Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 4: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 4: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

1. §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I.TRỤC TỌA ĐỘ: 1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và r r một vectơ đơn vị i ( tức là i = 1) r i x' O x Hình 1.30 r r Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; i ) hay x'Ox hoặc đơn giản là Ox 2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: ur r r ur + Cho vec tơ u nằm trên trục (O ; i ) thì có số thực a sao cho u = a i với a Î R. Số a như thế được gọi uur r là tọa độ của vectơ u đối với trục (O ; i ) r uuur ur + Cho điểm M nằm trên (O ; i ) thì có số m sao cho OM = m i . Số m như thế được gọi là tọa độ của r điểm M đối với trục (O ; i ) uuur Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM 3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục : uuur Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của uuur vectơ AB trên trục Ox uuur r Như vậy AB = AB.i Tính chất : + AB = - BA uuur uuur + AB = CD Û AB = CD ur + " A; B;C Î (O; i ) : AB+ BC = AC II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục y vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần r r M lượt là i, j . Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi K là trục hoành và Oy gọi là trục tung. O H x Hình 1.31
2. r r Kí hiệu Oxy hay (O;i, j) 2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ . r r r r r r + Trong hệ trục tọa độ (O;i, j) nếu u = xi + yj thì cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ u , kí hiệu r r là u = (x; y) hay u(x; y). r x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u r r uuur + Trong hệ trục tọa độ (O;i, j), tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M = (x; y) hay M(x; y). x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M. Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì uuur r r uuur uuur M(x; y)Û OM = xi + yj = OH + OK uuur r uuur r Như vậy OH = xi, OK = yj hay x = OH, y = OK 3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. + Cho A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M(xM ; yM ) của đoạn thẳng x + x y + y AB là x = A B , y = A B M 2 M 2 + Cho tam giác ABC có A(xA ; yA ), B(xB ; yB ), C(xC ; yC ). Tọa độ trọng tâm G(xG ; yG ) của tam giác x + x + x y + y + y ABC là x = A B C và y = A B C G 3 G 2 4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ. r ur Cho u = (x; y) ;u' = (x'; y') và số thực k. Khi đó ta có : r ur ïì x = x' 1) u = u' Û íï îï y = y' r r 2) u± v = (x ± x'; y ± y') r 3) k.u = (kx; ky) ur r r r ïì x' = kx 4) u' cùng phương u (u ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho íï îï y' = ky uuur 5) Cho A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) thì AB = (xB - xA ; yB - yA )
3. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ r thức liên quan trên trục (O ; i ) 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức cơ bản sau: uuur r • Điểm M có tọa độ Û = uuur a OM a.i uuur r • Vectơ AB có độ dài đại số là m = AB Û AB = mi • Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB = b- a • Các tính chất + AB = - BA uuur uuur + AB = CD Û AB = CD ur + " A; B;C Î (O; i ) : AB+ BC = AC 2. Các ví dụ. r Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là –2 ; 1 và 4. uuur uuur uuur a) Tính tọa độ các vectơ AB ; BC ; CA b) Chứng minh B là trung điểm của AC. Lời giải: a) Ta có AB = 1+ 2 = 3 , BC = 3, CA = - 6 uuur uuur b) Ta có BA = - 3 = - BC Þ BA = - BC suy ra B là trung điểm AC r Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i ) cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh AB.CD + AC.DB+ AD.BC = 0 Lời giải: Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d. Ta có AB.CD = (b- a)(d- c)= bd + ac- bc- ad AC.DB = (c- a)(b- d)= bc + ad- cd- ab AD.BC = (d- a)(c- b)= cd + ab- ac- bd Cộng vế với vế lại ta được AB.CD + AC.DB+ AD.BC = 0 Cách 2: AB.CD + AC.DB+ AD.BC =
