Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của một vectơ với một số

43 trang hangtran11 10/03/2022 5781

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của một vectơ với một số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_on_tap_hinh_hoc_lop_10_chuong_1_vecto_bai_3_tich_cu.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của một vectơ với một số

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT r r 1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với cùng r r r hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a r r r r Quy ước: 0a = 0 và k0 = 0 2. Tính chất : r r r r r r r i) (k + m)a = ka + ma ii) k(a ± b) = ka ± kb r r r r é = êk 0 iii) k(ma) = (km)a iv) ka = 0 Û êr r êa = 0 r r r r ë v) 1a = a, (- 1)a = - a 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r • cùng phương ( ¹ ) khi và chỉ khi có số thỏa = b a a 0 k b ka uuur uuur • Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB = kAC 4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. r r r r r r Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn x = ma + nb với m, n là các số thực duy nhất. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . tính độ dài của chúng. 1 uur uuur a) CB+ MA 2 A.aB.2aC.3aD.4a uuur 1 uuur b) BA- BC 2 a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 4 2 5 6 1 uuur uuur c) AB+ 2AC 2
a 21 a 21 a 21 a 21 A. B. C. D. 3 2 4 7 3 uuur uuur d) MA- 2,5MB 4 a 127 a 127 a 127 a 127 A. B. C. D. 4 8 3 2 Lời giải: (Hình 1.14) 1 uur uuur a) Do CB = CM suy ra theo quy tắc ba điểm A 2 L ta có K N 1 uur uuur uuur uuur uuur CB+ MA = CM + MA = CA 2 C M B H 1 uur uuur Vậy CB+ MA = CA = a 2 Q P Hình 1.14 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur b) Vì BC = BM nên theo quy tắc trừ ta có BA- BC = BA- BM = MA 2 2 Theo định lí Pitago ta có 2 æaö a 3 MA = AB2 - BM 2 = a2 - ç ÷ = èç2ø÷ 2 uuur 1 uuur a 3 Vậy BA- BC = MA = 2 2 c) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN . 1 uuur uuur uuur uuur Khi đó ta có AB = AN, 2AC = AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 2 1 uuur uuur uuur uuur uuur AB+ 2AC = AN + AQ = AP 2 Gọi L là hình chiếu của A lên QN · · · 0 Vì MN / /AC Þ ANL = MNB = CAB = 60
· AL · a 0 a 3 Xét tam giác vuông ANL ta có sin ANL = Þ AL = AN.sin ANL = sin 60 = AN 2 4 · NL · a 0 a cos ANL = Þ NL = AN.cos ANL = cos60 = AN 2 4 a 9a Ta lại có AQ = PN Þ PL = PN + NL = AQ + NL = 2a + = 4 4 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có 3a2 81a2 21a2 a 21 AP2 = AL2 + PL2 = + = Þ AP = 16 16 4 2 1 uuur uuur a 21 Vậy AB+ 2AC = AP = 2 2 3 d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK = MA , H thuộc tia MB sao cho MH = 2,5MB. 4 3 uuur uuur uuur uuuur Khi đó MA = MK, 2,5MB = MH 4 3 uuur uuur uuur uuuur uuur Do đó MA- 2,5MB = MK - MH = HK 4 3 3 a 3 3 3a a 5a Ta có MK = AM = . = , MH = 2,5MB = 2,5. = 4 4 2 8 2 4 Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có 25a2 27a2 a 127 KH = MH 2 + MK2 = + = 16 64 8 3 uuur uuur a 127 Vậy MA- 2,5MB = KH = 4 8 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a . r uuur uuur uuur uuuur a) Chứng minh rằng u = 4MA- 3MB+ MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. r b) Tính độ dài vectơ u r r 1 r r A. u = a 5 B. u = a 5 C. u = 3a 5 D. u = 2a 5 2 Lời giải: (Hình 1.15) a) Gọi là tâm hình vuông. O A' A B O D C Hình 1.15
Theo quy tắc ba điểm ta có r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur u = 4(MO + OA)- 3(MO + OB)+ (MO + OC)- 2(MO + OD) uuur uuur uuur uuur = 4OA- 3OB+ OC - 2OD uuur uuur uuur uuur r uuur uuur Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = 3OA- OB r Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A' trên tia OA sao cho OA' = 3OA khi đó uuuur uuur r uuuur uuur uuur OA' = 3OA do đó u = OA'- OB = BA' Mặt khác BA' = OB2 + OA'2 = OB2 + 9OA2 = a 5 r Suy ra u = a 5 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M , N lần lượt là trung điểm BC, CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. uuur 1 uur a) AN + CB 2 a a a a A. B. C. D. 6 5 2 3 1 uuur uuuur b) BC - 2MN 2 7a 3 a 3 5a 3 3a 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 uuur uuur c) AB+ 2AC 7a 28 a 28 5a 28 3a 28 A. B. C. D. 2 2 2 2 uuur 3 uuur c) 0,25MA- MB 2 5a 7 3a 7 a 7 a 7 A. B. C. D. 8 8 8 2 Lời giải: A Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có N H K C M B F I E Hình
uuur 1 uur uuur uuur uuuur AN + CB = NC + CM = NM 2 uuur 1 uur 1 a Suy ra AN + CB = MN = AB = 2 2 2 1 uuur uuuur uuur uuur uuuur b) Theo quy tắc trừ ta có BC - 2MN = BM - BA = AM 2 1 uuur uuuur a 3 Þ BC - 2MN = AM = 2 2 c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C , điểm E là là đỉnh của hình bình hành ABEF , theo quy tắc uuur uuur uuur uuur uuur hình bình hành ta có AB+ 2AC = AB+ AF = AE Gọi I là hình chiếu của E lên AC . · · 0 Vì AB / /EF Þ EIF = CAB = 60 · IE · 0 a 3 sin IFE = Þ IE = EF.sin IFE = asin 60 = EF 2 · IF · 0 a cos IFE = Þ IF = EF.cos IFE = acos60 = EF 2 Áp dụng định lí Pitago ta có 2 æ ö2 æ ö 2 2 ç a÷ ça 3 ÷ a 28 AE = AI + IE = ç2a + ÷ + ç ÷ = èç 2ø÷ èç 2 ø÷ 2 uuur uuur a 28 Suy ra AB+ 2AC = AE = . 2 uuur uuuur 3 uuur uuur d) Lấy các điểm H,K sao cho 0,25MA = MH; MB = MK 2 uuur 3 uuur uuuur uuur uuur Suy ra 0,25MA- MB = MH - MK = KH 2 2 uuur uuur æ ö2 æ ö2 æ ö æ ö2 3 çAM÷ ç3 ÷ ça 3 ÷ ça÷ a 7 Do đó 0,25MA- MB = KH = ç ÷ + ç MB÷ = ç ÷ + ç ÷ = 2 èç 4 ø÷ èç2 ø÷ èç 8 ø÷ èç4ø÷ 8 Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a . r uuur uuur uuur uuuur a) Chứng minh rằng u = MA- 2MB+ 3MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
r b) Tính độ dài vectơ u r r r r A. u = 4a 2 B. u = a 2 C. u = 3a 2 D. u = 2a 2 Lời giải: Bài 1.27: Gọi O là tâm hình vuông. Theo quy tắc ba điểm ta có r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur u = (MO + OA)- 2(MO + OB)+ 3(MO + OC)- 2(MO + OD) uuur uuur uuur uuur = OA- 2OB+ 3OC - 2OD uuur uuur uuur uuur r uuur Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = - 2OA r Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M r uuur b) u = - 2OA = 2OA = a 2 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: • Các tính chất phép toán vectơ • Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ • Tính chất trung điểm: uuur uuur r M là trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 uuur uuur uuur M là trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý) • Tính chất trọng tâm: uuur uur uuur ur G là trọng tâm của tam giác ABC Û GA +GB +GC =O uuur uuur uuur uuur G là trọng tâm của tam giác ABC Û OA +OB +OC =OG (Với O là điểm tuỳ ý) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Khẳng định nào sau đây đúng? a) uuur uuur ur uuur uuur 1 ur A. AC + BD = IJ B. AC + BD = IJ 2 uuur uuur ur uuur uuur ur C. AC + BD = 3IJ D. AC + BD = 2IJ b)
