Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Đ3. BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn. a) Bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nú. ã Bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trỡnh cú một trong cỏc dạng: ax + by + c 0,ax + by + c Ê 0,ax + by + c ³ 0 trong đú a, b, c là những số thực đó cho, a và b khụng đồng thời bằng 0; x và y là cỏc ẩn số. Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 c,ax + by Ê c,ax + by ³ c cũng được định nghĩa tương tự. ã Trong mặt phẳng tọa độ thỡ mỗi nghiệm của bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nú được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trỡnh. b) Cỏch xỏc định miền nghiệm của bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn. Định lớ : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (khụng kể bờ (d)) gồm cỏc điểm cú tọa độ thỏa món bất phương trỡnh ax + by + c > 0 , nửa mặt phẳng cũn lại (khụng kể bờ (d)) gồm cỏc điểm cú tọa độ thỏa món bất phương trỡnh ax + by + c 0 thỡ nửa mặt phẳng (khụng kể bờ (d)) khụng chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trỡnh ax + by + c > 0 . Chỳ ý: Đối với cỏc bất phương trỡnh dạng ax + by + c Ê 0 hoặc ax + by + c ³ 0 thỡ miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. 2. Hệ bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn Tương tự hệ bất phương trỡnh một ẩn, ta cú hệ bất phương trỡnh bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp cỏc điểm cú tọa độ thỏa món mọi bất phương trỡnh trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao cỏc miền nghiệm của cỏc bất phương trỡnh trong hệ. Để xỏc định miền nghiệm của hệ, ta dựng phương phỏp biểu diễn hỡnh học như sau:
2. • Với mỗi bất phương trỡnh trong hệ, ta xỏc định miền nghiệm của nú và gạch bỏ (tụ màu) miền cũn lại. • Sau khi làm như trờn lần lượt đối với tất cả cỏc bất phương trỡnh trong hệ trờn cựng một mặt phẳng tọa độ, miền cũn lại khụng bị gạch (tụ màu) chớnh là miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh đó cho. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Vớ dụ 1: Xỏc định miền nghiệm của cỏc bất phương trỡnh sau: x- 2y 2x + y + 1 a) 2x- y ³ 0 b) > 2 3 Lời giải: y a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng - = . Ta cú chia (d): 2x y 0 (d) 2 mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kỡ khụng thuộc đường thẳng đú, chẳng hạn điểm M(1;0) . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trỡnh đó cho. Vậy miền nghiệm cần tỡm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa O 1 x điểm M(1;0)(Miền khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ). x- 2y 2x- y + 1 (d) b) Ta cú > Û 3(x- 2y)- 2(2x- y + 1)> 0 y 2 3 Û - x- 4y- 2 > 0 Û x + 4y + 2 0 ùỡ x + y- 2 ³ 0 ù (d') a) ớù b) ớù 2x- 3y2+ 6 > 0 ợù x- 3y + 3 Ê 0 ù ợù x- 2y +11³ 0 Lời giải: -3 -2 O 1 2 x a) Vẽ cỏc đường thẳng + - = - + = trờn (d): x y 2 0 , (d'): x 3y 3 0 (d) mặt phẳng tọa độ Oxy
3. Xột điểm O(0;0), thấy (0;0) khụng phải là nghiệm của bất phương trỡnh x + y- 2 ³ 0 và x- 3y + 3 Ê 0 do đú miền nghiệm cần tỡm là phần mặt phẳng khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ kể cả hai đường thẳng (d) và (d'). b) Vẽ cỏc đường thẳng (d): x + y = 0 , (d'): 2x- 3y + 6 = 0 và y (d') (d"): x- 2y + 1= 0 trờn mặt phẳng tọa độ Oxy (d) Xột điểm O(0;0), thấy (0;0) là nghiệm của bất phương trỡnh 2 2x- 3y + 6 > 0 và x- 2y + 1³ 0 . Do đú O(0;0) thuộc miền nghiệm của 1 bất phương trỡnh 2x- 3y + 6 > 0 và x- 2y + 1³ 0 . -3 -2 -1 O 1 2 3 x Xột điểm M(1;0) ta thấy (1;0) là nghiệm của bất phương trỡnh x + y > 0 (d") do đú điểm M(1;0) thuộc miền nghiệm bất phương