4. AB.(AD- AC)+ AC.(AB- AD)+ AD.(AC - AB) = AB.AD- AB.AC + .AC.AB- AC.AD + AD.AC - AD.AB = 0 3. Bài tập luyện tập. r Bài 1.80.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho 2 điểm A và B có tọa độ lần lượt a và b . uuur uuur a)Tìm tọa độ điểm M sao cho MA = kMB (k ¹ 1) kb- a kb- a kb- 2a kb- a A. x = B. x = C. x = D. x = M 2k - 1 M k - 2 M k - 1 M k - 1 b)Tìm tọa độ trung điểm I của AB a- b 2a + b a + b a + b A. x = B. x = C. x = D. x = I 2 I 2 I 3 I 2 c)Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA = - 5NB 4b + 2a 5b + 2a A. x = B. x = N 7 N 7 5b + 4a 5b + 3a C. x = D. x = N 7 N 7 Lời giải: kb- a a + b 5b + 2a Bài 1.80: a) x = b) x = c) x = M k - 1 I 2 N 7 r Bài 1.81.Trên trục (O ; i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là a ; b ; c . Tìm điểm I sao cho : uur uur uur ur IA + IB+ IC = 0 a + b + c a + b + c A. x = B. x = I 4 I 2 a + b + c a + b + c C. x = D. x = 2 I 3 I 3 Lời giải: a + b + c Bài 1.81: x = I 3 r Bài 1.82. Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d và thỏa mãn hệ DA CA thức 2(ab + cd) = (a + b)(c + d) . Chứng minh rằng = - DB CB Lời giải:
5. DA CA a- d a- c Bài 1.82: Ta có = - Û = - DB CB b- d b- c Û ab- ac- bd + cd = bc- ab- cd + ad Û 2(ab + cd) = c(a + b)+ d(a + b) Û 2(ab + cd) = (a + b)(c + d)  DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy . 1. Phương pháp. r • Để tìm tọa độ của vectơ ta làm như sau uuur r a r Dựng vectơ OM = a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy . Khi đó a(a1 ; a2 ) với a1 = OH, a2 = OK uuur • Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA uuur • Nếu biết tọa độ hai điểm A(x ; y ), B(x ; y ) suy ra tọa độ AB được xác định theo công uuur A A B B thức AB = (xB - xA ; yB - yA ) Chú ý: OH = OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH = - OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox (hoặc Oy ) 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho y điểm M(x; y). M(x;y) Tìm tọa độ của các điểm M2 O x M3 M1 Hình 1.32 a) M1 đối xứng với M qua trục hoành A. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (- x;- y) B. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (x; y) C. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (x;- y) D. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (- x; y) b) M2 đối xứng với M qua trục tung
6. A. M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2 (- x;- y) B. M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2 (x; y) C. M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2 (x;- y) D. M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2 (- x; y) c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ A. M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (- x; y) B. M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (- x;- y) C. M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (x;- y) D. M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (x; y) Lời giải: (hình 1.32) a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (x;- y) b) M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2 (- x; y) c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (- x;- y) r r Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1; 3) . Biết điểm B thuộc r uuur r uuur uuur uuur trục (O; i ) và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AB, BC và AC uuur uuur A. AB(0;- 3) B. BC(3;0) uuur C. AC(3;- 3) D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải: (hình 1.33) Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ (hình bên) y Vì điểm A(1; 3) suy ra AB = 3, OB = 1 A D Do đó B(1;0), C(4;0), D(4; 3) O uuur uuur uuur Vậy - và - AB(0; 3), BC(3;0) AC(3; 3) O B C x Hình 1.33