uuur uuur uuur uuur ur uuur uuur uuur uuur uuur A. OA + OB+ OC + OD = IJ B. OA + OB+ OC + OD = 2OI uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur C. OA + OB+ OC + OD = 0 D. OA + OB+ OC + OD = 2OJ c) với M là điểm bất kì uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur A. MA + MB+ MC + MD = 3MO B. MA + MB+ MC + MD = 2MO uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur C. MA + MB+ MC + MD = MO D. MA + MB+ MC + MD = 4MO Lời giải: I B (Hình 1.16) A a) Theo quy tắc ba điểm ta có O uuur uur ur uur ur uur AC = AI + IJ = AI + IJ + JC D uuur uur ur uur J C Tương tự BD = BI + IJ + JD Hình 1.16 14 uur uur r uur uur r Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI + BI = 0, JC + JD = 0 uuur uuur uur uur uur uur ur ur Vậy AC + BD = (AI + BI)+ ( JC + JD)+ 2IJ = 2IJ đpcm uuur uuur uur uuur uuur uur b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA + OB = 2OI, OC + OD = 2OJ uur uur r Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI + OJ = 0 uuur uuur uuur uuur uur uur r Suy ra OA + OB+ OC + OD = 2(OI + OJ)= 0 đpcm uuur uuur uuur uuur r c) Theo câu b ta có OA + OB+ OC + OD = 0 do đó với mọi điểm M thì uuur uuur uuur uuur r OA + OB+ OC + OD = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Û (OM + MA)+ (OM + MA)+ (OM + MA)+ (OM + MA)= 0 uuur uuur uuur uuuur uuuur Û MA + MB+ MC + MD = 4MO đpcm Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm uuuur uuuur uuuur r tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 . Chứng minh rằng GG1 + GG2 + GG3 = 0 Lời giải: uuuur uur uuur uuur Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB+ GC + GA1 Tương tự G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy ra
uuuur uuur uur uuur uuuur uuur uuur uuur 3GG2 = GA + GB+ GC1 và 3GG3 = GA + GC + GB1 Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có uuuur uuuur uuuur uuur uur uuur uuur uuur uuur + + = + + + + + GG1 GG2 GG3 2(GA GB GC) (GA1 GB1 GC1) Mặt khác hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G nên uuur uur uuur r uuur uuur uuur GA + GB+ GC = 0 và GA1 + GB1 + GC1 uuuur uuuur uuuur r Suy ra GG1 + GG2 + GG3 = 0 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng? a) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. HA + HB+ HC = 4HO B. HA + HB+ HC = 2HO uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur C. HA + HB+ HC = HO D. HA + HB+ HC = 3HO 3 b) uuuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 A. OA + OB+ OC = OH B. OA + OB+ OC = OH 2 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur C. OA + OB+ OC = OH D. OA + OB+ OC = 2OH c) uuur uuur uuur uuur uuur r A. GH + 2GO = OA B. GH + 2GO = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. GH + 2GO = AB D.GH + 2GO = AC Lời giải: Hình 1.17) A uuur uuur uuur uuur a) Dễ thấy HA + HB+ HC = 2HO nếu tam giác ABC vuông H O Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là điểm B C đối xứng của A qua O khi đó BH / /DC (vì cùng vuông góc với AC) D Hình 1.17 BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB) uuur uuur uuur Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB+ HC = HD (1)
uuur uuur uuur Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2HO (2) uuur uuur uuur uuur Từ (1) và (2) suy ra HA + HB+ HC = 2HO b) Theo câu a) ta có uuur uuur uuur uuur HA + HB+ HC = 2HO uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û (HO + OA)+ (HO + OB)+ (HO + OC)= 2HO uuur uuur uuur uuur Û OA + OB+ OC = OH đpcm uuur uuur uuur uuur c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA + OB+ OC = 3OG uuur uuur uuur uuur Mặt khác theo câu b) ta có OA + OB+ OC = OH uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r Suy ra OH = 3OG Û (OG + GH)- 3OG = 0 Û GH + 2GO = 0 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và có trọng tâm G. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA, AB . uuur uur uur r Chứng minh rằng a2 .GD + b2 .GE+ c2 .GF = 0 Lời giải: (hình 1.18) Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành GPRN uuur uur uur r A P 2 2 2 Q Ta có a .GD + b .GE+ c .GF = 0 E uuur uur uuur r F Û a.GD.GN + b.GE.GP + c.GF.GQ = 0 (*) G C B D R khác Ta có a.GD = 2SDGBC , b.GE = 2SDGCA , c.GF = 2SDGAB , mặt ra G là trọng tâm tam giác ABC nên SDGBC = SDGCA = SDGAB suy a.GD = b.GE = c.GF uuur uur uuur r Vậy (*) Û GN + GP + GQ = 0 N Hình 1.18 · · Ta có AC = GP = b, PR = BC = a và ACB = GPR (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau) Suy ra DACB = DGPR(c.g.c) · · Þ GR = AB = c và PGR = BAC · · 0 · · 0 Ta có QGP + BAC = 180 Þ QGP + GPR = 180 Þ Q, G, R thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có uuur uur uuur uuur uuur r GN + GP + GQ = GR+ GQ = 0 uuur uur uur r Vậy a2 .GD + b2 .GE+ c2 .GF = 0 . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp uur uur uur r tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA + bIB+ cIC = 0 Lời giải: Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A A Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có I DB c uuur c uuur = Þ BD = DC C DC b b B D uur uur c uur uur Û ID- IB = (IC - ID) Hình 1.19 uur b uur uur Û (b + c)ID = bIB+ cIC (1) Do I là chân đường phân giác nên ta có : ID BD CD BD + CD a = = = = + + IA BAuur CA uurBA CA b c Þ (b + c)ID = - aIA (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’ uur uuur uur Ta có IC = IA'+ IB' (*) Theo định lý Talet và tính chất đường phân A giác trong ta có : B' IB BA c uur b uur = 1 = Þ IB' = - IB (1) I IB' CA b c 1 B C uuur a uur C' Tương tự : IA' = - IA (2) c Hình 1.20 Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có : uur a uur b uur uur uur uur r IC = - IA- IB Û aIA + bIB+ cIC = 0 c c
3. Bài tập luyện tập. Bài 1.28: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .Chọn khẳng định đúng a) uuuur uuur uur uuur uuuur uuur uur uuur A. AM + BN + CP = AB B. AM + BN + CP = AC uuuur uuur uur uuur uuuur uuur uur r C. AM + BN + CP = BC D. AM + BN + CP = 0 b) với O là điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. OA + OB+ OC = OM + ON B. OA + OB+ OC = ON + OP uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. OA + OB+ OC = OM + ON + OP D. OA + OB+ OC = OM + OP Lời giải: A Bài 1.28: (hình 1.49) uuuur uuur uur N a) AM + BN + CP = P 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uur r = AB+ AC + BC + BA + CA + CB = 0 b) B C 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) M uuur uuur uuur OM + ON + OP = Hình 1.49 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur OB+ OC + OC + OA + OA + OB = OA + OB+ OC 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chọn khẳng định đúng? a), uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur A. AH = AC - AB B. CH = - AB- AC 3 3 3 3 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai b) với M là trung điểm của BC uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 5 uuur A. MH = AC - AB B. MH = AC - AB 6 6 6 3 uuuur 1 uuur 5 uuur uuuur 1 uuur 5 uuur C. MH = AC - AB D. MH = AC - AB 3 6 6 6 Lời giải: uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur Bài 1.29: a) Ta có AH = 2AG- AB = AC + AB - AB = AC - AB 3 ( ) 3 3
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur CH = AH - AC = - AB- AC 3 3 uuuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 5 uuur b) MH = AH - AB+ CH = AC - AB 2 ( ) 6 6 Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định đúng? uuuur 2MC uuur MB uuur uuuur MC uuur 2MB uuur A. AM = AB+ AC B. AM = AB+ AC BC BC BC BC uuuur MC uuur MB uuur uuuur MC uuur MB uuur C. AM = AB- AC D. AM = AB+ AC BC BC BC BC Lời giải: MC uuur MB uuur MC uuuur uuur MB uuuur uuur Bài 1.30: Ta có AB+ AC = AM + MB + AM + MC BC BC BC ( ) BC ( ) uuuur MC uuur MB uuur uuuur = AM + MB+ MC = AM BC BC Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C' D' có chung đỉnh A. Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur A. B' B+ CC'+ D' D = AB' B. B' B+ CC'+ D' D = AC' uuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur uuuur C. B' B+ CC'+ D' D = 0 D. B' B+ CC'+ D' D = AD' Lời giải: Bài 1.31: Ta có: uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur B' B+ CC'+ D' D = (AB- AB')+ (AC'- AC)+ (AD- AD') uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = (AB+ AD)- AC - (AB'+ AD')+ AC = 0 Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng? uuuur uuur uuur 1 uuuur uuuur uuur uuur uuuur A. MD + ME+ MF = MO B. MD + ME+ MF = 2MO 2 uuuur uuur uuur 3 uuuur uuuur uuur uuur uuuur C. MD + ME+ MF = MO D. MD + ME+ MF = 3MO 2 Lời giải: Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các A cạnh ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các điểm như hình vẽ. E2 Dễ thấy F1 E hành ta có các tam giác đều MD1D2 , ME2E2 , MF1F2 và các hình bình F F2 E1 MF1AE2 , ME1CD2 , MD1BF2 . M B C D1 D D2 Hình 1.50