trỡnh x + y > 0 . Vậy miền nghiệm cần tỡm là phần mặt phẳng khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ kể cả đường thẳng (d") Vớ dụ 3: Xỏc định miền nghiệm bất phương trỡnh (x- y)(x3 + y3 )³ 0 . Lời giải: 3 3 2 2 Ta cú (x- y)(x + y )³ 0 Û (x- y)(x + y)(x - xy + y )³ 0 y ùỡ x- y ³ 0 ùỡ x- y Ê 0 Û (x- y)(x + y)³ 0 Û ớù (1) hoặc ớù (2) ù + ³ ù + Ê (d) ợù x y 0 ợù x y 0 2 Như vậy miền nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là gồm hai miền 1 nghiệm của hệ bất phương trỡnh (1) và (2). -2 -1 O 1 2 x Vẽ cỏc đường thẳng (d): x + y = 0 , (d'): x- y = 0 trờn mặt phẳng tọa độ Oxy . Xột điểm M(1;0), ta cú (1;0) là nghiệm của cỏc bất (d') phương trỡnh của hệ (1) do đú M(1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh (1). Xột điểm N(- 1;0), ta cú (- 1;0) là nghiệm của cỏc bất phương trỡnh của hệ (2) do đú N(- 1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh (2). Vậy miền nghiệm cần tỡm là phần mặt phẳng khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ kể cả hai đường thẳng (d), (d'). 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.61: Xỏc định miền nghiệm của cỏc bất phương trỡnh sau: a) x- 3y ³ 0 A. y O 1 x
4. B. y O 1 x C. y -2 O 1 x Δ -2 D. y 2 O 1 x (d) Lời giải: y Bài 4.61: a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng (d): x- 3y = 0 . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trỡnh đó cho. Vậy miền nghiệm cần tỡm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm O 1 x M(1;0)(Miền khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ). x- y b) < x + y + 1 - 2 A. y O 1 x
5. B. y O 1 x C. y -2 O 1 x Δ -2 D. y 2 O 1 x (d) Lời giải: x- y b) Ta cú 0 y - 2 Û 3x + y + 2 > 0 Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng D : 3x + y + 2 = 0 Xột điểm O(0;0), thấy (0;0) khụng phải là nghiệm của bất phương trỡnh đó cho O 1 x do đú miền nghiệm cần tỡm là nửa mặt phẳng bờ D (khụng kể đường thẳng D ) và khụng chứa điểm O(0;0) (Miền khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ). Bài 4.62: Xỏc định miền nghiệm của cỏc hệ bất phương trỡnh sau: ùỡ x + y- 2 < 0 a) ớù ợù x- y + 3 ³ 0 A. y O 1 x
6. B. y (d) 2 1 -2 -1 O 1 2 x (d') C. y (d') 2 1 -3 -2 O 1 2 x (d) D. Đỏp ỏn khỏc Lời giải: y Bài 4.62: a) Vẽ cỏc đường thẳng (d): x + y- 2 = 0 , (d'): x- y + 3 = 0 trờn mặt phẳng tọa độ Oxy Xột điểm O(0;0), thấy (0;0) là nghiệm của bất phương trỡnh x + y- 2 0 ù b) ớù 2x- 3y- 6 Ê 0 ù ợù x- 2y + 3 Ê 0 A. y O 1 x
7. B. y (d') (d) 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x (d") C. y (d') 2 1 -3 -2 O 1 2 x (d) D. Đỏp ỏn khỏc Lời giải: b) Vẽ cỏc đường thẳng (d): x + y + 2 = 0 , (d'): 2x- 3y- 6 = 0 và (d"): x- 2y + 3 = 0 trờn mặt phẳng tọa độ Oxy Xột điểm O(0;0), thấy (0;0) là nghiệm của bất phương trỡnh y x + y + 2 > 0 và 2x- 3y- 6 Ê 0 . Do đú O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trỡnh x + y + 2 > 0 và 2x- 3y- 6 Ê 0 . Xột điểm M(0; 3) ta thấy (0; 3) là nghiệm của bất phương trỡnh O 1 x x- 2y + 3 Ê 0 do đú điểm M(0; 3) thuộc miền nghiệm bất phương trỡnh x- 2y + 3 Ê 0 . Vậy miền nghiệm cần tỡm là phần mặt phẳng khụng được tụ màu trờn hỡnh vẽ kể cả đường thẳng (d'), (d"). ➢DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ. Vấn đề tỡm miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh bậc nhất cú liờn quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tớnh. Đú là một ngành toỏn học cú nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Lưu ý: Ta thừa nhận kết quả sau "Giỏ trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x; y)= ax + by(b ạ 0) trờn miền đa giỏc lồi (kể cả biờn) đạt được tại một đỉnh nào đú của đa giỏc".