7. · 0 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD = 60 . Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox và xB ³ 0, yB ³ 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD æ ö æ ö ça 3 a÷ ça 3 a÷ A. A(0;0), Bç ; ÷, C(a 3; a), Dç ;- ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ æ ö æ ö ç a 3 a÷ ç a 3 a÷ B. A(0;0), Bç- ; ÷, C(a 3;0), Dç- ;- ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2÷ø æ ö æ ö ça 3 a÷ ça 3 a÷ C. A(0;0), Bç ; ÷, C(- a 3;0), Dç ;- ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ æ ö æ ö ça 3 a÷ ça 3 a÷ D. A(0;0), Bç ; ÷, C(a 3;0), Dç ;- ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ Lời giải: (hình 1.34) Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa y độ Oxy B Gọi I là tâm hình thoi ta có C · 0 a I BI = ABsin BAI = asin 30 = A x 2 D a2 a 3 AI = AB2 - BI 2 = a2 - = 4 2 Hình 1.34 æ ö æ ö ça 3 a÷ ça 3 a÷ Suy ra A(0;0), Bç ; ÷, C(a 3;0), Dç ;- ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ 3. Bài tập luyên tập. r r r Bài 1.83: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho tam giác đều ABC cạnh a, biết O là trung điểm BC, i uuur r uuur cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC æ ö æ ö ç a 3 ÷ ç a ÷ A. Aç0; ÷ B. Bç- ;0÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æa ö C. Cç ;0÷ D.Cả A, B, C đều đúng èç2 ÷ø
8. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC æ ö æ ö æ ö æ ö ç a a 3 ÷ ça a 3 ÷ ça a 3 ÷ ça a 3 ÷ A. Eç- ;- ÷ B. Eç ; ÷ C. Eç ; ÷ D. Eç ; ÷ èç 4 4 ø÷ èç4 4 ø÷ èç3 3 ø÷ èç2 2 ø÷ c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC æ ö æ ö æ ö æ ö ç a 3 ÷ ç a 3 ÷ ç a 3 ÷ ç a 3 ÷ A. Gç0; ÷ B. Gç0; ÷ C. Gç0; ÷ D. Gç0; ÷ èç 2 ø÷ èç 3 ø÷ èç 4 ø÷ èç 6 ø÷ Lời giải: æ ö æ ö æ ö ç a 3 ÷ ç a ÷ ça ÷ Bài 1.83: a) Aç0; ÷, Bç- ;0÷, Cç ;0÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ÷ø æ ö ça a 3 ÷ b) Eç ; ÷ èç4 4 ø÷ æ ö ç a 3 ÷ c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm Gç0; ÷ èç 6 ø÷ r r uuur Bài 1.84: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6 . Biết OC r uuur r và i cùng hướng, OB và j cùng hướng. a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi A. A(4;0), C(4;0), B(1; 3), D(0;- 3) B. A(- 4;0), C(4;0), B(1; 3), D(0; 3) C. A(- 4;0), C(4;0), B(0; 3), D(0;- 3) D. A(- 4;1), C(4;1), B(1; 3), D(0;- 3) b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm tam giác ABC æ 3ö æ 3ö A. Iç2; ÷, G(2;1) B. Iç2; ÷, G(0;1) èç 2ø÷ èç 2ø÷ æ 3ö æ 1ö æ 3ö æ2 ö C. Iç2; ÷, Gç2; ÷ D. Iç- 2;- ÷, Gç ;1÷ èç 2ø÷ èç 3ø÷ èç 2ø÷ èç3 ø÷ Lời giải: Bài 1.84: a) A(- 4;0), C(4;0), B(0; 3), D(0;- 3)
9. æ 3ö b) Iç2; ÷, G(0;1) èç 2ø÷ · 0 Bài 1.85: Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD = 3, BAD = 60 . Chọn r r r uuur hệ trục tọa độ sao cho và cùng hướng, > . Tìm Khẳng định sai? (A;i, j) i AD yB 0 uuur A. AB = ( 3; 3) uuur B. AC = (4 + 3; 3) uuur C.CD = ( 3;- 3) uuur D. BC = (4;0) Lời giải: Bài 1.85: Kẻ BH ^ AD Þ BH = 3; AB = 2 3; AH = 3 A(0;0) ; B( 3; 3) C(4 + 3; 3) D(4;0) uuur uuur uuur AB = ( 3; 3) BC = (4;0) CD = (- 3;- 3) uuur AC = (4 + 3; 3) r r r Bài 1.86: Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), trong đó O là tâm lục giác đều , i uuur r uuur cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 . A. A(- 6;0), D(6;0), B(- 3;- 3 3), C(3; 3 3), F(- 3;- 3 3), E(3;- 3 3) ,B. A(- 6;0), D(6;0), B(- 3; 3 3), C(3; 3 3), F(3; 2 3), E(3;- 3 3) C. A(- 6;1), D(6;1), B(- 3; 3 3), C(3; 3 3), F(- 3;- 3 3), E(3;- 3 3) D. A(- 6;0), D(6;0), B(- 3; 3 3), C(3; 3 3), F(- 3;- 3 3), E(3;- 3 3) Lời giải: Bài 1.86: ĐS: A(- 6;0), D(6;0), B(- 3; 3 3), C(3; 3 3), F(- 3;- 3 3), E(3;- 3 3) r r r r r  DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u+ v, u- v, k u 1. Phương pháp.
