Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 3, Phần 2: Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 3, Phần 2: Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai

1. ➢ DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Phân tích thành tích. – Đặt ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) x2 + 2x + 4 = 2- x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x- 2x- 5 = 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ïì x2 + 2x + 4 ³ 0 a) ĐKXĐ: íï Û x £ 2 ï îï 2- x ³ 0 Với điều kiện đó phương trình tương đương với éx = - 1 2 + + = - Û 2 + + = Û ê x 2x 4 2 x x 3x 2 0 ê ëx = - 2 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1 và x = - 2 . 5 b) ĐKXĐ: 2x- 5 ³ 0 Û x ³ . 2 x- 2x- 5 = 4 Û 2x- 5 = x- 4 (*) TH1: Với x- 4 < 0 Û x < 4 ta có VT(*) ³ 0, VP(*) < 0 suy ra phương trình vô nghiệm TH2: Với x- 4 ³ 0 Û x ³ 4 ta có hai vế không âm nên phương trình (*) tường đương với 2 éx = 3 - = - Û 2 - + = Û ê 2x 5 (x 4) x 10x 21 0 ê ëx = 7 Đối chiếu với điều kiện x ³ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x = 7 là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 . Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương: ïì f (x) = g(x) • f (x) = g(x) Û íï îï f (x) ³ 0 (hay g(x) ³ 0)
2. ì 2 ï f (x) = ég(x)ù • f (x) = g(x) íï ë û ï îï g(x) ³ 0 Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) x = 3x2 + 1- 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 2x- 1 + x2 - 3x + 1= 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) Phương trình tương đương với ì ì ï x ³ 0 ï x ³ 0 íï Û íï ï 2 2 ï 2 2 îï x = 3x + 1- 1 îï 3x + 1 = x + 1 ì ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 ï x ³ 0 Û íï Û íï Û íï ï 2 + = 2 + 2 ï 4 - 2 = ï x2 x2 - 1 = 0 îï 3x 1 (x 1) îï x x 0 îï ( ) ïì x ³ 0 ï éx = 0 Û íï éx = 0 Û ê ï ê ê ï ê ëx = 1 îï ëx = ± 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1 b) Ta có 2x- 1 + x2 - 3x + 1= 0 Û 2x- 1 = - x2 + 3x- 1 2 ïì - x + 3x- 1³ 0 ì 2 ï ï - x + 3x- 1³ 0 Û í 2 Û í ï 2x- 1= - x2 + 3x- 1 ï (x- 1)2 (x2 - 4x + 2) = 0 îï ( ) îï 2 ì 2 ïì - x + 3x- 1³ 0 ï - x + 3x- 1³ 0 ï ï é x = 1 ï é ï é ê Û í x = 1 Û í x = 1 Û ê ï ê ï ê x = 2- 2 ï ê 2 - + = ï ê ëê îï ëx 4x 2 0 îï ëêx = 2 ± 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2- 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt. 3 9 9 3 A. m ³ B. m ³ - C. m ³ D. m ³ - 2 2 2 2 Lời giải:
3. ïì 1 ï x ³ - Phương trình Û íï . ï 2 ï 2 îï 3x + (4- m)x- 1= 0 (*) 1 Phương trình đã cho có hai nghiệm Û (*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng - Û đồ thị 2 1 hàm số y = 3x2 + (4- m)x- 1 trên [- ;+ ¥ ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. 2 1 b m- 4 Xét hàm số y = 3x2 + (4- m)x- 1 trên [- ;+ ¥ ) . Ta có - = 2 2a 6 m- 4 1 1 + TH1: Nếu £ - Û m £ 1 thì hàm số đồng biến trên [- ;+ ¥ ) nên m £ 1 không thỏa 6 2 2 mãn yêu cầu bài toán. m- 4 1 + TH2: Nếu > - Û m > 1 : 6 2 Ta có bảng biến thiên x 1 m- 4 - 2 6 + ¥ æ 1ö yç- ÷ + ¥ èç 2ø÷ y æm- 4ö yç ÷ èç 6 ø÷ 1 Suy ra đồ thị hàm số y = 3x2 + (4- m)x- 1 trên [- ;+ ¥ ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 2 æ 1ö æm- 4ö 2m- 9 1 Û yç- ÷³ 0 > yç ÷Û ³ 0 > (- m2 + 8m- 28) (1) èç 2ø÷ èç 6 ø÷ 4 12 2 Vì - m2 + 8m- 28 = - (m- 4) - 12 1) 2 9 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 2 Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.
4. Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp; ( A - B)( A + B) A- B · A - B = = A + B A + B æ 2 2 ö 3 A - 3 B ç 3 A + 3 A 3 B + 3 B ÷ ( )èç( ) ( ) ø÷ A- B · 3 - 3 = = A B 2 2 2 2 (3 A) + 3 A 3 B + (3 B) (3 A) + 3 A 3 B + (3 B) Với A, B không đồng thời bằng không. Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2(x- 1) a) = + 2 x 20 (3- 7 + 2x) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 3x- 2 + 3 x = 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm c) 3 3 x + x2 + 8 = x2 + 15 + 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ì ïì 7 ï 7 + 2x ³ 0 ï x ³ - a) ĐKXĐ: í Û í 2 ï 3 ¹ 7 + 2x ï î îï x ¹ 1 2 2 2(x- 1) (3+ 7 + 2x) Phương trình Û = + 2 2 x 20 (3- 7 + 2x) (3+ 7 + 2x) 2 2(x- 1) (10 + 2x + 6 7 + 2x) Û = + 2 x 20 (2- 2x) Û 10 + 2x + 6 7 + 2x = 2(x + 20) Û 7 + 2x = 5 Û x = 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có ngjiệm x = 9
5. 2 b) ĐKXĐ: x ³ 3 Nhẩm ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau Phương trình Û ( 3x- 2 - 1)+ (3 x - 1)= 0 ( 3x- 2 - 1)( 3x- 2 + 1) (3 x - 1)(3 x2 + 3 x + 1) Û + = 0 3x- 2 + 1 3 x2 + 3 x + 1 æ ö 3x- 3 x- 1 ç 3 1 ÷ Û + = 0 Û (x- 1)ç + ÷= 0 (*) 3 2 3 ç 3 2 3 ÷ 3x- 2 + 1 x + x + 1 èç 3x- 2 + 1 x + x + 1ø÷ 2 æ 1ö 3 3 1 Do 3 x2 + 3 x + 1= ç3 x + ÷ + > 0 nên + > 0 ç ÷ 3 2 è 2ø 4 3x- 2 + 1 x + 3 x + 1 Phương trình (*) Û x = 1(thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. c) Phương trình được viết lại như sau: 3 3 x - 2 = x2 + 15 - x2 + 8 8 Vì x2 + 15 - x2 + 8 > 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 x - 2 hay x > 27 Ta có phương trình tương đương với: 3 3 x - 3 = x2 + 15 - 4 + 3- x2 + 8 x- 1 x2 - 1 x2 - 1 Û 3 = - 2 2 2 3 x + 3 x + 1 x + 15 + 4 x + 8 + 3 1 x + 1 x + 1 Û (x- 1)( + - ) = 0 ( ) 2 2 2 3 x + 3 x + 1 x + 8 + 3 x + 15 + 4 8 x + 1 x + 1 Vì x > suy ra - > 0 nên 27 x2 + 8 + 3 x2 + 15 + 4 1 x + 1 x + 1 + - > 0 2 2 2 3 x + 3 x + 1 x + 8 + 3 x + 15 + 4 Phương trình ( ) Û x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình a) (x + 3) 2x2 + 1 = x2 + x + 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm
6. b) (3x + 1) x2 + 3 = 3x2 + 2x + 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) Ta thấy x = - 3 không là nghiệm của phương trình x2 + x + 3 Xét x ¹ - 3 , phương trình Û 2x2 + 1 = x + 3 2 2 2 é x = 0 2 x 2x x ê Û 2x + 1- 1= Û = Û ê x + 3 2 x + 3 + = 2 + + (*) 2x + 1 + 1 ëê2(x 3) 2x 1 1 Phương trình (*) Û 2x2 + 1 = 2x + 5 ïì 5 ïì 5 ï x ³ - ï x ³ - Û í Û í ï 2 ï 2 ï 2 2 ï 2 îï 2x + 1= 4x + 25+ 20x îï x + 10x + 12 = 0 ïì 5 ï x ³ - Û íï 2 Û x = 5+ 13 (thỏa mãn) ï îï x = - 5± 13 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = - 5+ 13 1 b) Ta thấy x = - không là nghiệm của phương trình 3 1 3x2 + 2x + 3 Xét x ¹ - , phương trình đã cho Û x2 + 3 = 3 3x + 1 1 8 Đến đây, chú ý 3x2 + 2x + 3 = 3(x + )2 + > 0 3 3 1 Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn x > - Þ x2 + 3 + 2x > 0 3 3x2 + 2x + 3 Do đó phương trình đã cho Û x2 + 3 - 2x = - 2x 3x + 1 x2 + 3- 4x2 3x2 + 2x + 3- 6x2 - 2x Û = x2 + 3 + 2x 3x + 1 2 2 é 2 3(1- x ) 3(1- x ) ê x = 1 Û = Û ê 2 + 2 x + 3 + 2x 3x 1 ëê x + 3 + 2x = 3x + 1 * TH1: x2 = 1 Û x = ± 1 1 Nhưng x = - 1 không thoả mãn x > - nên phương trình có nghiệm x = 1 3
7. * TH2: x2 + 3 + 2x = 3x + 1 Û x2 + 3 = x + 1 ì ï x ³ - 1 Û í 2 2 Û x = 1 (thỏa mãn) îï x + 3 = x + 1+ 2x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của phương trình a) x2 + x2 + 11 = 31 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) (x + 5)(2- x) = 3 x2 + 3x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm x2 + x + 1 c) = 3 x x2 - x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) Đặt t = x2 + 11, t ³ 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành: ét = 6 2 + - = Û ê t t 42 0 ê ët = - 7 Vì t ³ 0 Þ t = 6 , thay vào ta có x2 + 11 = 6 x2 + 11= 36 Û x = ± 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 5 b) Phương trình Û x2 + 3x + 3 x2 + 3x - 10 = 0 Đặt t = x2 + 3x, t ³ 0 . Phương trình đã cho trở thành ét = 2 2 + - = Û ê . t 3t 10 0 ê ët = - 5 Vì t ³ 0 Þ t = 2 , thay vào ta có x2 + 3x = 2
8. éx = 1 Û 2 + - = Û ê x 3x 4 0 ê ëx = - 4 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = - 4 . c) ĐKXĐ: x ³ 0 Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 1 Xét x > 0 , phương trình Û x2 + x + 1= 3 x. x2 - x + 1 Û x + 1+ = 3 x- 1+ x x 1 1 Đặt t = x- 1+ , t ³ 1Þ x + = t2 + 1 x x ét = 1 Phương trình trở thành 2 + = Û 2 - + = Û ê t 2 3t t 3t 2 0 ê ët = 2 1 · Với t = 1 ta có x- 1+ = 1 Û x2 - x + 1= x Û x = 1 (thỏa mãn) x 1 5± 21 · Với t = 2 ta có x- 1+ = 2 Û x2 - 5x + 1= 0 Û x = x 2 5± 21 Vậy phương trình có nghiệm là x = và x = 1. 2 Nhận xét: Phương trình có dạng af (x)+ b f (x)+ c = 0 ta đặt f (x) = t . Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của phương trình a) 4x- 1 + 4x2 - 6x + 1= 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 3x2 - 2x + 9 + 3x2 - 2x + 2 = 7 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 1 1 c) 3 x + 8 = 9x + + x x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm
9. 2x2 + 8x + 1 d) = 5 x 2x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: 1 a) ĐKXĐ: x ³ 4 t2 + 1 Đặt t = 4x- 1, t ³ 0 Þ x = 4 2 æ2 ö 2 çt + 1÷ t + 1 Phương trình trở thành t + 4ç ÷ - 6 + 1= 0 èç 4 ÷ø 4 Û 4t + t4 + 2t2 + 1- 6(t2 + 1)+ 4 = 0 Û t4 - 4t2 + 4t - 1= 0 Û (t - 1)(t3 + t2 - 3t + 1)= 0 é t = 1 2 2 ê Û (t - 1) (t + 2t - 1)= 0 Û ê (loại t = - 1- 2 ) ëêt = - 1± 2 1 Với t = 1 ta có 1= 4x- 1 Û x = 2 2- 2 Với t = - 1+ 2 ta có - 1+ 2 = 4x- 1 Û 4x- 1= 3- 2 2 Û x = 2 1 2- 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = . 2 2 b) Đặt t = 3x2 - 2x + 2 , điều kiện t ³ 0 . Khi đó 3x2 - 2x + 9 = t2 + 7 . Phương trình trở thành t2 + 7 + t = 7 ïì £ 2 ï t 7 Û t + 7 = 7 - t Û í 2 2 îï t + 7 = t - 14t + 49 ïì t £ 7 Û íï Û t = 3 îï t = 3 Với t = 3 ta có 3x2 - 2x + 2 = 3 é ê 1+ 22 êx = Û 3x2 - 2x + 2 = 9 Û 3x2 - 2x- 7 = 0 Û ê 3 ê 1- 22 êx = ëê 3
10. 1± 22 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 3 c) ĐKXĐ: x > 0 . Phương trình tương đương với æ 1 ö 1 ç - ÷+ = + 3ç x ÷ 8 9(x ) . èç 3 x ø÷ 9x 1 1 2 1 2 Đặt t = x - Þ t2 = x + - Þ x + = t2 + 3 x 9x 3 9x 3 Phương trình trở thành: é ê 2 æ ö t = 2 2 2 ê 3 3t + 8 = 9çt + ÷Û 9t - 3t - 2 = 0 Û ê èç 3ø÷ ê 1 êt = - ëê 3 é x = 1 2 1 2 ê Với = ta có - = Û - - = Û ê Û = t x 3x 2 x 1 0 ê 1 x 1 3 3 x 3 ê x = - ë 3 1 1 1 Với t = - ta có x - = - 3 3 x 3 é - 1+ 13 ê x = ê 7 - 13 Û 3x + x - 1= 0 Û ê 6 Û x = ê - 1- 13 18 ê x = ëê 6 7 - 13 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = . 18 d) ĐK: x ³ 0 . Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Xét x ¹ 0 . Khi đó phương trình tương đương với 1 1 10x x + 5 x = 2x2 + 1+ 8x Û 5( x + ) = 2(x + )+ 4 2 x 4x 1 1 Đặt t = x + ³ 2 x. = 2 Þ t ³ 2 2 x 2 x 1 Suy ra x + = t2 - 1. Phương trình trở thành: 4x
