Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 1: Các định nghĩa

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 1: Các định nghĩa

1. CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn r r thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. a B x A uuur Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : AB Hình 1.1 r r r r Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y, r Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ - Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương - Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. A B F E C D Hình 1.2 H G uuur uuur uur uuur Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn EF và HG ngược hướng. Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ. 3. Hai vectơ bằng nhau A B uuur uuur - Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB , kí hiệu AB . C D uuur Hình 1.3 Vậy AB = AB. - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. uuur uuur Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB = CD B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ 1. Phương pháp giải. • Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa • Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
2. A.12B.13C.14D.16 Lời giải: uuur uuur Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là AB, BA . Mà từ bốn đỉnh A, B, C, D của ngũ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. uuur uuur Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi AB, AC cùng phương. Lời giải uuur uuur Nếu A,B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường thẳng đi qua ba điểm A,B,C nên uuur uuur AB, AC cùng phương. uuur uuur Ngược lại nếu AB, AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A,B,C thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB . uuuur a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. A.5B.6C.7D.8 uuur b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. A.3B.4C.6D.5 uuur c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A,B . Lời giải: A' A (Hình 1.4) uuuur N a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN là P uuuur uuur uuur uuur uuur uur uur NM, AB, BA, AP, PA, BP, PB . B' uuur B M C b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB là uuur uur uuuur Hình 1.4 AP, PB, NM . c) Trên tia CB lấy điểm B' sao cho BB' = NP uuur uuur Khi đó ta có BB' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP . Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng đó lấy điểm A' sao cho uuuur uuur AA' cùng hướng với NP và AA' = NP .
3. uuuur uuur Khi đó ta có AA' là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP . Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm đối xứng với uuuur C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD . uuuur a 15 uuuur a 5 uuuur a 5 uuuur a 5 A. MD = B. MD = C. MD = D. MD = 2 3 2 4 Lời giải: (hình 1.5) N D C Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có O æ ö2 2 2 2 2 ça÷ 2 5a a 5 DM = AM + AD = ç ÷ + a = Þ DM = P A M B èç2ø÷ 4 2 Hình 1.5 uuuur a 5 Suy ra MD = MD = . 2 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P . a 3a Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và PM = PA + AM = a + = . 2 2 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có 2 æ3aö 13a2 a 13 MN 2 = NP2 + PM 2 = a2 + ç ÷ = Þ DM = èç 2 ø÷ 4 2 uuuur a 13 Suy ra MN = MN = . 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác. A.20B.12C.14D.16 Lời giải: uuur uuur Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là AB, BA . Mà từ năm đỉnh A, B, C, D,E của ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt do đó có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C, D, O uuur uuur a) Bằng vectơ AB ; OB
4. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB = AC, OB = AO B. AB = OC, OB = DO uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AB = DC, OB = AO D. AB = DC, OB = DO uuur b) Có độ dài bằng OB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BC, DO, OD B. BO, DC, OD C. BO, DO, OD D. BO, DO, AD Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.2: a) AB = DC, OB = DO uuur uuur uuur b) BO, DO, OD Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. uuur uuur a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ? A. A nằm trong đoạn BCB. Nằm chính giữa BC C. A nằm ngoài đoạn BCD. Không tồn tại uuur uuur b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ? A. A nằm trong đoạn BCB. Nằm chính giữa BC C. A nằm ngoài đoạn BCD. Không tồn tại Lời giải: Bài 1.3: a) A nằm ngoài đoạn BC b) A nằm trong đoạn BC Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. uuur uuur a) Nếu AB = BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C A. B là trung điểm của ACB. B nằm ngoài của AC C. B nằm trên của ACD. Không tồn tại uuur uuur b) Nếu AB = DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D A. A, B, C, D thẳng hàngB. ABCD là hình bình hành C.A, B đều đúngD.A, B đều sai Lời giải: Bài 1.4 a) B là trung điểm của AC b) A, B, C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành
5. Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết số khẳng định đúng ? uuur uuur a) AB = BC uuur uuur b) AB = DC uuur uuur c) OA = - OC uuur uuur d) OB = OA uuur uuur e) AB = BC uuur uuur f) 2 OA = BD A.3B.4C.5D.6 Lời giải: Bài 1.5: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai f) đúng Bài 1.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho uuur a) Bằng với AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. FO,OC,FD B. FO, AC,ED C. BO,OC,ED D. FO,OC,ED uuur b) Ngược hướng với OC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AO,OF,BA,DE B. CO, AF,BA,DE C. CO,OF,BA,DE D. BO,OF,BA,DE Lời giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.6: a) FO,OC,ED b) CO,OF,BA,DE Bài 1.7: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB. uuur uuur Tính độ dài của các vectơ OA + OB . a A. a B. 3a C. D. 2a 2 Lời giải: E uuur Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có AB = AB = a ; uuur A B AC = AC = AB2 + BC2 = a 2 O uuur 1 a 2 uuur a OA = OA = AC = , OM = OM = 2 2 2 D C Hình 1.40