10. r r r r r Dùng công thức tính tọa độ của vectơu+ v, u- v, k u r ur r r r Với u = (x; y) ;u' = (x'; y') và số thực k, khi đó u± v = (x ± x'; y ± y') và k.u = (kx; ky) 2. Các ví dụ. r ur r Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a = ( 3; 2) b = (- 1; 5) c = (- 2;- 5) Tìm tọa độ của vectơ sau r r r r r r r a) u+ 2v với u = 3i- 4j và v = pi r r r r A. u+ 2v = (1+ p;- 4) B. u+ 2v = (3+ p; 4) r r r r C. u+ 2v = (3+ 2p;- 4) D. u+ 2v = (3+ p;- 4) r r r r r r ur b) k = 2a + b và l = - a+ 2b + 5c ur r A. k = (5;9) B. l = (- 15;- 17) C. Ca A, B đều đúng D. Cả A, B đều sai Lời giải: r r r r r r r r r a) Ta có u+ 2v = 3i- 4j + pi = (3+ p)i- 4j suy ra u+ 2v = (3+ p;- 4) ur ur ur b) Ta có 2a = (6; 4) b = (- 1; 5) suy ra k = (6- 1; 4 + 5)= (5;9); ur ur ur - a = (- 3;- 2), 2b = (- 2;10) và 5c = (- 10;- 25) suy ra r l = (- 3- 2- 10;- 2 + 10- 25)= (- 15;- 17) r r r r Ví dụ 2: Cho a = (1; 2), b = (- 3; 4) ; c = (- 1; 3) . Tìm tọa độ của vectơ u biết r r r r a) 2u- 3a + b = 0 r r r r A. u = (2;1) B. u = (3;1) C. u = (- 3;1) D. u = (3; 2) r r r r b) 3u+ 2a + 3b = 3c r æ7 7ö r æ4 7ö r æ5 7ö r æ4 7ö A. u = ç ;- ÷ B. u = ç ;- ÷ C. u = ç ;- ÷ D. u = ç ;- ÷ èç3 3÷ø èç2 2ø÷ èç3 3÷ø èç3 3ø÷ Lời giải: r r r r r 3 r 1 r a) Ta có 2u- 3a + b = 0 Û u = a- b 2 2
11. r æ3 3 ö Suy ra u = ç + ; 3- 2÷= (3;1) èç2 2 ø÷ r r r r r 2 r r r b) Ta có 3u+ 2a + 3b = 3c Û u = - a- b + c 3 r æ 2 4 ö æ4 7ö Suy ra u = ç- + 3- 1;- - 4 + 3÷= ç ;- ÷ èç 3 3 ø÷ èç3 3ø÷ Ví dụ 3: Cho ba điểm A(- 4;0),B(0; 3) và C(2;1) r uuur uuur a) Xác định tọa độ vectơ u = 2AB- AC r r r r A. u = (1; 5) B. u = (- 2; 5) C. u = (2; 4) D. u = (2; 5) uuur uuur uuur r b) Tìm điểm M sao cho MA + 2MB+ 3MC = 0 æ1 3ö æ 1 3ö æ1 3ö æ1 3ö A. Mç ; ÷ B. Mç- ;- ÷ C. Mç ; ÷ D. Mç ; ÷ èç2 2ø÷ èç 3 2ø÷ èç3 2ø÷ èç3 4ø÷ Lời giải: uuur uuur r a) Ta có AB(4; 3), AC(6;1) suy ra u = (2; 5) uuur uuur uuur b) Gọi M(x; y), ta có MA(- 4- x;- y), MB(- x; 3- y), MC(2- x;1- y) uuur uuur uuur Suy ra MA + 2MB+ 3MC = (- 6x + 2;- 6y + 9) ïì 1 ï x = uuur uuur uuur r ïì - 6x + 2 = 0 ï Do đó MA + 2MB+ 3MC = 0 Þ íï Û íï 3 ï - 6y + 9 = 0 ï 3 îï ï y = îï 2 æ1 3ö Vậy Mç ; ÷ èç3 2ø÷ 3. Bài tập luyện tập. ur ur æ 1ö ur Bài 1.87.Cho các vecto a = ( 2;0), b = ç- 1; ÷, c = (4;6). èç 2ø÷ r Tìm tọa độ vectơ u biết ur ur ur ur a) u = 2a - 4b + 5c ur ur A. u = (2;- 8) B. u = (8;- 28) ur ur C. u = (28;- 28) D. u = (8;- 8)
12. ur ur r r b) a - 2b + 2u = c ur 7 ur 3 ur 7 ur 7 A. u = (- 2; ) B. u = (0; ) C. u = (0; ) D. u = (- 1; ) 2 2 2 2 Lời giải: ur ur 7 Bài 1.87: ĐS: a) u = (28;- 28) b) u = (0; ) 2 Bài 1.88. Cho ba điểm A(- 4;0),B(- 5;0) và C(3;- 3) r uuur uuur uuur a) Tìm tọa độ vectơ u = AB- 2BC + 3CA r r r r A. u(- 3; 3) B. u(- 8; 3) C. u(- 38; 3) D. u(- 38; 33) uuur uuur uuur r b) Tìm điểm M sao cho MA + MB+ MC = 0 A. M(- 2;1) B. M(2;- 1) C. M(2;1) D. M(- 2;- 1) Lời giải: r Bài 1.88: ĐS: a) u(- 38; 3) b) M(- 2;- 1)  DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình 1. Phương pháp. Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức x + x y + y + M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra x = A B , y = A B M 2 M 2 x + x + x y + y + y + G trọng tâm tam giác ABC suy ra x = A B C , y = A B C G 3 G 2 r ur ïì x = x' + u(x; y)= u'(x'; y')Û íï îï y = y' 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), B(- 1;- 2), C(- 3; 2) . a) Tìm tọa độ trung điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB A. M(- 5;6) B. M(5; 3) C. M(- 5;- 6) D. M(5;6) b) Xác định trọng tâm tam giác ABC