8. Vớ dụ 1: Một cụng ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hỳt khỏch hàng bằng cỏch tiến hành quảng cỏo sản phẩm của cụng ty trờn hệ thống phỏt thanh và truyền hỡnh. Chi phớ cho 1 phỳt quảng cỏo trờn súng phỏt thanh là 800.000 đồng, trờn súng truyền hỡnh là 4.000.000 đồng. Đài phỏt thanh chỉ nhận phỏt cỏc chương trỡnh quảng cỏo dài ớt nhất là 5 phỳt. Do nhu cầu quảng cỏo trờn truyền hỡnh lớn nờn đài truyền hỡnh chỉ nhận phỏt cỏc chương trỡnh dài tối đa là 4 phỳt. Theo cỏc phõn tớch, cựng thời lượng một phỳt quảng cỏo, trờn truyền hỡnh sẽ cú hiệu quả gấp 6 lần trờn súng phỏt thanh. Cụng ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cỏo. Cụng ty cần đặt thời lượng quảng cỏo trờn súng phỏt thanh và truyền hỡnh như thế nào để hiệu quả nhất? Lời giải: Phõn tớch bài toỏn: Gọi thời lượng cụng ty đặt quảng cỏo trờn súng phỏt thanh là x (phỳt), trờn truyền hỡnh là y (phỳt). Chi phớ cho việc này là: 800.000x + 4.000000y (đồng) Mức chi này khụng được phộp vượt qỳa mức chi tối đa, tức: 800.000x + 4.000.000y Ê 16.000.000 hay x + 5y - 20 Ê 0 Do cỏc điều kiện đài phỏt thanh, truyền hỡnh đưa ra, ta cú: x ³ 5, y Ê 4 . Đồng thời do x, y là thời lượng nờn x ³ 0, y ³ 0 . Hiệu quả chung của quảng cỏo là: x + 6y . y Bài toỏn trở thành: Xỏc định x, y sao cho: M(x; y)= x + 6y đạt giỏ trị lớn nhất. ùỡ x + 5y - 20 Ê 0 ù Với cỏc điều kiện ớù x ³ 5 (*) ù (d) ù 4 ợù 0 Ê y Ê 4 3 Trước tiờn ta xỏc định miền nghiệm của hệ bất phương O 5 20 x trỡnh (*) Trong mặt phẳng tọa độ vẽ cỏc đường thẳng (d): x + 5y- 20 = 0, (d'): x = 5, (d''): y = 4 Khi đú miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh (*) là phần mặt phẳng(tam giỏc) khụng tụ màu trờn hỡnh vẽ Giỏ trị lớn nhất của M(x; y)= x + 6y đạt tại một trong cỏc điểm (5; 3), (5;0), (20;0) Ta cú M(5; 3)= 23, M(5;0)= 5, M(20;0)= 20 suy ra giỏ trị lớn nhất của M(x; y) bằng 23 tại (5; 3) tức là nếu đặt thời lượng quảng cỏo trờn súng phỏt thanh là 5 phỳt và trờn truyền hỡnh là 3 phỳt thỡ sẽ đạt hiệu quả nhất. Vớ dụ 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyờn liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyờn liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng cú 200kg nguyờn liệu và 120 giờ làm việc. Nờn sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiờu để cú mức lời cao nhất? Lời giải: Phõn tớch bài toỏn: Gọi x ( x ³ 0 ) là số kg loại I cần sản xuất, y ( y ³ 0 ) là số kg loại II cần sản xuất. Suy ra số nguyờn liệu cần dựng là 2x + 4y , thời gian là 30x + 15y cú mức lời là 40000x + 30000y