11. 1 5t = 2(t2 - 1)+ 4 Û 2t2 - 5t + 2 = 0 Û t = 2 (thỏa mãn) hoặc t = (loại) 2 1 3± 2 2 Với t = 2 ta có x + = 3 Û 4x2 - 12x + 1= 0 Û x = (thỏa mãn) 4x 2 3± 2 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 1 1 Nhận xét: Phương trình có chứa af (x)± và a2 f 2 (x)+ thì ta đặt ẩn phụ là bf (x) b2 f 2 (x) 1 t = af (x)± bf (x) Ví dụ 8: Tìm số nghiệm của phương trình 2 a) (x + 1) - 2 2x(x2 + 1) = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 10 x3 + 1 = 3(x2 + 2) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm c) 4 + x + 1 = 3 x2 - 1 + 2 x- 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: 2x(x2 + 1)³ 0 Û x ³ 0 Đặt 2x = a, x2 + 1 = b; a³ 0,b ³ 0 2 Suy ra a2 + b2 = 2x + x2 + 1= (x + 1) 2 Phương trình trở thành a2 + b2 - 2ab = 0 Û (a- b) = 0 Û a = b 2 Suy ra 2x = x2 + 1 Û 2x = x2 + 1 Û (x- 1) = 0 Û x = 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 b) ĐKXĐ: x3 + 1³ 0 Û x ³ - 1. Phương trình Û 10 (x + 1)(x2 - x + 1) = 3(x2 + 2)
12. Đặt x + 1 = a, x2 - x + 1 = b , a ³ 0, b ³ 0 Suy ra a2 + b2 = x2 + 2 khi đó Phương trình trở thành 10ab = 3(a2 + b2 )Û 3a2 - 10ab + 3b2 = 0 é3a = b Û - - = Û ê (3a b)(a 3b) 0 ê ëa = 3b Với 3a = b ta có 3 x + 1 = x2 - x + 1 Û 9(x + 1)= x2 - x + 1 Û x2 - 10x- 8 = 0 Û x = 5± 33 (thỏa mãn điều kiện) Với a = 3b ta có x + 1 = 3 x2 - x + 1 Û x + 1= 9(x2 - x + 1) Û 9x2 - 10x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm là x = 5± 33 . c) ĐKXĐ: x ³ 1 Đặt x + 1 = a, x- 1 = b; a³ 0,b ³ 0 Phương trình trở thành 4 + a = 3ab + 2b Mặt khác a2 + b2 = 2 suy ra 2(a2 + b2 )+ a = 3ab + 2b Û (a- 2b)(2a + b + 1)= 0 Û a = 2b (do 2a + b + 1> 0 ) 5 Suy ra x + 1 = 2 x- 1 Û x + 1= 4(x- 1)Þ x = (thỏa mãn) 3 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 3 Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 a) (2x- 1) + m = x2 - x + 1 (1) - 12 + 3 - 12 + 3 - 12 + 3 - 12 + 3 A. m ³ B. m > C. m £ D. m < 2 2 2 2 b) 3 x- 1 + m x + 1 = 2 4 x2 - 1 (2) 1 1 1 A. - 1< m B. m £ C. - 1< m £ D. - 1< m < 3 3 3 Lời giải:
13. a) Đặt t = x2 - x + 1 2 Þ t2 = x2 - x + 1Þ (2x- 1) = 4x2 - 4x + 1= 4t2 - 3 2 æ 1ö 3 3 3 Vì x2 - x + 1= çx- ÷ + ³ nên t ³ èç 2ø÷ 4 4 2 Phương trình (1) trở thành 4t2 - 3+ m = t Û - 4t2 + t + 3 = m (1') 3 Xét hàm số y = - 4t2 + t - 3 với t ³ 2 b 1 3 Ta có - = < 2a 8 2 Bảng biến thiên x 3 + ¥ 2 y - 12 + 3 2 - ¥ 3 Phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (1') có nghiệm t ³ 2 3 - 12 + 3 Û đồ thị hàm số y = - 4t2 + t - 3 trên [ ;+ ¥ ) cắt đường thẳng y = m Û m £ . 2 2 - 12 + 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m £ 2 b) ĐKXĐ: x ³ 1 . Chia cả hai vế cho x + 1 ta có x- 1 4 x2 - 1 x- 1 x- 1 (2)Û 3 + m = 2 Û - 3 + 2 4 = m x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x- 1 2 Đặt t = 4 = 4 1- Þ 0 £ t < 1 x + 1 x + 1 Phương trình (2) trở thành - 3t2 + 2t = m (2')
14. b 1 æ1ö 1 Xét hàm số y = - 3t2 + 2t trên [0;1) , ta có - = , yç ÷= 2a 3 èç3ø÷ 3 Bảng biến thiên x 1 0 1 3 y 1 3 0 - 1 Phương trình (2) có nghiệm Û phương trình (2') có nghiệm t Î [0;1) 1 Û đồ thị hàm số y = - 3t2 + 2t trên [0;1) cắt đường thẳng y = m Û - 1< m £ 3 1 Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi - 1< m £ 3 Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại toán không chứa tham số thì có thể không nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải. Nhưng với bài toán chứa tham số thì chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ. Loại 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ 10: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 3 x + 3 = 3x2 + 4x- 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: ĐKXĐ: x ³ - 3 Phương trình Û - 27(x + 3)- 3 x + 3 + 3x2 + 31x + 80 = 0 Đặt t = x + 3 (t ³ 0) phương trình trở thành - 27t2 - 3t + 3x2 + 31x + 80 = 0 2 - 3x- 16 x + 5 Có D = (18x + 93) suy ra t = ,t = t 1 9 2 3 - 3x- 16 - 3x- 16 · x + 3 = Vô nghiệm vì với x ³ - 3 thì < 0 9 9 x + 5 · x + 3 = Û x2 + x- 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = - 2 3 Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x = - 2
15. Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành - 27(x + 3)- 3 x + 3 + 3x2 + 31x + 80 = 0 để sau khi đặt ẩn phụ t = x + 3 thì phương trình ẩn t 2 có V= (18x + 93) ( là bình phương của một nhị thức) Nếu ta tách không hợp lý thì V không là bình phương của một nhị thức hoặc là một hằng số ,trong trường hợp đó việc giải phương trình theo hướng trên là không thể thực hiện được. Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như sau: B1: Viết (1) Û m(x + 3)- 3 x + 3 + 3x2 + (4- m)x- 1- 3m = 0 (m ¹ 0) B2: Đặt t = x + 3 (t ³ 0) pt trở thành mt2 - 3t + 3x2 + (4- m)x- 1- 3m = 0 2 2 Có D t = - 12mx - 4m(4- m)x + 12m + 4m+ 9 = f (x) ì ì ï - 12m > 0 ï - 12m > 0 B3: Tìm m sao cho í Û íï Û m = - 27 ï D / = 0 ï D / = 4m m+ 27 m2 + m+ 1 = 0 îï f îï f ( )( ) Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên Ví dụ 11: Tìm số nghiệm của phương trình sau 60- 24x- 5x2 = x2 + 5x- 10 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: ĐKXĐ: 60- 24x- 5x2 ³ 0 1 1 Đặt t = 60- 24x- 5x2 (t ³ 0) pt trở thành t2 + t - x2 - x = 0 Û t2 + 6t - x2 - 6x = 0 6 6 / 2 Phuơng trình ẩn t này có D = (x + 3) nên ta tìm đượct1 = x,t2 = - x- 6 ïì x ³ 0 · 60- 24x- 5x2 = x Û íï Û x = - 2 + 14 ï 2 îï x + 4x- 10 = 0 ïì - x- 6 ³ 0 · 60- 24x- 5x2 = - x- 6 Û íï Û x = - 3- 13 ï 2 îï x + 6x- 4 = 0 Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = - 2- 14,x2 = - 3- 13 Ví dụ 12: Tìm số nghiệm của phương trình (x + 3) (4- x)(12 + x) = 28- x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải:
16. ĐKXĐ: - x2 - 8x + 48 ³ 0 - 1 - 1 t = - x2 - 8x + 48 (t ³ 0) phương trình trở thành t2 + (x + 3)t + x2 - 3x- 4 = 0 (t ³ 0) 2 2 Phương trình bậc hai ẩn t có D t = 1 từ đó có t = x + 2,t = x + 4 ïì x + 2 ³ 0 · - x2 - 8x + 48 = x + 2 Û íï Û x = - 3+ 31 ï 2 îï x + 6x- 22 = 0 ïì x + 4 ³ 0 · - x2 - 8x + 48 = x + 4 Û íï Û x = - 4 + 4 2 ï 2 îï x + 8x- 16 = 0 Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = - 3+ 31 , x2 = - 4 + 4 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.33: Tìm số nghiệm của phương trình sau: a) 2x + 1 = 3x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm b) x3 - x = 4x + 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm c) x4 + 3x + 1 = x4 - x2 - 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm d) 2x + 6x2 + 1 = x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm e) 2 x + 3 = 9x2 - x- 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm f) x2 + x + 7 = 7 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: ì ì ï 1 ï 3x + 1³ 0 ï x ³ - Bài 3.33: a) Pt Û í Û í 3 . ï 2 ï îï 2x + 1= (3x + 1) ï 2 îï 9x + 4x = 0
17. ïì 1 ï x ³ - é x = 0 ï 3 ê Û í Û ê 4 ï 4 êx = - ï x = 0, x = - ëê 9 îï 9 é x = - 1 ïì x ³ - 1 ê b) PT Û íï Û ê ï 3 ê 1+ 7 îï x - 5x- 4 = 0 êx = ë 2 ïì x4 - x2 - 1³ 0 ïì x4 - x2 - 1³ 0 c) PT Û íï Û íï Û x = - 2 ï 4 4 2 ï 2 îï x + 3x + 1= x - x - 1 îï x + 3x + 2 = 0 ì ì ï x + 1³ 0 ï x ³ - 1 d) Pt Û íï Û íï ï 2 2 ï 2 2 îï 2x + 6x + 1 = (x + 1) îï 6x + 1 = x + 1 ïì x ³ - 1 ïì x ³ - 1 Û íï Û íï Û x = 0,x = 2 ï 2 2 2 ï 4 2 îï 6x + 1= (x + 1) îï x - 4x = 0 é éx = 1 2 x + 3 + 1= 3x ê e) + + = 2 Û ê Û ê (1 3 x) 9x ê ê - 5- 97 ê x + 3 + 1= - 3x êx = ë ë 18 f) x2 - (x + 7)+ (x + x + 7) = 0 Û (x + x + 7)(x- x + 7 + 1) = 0 1- 29 Từ đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x = . 2 Bài 3.34: Tìm số nghiệm của phương trình sau: a) x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm b) 3 3 x2 + x2 + 8 - 2 = x2 + 15 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm c) 5x- 1 + 3 9- x = 2x2 + 3x- 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm d) 3 x + 6 + x2 = 7 - x- 1
18. A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: 5 Bài 3.34: a) ĐKXĐ: x ³ 3 Phương trình đã cho tương đương với: x2 + 12 - 4 = 3x- 6 + x2 + 5 - 3 x2 - 4 x2 - 4 Û = 3(x- 2)+ x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 æ x + 2 x + 2 ö÷ Û - ç - - ÷= (x 2)ç 3÷ 0 èç x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 ø÷ é = êx 2 Û ê x + 2 x + 2 ê - - 3 = 0(*) ê 2 2 ëê x + 12 + 4 x + 5 + 3 1 1 x + 2 x + 2 Do x2 + 8 Þ x2 + 15 + 4 > x2 + 8 + 3 Þ < x2 + 15 + 4 x2 + 8 + 3 Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy pt có 2 nghiệm x = 1,x = - 1. 1 c) ĐKXĐ: x ³ . 5
19. Phương trình đã cho tương đương với: 5x- 1- 2 + 3 9- x - 2 = 2x2 + 3x- 5 5(x- 1) 1- x Û + = - + 2 (x 1)(2x 5) 5x- 1 + 2 (3 9- x) + 2 3 9- x + 4 é ù ê 5 1 ú Û - ê + - + ú= (x 1)ê2x 5 2 ú 0 ê 5x- 1 + 2 3 9- x + 2 3 9- x + 4ú ëê ( ) ûú é ù ê 5 5x- 1 + 5 1 ú Û - ê + + ú= (x 1)ê2x 2 ú 0 ê 5x- 1 + 2 3 9- x + 2 3 9- x + 4ú ëê ( ) ûú Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1 . d) ĐKXĐ: x ³ 1 PT Û 3 x + 6 + x- 1 + x2 - 7 = 0 Û ( 3 x + 6 - 2)+ ( x- 1- 1)+ (x2 - 4) = 0 (1) Ta có " x ³ 1: 3 (x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 = ( 3 x + 6 + 1)2 + 3 > 0 & x- 1 + 1> 0 x- 2 x- 2 Do đó PT Û + + (x- 2)(x + 2) = 0 3 (x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 x- 1 + 1 é ù ê 1 1 ú Û (x- 2) ê + + x + 2ú= 0 Û x = 2 3 2 3 ëê (x + 6) + 2 x + 6 + 4 x- 1 + 1 ûú Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 . Bài 3.35: Tìm số nghiệm của phương trình a) x2 + x + 2 = x2 + x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm 2 b) (2x- 1) = x2 - x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm
20. c) 13x + 2(3x + 2) x + 3 + 42 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm d) x2 - 2x- 22- - x2 + 2x + 24 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm x + 1 1 e) = x- x + 1- 3- x 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm f) 4x- 1 + 4x2 - 6x + 1= 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm 1 g) x2 + 2x x- = 3x + 1 x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm h) x2 + 3 x4 - x2 = 2x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: Bài 3.35: a) Đặt t = x2 + x + 2, ( t ³ 0) Þ x2 + x = t2 - 2 ét = - 1(l) Phương trình trở thành: = 2 - Û 2 - - = Û ê t t 2 t t 2 0 ê ë t = 2 éx = 1 Với = ta có: = 2 + + ³ Û 2 + - = Û ê t 2 2 x x 2, ( t 0) x x 2 0 ê ëx = - 2 b) Đặt t = x2 - x + 1, ( t ³ 0) Þ x2 - x = t2 - 1 ét = 1 2 2 ê Phương trình trở thành: 4(t - 1)+ 1= t Û 4t - t - 3 = 0 Û ê 3 êt = ëê 4 Từ đó phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1
21. c) Điều kiện x + 3 ³ 0 Û x ³ - 3 . Đặt t = x + 3,t ³ 0 Þ x = t2 - 3 Lúc đó phương trình đã cho trở thành: 2 - + é 2 - + ù + = Û 3 + 2 - + = 13(t 3) 2 ëê3(t 3) 2ûút 42 0 6t 13t 14t 3 0 ïì 1 ï t = ï Û (t + 3)(6t2 - 5t + 1) = 0 Û 6t2 - 5t + 1= 0,(t ³ 0) Û íï 2 ï 1 ï t = îï 3 11 26 Từ đó x = - ; x = - . 4 9 d) Đặt t = - x2 + 2x + 24, ( t ³ 0) Þ - x2 + 2x + 24 = t2 Þ x2 - 2x- 22 = 2- t2 é t = 1 Phương trình trở thành: - 2 - = Û 2 + - = Û ê 2 t t 0 t t 2 0 ê ët = - 2(l) Với t = 1 ta có: - x2 + 2x + 24 = 1 Û x2 - 2x- 23 = 0 Û x = 1± 2 6 e) ĐKXĐ: - 1£ x £ 3,x ¹ 1 . PT Û 2 x + 1( x + 1 + 3- x)= (2x- 1)(2x- 2) Û - x2 + 2x + 3 = 2(x2 - 2x). f) Đặt t = 4x- 1 , ta có t4 - 4t2 + 4t - 1= 0 Û (t - 1)2 (t2 + 2t - 1) = 0 1 2- 2 ĐS: x = , x = 2 2 g) Điều kiện: - 1£ x < 0 1 1 Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x + 2 x- = 3+ x x 1 ét = 1 Đặt = - , ta được 2 + - = Û ê . t x t 2t 3 0 ê x ët = - 3 æ 1÷ö 1 h) x = 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: çx- ÷+ 3 x- = 2 èç xø÷ x 1 1± 5 Đặt t = 3 x- , Ta có : t3 + t - 2 = 0 Û t = 1Þ x = x 2
22. Bài 3.36: Tìm số nghiệm của phương trình a) 4x2 + 22 + 3x- 2 = 21x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm b) x(1- 5 x + 3)= 3(x2 - 4) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm c) 51 x- 2 = 3x2 - 58x + 110 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm d) x2 + x 3x- 1 + 2 = 6x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: Bài 3.36: a) PT Û - (3x- 2)+ 3x- 2 + 4x2 - 18x + 20 = 0 Đặt t = 3x- 2, t ³ 0 . 2 2 2 Phương trình trở thành - t + t + 4x - 18x + 20 = 0 , có D t = (4x- 9) 19 + 73 23- 97 Từ đó ta có nghiệm phương trình là x = , x = 8 8 b) PT Û 2(x + 3)+ 5x x + 3 + 3x2 - 3x- 18 = 0 Đặt t = x + 3, t ³ 0 . Phương trình trở thành 2t2 + 5xt + 3x2 - 3x- 18 = 0 2 16 + 2 10 Có D = (x + 12) . Từ đó ta có nghiệm phương trình là x = 1, x = - t 9 c) PT Û - 27(x- 2)- 51 x- 2 + 3x2 - 31x + 56 = 0 Đặt t = x- 2, t ³ 0 . Phương trình trở thành - 27t2 - 51t + 3x2 - 31x + 56 = 0 2 Có D t = (18x- 93)
23. 25+ 3 33 41- 3 93 Từ đó ta có nghiệm phương trình là x = , x = 2 6 d) PT Û - 2(3x- 1)+ x 3x- 1 + x2 = 0 Û (x- 3x- 1)(2 3x- 1 + x) = 0 3± 5 Từ đó ta có nghiệm phương trình là x = . 2 2(x + 3) Bài 3.37: Tìm số nghiệm của phương trình x + x2 - 9 = . (x- 3)2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: ïì a2 + b2 = 2x Bài 3.37: · Với x > 3: Đặt a = x + 3;b = x- 3; a > 0,b > 0 Þ íï ï 2 2 îï a - b = 6 Phương trình trở thành: 4a2 a a2 + b2 + 2ab = Û a + b = 2 b4 b2 2a(a- b) Û (a + b)(a- b)= Û 6b2 = 2a(a- b) b2 1± 13 Û a2 - ab- 3b2 = 0 Û a = b 2 1+ 13 Do a > 0,b > 0 Þ a = b 2 1+ 13 Suy ra x + 3 = x- 3 Û x = 8- 13 (thỏa mãn). 2 · Với x £ - 3 tương tự ta có phương trình vô nghiệm. · Với - 3 < x £ 3 khi đó phương trình không xác định nên nó vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm là x = 8- 13 . x3 + 2x2 - 3x + 1 Bài 3.38: Tìm số nghiệm của phương trình x2 - x + 1 = x2 + 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: Bài 3.38: Xét phương trình x2 - x + 1 = - x- 2
24. ïì x £ - 2 ïì x £ - 2 ï Û ï Û ï í 2 2 í 3 (vô nghiệm) îï x - x + 1= x + 4x + 4 ï x = - îï 5 Suy ra x2 - x + 1 + x + 2 ¹ 0 do đó x3 + 2x2 - 3x + 1 Phương trình Û x2 - x + 1- (x + 2)= - (x + 2) x2 + 2 é - 5x- 3 - 5x- 3 5x + 3 = 0 Û = Û ê 2 2 ê 2 2 x - x + 1 + x + 2 x + 2 ëê x - x + 1 + x + 2 = x + 2 ïì 3 ï x = - Û íï 5 ï ï 2 2 îï x - x + 1 = x - x( ) ïì x2 - x ³ 0 ï 1± 3+ 2 5 Ta có ( ) Û í 2 Û x = ï x2 - x + 1= x2 - x 2 îï ( ) ïì ïü ï 3 1- 3+ 2 5 1+ 3+ 2 5 ï Suy ra phương trình có nghiệm là x Î íï - ; ; ýï ï 5 2 2 ï îï þï ➢ DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Loại 1: Đưa về phương trình tích. 1. Phương pháp giải Để giải phương trình f (x)= 0 ta phân tích f (x)= f1 (x). f2 (x) fn (x) khi đó é = êf1 (x) 0 ê êf (x)= 0 f (x)= 0 Û ê 2 ê ê êf x = 0 ëê n ( ) Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: • Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng a2 - b2 = 0, a3 - b3 = 0, • Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x = a là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta luôn có sự phân thích: f (x) = (x- a)g(x). * Để dự đoán nghiệm ta chú ý các kết quả sau: n n- 1 Cho đa thức f (x) = anx + an- 1x + + a1x + a0 + Nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0 . + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình f (x) = 0 có một nghiệm bằng 1.
25. + Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình f (x) = 0 có một nghiệm bằng -1. * Để phân tích f (x) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau: Nếu f (x) có nghiệm là x = x0 thì f (x) chứa nhân tử ( x – x0 ) tức là : n- 1 n - 2 f (x)= ( x – x0 ).g(x) , trong đó g(x)= bn- 1x + bn - 2x + + b1x + b0 Với hệ số bi được xác định như sau: Lược đồ Hoócne a n an - 1 a1 a0 a bn- 1 = an bn- 2 = a.an + an- 1 b1 = a.a2 + a1 0 Ví dụ : Giải phương trình x4 + x3 – x – 1= 0 Nhận thấy : a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1+ 1+ 0 + (- 1)+ (- 1)= 0 Và : a4 + a2 + a0 = 1+ 0 + (- 1)= a3 + a1 = 1+ (- 1) Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = - 1 Lược đồ Hoócne 1 1 0 -1 -1 x = 1 1 2 2 1 0 x = - 1 1 1 1 0 Ta có phương tình thương đương với (x- 1)(x + 1)(x2 + x + 1)= 0 Û x = ± 1 . • Sử dụng phương pháp hệ số bất định 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình a) x3 - 3x2 - 6x + 8 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm b) 3x5 - 13x4 + 16x3 + 5x2 - 21x + 6 = 0 . A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải:
26. a) Phương trình tương đương với (x + 2)(x2 - 5x + 4) = 0 é = - êx 2 ê Û (x + 2)(x- 1)(x- 4) = 0 Û êx = 1 ê ëêx = 4 Vậy phương trình có nghiệm là x = - 2,x = 1 và x = 4 b) Phương tình tương đương với (x + 1)(3x4 - 16x3 + 32x2 - 27x + 6)= 0 Û (x + 1)(x- 2)(3x3 - 10x2 + 12x- 3)= 0 é = - êx 1 ê 2 x = 2 Û (3x- 1)(x- 2)(x + 1)(x - 3x + 3) = 0 Û ê ê 1 êx = ëê 3 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = - 1,x = và x = 2 3 Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình : x4 - 4x3 - 10x2 + 37x- 14 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Đối với phương trình này ta không nhẩm được nghiệm nguyên hay hữu tỉ Bây giờ ta giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng (x2 + a x + b )(x2 + a x + b )= 0 1 1 2 2 4 3 2 Û x + (a1 + a2 )x + (a1a2 + b1 + b2 )x + (a1b2 + a2b1)x + b1b2 = 0 ïì a + a = - 4 ï 1 2 ï a a + b + b = - 10 Đồng nhất các hệ số ta có íï 1 2 1 2 ï a b + a b = 37 ï 1 2 2 1 ï = - îï b1b2 14 Suy ra b1 = - 2;b2 = - 7; a1 = - 5; a2 = 1 Do đó phương trình tương đương với (x2 - 5x + 2)( x2 + x- 7)= 0 é ê 5± 17 2 x = éx - 5x + 2 = 0 ê Û ê Û ê 2 ê 2 ê ëêx + x- 7 = 0 - 1± 29 êx = ëê 2 5± 17 - 1± 29 Vậy phương trình có nghiệm là x = và x = 2 2 Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình:
27. a) x4 - 4x2 + 12x- 9 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. Vô nghiệm b) x4 - 4x = 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: a) Phương trình tương đương với x4 - (2x- 3)2 = 0 éx = 1 Û 2 + - 2 - + = Û ê (x 2x 3)(x 2x 3) 0 ê ëx = - 3 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = - 3 b) Phương trình tương đương với x4 - 2x2 + 1- 2(x2 - 2x + 1) = 0 Û (x2 - 1)2 - [ 2(x- 1)]2 = 0 Û (x2 + 2x- 2 - 1)(x2 - 2x + 2 - 1) = 0 é ê - 2 ± 2 + 3 = éx2 + 2x- 2 - 1= 0 êx ê Û ê 2 ê 2 ê ëê x - 2x + 2 - 1 ê 2 ± 3- 2 êx = ëê 2 - 2 ± 2 + 3 2 ± 3- 2 Vậy phương trình có nghiệm là x Î { ; } 2 2 2 2 Nhận xét: Đây là phương trình đưa về được dạng (x2 + a) = a(x + b) Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x3 - (2m+ 5)x2 + (m2 + 6m+ 7)x- 3m2 - 3 = 0 (*) có ba nghiệm dương phân biệt. A. m 0 C. m 1 Lời giải: Nhẩm nghiệm ta thấy phương trình luôn có nghiệm x = 3 do đó dùng lược đồ hoócne ta có é x = 3 (*) Û (x- 3)éx2 - 2(m+ 1)x + m2 + 1ùÛ ê ëê ûú ê 2 - + + 2 + = ëêx 2(m 1)x m 1 0 ( )
28. Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) có hai nghiệm ïì D ' > 0 ï ï P > 0 dương phân biệt khác 3 Û íï ï S > 0 ï ï 2 - + + - ¹ îï 3 2(m 1).3 m 2 3 ì 2 ï m+ 1 - m2 - 1> 0 ï ( ) ì ï ï m > 0 ï 2(m+ 1)> 0 ï Û íï Û íï m > - 1 Û m > 0 ï ï ï m2 + 1> 0 ï ï ï m ¹ - 2 ï î îï m ¹ - 2 Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.39: Tìm số nghiệm của phương trình: a) 2x4 + 5x3 - 3x2 - 8x + 4 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) - 12 + 20x + 19x2 - 21x3 - 4x4 + 4x5 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.5 nghiệm c) - 6 + x- 5x2 + x3 + x4 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm d) x5 - 2x4 + 3x3 - 6x2 + 2x- 4 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.39: a) PT Û (x- 1)(2x- 1)(x + 2)(x + 2) = 0 b) PT Û (x- 2)(2x- 3)(x + 2)(x + 1)(2x- 1) = 0 c) PT Û (x2 + 1)(x- 2)(x + 3) = 0 d) PT Û (x2 + 1)(x2 + 2)(x- 2) = 0 Bài 3.40: Tìm số nghiệm của phương trình a) x4 - 2x2 - 2x + 1= 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm
29. b) x4 - x2 - 2x- 1= 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: 1- 4 12 + 3 1- 4 12 + 3 Bài 3.40: a) (x2 - x + 1)2 - 3x2 = 0 Û x = hoặc x = 2 2 1± 5 b) PT Û (x2 - x- 1)(x2 + x + 1) = 0 Û x = . 2 Bài 3.41: Tìm m để phương trình x3 - (2m+ 1)x2 + (m2 + m+ 1)x- m2 + m- 1= 0 có ba nghiệm dương phân biệt. A. 2 ¹ m > - 2 B. 2 ¹ m > 1 C. 2 ¹ m > - 1 D. 2 ¹ m > 0 Lời giải: Bài 3.41: PT Û (x- 1)(x2 - 2mx + m2 - m+ 1)= 0 Từ đó suy ra 2 ¹ m > 1. Loại 2: Đặt ẩn phụ. 1. Phương pháp giải: Điểm quan trọng nhất trong đối với phương trình dạng này là phát hiện ẩn phụ t = f (x)có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình a) 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: a) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta 1 1 được: 2(x2 + )- 5(x + )+ 6 = 0 . x2 x