13. æ 2 2ö æ 2 1ö æ 1 1ö æ2 1ö A. Gç- ; ÷ B. Gç- ; ÷ C. Gç- ; ÷ D. Gç ; ÷ èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ èç3 3÷ø b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành A. D(0; 4) B. D(0; 5) C. D(2; 5) D. D(1; 5) Lời giải: x + x a) C là trung điểm của MB suy ra x = M B Þ x = 2x - x = - 5 C 2 M C B y + y và y = M B Þ y = 2y - y = 6 C 2 M C B Vậy M(- 5;6) b) G là trọng tâm tam giác suy ra x + x + x 2- 1- 3 2 y + y + y 1- 2 + 2 1 x = A B C = = - và y = A B C = = G 3 3 3 G 2 3 3 æ 2 1ö Vậy Gç- ; ÷ èç 3 3ø÷ uuur c) Gọi D(x; y) Þ DC = (- 3- x; 2- y) Ta có: ABCD là hình bình hành suy ra uuur uuur ïì - 3- x = - 3 ïì x = 0 AB = DC Û íï Û íï Þ D(0; 5). îï 2- y = - 3 îï y = 5 Vậy D(0; 5) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3;- 1), B(- 1; 2) và I(1;- 1). Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD . æ 7ö æ 5ö æ 5ö æ 5ö A. Oç3;- ÷ B. Oç2;- ÷ C. Oç- 2;- ÷ D. Oç2; ÷ èç 2ø÷ èç 2ø÷ èç 2ø÷ èç 2ø÷ Lời giải: Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên x + x + x x = A B C Þ x = 3x - x - x = 1 I 3 C I A B y + y + y y = A B C Þ y = 3y - y - y = - 4 I 2 C I A B
14. suy ra C(1;- 4) Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra uuur uuur ïì - 1- 3 = 1- x ïì x = 5 AB = DC Û íï D Û íï D Þ D(5;- 7) ï + = - - ï = - îï 2 1 4 yD îï yD 7 Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó x + x y + y 5 æ 5ö x = A C = 2, y = A C = - Þ Oç2;- ÷ O 2 O 2 2 èç 2÷ø 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.89: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1), C(- 1;- 2) a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC æ1 1ö æ4 ö A. Iç ;- ÷ B. Gç ;1÷ èç2 2ø÷ èç3 ø÷ C.Cả A, B đều đúng D. Cả A, B đều sai b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành A. D(5;1) B. D(0;1) C. D(3;1) D. D(2;1) Lời giải: æ1 1ö æ4 ö Bài 1.89: a) Trung điểm BC là Iç ;- ÷, trọng tâm của tam giác ABC là Gç ;1÷ èç2 2ø÷ èç3 ø÷ uuur uuur ïì x = 0 b) Tứ giác ABCD là hình bình hành Û AB = DC Û íï Þ D(0;1) îï y = 1 Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 4), B(- 1; 2), I(4;1). Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD. Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD . æ9 ö A. C(2;- 2), D(3;0), Oç ; 2÷ B. C(1;- 2), D(- 6;1), O(3; 2) èç2 ø÷ æ9 ö æ9 ö C. C(3;- 2), D(3;0), Oç ;- 2÷ D. C(2;- 2), D(6;0), Oç ; 2÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ Lời giải: uuur Bài 1.90: Do I(4;- 1) là trung điểm của CD nên đặt C(4- x;- 1- y), D(4 + x;- 1+ y)Þ CD(2x; 2y) uuur uuur ïì x = 2 Tứ giác ABCD là hình bình hành Û CD = BA Û íï îï y = 1
