›
›
›

Chuyên đề Toán học 10 - Bài 1: Cung góc lượng giác. Công thức lượng giác (Có lời giải và đáp)

doc 59 trang xuanha23 07/01/2023 2060
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Toán học 10 - Bài 1: Cung góc lượng giác. Công thức lượng giác (Có lời giải và đáp)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_toan_hoc_10_bai_1_cung_goc_luong_giac_cong_thuc_lu.doc

Nội dung text: Chuyên đề Toán học 10 - Bài 1: Cung góc lượng giác. Công thức lượng giác (Có lời giải và đáp)

  1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2. Ngoài ra, kiến thức chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này. §1. Cung và góc lượng giác A. Lý thuyết 1. Đơn vị đo góc và cung tròn a. Độ Đường tròn bán kính R có độ dài 2 R và có số đo 360° chia đường tròn thành 360 2 R R R phần, 1 phần có độ dài và có số đo 1 (góc ở tâm chắn cung ). 360 180 180 R a R Vậy cung 1 có độ dài ; cung a có độ dài . 180 180 b. Radian - Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian). - Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là 1 rad) Nhận xét: + Cung độ dài R có số đo 1 rad. + Đường tròn có độ dài 2 R có số đo 2 rad. 1 + Cung có số độ dài l có số đo rad. R + Cung có số đo rad có độ dài l .R c. Liên hệ giữ độ và rad
  2. 360 2 (số đo đường tròn bán kính R) 180 180 rad 1 rad 5717'45'' 1 rad 0,0175 rad 180 Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt: Độ 30 45 60 90 120 135 150 180 2 3 5 Rad 6 4 3 2 3 4 6 Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính R 10cm . Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là 5cm. A. 1B. 3C. 2D. 0,5 Lời giải l 5 Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có: 0,5 rad R 10 Đáp án D. Ví dụ 2: Cho đường tròn O; R ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là: 1080 A. 360 và 2 B. 360 và C. và 6D. 1080 và 6 Lời giải 360 ABCDEF là lục giác đều ·AOB 60 6 OA OB AOB đều AB OA R Chu vi ABCDEF là 6R Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad 180 1080 6 rad 6.
  3. Đáp án C. 2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng a. Đường tròn định hướng - Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là dương, chiều ngược lại là chiều âm. - Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ là chiều âm. b. Cung lượng giác - Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung lượng Ð giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu AB c. Góc lượng giác - Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB. Kí hiệu OA,OB . Ð - Số đo góc lượng giác OA,OB là số đo của cung lượng giác AB . Ð - Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB . Nếu OM quay theo chiều dương từ Ð OA tới OB tạo ra góc thì cung AB có số đo là k2 k ¢ . Ð Kí hiệu: sđ AB . Vậy: Ð Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB k2 k ¢ . Ð Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB k2 k ¢
  4. d. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O bán kính R 1, cắt Ox tại A 1;0 và A' 1;0 ; cắt Oy tại B 0,1 và B ' 0,1 . Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó. e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác - Để biểu diễn cung , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Ð AM . + Nếu 2 360 , ta chọn điểm M sao cho ·AOM (theo chiều dương). + Nếu 2 , ta viết  k2 và ta chọn điểm M sao cho ·AOM  . Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc Ð đường tròn sao cho ·AOM (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo AM có thể 6 là giá trị nào sau đây? 5 13 11 A. B. C. D. 6 6 6 6 Lời giải Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và ·AOM 30 nên đây là góc tính theo chiều âm ·AOM theo chiều dương là 2 k2 k ¢ 6 11 k2 k ¢ 6 Ð 11 sđ AM k2 k ¢ 6 Vì k ¢ nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với k 2 ). Đáp án C. 10 Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): ; ; 3 3 5 7  ; . Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là: 3 3
  5. A. và  B. và  C. và  D.  và  Lời giải điểm cuối là M . 3 1 10 4  2 điểm cuối là M . 3 3 3 5  2 điểm cuối là M . 3 3 1 7  2 điểm cuối là M 3 3 4 Đáp án B Ví dụ 3: Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của là: 7 7 7 7 A. k B. k C. k2 D. k2 4 4 4 4 Lời giải Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là 7 k2 k ¢ . 4 Đáp án D. Ví dụ 4: Cho góc lượng giác OA;OB có số đo bằng . Trong các số sau, số 12 nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác OA;OB ? 13 25 49 19 A. B. C. D. 12 12 12 12 Lời giải 13 49 + ; 4 ; 12 12 12 12 25 19 7 + 2 ; . 12 12 12 12 Đáp án C.
  6. B. Các dạng toán điển hình Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 2,443B. 1,222C. 2,943D. 1,412 Lời giải Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian a 70 a rad 70 rad 1,222 rad 180 180 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ Radian: - Sau đó ấn: Đáp án B. 5 Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: rad . 6 A. 4744'47'' B. 3733'37'' C. 150 D. 30 Lời giải 180 5 5 180 Cách 1: Dùng công thức: a rad = a.  rad=  6 6 Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính. 5.180 Nhập biểu thức vào máy tính, sau đó ấn ta được kết quả là A. 6 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ: Sau đó ẩn: Đáp án A. Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho ·AOM 150 . Tính Ð diện tích hình giới hạn bởi điểm O và AM có thể là: 5 5 5 5 A. (đvdt)B. (đvdt) C. (đvdt)D. (đvdt) 3 6 9 12