6. Gọi E là điểm sao cho tứ giác OBEA là hình bình hành khi đó nó cũng là hình vuông uuur uuur uuur uuur uuur Ta có OA + OB = OE Þ OA + OB = OE = AB = a Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG . uur Tính độ dài của các vectơ BI . a 21 a 21 a 2 a A. B. C. D. 3 6 6 6 Lời giải: uuur Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có AB = AB = a A Gọi M là trung điểm của BC I Ta có G uuur 2 2 2 2 a a 3 B M C AG = AG = AM = AB2 - BM 2 = a2 - = 3 3 3 4 3 Hình 1.41 uur a2 a2 a 21 BI = BI = BM 2 + MI 2 = + = 4 3 6 uuur uuur Bài 1.9: Cho trước hai điểm A,B phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn MA = MB . A. đường thẳng song song đoạn thẳng AB B. đường trung trực của đoạn thẳng AB C. đường vuông góc của đoạn thẳng AB D.Không tồn tại Lời giải: uuur uuur Bài 1,9: MA = MB Û MA = MB Þ Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB  DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau. 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa uuur uuur uuur uuur vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB = DC và AD = BC 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khảng định nào sau đây đúng uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuuur uuur A. MN = QP B. MN = 2QP C. MN = 3QP D. 3MN = QP
7. Lời giải: D (hình 1.6) Q A Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN P là đường trung bình của tam giác ABC suy ra M 1 MN / /AC và MN = AC (1). B N C 2 Hình 1.6 1 Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC suy ra QP / /AC và QP = AC (2). 2 Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và MN = QP do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành uuuur uuur Vậy ta có MN = QP Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B' sao cho uuur uuur B' B = AG .Khẳng định nào sau đây đúng uur uur uur uur uur uuur uuur uur a) A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC b) Gọi J là trung điểm của BB' . Khẳng định nào sau đây là đúng uuur uur uur uur uur uur uuur uur A. 3BJ = 2IG .B. BJ = IG C. BJ = 2IG D. 2BJ = IG Lời giải: A (hình 1.7) B' uur a) Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI uur uur uur G cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng J uur uur C nhau hay BI = IC . B I Hình 1.7 uuur uuur b) Ta có B' B = AG suy ra B' B = AG và BB'/ /AG . uur uur Do đó BJ, IG cùng hướng (1). 1 1 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG , J là trung điểm BB' suy ra BJ = BB' 2 2 Vì vậy BJ = IG (2) uur uur Từ (1) và (2) ta có BJ = IG .
8. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho DM = BN . Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB . Khẳng định nào sau đây là đúng? uuuur uuur uuur uuur A. AM = NC B. DB = QB C.Cả A, B đúngD.Cả A, B sai Lời giải: (hình 1.8) A N B Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác Q ANCM là hình bình hành uuuur uuur P Suy ra AM = NC . D M C Hình 1.8 · · Xét tam giác DDMP và DBNQ ta có DM = NB (giả thiết), PDM = QBN (so le trong) · · · · · · Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) và APQ = NQB (hai góc đồng vị) suy ra DMP = BNQ . Do đó DDMP = DBNQ (c.g.c) suy ra DB = QB . uuur uuur uuur uuur Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB = QB . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khăng định nào sau đây đúng uuuuur uuur uuuur uuur uuuuur uuur uuuur uuur A. 3MQ= NP B. MQ= NP C. 2MQ= NP D. MQ= 2 NP Lời giải: Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q lần lượt là trung điểm của AB D và AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD suy Q 1 A ra MQ / /BD và MQ = BD (1). 2 P M Tương tự NP là đường trung bình của tam giác CBD suy ra 1 B C NP / /BD và NP = BD (2). N 2 Hình 1.42 Từ (1) và (2) suy ra MQ / /NP và NP = MQ do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành uuuur uuur Vậy ta có MQ= NP . Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB ; P là giao điểm
9. của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. uuuur uuur uuur uuur uuur A. DM = NB B. DP = PQ = QB C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai Lời giải: Bài 1.11: (Hình 1.43) A N Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì B 1 DM = NB = AB, DM / /NB . Q uuuur 2uuur P Suy ra DM = NB . D M C Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của Hình 1.43 DC và MP / /QC do đó P là trung điểm của DQ . Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của PB Vì vậy DP = PQ = QB từ đó suy ra uuur uuur uuur DP = PQ = QB uur uuur Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB = 2CD . Từ C vẽ CI = DA . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? a) uuur uur uur uur A. AD = IC B. DI = CB C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai b) uur uur uuur uur uuur uuur A. AI = IB = DC B. AI = 2IB = DC uuur uur uuur uur uur uuuur C. 2AI = IB = DC D. AI = IB = 2DC Lời giải: D C Bài 1.12: (Hình 1.44) uur uuur a) Ta có CI = DA suy ra AICD là hình bình hành uuur uur A Þ AD = IC I B Ta có DC = AI mà AB = 2CD do đó Hình 1.44 1 AI = AB Þ I là trung điểm AB 2 Ta có DC = IB và DC / /IB Þ tứ giác BCDI là hình bình hành uur uur Suy ra DI = CB uur uur uur uuur b) là trung điểm của Þ = và tứ giác là hình bình hànhÞ = suy ra uur I uur uuur AB AI IB BCDI IB DC AI = IB = DC Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng B qua OKhẳng định nào sau đây là đúng? uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur A. AH = B'C B. 3AH = B'C C. 2AH = B'C D. AH = 2B'C
10. Lời giải: Bài 1.13: Ta có B'C ^ BC, AH ^ BC Þ B'C / /AH , B' A ^ BA, CH ^ AB Þ B' A / /CH uuur uuur Suy ra AHCB' là hình bình hành do đó AH = B'C .