15. æ9 ö Vậy C(2;- 2), D(6;0), Oç ; 2÷ èç2 ø÷ Bài 1.91: Cho tam giác ABC có A(3;1), B(1;- 3), đỉnh C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên trục Ox . Tìm tọa độ đỉnh C A. C(0; 2) B. C(0;- 2) C. C(0; 4) D. C(0; 3) Lời giải: Bài 1.91: Từ giả thiết ta có C(0; y), G(x;0) ïì ïì + + = ï 4 ï xA xB xC 3xG ï x = G là trọng tâm tam giác nên í Û í 3 ï + + = ï îï yA yB yC 3yG ï îï y = 2 Vậy C(0; 2) Bài 1.92: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Biết M(1;1),N(- 2;- 3),P(2;- 1) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . A. B(5; 3) B. C(- 3;- 1) C. A(- 1;- 5) D.Cả A, B, C đều đúng Lời giải: uuuur uuur uuuur uuur Bài 1.92: Ta có MN(- 3;- 4), PA(xA - 2; yA + 1), MN = PA Þ A(- 1;- 5) N là trung điểm AC suy ra C(- 3;- 1) M là trung điểm BC suy ra B(5; 3) Bài 1.93: Cho tam giác ABC có A(3; 4), B(- 1; 2), C(4;1). A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. a) Tìm tọa độ các điểm A', B', C' A. A'(- 5;0) B. B'(9;0) C.C'(2;7) D.Cả A, B, C đều đúng b) Chứng minh các tam giác ABC và A' B'C' có cùng trọng tâm. Lời giải: Bài 1.93: a) A' là điểm đối xứng của A qua B suy ra B là trung điểm của AA' do đó A'(- 5;0). Tương tự B'(9;0), C'(2;7)
16. æ 7ö b) Trọng tâm của tam giác ABC và A' B'C' có cùng tọa độ là ç2; ÷ èç 3ø÷  DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp. r ur ur r r r • Cho u = (x; y) ;u' = (x'; y') . Vectơu' cùng phương với vectơ u (u ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k sao ïì x' = kx cho íï îï y' = ky ur r x' y' Chú ý: Nếu xy ¹ 0 ta có u' cùng phương u Û = x y r r r • Để phân tích c(c1 ;c2 ) qua hai vectơ a(a1 ; a2 ), b(b1 ;b2 ) không cùng phương, ta giả sử r r r ïì a x + b y = c c = xa + yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình íï 1 1 1 ï + = îï a2x b2 y c2 2. Các ví dụ. r r r Ví dụ 1: Cho a = (1; 2), b = (- 3;0) ; c = (- 1; 3) a) Khẳng định nào sau đây đúng r r A. hai vectơ a ; b không cùng phương r r B. hai vectơ a ; b cùng phương r r C. hai vectơ a ; b song song r r D. hai vectơ a ; b ngược chiều r r r b) Phân tích vectơ c qua a ; b r 2 r 5 r r 1 r 4 r A. c = - a + b B. c = a + b 3 9 3 9 r 4 r 7 r r 2 r 5 r C. c = a + b D. c = a + b 3 9 3 9 Lời giải: - 3 0 r r a) Ta có ¹ Þ a và b không cùng phương 1 2 r r r r r b) Giả sử c = xa + yb . Ta có xa + yb = (x- 3y; 2x)
17. ïì 2 ï x = ïì x- 3y = - 1 ï r 2 r 5 r Suy ra íï Û íï 3 Þ c = a + b ï 2x = 3 ï 5 3 9 îï ï y = îï 9 ur ur r r Ví dụ 2: Cho u = (m2 + m- 2 ; 4) và v = (m; 2) . Tìm m để hai vecto u, v cùng phương. A. m = 1 và m = 2 B. m = - 1 và m = - 2 C. m = - 1 và m = 3 D. m = - 1 và m = 2 Lời giải: ur ur + Với m = 0 : Ta có u = (- 2; 4) ; v = (0; 2) 0 2 ur ur Vì ¹ nên hai vectơ u ; v không cùng phương - 2 4 ur ur + Với m ¹ 0 : Ta có u ; v cùng phương khi và chỉ khi m2 + m- 2 4 ém = - 1 = Û 2 - - = Û ê m m 2 0 ê m 2 ëm = 2 Vậy với m = - 1 và m = 2 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), B(- 3;6), C(1;- 2) . a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác. b) Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng. A. D(15;0) B. D(1;0) C. D(6;0) D. D(5;0) c) Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 2EC æ 1 1ö æ 1 2ö æ 1 2ö æ1 2ö A. Eç- ; ÷ B. Eç- ; ÷ C. Eç- ;- ÷ D. Eç ; ÷ èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ èç3 3ø÷ d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE và AC æ 7 1ö æ3 1ö æ7 1ö æ7 1ö A. Iç- ; ÷ B. Iç ;- ÷ C. Iç ; ÷ D. Iç ; ÷ èç 2 2ø÷ èç2 2ø÷ èç4 2ø÷ èç2 2ø÷ Lời giải: uuur uuur - 9 3 uuur uuur a) Ta có AB(- 9; 3), AC(- 5;- 5). Vì ¹ suy ra AB và AC không cùng phương - 5 - 5 Hay A, B, C là ba đỉnh một tam giác. b) D trên trục hoành Þ D(x;0)