9. Theo giả thiết bài toỏn xưởng cú 200kg nguyờn liệu và 120 giờ làm việc suy ra 2x + 4y Ê 200 hay x + 2y- 100 Ê 0 , 30x + 15y Ê 1200 hay 2x + y- 80 Ê 0 . ùỡ x + 2y- 100 Ê 0 ù ù 2x + y- 80 Ê 0 Bài toỏn trở thành: Tỡm x, y thoả món hệ ớù (*) sao cho L(x; y)= 40000x + 30000y ù x ³ 0 ù ợù y ³ 0 đạt giỏ trị lớn nhất. y Trong mặt phẳng tọa độ vẽ cỏc đường thẳng (d): x + 2y- 100 = 0, (d'): 2x + y- 80 = 0 80 Khi đú miền nghiệm của hệ bất phương trỡnh (*) là phần mặt 50 phẳng(tứ giỏc) khụng tụ màu trờn hỡnh vẽ 40 Giỏ trị lớn nhất của L(x; y)= 40000x + 30000y đạt tại một x O 20 40 100 trong cỏc điểm (0;0), (40;0), (0; 50), (20; 40). Ta cú L(0;0)= 0, L(40;0)= 1600000, L(0; 50)= 1500000, L(20; 40)= 2000000 suy ra giỏ trị lớn nhất của L(x; y) là 2000000 khi (x; y)= (20; 40). Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để cú mức lời lớn nhất. 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.63: Một cụng ty cần thuờ xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng húa. Nơi cho thuờ xe chỉ cú 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI cú thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD cú thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuờ một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuờ bao nhiờu xe mỗi loại để chi phớ thấp nhất? A. 4 xe hiệu MITSUBISHI và 5 xe hiệu FORD B. 4 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD C. 4 xe hiệu MITSUBISHI và 6 xe hiệu FORD D. 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD Lời giải: Bài 4.63: Gọi x, y (x, y ẻ N) lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuờ Từ bài toỏn ta được hệ bất phương trỡnh ùỡ 0 Ê x Ê 10 ùỡ 0 Ê x Ê 10 ù ù ù 0 Ê y Ê 9 ù 0 Ê y Ê 9 ớù Û ớù (*) ù 20x + 10y ³ 140 ù 2x + y ³ 14 ù ù ợù 0,6x + 1,5y ³ 9 ợù 2x + 5y ³ 30 Tổng chi phớ T(x, y)= 4x + 3y (triệu đồng) Bài toỏn trở thành là tỡm x, y nguyờn khụng õm thoả món hệ (*) sao cho T(x, y) nhỏ nhất.
10. Từ đú ta cần thuờ 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thỡ chi phớ vận tải là thấp nhất. Bài 4.64: Nhõn dịp tết Trung Thu, Xớ nghiệp sản xuất bỏnh Trăng muốn sản xuất hai loại bỏnh: Đậu xanh, Bỏnh dẻo nhõn đậu xanh. Để sản xuất hai loại bỏnh này, Xớ nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đường cú thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là 200kg, cỏc nguyờn liệu khỏc bao nhiờu cũng cú. Sản xuất một cỏi bỏnh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu và cho lói 2 ngàn đồng. Sản xuất một cỏi bỏnh dẻo cần 0,07kg đường, 0,04kg đậu và cho lói 1,8 ngàn đồng. Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bỏnh bao nhiờu cỏi để khụng bị động về đường, đậu và tổng số lói thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiờu cũng bỏn hết)? A. 625 bỏnh đậu xanh và 3750 bỏnh dẻo B. 628 bỏnh đậu xanh và 3758 bỏnh dẻo C. 629 bỏnh đậu xanh và 3759 bỏnh dẻo D. 630 bỏnh đậu xanh và 3760 bỏnh dẻo Lời giải: Bài 4.64: Gọi x, y lần lượt là số cỏi bỏnh Đậu xanh, bỏnh Dẻo ( x, y ẻ N ). ùỡ 6x + 7y Ê 30000 Bài toỏn trở thành tỡm số tự nhiờn x, y thoả món hệ ớù ợù 2x + y Ê 5000 ùỡ x = 625 sao cho L = 2x + 1,8y lớn nhất. Từ đú ta cú ớù thỡ L = 2x + 1,8y đạt giỏ trị lớn nhất. ợù y = 3750 Vậy cần 625 bỏnh đậu xanh và 3750 bỏnh dẻo thỡ lói lớn nhất.