4 ø÷ A. y = x2 + 3x- 2 B. y = 3x2 + x- 4 C. y = 3x2 + x- 1 D. y = 3x2 + 3x- 2 Lời giải: Bài 2.30: a) y = 4x2 + 3x- 2 b) y = - x2 + 3x- 2 1 c) y = x2 + 3x- 2 d) y = 3x2 + 3x- 2 2 Bài 2.31: Xác định phương trình Parabol: 3 a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x = 2 A. y = x2 - 3x + 3 B. y = x2 - x + 2 C. y = x2 - 3x + 2 D. y = x2 - 3x + 5 b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2 A. y = 2x2 - 8x + 3 B. y = - 2x2 - x + 3 C. y = - 2x2 - 8x + 3 D. y = - 2x2 - 8x + 6 c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4) 1 A. y = x2 - 2x + 5 B. y = x2 - x + 5 3
27. 1 1 C. y = x2 - 2x + 5 D. y = x2 - 2x + 7 3 3 Lời giải: 1 Bài 2.31: a) y = x2 - 3x + 2 b) y = - 2x2 - 8x + 3 c) y = x2 - 2x + 5 3 ➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI. 1. Phương pháp giải Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau: æ b D ö – Xác định toạ độ đỉnh Iç- ;- ÷. èç 2a 4aø÷ b – Xác định trục đối xứng x = - và hướng bề lõm của parabol. 2a – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y = x2 + 3x + 2 b) y = - x2 + 2 2x Lời giải: y b 3 D 1 a) Ta có - = - , - = - 2a 2 4a 4 Bảng biến thiên 2 x 3 - ¥ - + ¥ 2 x -3 -2I -1 O 1 y = x2 + 3x + 2 + ¥ + ¥ 1 - 4 Suy ra đồ æ 3 1ö y thị hàm số y = x2 + 3x + 2 có đỉnh là Iç- ;- ÷, đi qua các èç 2 4ø÷ điểm A(- 2;0), B(- 1;0), C(0; 2), D(- 3; 2) 2 3 Nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng và hướng bề lõm 2 O x lên trên 1
28. b D b) Ta có - = 2, - = 2 2a 4a Bảng biến thiên x - ¥ 2 + ¥ 2 y = - x2 + 2 2x - ¥ - ¥ Suy ra đồ thị hàm số y = - x2 + 2 2x có đỉnh là I( 2; 2), đi qua các điểm O(0;0), B(2 2;0) Nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 - 6x + 8 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên A. B. C. D. c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương A. B. C. D. é ù d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ë- 1; 5û A. B. C. D. Lời giải: y b D a) Ta có - = 3, - = - 1 2a 4a Bảng biến thiên y=m m x - ¥ 3 + ¥ + ¥ + ¥ O 1 2 3 4 x y = x2 - 6x + 8 -1
29. - 1 Suy ra đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 2 có đỉnh là I(3;- 1), đi qua các điểm A(2;0), B(4;0) Nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m - 1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 - 6x + 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x Î (- ¥ ; 2)È(4;+ ¥ ). d) Ta có y(- 1)= 15, y(5)= 13, y(3)= - 1, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra max y = 15 khi và chỉ khi x = - 1 é ù ë- 1;5û min y = - 1 khi và chỉ khi x = 3 é ù ë- 1;5û 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.32: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y = x2 - 3x + 2 b) y = - 2x2 + 4x Lời giải: b 3 D 1 Bài 2.32: a) Ta có - = , - = - 2a 2 4a 4 y Bảng biến thiên x 3 - ¥ + ¥ 2 2 2 + ¥ + ¥ y = x - 3x + 2 O 1 2 x