18. uuur uuur Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy ra AB và AD không cùng phương uuur x- 6 - 3 Mặt khác AD(x- 6;- 3) do đó = Þ x = 15 - 9 3 Vậy D(15;0) uur uuur c) Vì E thuộc đoạn BC và BE = 2EC suy ra BE = 2EC uur uuur Gọi E(x; y) khi đó BE(x + 3; y- 6), EC(1- x;- 2- y) ïì 1 ì ï x = - ï x + 3 = 2(1- x) ï Do đó íï Û íï 3 ï y- 6 = 2(- 2- y) ï 2 îï ï y = îï 3 æ 1 2ö Vậy Eç- ; ÷ èç 3 3ø÷ d) Gọi I(x; y) là giao điểm của DE và AC. uur uuur æ 46 2ö 3(x- 15) 3y Do đó DI(x- 15; y),DEç- ; ÷ cùng phương suy ra = Þ x + 23y- 15 = 0 (1) èç 3 3ø÷ - 46 2 uur uuur x- 6 y- 3 AI(x- 6; y- 3), AC(- 5;- 5) cùng phương suy ra = Þ x- y- 3 = 0 (2) - 5 - 5 7 1 Từ (1) và (2) suy ra x = và y = 2 2 æ7 1ö Vậy giao điểm hai đường thẳng DE và AC là Iç ; ÷ èç2 2ø÷ 3. Bài tập luyên tập. Bài 1.94. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(1;- 2), B(0; 3), C(- 3; 4) và D(- 1;8). a) Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng A. A, B, D thẳng hàngB. A, B,C thẳng hàng C. A, C, D thẳng hàngD. C, B, D thẳng hàng uuur uuur b) Chứng minh AB và AC không cùng phương uuur uuur uuur c) Phân tích CD qua AB và AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. CD = 2AB- 2AC B. CD = 2AB- AC
19. uuuuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 C. CD = 3AB- AC D. CD = 2AB- AC 2 Lời giải: Bài 1.94: a) A, B, D thẳng hàng uuur uuur - 1 5 uuur uuur b) AB(- 1; 5), AC(- 4;6). Vì ¹ Þ AB và AC không cùng phương - 4 6 uuur uuur uuur uuur ïì - x- 4y = 2 ïì x = 2 uuur uuur uuur c) CD(2; 4). CD = xAB+ yAC Û íï Û íï Þ CD = 2AB- AC îï 5x + 6y = 4 îï y = - 1 Bài 1.95. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0;1), B(1; 3), C(2;7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD æ 2 ö æ1 ö æ4 ö æ2 ö A. I ç- ; 3÷ B. I ç ;- 3÷ C. I ç ;13÷ D. I ç ; 3÷ èç 3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ Lời giải: uuur uuur uur uuur Bài 1.95: Gọi I(x; y) là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BD cùng phương Mặt khác uur uuur x y- 1 AI = ( x; y- 1), AC = (2;6) suy ra = Û 6x- 2y = - 2 (1) 2 6 uur uuur 2 BI = (x- 1; y- 3), BD = (- 1;0) suy ra y = 3 thế vào (1) ta có x = 3 æ2 ö Vậy I ç ; 3÷ là điểm cần tìm. èç3 ø÷ r r Bài 1.96. Cho a = (3; 2), b = (- 3;1) r r a) Chứng minh a và b không cùng phương r r r r r r r r b) Đặt u = (2- x)a + (3+ y)b . Tìm x, y sao cho u cùng phương với xa + b và a + b . ïì x = 2 ïì x = 1 ïì x = 2 ïì x = - 1 A. íï hoặc íï B. íï hoặc íï îï y = 3 îï y = - 2 îï y = - 3 îï y = - 2 ïì x = - 2 ïì x = 1 ïì x = 2 ïì x = 1 C. íï hoặc íï D. íï hoặc íï îï y = 3 îï y = 2 îï y = - 3 îï y = - 2 Lời giải: r Bài 1.96: b) Ta có u = (- 3x- 3y- 3;- 2x + y + 7)