uuuur 1 uuuur uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur Ta có: MD = (MD1 + MD2 ) , ME = (ME1 + ME2 ) , MF = (MF1 + MF 2 ) . 2 2 2 uuuur uuur uuur 3 uuuur Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được: MD + ME+ MF = MO 2 Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng D là đường thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm DABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C, G lên đường thẳng V .Chọn khẳng định đúng? uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur A. AA'+ BB'+ CC' = GG' B. AA'+ BB'+ CC' = 2GG' uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur 1 uuur C. AA'+ BB'+ CC' = 3GG' D. AA'+ BB'+ CC' = GG' 2 Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ không. Lời giải: ur r ur ur ur Bài 1.34: Giả sử n vectơ là ai , i = 1,2, ,n. Đặt u = a1 + a2 + + an r Vì tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại do đó u cùng phương ur ur r r với hai vectơ a1 , a2 nên u = 0 . Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: æ B Cöuur æ C Aöuur æ A Böuur r a) çcot + cot ÷IA + çcot + cot ÷IB+ çcot + cot ÷IC = 0 èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ A uuur B uur C uur r b) cot IM + cot IN + cot IP = 0 2 2 2 uuur uur uur r c) (b + c- a)IM + (a + c- b)IN + (a + b- c)IP = 0 uuur uur uur r d) aAD + bBE+ cCF = 0 Lời giải: Bài 1.35: (hình 1.51) a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp DABC ta có A æ ö æ ö æ ö ç B C÷ ç C A÷ ç A B÷ F E a = rçcot + cot ÷; b = rçcot + cot ÷; c = rçcot + cot ÷ èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ P N I B D M C Hình 1.51
uur uur uur r Theo ví dụ 5 ta có aIA + bIB+ cIC = 0 æ B Cöuur æ C Aöuur æ A Böuur r Û çcot + cot ÷IA + çcot + cot ÷IB+ çcot + cot ÷IC = 0 èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ÷ø èç 2 2 ø÷ uuur 1 uur uur uur 1 uur uur uur 1 uur uur b) Ta có IM = IB+ IC ; IN = IC + IA ; IP = IA + IC 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) A uur uur B uur uur C uur uur r Theo câu a) ta có cot IB+ IC + cot IA + IC + cot IA + IB = 0 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) A uuur B uur C uur r Suy ra cot IM + cot IN + cot IP = 0 2 2 2 c) Ta có uur uur uur uuur uur uuur uur uur uur uuur uur uur IA = IP + IN - IM ; IB = IM + IP- IN ; IC = IM + IN - IP Kết hợp ví dụ 5 suy ra uur uur uur r aIA + bIB+ cIC = 0 uuur uur uur r Û (b + c- a)IM + (a + c- b)IN + (a + b- c)IP = 0 uur DC uur DB uur (p- c)uur (p- b)uur d) ID = IB+ IC = IB+ IC BC BC a a uur uur uur Û aID = (p- c)IB+ (p- a)IC với p là nửa chu vi. Tương tự ta có : uur uur uur uur uur uur bIE = (p- a)IC + (p- c)IA; cIF = (p- b)IA + (p- a)IB uur uur uur uur uur uur Þ aID + bIE+ cIF = (2p- b- c)IA + (2p- c- a)IB+ (2p- a- b)IC uur uur uur uuur uur uur r = aIA + bIB+ cIC Þ aAD + bBE+ cCF = 0 Bài 1.36: Cho tam giác ABC . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng : uuur uuur uuur r SMBC MA + SMCA .MB+ SMAB MC=0 Lời giải: Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' là giao điểm AM với BC ta có uuuur uuur uuur A'C A' B A MA' = MB+ MC (*) BC BC M B A' C Hình 1.52
A'C S S A'C S = MA'C = MAC Þ + 1= MAC + 1 A' B S S A' B S Mặt khác MA'B MAB MAB A' B S Þ = MAB BC SMAB + SMAC A'C S Và = MAC (1) BC SMAB + SMAC uuuur MA' uuur S uuur Mặt khác MA' = - MA = - MBC MA (2) MA SMAB + SMAC Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh. ur uuuuuur Bài 1.37: Cho đa giác lồi A1A2 An ( n ³ 3); ei ,1£ i £ n là vectơ đơn vị vuông góc với Ai Ai+ 1 (xem An+ 1 º A1 ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng ur ur ur r A1A2 e1 + A2 A3 e2 + + An A1 en = 0 (định lý con nhím) Lời giải: Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh bằng quy nạp ur ur ur ur ur r A1 e1 Với n = 3 đẳng thức trở thành a.e + b.e + c.e = 0 ek A2 1 2 3 ur Ak e (đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng thức ở bài 11) 2 uuur r A e e 3 Giả sử đúng với n = k - 1, k ³ 4 k- 1 A r ku-1uur Ak-2 ngoài Gọi e là vectơ đơn vị vuông góc với A1Ak- 1 và hướng ra ek- 2 tam giác A1Ak- 1Ak Hình 1.53 Theo giả thiết quy nạp ta có ur ur uuur r r + + + + - = (1) A1A2 e1 A2 A3 e2 Ak- 2 Ak- 1 ek- 2 Ak- 1A1 ( e) 0 r uuur ur r Mặt khác xét tam giác A1Ak- 1Ak ta có A1Ak- 1 e + Ak- 1Ak ek- 1 + Ak A1 ek = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 1.38: Cho đa giác lồi A1A2 An ( n ³ 3) với I là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh của đa giác; gọi ur uuur ei ,1£ i £ n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ IAi . Chứng minh rằng A ur A ur A ur r cos 1 e + cos 2 e + + cos n e = 0 2 1 2 2 2 n Lời giải:
Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi B , i = 1,2, ,n là các tiếp điểm đường i A1 B1 tròn nội tiếp với cạnh Ai Ai+ 1 Bn A2 An · · 0 B2 Xét tứ giác A1B1IBn có A1BnI = A1B1I = 90 và A3 · · Bn-1 I Bn A1I = B1A1I An-1 · · Bn-2 An-2 Suy ra BnIA1 = B1IA1 . Mặt khác IB1 = IBn dó đó IA1 ^ B1Bn Hình 1.54 Tương tự ta có IAi ^ Bi- 1Bi ,i = 2,3, ,n Xét đa giác lồi B1B2 Bn theo định lý con nhím ta có ur ur ur r BnB1.e1 + B1B2 .e2 + + Bn- 1Bn .en = 0 A ur A ur A ur r Û IB .cos 1 e + IB .cos 2 e + + IB .cos n e = 0 1 2 1 2 2 2 n 2 n Mà IB1 = IB2 = = IBn suy ra đpcm. Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh rằng : uur uur uur r a2 IA + b2 IB+ c2 IC = 0 . Lời giải: HB HB.BC c2 Bài 1.39: Ta có = = , HC HC.BC b2 uur b2 uur c2 uur Suy ra IH = IB+ IC c2 + b2 c2 + b2 uur uur uur b2 uur c2 uur Mà b2 + c2 = a2 và IH = - IA nên suy ra - IA = IB+ IC a2 a2 uur uur uur r Hay a2 IA + b2 IB+ c2 IC = 0 . DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước 1. Phương pháp giải. uuuur r r • Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng = trong đó điểm A và đã biết. Khi đó tồn tại duy uuuur r AM a a r nhất điểm M sao cho AM = a , để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M. • Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác 2. Các ví dụ. uuur uuur r Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2MA- 3MB = 0 Lời giải:
(hình 1.21) uuur uuur r Ta có 2MA- 3MB = 0 A B M uuur uuur uuur r Hình 1.21 Û 2MA- 3(MA + AB)= 0 uuuur uuur Û AM = 3AB M nằm trên tia AB và AM = 3AB Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M,N,P sao cho uuur uuur uuur r a) 2MA + MB+ MC = 0 A. M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC B. M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB C. M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC D. M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC uuur uuur uuur uuur r b) NA + NB+ NC + ND = 0 A. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD B. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD C. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC D. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD uuur uur uuur uuur r c) 3PA + PB+ PC + PD = 0 A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC Lời giải: (hình 1.22) a) Gọi I là trung điểm BC suy ra uuur uuur uuur K B MB+ MC = 2MI A uuur uuur uuur r M P Do đó 2MA + MB+ MC = 0 N I uuur uuur r uuur uuur r G 2MA + 2MI = 0 Û MA + MI = 0 D H Suy ra M là trung điểm AI C Hình 1.22