30. 1 - 4 æ3 1ö Suy ra đồ thị hàm số y = x2 - 3x + 2 có đỉnh là Iç ;- ÷, đi qua các điểm èç2 4÷ø A(2;0), B(1;0), C(0; 2), D(3; 2) 3 Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên 2 b D b) Ta có - = 1, - = 2 y 2a 4a Bảng biến thiên 2 x - ¥ 1 + ¥ 2 O 1 2 x y = - x2 + 2 2x - ¥ - ¥ Suy ra đồ thị hàm số y = - 2x2 + 4x có đỉnh là I(1; 2), đi qua các điểm O(0;0), B(2;0) Nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới Bài 2.33: Cho hàm số y = - x2 - 2x + 3 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A. m < 1 B. m < 4 C. m < 2 D. m < 3 c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm é ù d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ë- 3;1û Lời giải: b D Bài 2.33: a) Ta có - = - 1, - = 4 2a 4a Bảng biến thiên x - ¥ - 1 + ¥
31. 4 y = - x2 - 2x + 3 - ¥ - ¥ y 4 2 đi qua Suy ra đồ thị hàm số y = - x - 2x + 3 có đỉnh là I(- 1; 4), 2 các điểm A(1;0), B(- 3;0) Nhận đường thẳng x = - 1 làm trục đối xứng và hướng bề -3 1 x lõm xuống dưới b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m < 4 đường thẳng y = m và parabol y = - x2 - 2x + 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành Do đó hàm số chỉ nhận giá trị âm khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 3)È(1;+ ¥ ). d) max y = 4 khi và chỉ khi x = - 1 é ù ë- 3;1û min y = 0 khi và chỉ khi x = - 3, x = 1 . é ù ë- 3;1û ➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau ïì - ³ ï x 2 khi x 2 2 a) y = í 2 b) y = x - x- 2 îï - x + 2x khi x < 2 y Lời giải ì ï x- 2 khi x ³ 2 a) Đồ thị hàm số y = í 2 gồm : îï - x + 2x khi x < 2 + Vẽ đường thẳng y = x- 2 đi qua A(2;0), B(0;- 2) và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng x = 2 O y1 x + Parabol y = - x2 + 2x có đỉnh I(1; 2), trục đối xứng x = 1, đi qua các điểm O(0;0), C(2;0) và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x = 2 -1 O 1 2 x
32. æ1 5ö 1 b) Vẽ parabol (P) của đồ thị hàm số y = x2 - x- 2 có đỉnh Iç ;- ÷, trục đối xứng x = , đi qua các èç2 4÷ø 2 điểm A(- 1;0), B(2;0),C(0;- 2), D(1;- 2). Khi đó đồ thị hàm số y = x2 - x- 2 gồm + Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của (P) nằm dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số sau a) y = x2 - 3 x + 2 b) y = x2 - 3 x + 2 c) y = x2 - 3 x + 3 d) y = x2 - 4x- 3 x- 2 + 6 - 1 y Lời giải: æ3 1ö 2 trục a) Vẽ đồ thị hàm số (P):y = x2 - 3x + 2 có đỉnh Iç ;- ÷, 3 èç2 4ø÷ đối xứng x = , đi qua các điểm 2 -2 -1 O 1 2 x A(1;0), B(2;0),C(0; 2), D(3; 2). Bề lõm hướng lên trên. y 2 phải Khi đó đồ thị hàm số y = x - 3 x + 2 là (P1) gồm phần bên trục tung của (P) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung. 2 2 trên b) Đồ thị hàm số y = x - 3 x + 2 là (P2 ) gồm phần phía y -2 -1 O 1 2 x trục trục hoành của (P1) và phần đối xứng của (P1) nằm phía dưới hoành qua trục hoành. 