20. r r r r xa + b = (3x- 3; 2x + 1), a + b = (0; 3) r r r r r r r r r r r u cùng phương với xa + b và a + b khi và chỉ khi có sô k, l sao cho u = k(xa + b), u = l(a + b) ì ï - 3x- 3y- 3 = k(3x- 3) ï ï - 2x + y + 7 = k(2x + 1) Do đó íï ï - 3x- 3y- 3 = 0 ï îï - 2x + y + 7 = 3l ïì x = 2 ïì x = 1 Suy ra íï hoặc íï îï y = - 3 îï y = - 2 Bài 1.97. Cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2;1), C(- 1;- 2). Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho SABC = 3SABM A. M1 (1; 2), M2 (4; 2) B. M1 (- 1; 2), M2 (- 3;- 2) C. M1 (1; 2), M2 (3;- 2) D. M1 (1;0), M2 (3; 2) Lời giải: uuur uuur Bài 1.97: Ta có SABC = 3SABM Û BC = 3BM Þ BC = ± 3BM uuur uuur Gọi M(x; y)Þ BM(x- 2; y- 1); BC(- 3;- 3) ì ì ï - 3 = 3(x- 2) ïì x = 1 ï - 3 = - 3(x- 2) ïì x = 3 Suy ra íï Û íï hoặc íï Û íï ï - = - ï = ï - = - - ï = îï 3 3(y 1) îï y 0 îï 3 3(y 1) îï y 2 Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 (1;0), M2 (3; 2) Bài 1.98. Cho ba điểm A(- 1;- 1), B(0;1), C(3;0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và 2BD = 5DC . æ5 2ö æ 15 2ö æ15 1ö æ15 2ö A. Dç ; ÷ B. Dç- ;- ÷ C. Dç ; ÷ D. Dç ; ÷ èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç 7 7ø÷ c) Xác định tọa độ giao điểm của AD và BG trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . æ5 ö æ1 ö æ35 ö æ35 ö A. Iç ;1÷ B. Iç ;1÷ C. Iç ; 2÷ D. Iç ;1÷ èç9 ø÷ èç9 ø÷ èç 9 ø÷ èç 9 ø÷ Lời giải: uuur uuur 1 2 uuur uuur Bài 1.98: a) Ta có AB(1; 2), AC(4;1). Vì ¹ Þ AB và AC không cùng phương 4 1
21. uuur uuur uuur uuur b) Ta có 2BD = 5DC, BD(xD ; yD - 1),DC(3- xD ;- yD ) ïì 15 ï = ïì 2x = 5 3- x ï xD æ ö ï D ( D ) ï 7 ç15 2÷ Do đó í Û í Þ Dç ; ÷ ï 2(y - 1)= 5(- y ) ï 2 èç 7 7ø÷ îï D D ï y = îï D 7 æ2 ö c) Ta có Gç ;0÷. Gọi I(x; y) là giao điểm của AD và BG. èç3 ø÷ uur uuur æ22 9ö 7(x + 1) 7(y + 1) Do đó AI(x + 1; y + 1), ADç ; ÷ cùng phương suy ra = Þ 9x- 22y- 13 = 0 èç 7 7÷ø 22 9 uur uuur æ 1 ö uur uuur BI(x; y- 1),BGç- ;0÷ cùng phương suy ra tồn tại k : BI = kBG Þ y = 1 èç 3 ø÷ æ35 ö Từ đó Iç ;1÷ èç 9 ø÷ Bài 1.99. Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A và B là nhỏ nhất, biết: a) A(1;1) và B(2;- 4) æ6 ö æ 6 ö A. Pç ;0÷ B. P(2;0) C. Pç- ;0÷ D. P(1;0) èç5 ÷ø èç 5 ÷ø b) A(1; 2) và B(3; 4) æ5 ö æ 5 ö æ5 ö æ1 ö A. Pç ;0÷ B. Pç- ;0÷ C. Pç ;0÷ D. Pç ;0÷ èç3 ÷ø èç 3 ø÷ èç2 ø÷ èç3 ø÷ Lời giải: Bài 1.99. a) Dễ thấy điểm A, B nằm ở hai phía với trục hoành uuur uuur Ta có PA + PB ³ AB . Dấu bằng xảy ra Û AP cùng phương với AB x - 1 0- 1 6 æ6 ö Suy ra P = Þ x = Þ Pç ;0÷ 2- 1 - 4- 1 P 5 èç5 ÷ø b) Dễ thấy A, B cùng phía với trục hoành. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành, suy ra A'(1;- 2) và PA = PA' uuuur uuuur Ta có PA + PB = PA'+ PB ³ A' B . Dấu bằng xảy ra Û A' P cùng phương với A' B
22. x - 1 0 + 2 5 æ5 ö Suy ra P = Þ x = Þ Pç ;0÷ 3- 1 4 + 2 P 3 èç3 ÷ø Bài 1.100: Cho hình bình hành ABCD có A(- 2; 3) và tâm I(1;1). Biết điểm K(- 1; 2) nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành. A. D(2;1) B. B(0;1) C. C(4;- 1) D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải: Bài 1.100: I là trung điểm AC nên C(4;- 1) Gọi D(2a; a)Þ B(2- 2a; 2- a) uuur uuur AK(1;- 1), AB(4- 2a;- 1- a) uuur uuur 4- 2a - 1- a Vì AK, AB cùng phương nên = Þ a = 1Þ D(2;1), B(0;1) 1 - 1