b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r NA + NB+ NC + ND = 0 Û 2NK + 2NH = 0 uuur uuur r Û NK + NH = 0 Û N là trung điểm của KH uur uuur uuur uuur c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB+ PC + PD = 3PG uuur uur uuur uuur r uuur uuur r Suy ra 3PA + PB+ PC + PD = 0 Û 3PA + 3PG = 0 uuur uuur r Û PA + PG = 0 Û P là trung điểm AG . Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực a , b thoả mãn a + b ¹ 0. Chứng minh rằng tồn tại uur uur r duy nhất điểm I thoả mãn a IA + bIB = 0. uuur uuur uuur Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thìa MA + b MB = (a + b)MI. Lời giải: uur uur r uur uur uuur r Ta có: a IA + bIB = 0 Û a IA + b(IA + AB) = 0 uur uuur r uur uuur uur b uuur Û (a + b)IA + b AB = 0. Û (a + b)AI = b AB Û AI = AB. a + b b uuur Vì A, B cố định nên vectơ AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện. a + b Từ đó suy ra uuur uuur uuur uur uuur uur a MA + b MB = a(MI + IA)+ b(MI + IB) uuur uur uur uuur = (a + b)MI + (a IA + bIB) = (a + b)MI đpcm. 3. Bài tập luyện tập. uuur uuur uuur r Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA + 2MB+ 3MC = 0 Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết uur uur r a) IA- 2IB = 0 A. I là điểm đối xứng của A qua B.B.I là trung điểm AB C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai uur uur uur r b) JA- JB- 2JC = 0
uur 1 uuur uur 1 uuur uur 3 uuur uur 1 uuur A. CJ = AB B. CJ = AB C. CJ = AB D. CJ = AB 3 2 2 4 uuur uur uuur uuur c) KA + KB+ KC = BC uuur 1 uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 4 uuur A. AK = AB B. AK = AB C. AK = AB D. AK = AB 3 3 3 uuur uur uur uuur uuur d) 2 LA- LB+ 3LC = AB+ AC uuur 1 uuur uuur 3 uuur uuur 5 uuur uuur 1 uuur A. AL = BC B. AL = BC C. AL = BC D. AL = BC 3 2 2 2 Bài 1.42: Cho tứ giác ABCD . Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa mãn với mọi M uuur uuur uuur uuur a) MA + MB+ 2MC = kMI A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1 B. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4 C. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2 D. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3 uuur uuur uuuur uuur b) 2MA + 3MB- MD = kMI uur 1 uuur uuur uur 1 uuur uuur A. k = 2, AI = 3AB- AD B. k = 3, AI = 3AB- AD 4 ( ) 4 ( ) uur 1 uuur uuur uur 1 uuur uuur C. k = 1, AI = 3AB- AD D. k = 4, AI = 3AB- AD 4 ( ) 4 ( ) uuur uuur uuur uuuur uuur c) MA + 2MB+ 3MC - 4MD = kMI uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur A. k = 3, IA = 2AB+ 3AC - 4AD B. k = 2, IA = 2AB+ 3AC - 4AD uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur C. k = 1, IA = 2AB+ 3AC - 4AD D. k = 4, IA = 2AB+ 3AC - 4AD Lời giải: uur uur uur r ur uur r Bài 1.42: a) Cho M º I Þ IA + IB+ 2IC = 0 Û IJ + IC = 0 Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB+ 2MC = kMI Û 4MI = kMI Þ k = 4 uur 1 uuur uuur b) k = 4, AI = 3AB- AD 4 ( ) uur uuur uuur uuur c) k = 2, IA = 2AB+ 3AC - 4AD
Bài 1.43: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Tìm điểm M sao cho uuur uuur uuur r aMA + bMB+ cMC = 0 A. M trung điểm AB B. M trực tâm ABC C. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải: Bài 1.43: M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức a , b, g không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur r a) Nếu a + b + g ¹ 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho a MA + b MB+ gMC = 0. uuur uuur uuur r b) Nếu a + b + g = 0 thì không tồn tại điểm N sao cho a NA + bNB+ gNC = 0. Lời giải: Bài 1.44: a) Vì a + b + g ¹ 0 Þ (a + b)+ (b + g)+ (g + a)¹ 0 uuur uuur r Không mất tính tổng quát giả sử a + b ¹ 0 Þ $!D : a DA + bDB = 0. uuur uuur uuur r uuuur uuur r Suy ra a MA + b MB+ gMC = 0 Û (a + b)MD + gMC = 0 Do đó tồn tại duy nhất điểm M b) Giả sử tồn tại điểm N và a ¹ 0 uuur uuur uuur r uuur b uur Ta có a NA + bNB+ gNC = 0 Û CA = - CB (mâu thuẫn với ABC là tam giác) a Bài 1.45: Cho n điểm A1 , A2 , , An và n số k1 , k2 , ,kn mà k1 + k2 + + kn = k ¹ 0 uuur uuuur uuuur r a) Chứng minh rằng có duy nhất điểm G sao cho k1GA1 + k2 GA2 + + kn GAn = 0 . Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai gắn với hệ số ki . Trong trường hợp các hệ số ki bằng nhau(ta có thể chọn các ki đều bằng 1 ) thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm Ai b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta có 1 uuuur uuuur uuuur uuur k MA + k MA + + k MA = OG k ( 1 1 2 2 n n ) Lời giải Bài 1.45: O là điểm tùy ý, ta có: uuur uuuur uuuur r k1GA1 + k2 GA2 + + kn GAn = 0
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur r Û - + - + + - = k1 (OA1 OG) k2 (OA2 OG) kn (OAn OG) 0 uuur 1 uuuur uuuur uuuur Û OG = k OA + k OA + + k OA k ( 1 1 2 2 n n ) Suy ra G xác định duy nhất DẠNG 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác. 2. Các ví dụ. r uuur r uuur Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC . uuuur 1 uuur uuur uuur a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM = AB, CN = 2BC 3 uuur uuur uuuur r r b) Hãy phân tích CM, AN, MN qua các véc tơ a và b . uuur 1 r r uuur r r A. CM = a- b B. AN = - 2a + 3b 3 uuuur 7 r r C. MN = - a + 3b D.Cả A, B, C đều đúng 3 uuur uuur c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM . Chứng minh I, A,N thẳng hàng Lời giải (hình 1.23) uuuur 1 uuur 1 a) Vì AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và AM = AB ; 3 3 A uuur uuur CN = 2BC , suy ra N thuộc tia BC và CN = 2BC . M uuur uuur uuuur uuur 1 uuur 1 r r b) Ta có: CM = CA + AM = - AC + AB = a- b 3 3 B C N Hình 1.23 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r AN = AB+ BN = AB+ 3BC = AB+ 3(AC - AB) = - 2a + 3b uuuur uuur uuur 1 r r r 7 r r MN = MA + AN = - a- 2a + 3b = - a + 3b . 3 3 uur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r r 1 r r c) Ta có: AI = AM + MI = AB+ CM = a + a- b = - (- 2a + 3b) 3 3 3 3 uur 1 uuur Þ AI = - AN Þ A, I, N thẳng hàng. 3
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN . G là trọng tâm tam giác ABC . uuuur uuur uuur uuur a) Phân tích các vectơ AM, BN qua các véc tơ AB và AC uuuur 1 uuur 3 uuur uuur 23 uuur 15 uuur A. AM = AB+ AC B. BN = - AB+ AC 4 4 28 28 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A,B đều sai uuur uuuur uuur uur b) Phân tích các vectơ GC, MN qua các véc tơ GA và GB uuur uuur uur uuuur 1 uuur 1 uur A. GC = - GA- GB B. MN = GA + GB 2 7 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A,B đều sai Lời giải (hình 1.24) uuur 3 uuur uuur 5 uuuur a) Theo giả thiết ta có: BM = BC và AN = AM 4 7 A uuuur uuur uuur uuur 3 uuur suy ra AM = AB+ BM = AB+ BC 4 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur N = AB+ AC - AB = AB+ AC 4 ( ) 4 4 B M C Hình 1.24 uuur uuur uuur uuur 5 uuuur BN = BA + AN = - AB+ AM 7 uuur 5 æ1 uuur 3 uuurö 23 uuur 15 uuur = - AB+ ç AB+ AC÷= - AB+ AC 7 èç4 4 ø÷ 28 28 uuur uur uuur r uuur uuur uur b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB+ GC = 0 suy ra GC = - GA- GB uuuur 2 uuuur 2 æ1 uuur 3 uuurö Ta có MN = - AM = - ç AB+ AC÷ 7 7 èç4 4 ø÷ 1 uur uuur 3 uuur uuur = - GB- GA - GC - GA 14 ( ) 14 ( ) 1 uur uuur 3 uuur uur uuur = - GB- GA - - GA- GB- GA 14 ( ) 14 ( ) 1 uuur 1 uur = GA + GB 2 7 Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao uuur uuuur uuur cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AN, MN, AG uuur uuur qua các véc tơ AB và AC