2 3 tiến c) Đồ thị hàm số y = x - 3 x + 3 là (P3 ) có được từ việc tịnh (P1) đi một đơn vị lên phái trên song song với trục tung. d) Ta có O 1 x 2 y = x2 - 4x- 3 x- 2 + 6 - 1= (x- 2) - 3 x- 2 + 2 - 1 y Do đó tịnh tiến (P1) sang phải đi hai đơn vị song song với trục 2 hoành ta được đồ thị hàm số y = (x- 2) - 3 x- 2 + 2 , tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta 2 O 1 2 3 4 x được đồ thị hàm số y = (x- 2) - 3 x- 2 + 2 - 1 -1 2. Bài tập luyện tập. Bài tập 2.34: Vẽ đồ thị của hàm số sau
33. ïì x2 - x khi x ³ 1 a) y = íï ï 2 îï - x + x + 2 khi x < 1 b) y = - x2 + 2x + 3 Lời giải: ïì x2 - x khi x ³ 1 Bài 2.34: a) Đồ thị hàm số y = íï gồm : ï 2 îï - x + x + 2 khi x < 1 æ1 1ö 1 + Parabol y = x2 - x có đỉnh Iç ;- ÷, trục đối xứng x = , đi qua các điểm O(0;0), A(1;0) và lấy èç2 4ø÷ 2 phần đồ thị nằm bên phải của đường thẳng x = 1 æ1 9ö 1 + Parabol y = - x2 + x + 2 có đỉnh Iç ; ÷, trục đối xứng x = , đi qua các điểm B(- 1;0), C(2;0) và èç2 4ø÷ 2 lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x = 1 b) Vẽ parabol (P) của đồ thị hàm số y = - x2 + 2x + 3 có đỉnh I(1; 4), trục đối xứng x = 1, đi qua các điểm A(- 1;0), B(3;0),C(0; 3), D(2; 3). Khi đó đồ thị hàm số y = - x2 + 2x + 3 gồm phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của (P) nằm dưới trục hoành qua trục hoành. Bài 2.35: Vẽ đồ thị của hàm số sau ì 2 ï - x - 2x + 3 khi x ³ 1 a) y = - x2 - 2 x + 3 b) y = íï ï - 2 - + < îï x 2 x 3 khi x 1 Lời giải: Bài 2.35: a) Vẽ đồ thị hàm số (P):y = - x2 - 2x + 3 có đỉnh I(- 1;- 4), trục đối xứng x = - 1, đi qua các điểm A(1;0), B(- 3;0),C(0; 3), D(- 2; 3). Bề lõm hướng xuống dưới. 2 Khi đó (P1) là đồ thị hàm số y = - x - 2 x + 3 là gồm phần bên phải trục tung của (P) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung. b) Gọi (P2 ) là phần đồ thị của (P) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng của phần nằm dưới trục hoành qua trục Ox . ì 2 ï - x - 2x + 3 khi x ³ 1 Vậy đồ thị hàm số y = íï gồm phần bên đồ thị bên phải đường thẳng x = 1 của ï 2 îï - x - 2 x + 3 khi x < 1 (P2 ) và phần đồ thị bên trái đường thẳng x = 1 của (P1).
34. ➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT. 1. Phương pháp giải. Dựa vào đồ thị(bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c (a ¹ 0) ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ b nhất trên éa;bù tại điểm x = a hoặc x = b hoặc x = - . Cụ thể: ë û 2a TH 1: a > 0 b b * Nếu - Î éa;bùÞ min f (x) = f (- ); max f (x) = max f (a), f (b) ë û é ù é ù { } 2a ëa ;bû 2a ëa ;bû b * Nếu - Ï éa;bùÞ min f (x) = min f (a), f (b) ; max f (x) = max f (a), f (b) ë û é ù { } é ù { } 2a ëa ;bû ëa ;bû b b TH 2: a < 0 : * Nếu - Î éa;bùÞ max f (x) = f (- ); min f (x) = min f (a), f (b) ë û é ù é ù { } 2a ëa ;bû 2a ëa ;bû b * Nếu - Ï éa;bùÞ min f (x) = min f (a), f (b) ; max f (x) = max f (a), f (b) ë û é ù { } é ù { } 2a ëa ;bû ëa ;bû 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 2(m+ 3)x + m2 - 3 = 0 , m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 và P = 5(x1 + x2 )- 2x1x2 giá trị lớn nhất. Lời giải: 2 Ta có D ' = (m+ 3) - (m2 - 3)= 6m+ 12 Phương trình có nghiệm Û D ' ³ 0 Û 6m+ 12 ³ 0 Û m ³ - 2 ïì + = - + ï x1 x2 2(m 3) Theo định lý Viét ta có í ï = 2 - îï x1x2 m 3 P = - 10(m+ 3)- 2(m2 - 3)= - 2m2 - 10m- 24 2 é Xét hàm số y = - 2x - 10x- 24 với x Î ë- 2;+ ¥ ) Bảng biến thiên x 5 - - 2 2 + ¥ - 12
35. y = - 2x2 - 10x- 24 - ¥ Suy ra max y = - 12 khi và chỉ khi x = - 2 é ë- 2;+ ¥ ) Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm. y = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3 x4 + 2x2 + 1- 3 3 x2 + 1 + 1 Lời giải: Đặt t = 3 x2 + 1, t ³ 1Þ t2 = 3 x4 + 2x2 + 1 Khi đó hàm số trở thành y = t2 - 3t + 1 với t ³ 1. Bảng biến thiên x 3 1 2 + ¥ - 1 + ¥ y = t2 - 3t + 1 5 - 4 5 3 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 x4 + 2x2 + 1- 3 3 x2 + 1 + 1 là - khi và chỉ khi t = hay 4 2 3 19 3 x2 + 1 = Û x = ± 2 8 4 2 é ù Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x - 4x - 1 trên ë- 1; 2û. Lời giải: 2 é ù é ù Đặt t = x . Với x Î ë- 1; 2û ta có t Î ë0; 4û 2 é ù Hàm số trở thành f (t)= t - 4t - 1 với t Î ë0; 4û Bảng biến thiên t 0 2 4
36. - 1 - 1 y = t2 - 3t + 1 - 1 ét = 0 éx = 0 Suy ra max y = max f (t)= - 1 khi ê hay ê é ù é ù ê ê ë- 1;2û ë0;4û ët = 4 ëx = ± 2 min y = min f (t)= - 1 khi t = 2 hay x = ± 2 . é ù é- 1;2ù ë- 1;2û ë û Ví dụ 4: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ¹ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 b2 a b P = + - - + 1. b2 a2 b a Lời giải: a b a b a b a b Đặt t = + . Ta có t = + = + ³ 2 . = 2 , b a b a b a b a a2 b2 a2 b2 t2 = + + 2 Þ + = t2 - 2 b2 a2 b2 a2 Ta có P = t2 - 2- t + 1= t2 - t - 1 2 ù é Xét hàm số f (t) = t - t - 1 với t Î (- ¥ ;- 2ûÈ ë2;+ ¥ ) . Bảng biến thiên t - ¥ - 2 1 2 + ¥ + ¥ + ¥ f (t) = t2 - t - 1 5 1 Từ bảng biến thiên ta có a b min P = min f (t) = 1 khi t = 2 hay 2 = + Û a = b . ù é (- ¥ ;- 2ûÈë2;+ ¥ ) b a Ví dụ 5: Cho các số x, y thoả mãn: x2 + y2 = 1+ xy . 1 3 Chứng minh rằng £ x4 + y4 - x2 y2 £ . 9 2