30. 1 1 1 Đặt t = x + , Þ x2 + = (x + )2 - 2 = t2 - 2 x x2 x ét = 2 2 2 ê Ta có phương trình: 2(t - 2)- 5t + 6 = 0 Û 2t - 5t + 2 = 0 Û ê 1 êt = ëê 2 1 1 1 * t = Þ x + = Û 2x2 - x + 2 = 0 (vô nghiệm). 2 x 2 1 * t = 2 Þ x + = 2 Û x2 - 2x + 1= 0 Û x = 1 x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 b) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta 105 50 25 5 được: 2x2 - 21x + 74- + = 0 Û 2(x2 + )- 21(x + )+ 74 = 0 . x x2 x2 x 5 25 5 Đặt t = x + , Þ x2 + = (x + )2 - 10 = t2 - 10 x x2 x ét = 6 2 2 ê Ta có phương trình: 2(t - 10)- 21t + 74 = 0 Û 2t - 21t + 54 = 0 Û ê 9 êt = ëê 2 éx = 2 9 5 9 2 ê * t = Þ x + = Û 2x - 9x + 10 = 0 Û ê 5 .(thỏa mãn) 2 x 2 êx = ëê 2 5 éx = 1 * = Þ + = Û 2 - + = Û ê (thỏa mãn) t 6 x 6 x 6x 5 0 ê x ëx = 5 ïì 5 ïü Vậy phương trình có nghiệm là x Î íï 1; 2; ; 5ýï . îï 2 þï 2 e ædö Chú ý: Các phương trình trên có dạng tổng quát là ax4 + bx3 + cx2 + dx ± e = 0 với = ç ÷ = k2 . a èçbø÷ Tức là có dạng ax4 + bx3 + cx2 ± bkx + ak2 = 0 . Cách giải: Xét x = 0 xem có phải là nghiệm của phương trình không k2 k Với x ¹ 0 ta chia hai vế phương trình cho x2 ta có pt: a(x2 + )+ b(x ± )+ c = 0 x2 x k k2 k Đặt t = x ± , ta có x2 + = (x ± )2 m2k = t2 m2k thay vào phương trình ta quy về phương x x2 x trình bậc hai a(t2 m2k)+ bt + c = 0 . Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình
31. a) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12)= 3x2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: a) Phương rình tương đương với (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24 . Đặt t = x2 + 3x , phương trình trở thành ét = - 6 + = Û 2 + - = Û ê t(t 2) 24 t 2t 24 0 ê ët = 4 * t = - 6 Þ x2 + 3x = - 6 Û x2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm) éx = 1 * = Þ 2 + = Û 2 + - = Û ê . t 4 x 3x 4 x 3x 4 0 ê ëx = - 4 Vậy phương rình có nghiệm là x = - 4 và x = 1. b) Phương trình tương đương với 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60)= 3x2 (*) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Xét x ¹ 0 , chia hai vế cho x2 ta có æ 60öæ 60ö (*)Û 4çx + 17 + ÷çx + 16 + ÷= 3 èç x ø÷èç x ø÷ 60 Đặt y = x + 16 + phương trình trở thành x é 1 êy = ê 4(y + 1)y = 3 Û 4y2 + 4y- 3 = 0 Û ê 2 ê 3 êy = - ëê 2 éx = - 8 1 60 1 2 ê Với y = ta có x + 16 + = Û 2x + 31x + 120 = 0 Û ê 15 2 x 2 êx = - ëê 2 3 60 3 - 35± 265 Với y = - ta có x + 16 + = - Û 2x2 + 35x + 120 = 0 Û x = 2 x 2 4 15 - 35± 265 Vậy phương trình có nghiệm là x = - 8, x = - và x = . 2 4 Chú ý:
32. • Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e trong đó a + b = c + d Cách giải: Đặt t = x2 + (a + b)x ta quy về phương trình bậc hai(t + ab)(t + cd) = e • Phương trình có dạng (x + a)(x + b)( x + c)( x + d)= mx2 trong đó ab = cd Cách giải: Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không. æ aböæ cdö Xét x ¹ 0 chia hai vế cho x2 ta được çx + a + b + ÷çx + c + d + ÷= m èç x ø÷èç x ø÷ ab Đặt t = x + ta quy về phương trình bậc hai (t + a + b)(t + c + d)= m x Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình a) (x + 1)4 + (x + 3)4 = 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 3(x2 - x + 1)2 - 2(x + 1)2 = 5(x3 + 1) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: a) Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t - 1)4 + (t + 1)4 = 2 Û t4 + 6t2 = 0 Û t2 (t2 + 6)= 0 Û t = 0 Suy ra x = - 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 2 . b) Vì x = - 1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x3 + 1 ta được: x2 - x + 1 x + 1 3 - 2 = 5 . x + 1 x2 - x + 1 x2 - x + 1 Đặt t = , phương trình trở thành x + 1 ét = 2 2 2 ê 3t - = 5 Û 3t - 5t - 2 = 0 Û ê 1 t êt = - ëê 3 x2 - x + 1 3± 13 * t = 2 Þ = 2 Û x2 - 3x- 1= 0 Û x = x + 1 2 1 x2 - x + 1 1 * t = - Þ = - Û 3x2 - 2x + 4 = 0 phương trình vô nghiệm. 3 x + 1 3
33. 3± 13 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 Chú ý: Phương trình ở câu a) có dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c . a + b Cách giải: Đặt x = t - ta đưa về phương trình trùng phương 2 a- b Phương trình có nghiệm Û c ³ 2( )4 2 Ví dụ 4: Cho phương trình (m+ 1)x4 - 4x2 + 1= 0 (*). Tìm m để a) Phương trình (*) có nghiệm A. m ³ 3 B. m £ 3 C. m > 3 D. m - 1 ï P ³ 0 ï 1 î ï ³ 0 îï m+ 1 1 • TH2: Phương trình ( ) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 Û < 0 Û m < - 1 m+ 1 • TH3: Phương trình ( ) có một nghiệm bằng không và một nghiệm âm(không xảy ra vì x = 0 không là nghiệm của phương trình ( ) với mọi m ) Vậy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m £ 3. 1 b) Với m = - 1 phương trình (*) trở thành - 4x2 + 1= 0 Û x = ± suy ra m = - 1 không thỏa mãn 2 Với m ¹ - 1 phương trình ( ) là phương trình bậc hai.
34. Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) có hai nghiệm dương phân biệt ì ï 4- (m+ 1)> 0 ïì D > ï ï ' 0 ï 4 ì ï ï > 0 ï m 0 Û í m+ 1 í Û - 1 - 1 ï P > 0 ï 1 î ï > 0 îï m+ 1 Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi - 1< m < 3 . Ví dụ 5: Cho phương trình x4 + 4x3 - 3x2 - 14x + m = 0 a) Tìm số nghiệm của phương trình khi m = 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm A. m £ - 1 B. m £ 2 C. m £ 0 D. m £ 1 Lời giải: Phương trình tương đương (x4 + 4x3 + 4x2 )- (7x2 + 14x)+ m = 0 2 Û (x2 + 2x) - 7(x2 + 2x)+ m = 0 2 Đặt t = x2 + 2x , x2 + 2x = (x + 1) - 1³ - 1 suy ra t ³ - 1 Phương trình trở thành t2 - 7t + m = 0 (*) ét = 1 a) Khi = ta có 2 - + = Û ê m 6 t 7t 6 0 ê ët = 6 Với t = 1 thì x2 + 2x = 1 Û x2 + 2x- 1= 0 Û x = - 1± 2 Với t = 6 thì x2 + 2x = 6 Û x2 + 2x- 6 = 0 Û x = - 1± 7 Vậy phương trình có nghiệm là x = - 1± 2 và x = - 1± 7 . b) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t ³ - 1 Û Đồ thị hàm số y = t2 - 7t + m trên [- 1;+ ¥ ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt Xét hàm số y = t2 - 7t + m trên [- 1;+ ¥ ) Ta có bảng biến thiên x - 1 7 + ¥
35. 8 + m + ¥ y m Suy ra để phương trình có nghiệm là m £ 0 . 2 Chú ý: Phương trình trên là phương trình có thể đưa về dạng A(x2 + ax) + B(x2 + ax)+ C = 0 và cách giải là đặt t = x2 + ax và đưa về phương trình bậc hai At2 + Bt + C = 0 . 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.42: Tìm số nghiệm của phương trình a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x6 + 3x5 - 6x4 - 21x3 - 6x2 + 3x + 1= 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 4 4 b) (x + 3) + (x- 5) = 1312 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm c) (2x- 1)(4x + 5)(8x + 3)(16x- 15)= 99x2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm d) x4 - 9x2 - 2x + 15 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 2 2 e) 2(x2 - x + 1) + 5(x + 1) = 11(x3 + 1). A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải:
36. Bài 3.42: a) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình 3 2 æ 1 ö æ 1ö Với ¹ ta có Û 2 + - + + = Û ç 2 + ÷+ ç + ÷- = x 0 PT 2x 3x 16 2 0 2çx 2 ÷ 3çx ÷ 16 0 x x èç x ø÷ èç xø÷ 1 1 Đặt y = x + thì y2 - 2 = x2 + x x2 Phương trình trở thành: 2(y2 - 2)+ 3y- 16 = 0 Û 2y2 + 3y- 20 = 0 5 Phương trình này có nghiệm là y = - 4, y = 1 2 2 1 1 5 Vì vậy x + = - 4 và x + = tức là x2 + 4x + 1= 0 và 2x2 - 5x + 2 = 0 x x 2 1 Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm là: x = - 2 ± 3,x = ,x = 2 . 2 a) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế của phương trình cho x3 , ta được: 1 1 1 x3 + + 3(x2 + )- 6(x + )- 21= 0 . x3 x2 x 1 1 1 Đặt t = x + , |t|³ 2 . Ta có : x2 + = t2 - 2; x3 + = t(t2 - 3) . x x2 x3 Nên phương trình trở thành : t(t2 - 3)+ 3(t2 - 2)- 6t - 21= 0 ét = 3 Û 3 + 2 - - = Û + 2 - = Û ê . t 3t 9t 27 0 (t 3) (t 3) 0 ê ët = - 3 1 3± 5 * t = 3 Û x + = 3 Û x2 - 3x + 1= 0 Û x = . x 2 - 3± 5 * t = - 3 Û x2 + 3x + 1= 0 Û x = . 2 - 3± 5 3± 5 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ; x = . 2 2 4 4 b) . Đặt x = t + 1 , ta có: (t + 4) + (t - 4) = 1312 Û t4 + 96t2 - 400 = 0 Û t2 = 4 Û t = ± 2 Suy ra x = 3,x = - 1 là nghiệm của phương trình đã cho. c) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên Phương trình Û (32x2 + 52x + 15)(32x2 - 46x + 15)- 99x2 = 0
37. æ 15öæ 15ö Û ç36x + 52 + ÷ç32x- 46 + ÷- 99 = 0 . èç x ø÷èç x ø÷ 15 Đặt t = 32x + .Ta có: (t + 52)(t - 46)- 99 = 0 Û t2 + 6t - 2491= 0 Û t = 47,t = - 53 x 15 • t = 47 Û 32x2 - 47x + 15 = 0 Û x = 1,x = 32 53± 889 • t = - 53 Û 32x2 - 53x + 15 = 0 Û x = . 64 ì ü ï 15 53± 889 ï Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: í 1, , ý. ï ï îï 32 64 þï 2 d) Phương trình Û (x2 - m) + (2m- 9)x2 - 2x + 15- m2 = 0 Ta chọn m sao cho ' = 1- (15- m2 )(2m- 9)= 0 ta tìm được m = 4 2 2 Nên ta có: (x2 - 4) - (x- 1) = 0 Û (x2 + x- 5)(x2 - x- 3)= 0 é - 1± 21 ê = éx2 + x- 5 = 0 êx Û ê Û ê 2 ê 2 êx - x- 3 = 0 ê 1± 13 ë êx = ëê 2 ì ü ï - 1± 21 1± 13 ï Vậy tập nghiệm của phương trình là: í ; ý. ï ï îï 2 2 þï e) Ta thấy x = - 1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x3 + 1 ta được: x2 - x + 1 x + 1 2 + 5 = 11. x + 1 x2 - x + 1 x2 - x + 1 5 1 Đặt t = Þ 2t + = 11 Û 2t2 - 11t + 5 = 0 Û t = 5,t = . x + 1 t 2 x2 - x + 1 · t = 5 Û = 5 Û x2 - 6x- 4 = 0 Û x = 3± 13 x + 1 x2 - x + 1 1 1 • t = 5 Û = Û 2x2 - 3x + 1= 0 Û x = 1,x = . x + 1 2 2 Bài 3.43: Tìm m để phương trình : (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m có nghiệm. A. m < - 16 B. m ³ - 16 C. m ³ - 3 D. m ³ - 1 Lời giải:
38. Bài 3.43:Phương trình Û (x- 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m Û (x2 + 4x- 5)(x2 + 4x + 3) = m Đặt t = x2 + 4x = (x + 2)2 - 4 ³ - 4 ,ta có phương trình : Û (t - 5)(t + 3) = m Û t2 - 2t - 15 = m (2) . Phương trình (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm t ³ - 4 . Với t ³ - 4 Þ t2 - 2t - 15 = (t - 1)2 - 16 ³ - 16 Þ (2) có nghiệm t ³ - 4 Û m ³ - 16 . Bài 3.44: Tìm m để phương trình : x4 - 4x3 + 8x = m có bốn nghiệm phân biệt. A. - 1 - 1. Xét hàm số : f (t) = t2 - 2t với t ³ - 1, ta có bảng biến thiên: t -1 1 + ¥ 3 + ¥ f (t) = t2 - 2t -1 Dựa vào bảng biến thiên Þ - 1< m < 3 .