uuur uuur 1 uuur uuuur 5 uuur uuur A. AN = AC - AB B. MN = - AB+ AC 2 6 uuur 5 uuur 1 uuur C. AG = AB+ AC D.Cả A, B, C đều đúng 18 3 Lời giải: M (hình 1.25) A B G uuur uuur uuur uuur 1 uuur Ta có: AN = AC + CN = AC - AB 2 D N C uuuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur MN = MA + AN = - AB+ AC - AB Hình 1.25 3 2 5 uuur uuur = - AB+ AC 6 Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên uuur uuuur uuur uuur 1 uuur æuuur 1 uuurö uuur 5 uuur uuur 3AG = AM + AN + AB = AB+ çAC - AB÷+ AB = AB+ AC 3 èç 2 ÷ø 6 uuur 5 uuur 1 uuur Suy ra AG = AB+ AC 18 3 3. Bài tập luyện tập. uuur uuur uuur uuur r uuur uur r Bài 1.46: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho MB = 3MC , NA + 3NC = 0 , PA + PB = 0 uuur uuur uuuur uuur uuur a) Biểu diễn các vectơ AP, AN, AM theo các vectơ AB và AC uuur 1 uuur uuur 3 uuur A. AP = AB B. AN = AC 2 2 uuuur 3 uuur 1 uuur C. AM = AC - AB D.Cả A, B, C đều đúng 2 2 uuur uuuur uuur uuur b) Biểu diễn các vectơ MP , MN theo các vectơ AB và AC uuur uuur 3 uuur uuuur 1 uuur 3 uuur A. MP = AB- AC B. MN = AB- AC 2 2 4 C.Cả A, B đều đúngD.Cả A,B đều sai c) Có nhận xét gì về ba điểm M, N, P thẳng hàng? uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur A. MP = 5MN B. MP = 3MN C. MP = 4MN D. MP = 2MN Lời giải: uuur 1 uuur uuur 3 uuur uuuur 3 uuur 1 uuur Bài 1.46: a) AP = AB, AN = AC, AM = AC - AB 2 2 2 2
uuur uuur 3 uuur uuuur 1 uuur 3 uuur b) MP = AB- AC, MN = AB- AC 2 2 4 uuur uuuur MP = 2MN Þ M, N, P thẳng hàng uur uur uur uur r Bài 1.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA = 2IB, 3JA + 2JC = 0 ur uuur uuur a)Tính IJ theo AB và AC . ur uuur 2 uuur ur uuur 1 uuur A. IJ = 2AB+ AC B. IJ = - 2AB+ AC 5 5 ur uuur 2 uuur ur uuur 2 uuur C. IJ = - 3AB+ AC D. IJ = - 2AB+ AC 5 5 b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC ur uur ur uur A. IJ = 6IG B. 5IJ = 3IG ur uur ur uur C. 5IJ = 4IG D. 5IJ = 6IG Lời giải: ur uuur 2 uuur Bài 1.47: a) IJ = - 2AB+ AC 5 uur 5 uuur 1 uuur ur uur b) IG = - AB+ AC Þ 5IJ = 6IG suy ra IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. 3 3 Bài 1.48. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC . uur uur uuur uuur a) Hãy phân tích AI, AJ theo AB và AC . uur 3 uuur 2 uuur uur 5 uuur 2 uuur A. AI = AB+ AC. B. AJ = AB- AC 5 5 3 3 C. Cả A,B đều đúngD.Cả A, B đều sai uuur uur uur b) Hãy phân tích AG theo AI và AJ . uuur 5 uur 1 uur uuur 35 uur 1 uur A. AG = AI - AJ. B. AG = AI - AJ. 48 16 48 6 uuur 5 uur 1 uur uuur 35 uur 1 uur C. AG = AI - AJ. D. AG = AI - AJ. 48 6 48 16 Lời giải: uur uur uur 3 uuur 2 uuur Bài 1.48: a) Ta có: 2IC = - 3IB Û AI = AB+ AC. 5 5
uur uur uuur uur uuur uur uur 5 uuur 2 uuur 5JB = 2JC Û 5(AB- AJ) = 2(AC - AJ) Û AJ = AB- AC 3 3 b) Gọi M là trung điểm BC, ta có: uuur 2 uuuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur AG = AM = . (AB+ AC) = (AB+ AC). 3 3 2 3 uuur 35 uur 1 uur Þ AG = AI - AJ. 48 16 r r Bài 1.49: Cho hai vectơ a, b không cùng phương. Tìm x sao cho r r r r r r a) u = a + (2x- 1)b và v = xa + b cùng phương é = é = - é = - é = ê x 1 êx 1 êx 1 êx 1 A. ê 1 B. ê 1 C. ê 1 D. ê 1 êx = - êx = êx = - êx = ëê 2 ëê 2 ëê 2 ëê 2 r r r r r 2 r b) u = 3a + xb và u = (1- x)a- b cùng hướng 3 é = é = - é = - ê x 1 êx 1 êx 1 A. ê 1 B. ê 1 C. ê 1 D. x = 1 êx = - êx = êx = - ëê 2 ëê 2 ëê 2 Lời giải: r r r r r r r r Bài 1.49: a) u cùng phương với v Û có số thực k sao cho u = kv Û a + (2x- 1)b = k(xa + b) é ì x = 1 ï kx = 1 ê Û í Þ ê 1 îï k = 2x- 1 êx = - ëê 2 r r r r r r æ r 2 rö b) u cùng phương với v Û có số thực k dương sao cho u = kv Þ 3a + xb = kç(1- x)a- b÷ èç 3 ø÷ ì ï 3 = k(1- x) é 3 ï ê k = Þ í 2 Þ ê 2 Þ x = - 1 ï x = - k ê îï 3 ëêk = - 3(l) DẠNG 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh hai điểm A và A trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau : uuuuur r 1 2 Cách 1: Chứng minh A1A2 = 0.
uuuur uuuur Cách 2: Chứng minh OA1 = OA2 với O là điểm tuỳ ý. • Để chứng minh hai tam giác ABC và A' B'C' cùng trọng tâm ta làm như sau: Cách 1: Chứng minh G là trọng tâmDABC trùng với G' là trọng tâmDA' B'C' uuur uur uuur r Cách 2: Gọi G là trọng tâmDABC (tức ta có GA + GB+ GC = 0 ) ta đi chứng minh uuur uuur uuur r GA'+ GB'+ GC' = 0 2. Các ví dụ. uuur uuur Ví dụ 1: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Lời giải: uur uur uur uur Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra AI = ID, CJ = JB uuur uuur uur ur uur uur ur uur Do đó AB = CD Û AI + IJ + JB = CJ + JI + ID ur ur ur r Û IJ = JI Û IJ = 0 hay I trùng với J Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM BN CP = = . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. AB BC CA Lời giải: AM uuuur uuur uuur uuur uur uuur Giả sử = k suy ra AM = kAB ; BN = kBC ; CP = kCA AB Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm DABC và DMNP uuur uur uuur r uuuur uuuur uuuur r Suy ra GA + GB+ GC = 0 và G' M + G' N + G' P = 0 (*) uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur Ta có AM = kAB Û AG + GG'+ G' M = kAB uuur uuur uuuur uuur Tương tự BG + GG'+ G' N = kBC uuur uuur uuuur uuur Và CG + GG'+ G' P = kCA Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur r (AG + BG + CG)+ 3GG'+ (G' M + G' N + G' P)= k(AB+ BC + CA)Kết hợp với (*) ta được GG' = 0 Suy ra điều phải chứng minh uuur uur uuur r Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA + GB+ GC = 0 uuur uuur uur uuur uuuur uur uuur uuur uur Ta có: GM + GN + GP = GA + AM + GB+ BN + GC + CP uuuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = AM + BN + CP = kAB+ kBC + kCA = k(AB+ BC + CA) = 0
Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA . Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Lời giải: (hình 1.26) uuur uur uuur r Gọi G là trọng tâm của DMPR suy ra GM + GP + GR = 0 (*) N C uuur uuur uuur uur uuur uuur B Mặt khác 2GM = GA + GB, 2GP = GC + GD, uuur uur uur M P 2GR = GE+ GF. uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uur uur A Þ 2(GM + GP + GR) = GA + GB+ GC + GD + GE+ GF Kết hợp D với (*) ta được S Q uuur uur uuur uuur uur uur r F R E GA + GB+ GC + GD + GE+ GF = 0 Hình 1.26 uuur uur uur uuur uuur uur r Û (GA + GF)+ (GB+ GC)+ (GD + GE) = 0 uur uuur uuur r Û 2GS + 2GN + 2GQ = 0 uur uuur uuur r Û GS + GN + GQ = 0 Suy ra G là trọng tâm của DSNQ . Vậy DMPR và DSNQ có cùng trọng tâm. Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C' D' chung đỉnh B C A. Chứng minh rằng hai tam giác BC' D và B'CD' cùng trọng tâm. B' Lời giải: A D (hình 1.27) C' uur uuur uuur r Gọi G là trọng tâm tam giác BC' D suy ra GB+ GC'+ GD = 0 D' Hình 1.27 uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r Û GB'+ GC + GD'+ B' B+ CC'+ DD' = 0 (1) Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur B' B+ CC'+ D' D = (AB- AB')+ (AC'- AC)+ (AD- AD') uuur uuur uuuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AC - AC - AC'+ AC = 0 (2) = (AB+ AD)- AC - (AB'+ AD')+ AC uuur uuur uuuur r Từ (1) và (2) ta có GB'+ GC + GD' = 0 hay G là trọng tâm tam giác B'CD' 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.50. Cho các tam giác ABC, A' B'C' có G, G’ lần lượt là trọng tâm . Chứng minh rằng: uuuur uuur uuur uuur AA'+ BB'+ CC' = 3GG'. Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm .
Lời giải: uuuur uuur uuur Bài 1.50: Ta có AA'+ BB'+ CC' uuur uuur uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur = (AG + GG'+ G' A')+ (BG + GG'+ G' B')+ (CG + GG'+ G'C') uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur = 3GG'+ (AG + BG + CG)+ (G' A + G' B+ G'C)= 3GG' uuuur uuur uuur r Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là AA'+ BB'+ CC' = 0 Bài 1.51. Cho tam giác ABC , vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS . Chứng minh rằng DRIP, DJQS có cùng trọng tâm. Lời giải: uuur uur uur r Bài 1.51: G là trọng tâm DRIP Þ GR+ GI + GP = 0 uur uur uur uuur uur uur uuur uuur uur Ta có RJ + IQ + PS = (RA + JA)+ (IB+ BQ)+ (PC + CS) uuur uur uur uur uuur uuur r = (RA + CS)+ (JA + IB)+ (PQ + PC)= 0 uuur uur uur uur uuur uur uur uuur uur r Suy ra GR+ GI + GP = GJ + GQ + GS Þ GJ + GQ + GS = 0 Do đó G là trọng tâm DJQS Bài 1.52. Cho tam giác ABC có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A' B'C' có cùng trọng tâm. Lời giải: uuuur uuur uuur r Bài 1.52: Tam giác ABC và A' B'C' có cùng trọng tâm Û AA'+ BB'+ CC' = 0 uuur uuur uuur r r r Û 2AB+ 2BC + 2CA = 0 Û 2.0 = 0 (đúng) Bài 1.53. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Lời giải: uuur uuur uur r Bài 1.53: G là trọng tâm DANP Þ GA + GN + GP = 0 uuur uuuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur r Ta có AC + NM + PQ = AC - AC - AC = 0 2 2 uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Suy ra GA + GN + GP = GC + GM + GQ Þ GC + GM + GQ = 0 Do đó G là trọng tâm DCMQ
uuuur uuuur r Bài 1.54. Cho tam giác ABC . Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi 2011A' B+ 2012A'C = 0 , uuur uuuur r uuuur uuur r 2011B'C + 2012B' A = 0 , 2011C' A + 2012C' B = 0 Chứng minh rằng DABC và DA' B'C' cùng trọng tâm Lời giải: uuur uur uuur r Bài 1.54: G là trọng tâm DABC Þ GA + GB+ GC = 0 uuuur uuuur r Ta có 2011A' B+ 2012A'C = 0 uuuur uuur uuuur uuur r Û 2011(A' A + AB)+ 2012(A' A + AC)= 0 uuuur uuur uuur r Û 4023A' A + 2011AB+ 2012AC = 0 (1) uuur uuur uuur r uuuur uuur uur r Tương tự ta có 4023B' B+ 2011BC + 2012BA = 0 ; 4023C'C + 2011CA + 2012CB = 0 Cộng vế với vế lại ta được uuuur uuur uuur uuur uuur uur r uuuur uuur uuur r 4023(AA'+ BB'+ CC')+ BA + AC + CB = 0 Û AA'+ BB'+ CC' = 0 Suy ra uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r GA + GB+ GC = GA'+ GB'+ GC' Þ GA'+ GB'+ GC' = 0 Do đó G là trọng tâm DA' B'C' Bài 1.55. Cho DABC và DA' B'C' có cùng trọng tâm G, gọi G1 ,G2 ,G3 là trọng tâm các tam giác BCA',CAB', ABC'.Chứng minh rằng DG1G2G3 cũng có trọng tâm G Lời giải: uuuur uuur uuur r Bài 1.55: Vì DABC và DA' B'C' có cùng trọng tâm G suy ra AA'+ BB'+ CC' = 0 Vì G1 ,G2 ,G3 là trọng tâm các tam giác BCA',CAB', ABC' nên uuuur uuuur uuuur 3AG + 3BG + 3CG uu1ur uuur 2 uuuur 3 uuur uuur uuur uuur uur uuur = (AB+ AC + AA')+ (BC + BA + BB')+ (CA + CB+ CC') uuuur uuur uuur r = AA'+ BB'+ CC' = 0 uuuur uuuur uuuur r Suy ra AG1 + BG2 + CG3 = 0 do đó G là trọng tâm DG1G2G3 Bài 1.56. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần lượt là trọng tâm các tam giác DABC, DBCD, DCDA, DDAB . Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác G1G2G3G4 Lời giải: uuuur uuuur uuuur uuuur r Bài 1.56: G là trọng tâm tứ giác G1G2G3G4 Û GG1 + GG2 + GG3 + GG4 = 0 (*) uuur uur uuur uuuur Vì G1 là trong tâm DABC Þ GA + GB+ GC = 3GG1 , tương tự ta có
uur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uur uuuur GB+ GC + GD = 3GG2 , GC + GD + GA = 3GG3 , GD + GA + GB = 3GG4 uuur uur uuur uuur r Do đó (*) Û 3(GA + GB+ GC + GD)= 0 (đúng) đpcm Bài 1.57. Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi A1 ,B1 ,C1 lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và A1 ,B1 ,C1 có cùng trọng tâm. Lời giải: Bài 1.57: Gọi D, E, F tương ứng là giao điểm của MA1 , MB1 , MC1 với các cạnh BC, CA, AB. O là trọng tâm đều DABC uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur Ta có + + = + + MA1 MB1 MC1 2(MD ME MF) uuuur uuur uuur 3 uuuur Mặt khác theo bài tập 6 (dạng 2) thì MD + ME+ MF = MO 2 uuuur uuuur uuuur uuuur Suy ra MA1 + MB1 + MC1 = 3MO do đó O là trọng tâm tam giác A1 ,B1 ,C1 Bài 1.58. Cho các tam giác ABC , điểm O nằm trong tam giác. Gọi A1 ,B1 ,C1 lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm A2 ,B2 ,C2 lần lượt thuộc các tia OA1 , OB1 , OC1 sao cho OA2 = a, OB2 = b, OC2 = c . Chứng minh O là trọng tâm tam giác A2B2C2 Lời giải: uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur OA2 OB2 OC2 Bài 1.58: Ta có OA2 + OB2 + OC2 = OA1 + OB1 + OC1 OA1 OB1 OC1 uuuur uuur uuuur OA OB OC r = a 1 + b 1 + c 1 = 0 (Theo định lý con nhím) OA1 OB1 OC1 Do đó O là trọng tâm tam giác A2B2C2 DẠNG 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước. 1. Phương pháp giải. Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau uuur uuur - Nếu MA = MB với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. uuur uuur - Nếu MC = k. AB với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng uuur k. AB .