37. Lời giải: Đặt P = x4 + y4 - x2 y2 2 Ta có P = (x2 + y2 )2 - 3x2 y2 = (1+ xy) - 3x2 y2 = - 2x2 y2 + 2xy + 1 Đặt t = xy , khi đó P = - 2t2 + 2t + 1 ïì x2 + y2 ³ 2xy ïì 1+ xy ³ 2xy 1 Vì íï nên íï Û - £ xy £ 1 ï 2 2 ï îï x + y ³ - 2xy îï 1+ xy ³ - 2xy 3 1 Do đó - £ t £ 1 . 3 é 1 ù Xét hàm số f (t) = - 2t2 + 2t + 1 trên ê- ;1ú ëê 3 ûú b 1 Ta có - = , ta có bảng biến thiên 2a 2 t 1 1 - 1 3 2 3 2 f (t) = - 2t2 + 2t + 1 1 1 9 1 3 Từ bảng biến thiên ta có min f (t) = £ P £ max f (t) = é 1 ù é 1 ù ê- ú 9 ê- ú 2 ê ;12ú ;1 ë 3 û ëê 3 ûú Suy ra điều phải chứng minh. 3. Bài tập luyện tập Bài 2.36: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 4 2 é ù a) y = x - 2x trên ë- 2;1û b) y = x4 + 2x3 - x trên [- 1;1]. Lời giải: 2 é ù é ù Bài 2.36: a) Đặt t = x , x Î ë- 2;1ûÞ t Î ë0; 4û 2 é ù Xét hàm số f (t)= t - 2t, t Î ë0; 4û Suy ra max y = 8 Û x = - 2, min y = - 1 Û x = ± 1 . [-2;1] [-2;1]
38. b) Ta có y = x4 + 2x3 - x = (x2 + x)2 - (x2 + x) Đặt t = x2 + x . Xét hàm số t = x2 + x với x Î [- 1;1] b 1 Ta có - = - , bảng biến thiên là 2a 2 t 1 - 1 - 1 2 0 2 = 2 + 1 t x x - 4 1 Suy ra mint = - £ t £ maxt = 2 é ù é ù ë- 1;1û 4 ë- 1;1û é 1 ù Khi đó, hàm số được viết lại : f (t) = t2 - t với t Î ê- ; 2ú . ëê 4 ûú Bảng biến thiên t 1 1 - 2 4 2 5 2 16 f (t) = t2 - t 1 - 4 Từ bảng biến thiên ta có éx = 1 max y = max f (t) = 2 khi t = 2 hay x2 + x = 2 Û ê [- 1;1] é 1 ù ê ê- ;2ú ëx = - 2 ëê 4 ûú 1 1 1 - 1± 3 min y = min f (t) = - khi t = hay x2 + x = Û 2x2 + 2x- 1= 0 Û x = [- 1;1] é 1 ù ê- ; 2ú 4 2 2 2 ëê 4 ûú Bài 2.37:Cho x, y là các số thực thoả mãn: 2(x2 + y2 ) = xy + 1. 18 70 Chứng minh rằng : £ 7(x4 + y4 )+ 4x2 y2 £ . 25 33 Lời giải:
39. é 2 ù Bài 2.37: Ta có:7(x4 + y4 )+ 4x2 y2 = 7 ê(x2 + y2 ) - 2x2 y2 ú+ 4x2 y2 ëê ûú éæ ö2 ù êçxy + 1÷ 2 2 ú 2 2 1 é 2 ù 1 2 = 7 êç ÷ - 2x y ú+ 4x y = ê- 33(xy) + 14xy + 7ú= (- 33t + 14t + 7),t = xy èç 2 ø÷ 4 ë û 4 ëê ûú 1 Ta có xy + 1= 2(x2 + y2 ) ³ 4xy Þ xy £ 3 2 1 Mặt khác 2(x2 + y2 ) = xy + 1 Û 2(x + y) = 5xy + 1Þ xy ³ - 5 1 é 1 1ù Xét hàm số f (t)= (- 33t2 + 14t + 7), t Î ê- ; ú. 4 ëê 5 3ûú 70 7 18 1 Ta có max f (t)= Û t = , min f (t)= Û t = - é 1 1ù é 1 1ù ê- ú 33 33 ê- ú 25 5 ; ê ; ú ëê 5 3ûú ë 5 3û Bài 2.38: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x)+ 25xy . Lời giải: Bài 2.38: Do x + y = 1 nên : S = 16x2 y2 + 12(x3 + y3 )+ 9xy + 25xy é 3 ù = 16x2 y2 + 12 ê(x + y) - 3xy(x + y)ú+ 34xy ë û = 26x2 y2 - 2xy + 12 . 2 (x + y) 1 é 1ù Đặt t = xy , ta được: S = 16t2 - 2t + 12; 0 £ xy £ = Þ t Î ê0; ú. 4 4 ëê 4ûú é 1ù Xét hàm số f (t)= 16t2 - 2t + 12 trên đoạn ê0; ú ta tìm được ëê 4ûú 25 Giá trị lớn nhất của S bằng ; 2 ïì x + y = 1 ï æ1 1ö Khi ï Û = ç ÷. í 1 (x; y) ç ; ÷ ï xy = è2 2ø îï 4 191 ïì x + y = 1 Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; Khi íï 16 îï xy = 16
40. æ ö æ ö ç2 + 3 2- 3 ÷ ç2- 3 2 + 3 ÷ Û (x; y)= ç ; ÷hoặc (x; y)= ç ; ÷. èç 4 4 ø÷ èç 4 4 ø÷