uuur uuur - Nếu MA = kBC với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k Î R uuur + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC với k > 0 uuur + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC với k < 0 uuur uuur - Nếu MA = kBC, B ¹ C với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC uur uur uur r a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA + 3IB+ 4IC = 0 .’ uuur uuur uuur uuur uuur b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA + 3MB+ 4MC = MB- MA . AB A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính . 3 AB B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính . 4 AB C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính . 9 AB D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính . 2 Lời giải: uur uur uur r uur uur uuur uur uuur r a) Ta có: 2IA + 3IB+ 4IC = 0 Û 2IA + 3(IA + AB)+ 4(IA + AC) = 0 uuur uuur uur uuur uuur uur 3AB+ 4AC Û 9IA = - 3AB- 4AC Û IA = - Þ I tồn tại và duy nhất. 9 b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có: uuur uuur uuur uuur uur uur uur uuur uuur uuur uuur 2MA + 3MB+ 4MC = 9MI + (2IA + 3IB+ 4IC) = 9MI và MB- MA = AB nên uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB |2MA + 3MB+ 4MC|=|MB- MA|Û|9MI|=|AB|Û MI = 9 AB Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính . 9 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau : uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA + MC
A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC AB C. M là đường tròn tâm I bán kính . 9 D.Cả A, B, C đều sai uuur uuur uuur uuur uuur b) MA + MB = k(MA + 2MB- 3MC) với k là số thực thay đổi A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC AB C. M là đường tròn tâm I bán kính . 9 uuur 3 uuur D. Với H là điểm thỏa mãn AH = AC , M là đường thẳng đi qua E và song song với HB, E là 2 trung điểm của AB Lời giải: H (hình 1.28) a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra uuur uuur uuur uuur uuur uuur C MA + MB = 2ME và MA + MC = 2MF F uuur uuur uuur uuur A B Khi đó MA + MB = MA + MC E uuur uuur Hình 1.28 Û 2ME = 2MF Û ME = MF Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Ta có MA + 2MB- 3MC = MA + 2(MA + AB)- 3(MA + AC) uuur uuur uuur uuur uuur = 2AB- 3AC = 2AB- 2AH = 2HB uuur 3 uuur Với H là điểm thỏa mãn AH = AC 2 uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra MA + MB = k(MA + 2MB- 3MC) uuur uuur uuur uuur Û 2ME = 2kHB Û ME = kHB Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB uuuur uuur uuur uuur Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD . Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM = kAB, DN = kDC . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,
B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC, D. Cả A, B, C đều sai Lời giải: (hình 1.29) Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có B uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur M A AB = AO + OO'+ O' B và DC = DO + OO'+ O'C O' uuur uuur uuuur O Suy ra AB+ DC = 2OO' I D Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên N C uuuur uuur uur Hình 1.29 AM + DN = 2OI uur 1 uuur uuur uuuur Do đó OI = kAB+ kDC = kOO' 2 ( ) Vậy khi k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO' 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.59. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA- MB AB A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB 2 AB B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB 3 AB C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB 4 AB D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB 5 uuur uuur uuur uuur b) 2MA + MB = MA + 2MB Lời giải: AB Bài 1.59: a) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB 2 uuur uur r b) Gọi K là điểm thoả mãn: 2KA + KB = 0 uur uur r L là điểm thoả mãn: LB+ 2LC = 0
uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: 2MA + MB = MB+ 2MC Û MK = ML Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL. Bài 1.60. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur a) MA + kMB = kMC với k là số thực thay đổi r uuur uuur uuur uuur b) v = MA + MB+ 2MC cùng phương với véc tơ BC uuur uuur uuur uuur c) MA + BC = MA- MB (HD: dựng hình bình hành ABCD) Lời giải: Bài 1.60: a) Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + kMB = kMC Û MA = k(MC - MB) Û MA = kBC Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của ABC. uur uur uur r b) Gọi J là trung là điểm AB, I là trung điểm JC ta có IA + IB+ 2IC = 0 r uuur uuur uuur uuur Þ v = MA + MB+ 2MC= 4MI r uuur Do đó v cùng phương với BC M thuộc đường thẳng đi qua I và song song với BC. Bài 1.61. Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) 2MA + 3MB = 3MB- 2MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 4MA + MB+ MC = 2MA- MB- MC Lời giải: uuur uur r Bài 1.61: a) Gọi K là điểm thoả mãn: 2KA + 3KB = 0 uur uur r L là điểm thoả mãn: 3LB- 2LC = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: 2MA + 3MB = 3MB+ 2MC Û MK = ML Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL. uur uur uur r b) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: 4JA + JB+ JC = 0 Ta có:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4MA + MB+ MC = 2MA- MB- MC uuur uuur uuur uuur uur 1 Û 6MJ = 2MA- 2MI Û 6MJ = 2IA Û MJ = IA 3 1 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J bán kính R = IA . 3 Bài 1.62: Cho tứ giác ABCD . uuur uuur uuur a)Xác định điểm O sao cho : OB+ 4OC = 2OD . uuur uuur uuuur uuur b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB+ 4MC - 2MD = 3MA Lời giải: uuur uuur uuur uuur 4 uur Bài 1.62: a) OB+ 4OC = 2OD Û OB = CI với I là trung điểm BD 3 uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur b) MB+ 4MC - 2MD = 3MA Û MO = MA Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn OA. Bài 1.63: Cho lục giác đều ABCDEF . Tìm tập hợp các điểm M sao cho : uuur uuur uuur uuuur uuur uuur MA + MB+ MC + MD + ME+ MF nhận giá trị nhỏ nhất Lời giải: Bài 1.63: Gọi P là trọng tâm của DABC , Q là trọng tâm của DDEF uuur uuur uuur uuuur uuur uuur MA + MB+ MC + MD + ME+ MF = uuur uuuur 3 MP + 3 MQ = 3(MP + MQ)³ 3QP Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn PQ Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là mọi điểm thuộc đoạn PQ Bài 1.64: Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN a Bài 1.64: Gọi hai điểm M , N lần lượt thuộc tia Ox và Oy sao cho OM = ON = . Giả sử 0 0 0 0 2 uuur a- k uuuuuur OM = k, 0 £ k £ a khi đó ta có MI = M N . Do đó tập hợp điểm I là đoạn M N a 0 0 0 0 DẠNG 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ 1. Phương pháp giải.
Phân tính được định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những hệ thức đã biết r r r r r về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và kết quả " ma + nb = 0 Û m = n = 0 với a, b là hai vectơ không cùng phương " 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD . Các đoạn thẳng uuur 1 uuur uuur 2 uuur AN và BM cắt nhau tại P. Biết PM = BM; AP = AN . tứ giác ABCD là hình gì? 5 5 A. hình bình hànhB.hình thangC.hình chữ nhậtD.hình vuông Lời giải: uuur uuuur uuur uuuur uuur Ta có: AB = AM + MB = AM + 5MP uuur uuuur uuur uuur = 5AP- 4AM = 2AN - 2AD uuur uuur uuur = 2(AD + DN)- 2AD uuur uuur = 2DN = DC Þ ABCD là hình bình hành. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: uuur uur uuur r a2 GA + b2 GB+ c2 GC = 0. ABC là tam giác gì ? A.đềuB.cân tại AC.thườngD.Vuông tại B Lời giải: uuur uur uuur r uuur uur uuur G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB+ GC = 0 Û GA = - GB- GC. uuur uur uuur r Suy ra a2 GA + b2 GB+ c2 GC = 0. uur uuur uur uuur r Û a2 (- GB- GC)+ b2 GB+ cGC = 0. uur uuur r Û (b2 - a2 )GB+ (c2 - a2 )GC = 0.(*) uur uuur Vì GB và GC là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với: ì 2 2 ï b - a = 0 í Û a = b = c hay tam giác ABC đều. ï 2 2 îï c - a = 0 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả mãn uuuur uuur uuur r AA'+ BB'+ CC' = 0 . Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC . Lời giải: uuur uuur uuuur uuur Giả sử AB' = mAC, AC' = nAB uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra BB' = AB'- AB = mAC - AB
uuur uuuur uuur uuur uuur và CC' = AC'- AC = nAB- AC uuuur 1 uuur uuur Mặt khác A' là trung điểm của BC nên AA' = AB+ AC 2 ( ) uuuur uuur uuur r Do đó AA'+ BB'+ CC' = 0 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Û AB+ AC + mAC - AB+ nAB- AC = 0 2 ( ) æ 1öuuur æ 1öuuur r hay çn- ÷AB+ çm- ÷AC = 0 èç 2ø÷ èç 2ø÷ uuur uuur 1 Vì AB, AC không cùng phương suy ra m = n = do đó B', C' lần lượt là trung điểm của CA, AB 2 Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC . 3. Bài tập luyên tập. uuur uuur uuur uuur r Bài 1.65: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA + OB+ OC + OD = 0 . tứ giác ABCD là hình gì? A. hình bình hànhB.hình thangC.hình chữ nhậtD.hình vuông Lời giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.65: Đặt OA = xAC, OC = yAC, OB = zBD, OD = tBD uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r Suy ra OA + OB+ OC + OD = 0 Û (x + y)AC + (z + t)BD = 0 Do đó x = - y; z = - t Þ OA = OC, OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành. uuuur uuur uuur r Bài 1.66: Cho ABC có BB', CC' là các trung tuyến, A' là điểm trên BC thoả mãn AA'+ BB'+ CC' = 0 . Chứng minh AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC . Lời giải: uuuur uuur uuur r Bài 1.66: Ta có AA'+ BB'+ CC' = 0 uuur uuur uuur uur uuuur BA + BC CA + CB r uuur uuur r Û AA'+ + = 0 Û BA'+ CA' = 0 2 2 Û AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC . Bài 1.67: Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng uuuur uuur uuur r quy và thoả mãn AA'+ BB'+ CC' = 0 Chứng minh AA', BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC . Lời giải:
uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur Bài 1.67: Giả sử A' B = kA'C, B'C = mB' A, C' A = nC' B uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur AB- kAC A' B = kA'C Û AB- AA' = k AC - AA' Û AA' = ( ) 1- k uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur BC - mBA (m- 1)AB+ AC uuur CA- nCB - nAB+ (n- 1)AC Tương tự ta có BB' = = , CC' = = 1- m 1- m 1- n 1- n uuuur uuur uuur r Þ AA'+ BB'+ CC' = 0 æ 1 n öuuur æ- k 1 öuuur r Û ç - 1- ÷AB+ ç + - 1÷AB = 0 èç1- k 1- nø÷ èç1- k 1- m ø÷ 1 n - k 1 Suy ra Þ - 1- = + - 1= 0 Þ k = m = n . 1- k 1- n 1- k 1- m Mặt khác theo định lí Xêva ta có kmn = - 1 nên k = m = n = - 1 Vậy AA', BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC uuur uuur ur Bài 1.68: Cho 4 điểm A, B, C, D; I là trung điểm AB và J thuộc CD thoả mãn AD + BC = 2IJ . Chứng minh J là trung điểm của CD. Lời giải: uuur uuur ur uur uur ur Bài 1.68: AD + BC = 2IJ Û ID + IC = 2IJ uur uur uur Gọi K là trung điểm DC suy ra ID + IC = 2IK do đó K º J hay J là trung điểm của CD. Bài 1.69: Cho tứ giác ABCD . Giả sử tồn tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD và uuur uuur uuur uuur r OA + OB+ OC + OD = 0 . Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. Lời giải: Bài 1.69: (hình 1.55) Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA từ phương trình thứ hai ta được: A Q D r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = + + + = + Û + = P 0 OA OB OC OD 2OM 2OP OM OP 0 M O Û M,P,O thẳng hàng và O là trung điểm MP B N C r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Hình 1.55 0 = OA + OB+ OC + OD = 2ON + 2OQ Û ON + OQ = 0 Û N,Q,O thẳng hàng và O là trung điểm NQ. Ta có DOAD cân tại O nên NQ ^ AD , DOBC cân tại O nên NQ ^ BC suy ra AD / /BC . Tương tự AB / /DC suy ra ABCD là hình bình hành Mà N, Q là trung điểm của BC, AD nên AB / /NQ Þ AB ^ BC Suy ra ABCD là hình chữ nhật.
Bài 1.70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABC . A', B', C' là uuur uuuur uuur uuur uuur uuur các điểm thỏa mãn:OA = 3OA', OB = 3OB', OC = 3OC' . Chứng minh rằng G là trực tâm tam giác A' B'C' . Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.70: G là trọng tâm tam giác ABC nên 3OG = OA + OB+ OC uuur uuuur uuur uuur Do đó OG = OA'+ OB'+ OC' Suy ra G là trực tâm tam giác A' B'C' Bài 1.71: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trực tâm tam giác . A', B', C' là các uuuur uuur uuur uuur uuur uuur điểm thỏa mãn:OA' = 3OA, OB' = 3OB, OC' = 3OC . Chứng minh rằng H là trọng tâm tam giác A' B'C' . Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.71: H là trực tâm tam giác ABC suy ra OH = OA + OB+ OC uuur uuuur uuur uuur Do đó 3OH = OA'+ OB'+ OC' hay H là trọng tâm tam giác A' B'C' . Bài 1.72: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt uuur uur uur r CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu AD + BE+ CF = 0 thì M là trọng tâm tam giác ABC . Lời giải: Bài 1.72: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau r r r Cho ba véc tơ a;b;c đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện : r r r r ì ï ma + nb + pc = 0 íï r r r r (m,m' ¹ 0) ï îï m'a + n'b + p'c = 0 m n p Chứng minh rằng : = = . Thật vậy : m' n' p' Dễ thấy m,m' ¹ 0 thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không. ïì r n r p r ï a = b + c ï Từ giả thiết ta có :íï m m ï r n' r p' r ï a = b + c îï m' m' vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên n n' p p' m n p = ; = Þ = = m m' m m' m' n' p' Trở lại bài toán
uuur uur uur r AD uuur BE uuur CF uuur r Ta có AD + BE+ CF = 0 Û MA + MB+ MC = 0 MA MB MC AD S S S BE S CF S Mặt khác = ABD = ADC = , tương tự = và = MA SABM SACM S- Sa MB S- Sb MC S- Sc (với S = SABC ,Sa = SMBC , Sb = SMCA , Sc = SMAB ) uuur uuur uuur MA MB MC r Do đó ta có + + = 0 S- Sa S- Sb S- Sc uuur uuur uuur r Mặt khác ta cũng có Sa MA + Sb MB+ Sc MC = 0 1 1 1 S- Sa S- Sb S- Sc Áp dụng bổ đề suy ra = = Û Sa = Sb = Sc hay M trùng trọng tâm tam giác ABC Sa Sb Sc DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ 1. Phương pháp. • Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: r r Với mọi vectơ a, b ta luôn có r r r r r r + a + b £ a + b , dấu bằng xảy ra khi a, b cùng hướng r r r r r r + a- b ³ a - b , dấu bằng xảy ra khi a, b ngược hướng uuur • Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của MI với M thay đổi uuur + Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng D khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên D . uuur + Nếu M là điểm thay đổi trên đường tròn (O) khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao uuur điểm của tia OI với đường tròn; MI đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn 2. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt uuur uuur uuur giá trị nhỏ nhất T = MA + MB- MC Lời giải: uur uur uur r Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì IA + IB- IC = 0 uuur uur uuur uur uuur uur Khi đó : T = (MI + IA)+ (MI + IB)- (MI + IC)
uuur uur uur uur uuur = MI + IA + IB- IC = MI Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A' B'C' là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = AA'+ BB'+ CC' uuur uur uuur r uuuuur uuuur uuuur r Giải: Vì GA + GB+ GC = 0 và G' A'+ G' B'+ G'C' = 0 nên uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur AA'+ BB'+ CC' = AG + GG'+ G' A + BG + uuur uuuur uuur uuur uuuur + GG'+ G' B'+ CG + GG'+ G'C' uuur uuur uur uuur uuuuur uuuur uuuur uuur = 3GG'- (GA + GB+ GC)+ (G' A'+ G' B'+ G'C') = 3GG' Do đó: uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur AA'+ BB'+ CC' = AA' + BB' + CC' ³ AA'+ BB'+ CC' = 3 GG' = 3GG' uuuur uuur uuur Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ AA', BB', CC' cùng hướng Vậy giá trị nhỏ nhất T là 3GG' 3. Bài tập luyên tập. Bài 1.73: Cho tam giác ABC , đường thẳng d và ba sốa ,b,g sao cho a + b + g ¹ 0 . Tìm điểm M thuộc uuur uuur uuur đường thẳng d để biểu thức T = a MA + b MB+ gMC đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: uur uur uur r Bài 1.73: Do a + b + g ¹ 0 nên tồn tại duy nhất điểm I sao cho a IA + bIB+ gIC = 0 . uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur Ta có a MA + b MB+ gMC = a(MI + IA)+ b(MI + IB)+ g(MI + IC) uuur uur uur uur uuur = (a + b + g)MI + a IA + bIB+ gIC = (a + b + g)MI Do đó T = a + b + g .MI Suy ra T nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d Bài 1.74: Cho tam giác ABC . Tìm điểm M trên đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC sao cho uuur uuur uuur MA + MB+ MC a) Đạt giá trị lớn nhất b) Đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải: uuur uuur uuur uuur Bài 1.74: G là trọng tâm tam giác ABC ta có MA + MB+ MC = 3 MG
a) M là giao điểm của tia GO với (C) b) M là giao điểm của tia OG với (C) Bài 1.75: Cho tứ giác ABCD và A' B'C' D' là các tứ giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = AA'+ BB'+ CC'+ DD' Lời giải: Bài 1.75: ĐS: minT = 4GG' Bài 1.76: Cho tam giác ABC . M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur BM = kBC, CN = kCA, AP = kAB . Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó. Do đó các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó. Lời giải: uuuur uuur uur r Bài 1.76: Ta có AM + BN + CP = 0 uuuur uuur uur uuuur uuur uur uuur uur Suy ra AM = - (BN + CP)Þ AM = BN + CP £ BN + CP uuur uur Vì BN và CP không cùng phương nên không thể xảy ra dấu bằng do đó AM < BN + CP . Tương tự ta có BN < AM + CP, CP < AM + BN Bài 1.77 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc cạnh AB và không trùng với các đỉnh ta có: MC.AB < MA.BC + MB.AC Lời giải: uuur MB uuur MA uur MB MA Bài 1.77: CM = CA + CB Þ MC < CA + CB AB AB AB AB Hay MC.AB < MA.BC + MB.AC Bài 1.78: Cho tứ giác ABCD , M là điểm thuộc đoạn CD. Gọi p, p1 , p2 lần lượt là chu vi của các tam giác AMB, ACB, ADB . Chứng minh rằng p < max{p1 ; p2 } . Lời giải: uuuur MD uuur MC uuur MD MC Bài 1.78: Ta có: AM = AC + AD Þ AM < AC + AD CD CD CD CD uuur MD uuur MC uuur MD MC và BM = BC + BD Þ BM = BC + BD CD CD CD CD Từ đó suy ra
MD MC AM + BM < (AC + BC)+ (AD + BD) CD CD æMD MCö Þ AM + BM < ç + ÷.max{AC + BC; AD + BD} èçCD CD ø÷ Þ p < max{AC + BC + AB; AD + BD + AB} Hay p < max{p1 ; p2 } Bài 1.79: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+ 1 điểm Pi , i = 1,2, ,2n+ 1(n Î N) ở cùng 2n+ 1 uuur phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng ³ å OPi 1 i= 1 Lời giải: Bài 1.79: Ta chứng minh bằng quy nạp + Với n = 0 : hiển nhiên 2k+ 3 uuur + Giả sử BĐT đúng với = ta đi chứng minh đúng với = + hay ³ n k n k 1 å OPi 1 i= 1 uuur uuuuuur Trong 2k + 3 vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1 , OP2k+ 3 . uuur uuur uuuuuur uuur 2k+ 2 uuur Đặt = + , = . OA OP1 OP2k+ 3 OB å OPi i= 2 · · 0 Suy ra điểm A, B nằm trong góc P1OP2k+ 3 do đó AOB £ 90 uuur uuur uuur Þ OA + OB ³ OB uuur 2k+ 2 uuur Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có = ³ OB å OPi 1 i= 2 2k+ 3 uuur uuur uuur uuur Suy ra = + ³ ³ å OPi OA OB OB 1 i= 1