  7. Lời giải 2 Diện tích hình tròn lượng giác là: S0 R (đvdt) Ð sđ AM 150 k360 ·AOM 150 (k ¢ ) Ð sđ AM 360 150 k360 210 k360 Ð 150 5 + sđ AM 150 S tp 360 12 Ð 210 7 + sđ AM 210 S tp 360 12 Ð Ð 5 + sđ AM 360 hoặc sđ AM 360 S (đvdt) 12 Đáp án D. Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm M1;M 2 ;M 3;M 4 sao cho ngũ Ð giác AM1M 2M 3M 4 là ngũ giác đều, sđ AM 3 là: A. 27 B. 144 C. 60 D. 120 Lời giải Vì AM1M 2M 3M 4 là ngũ giác đều nên 360 ·AOM M· OM M· OM M· OM M· OA 72 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Ð · · · sđ AM 3 AOM 3 AOM 4 M 3OM 4 144 Nếu M1, M 2 , M 3 , M 4 sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án không đổi. Đáp án B. Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm M1, M 2 , , M n thỏa mãn n điểm đó tạo thành một đa giác đều là: A. 0B. 1 C. 2 D. vô số Lời giải Để M1M 2 M n là đa giác đều thì 2 M· OM M· OM M· OM M· OM M· OM 1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1 n Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn:
  8. Ð 2 sđ AM k k ¢ n Vì là góc bất kì nên có vô số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án D. Ð Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo 8,18 . Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy? A. IB. IIC. IIID. IV Lời giải Ta có: 8,18 2,6 3 8,18 2,5 4 8,18 1,5 4 3 M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm và ) 2 Ð Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo . Với k ¢ ta có: + M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi k2 k2 2 + M nằm trong góc phần tư thứ hai khi k2 k2 2 3 + M nằm trong góc phần tư thứ ba khi k2 k2 2 3 + M nằm trong góc phần tư thứ tư khi k2 2 k2 2 Đáp án C. Ð Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM  . Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và ·AOD 0 . Cung Ð Ð AM có số đo   . Khi đó số đo của cung lượng giác AM1 là: A. 2  k2 B. 2  k2 C. 2 k2 D. 2 k2
  9. Lời giải Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M1 đối xứng với M qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác. Gọi giao điểm của d với O là D yD 0 Ð Ð Vì M1 đối xứng với M qua d sđ AM sđ DM1 Ð Ð Ð Ð Ð Ta có: MD AD AM sđ MD  sđ DM1  Ð Ð Ð Ð Lại có : AM1 AD DM1 sđ AM1  2  Ð sđ AM1 2  k2 Đây là trường hợp với 0 90,  có giá trị dương. Những trường hợp khác chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên Đáp án A. Ví dụ 8: Chọn điểm A 1;0 làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn 27 lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo . 4 A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư Lời giải Ð 27 3 3 sđ AM 6 ·AOM 4 4 4 M là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.
  10. Đáp án B. Ví dụ 9: Một đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường tròn có số đo (tính gần đúng đến hàng phần trăm). 16 A. 3,92B. 3,93C. 24,67D. 24,68 Lời giải Cung có số đo 1 rad có độ dài là R 20cm Cung có số đo rad có độ dài là: R 3,93cm . 16 16 Đáp án B. Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng qua trục tung B. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất D. Cung và cung a k2 k ¢ có cùng điểm biểu diễn Lời giải Điểm biểu diễn của cung và cung đối xứng nhau qua trục hoành. Đáp án B. 5 Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ Ox;Ou m2 và sđ 2 Ox;Ov n2 m,n ¢ . Chọn khẳng định đúng. 2 A. Ou và Ov đối xứng B. Ou và Ov vuông góc C. Ou và Ov trùng nhau D. Ou và Ov tạo với nhau một góc 4 Lời giải 5 Ta có: sđ Ox;Ou m2 2 m2 m 1 2 với m ¢ 2 2 2 Vậy n m 1
  11. Do đó Ou và Ov trùng nhau. Đáp án C.
  12. C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Xem đáp án chi tiết tại trang 268 Ð 2 Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M sao cho AM k2 . Khi đó 5 diện tích hình quạt OAM là: 2 A. B. 5 5 2 2 C. D. Không xác định. 5 3 1 Ð Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho M ; . Khi đó số đo cung AM 2 2 là: A. k2 B. k2 3 3 C. k2 D. k2 6 6 3 Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn k2 . Khi đó gọi 5 Ð M ', M '' lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi AM ' k2 ; Ð AM ''  k2 0 ,  2 . Giá trị  là: 9 7 A. 2 B. C. D. 5 5 5 Ð 7 Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn AM k2 , điểm 5 Ð 13 N thỏa mãn AN k2 . Gọi M ' là điểm đối xứng của M qua ON. Khi đó 12 Ð số đo AM ' là: A. 108 k360 B. 118 k360 C. 128 k360 D. 138 k360
  13. Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây không thuộc đường tròn lượng giác? 5 2 11 A. M 1;0 B. M ; 7 7 3 4 1 2 C. M ; D. M ; 5 5 2 2 Câu 6: Tính số đo của góc hình học u· Ov , biết góc lượng giác Ou;Ov có đo bằng 1945 . A. 145 B. 45 C. 145 D. 235 Câu 7: Tính số đo của góc hình học u· Ov , biết góc lượng giác Ou;Ov có đo bằng 2550 . A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Góc lượng giác Ou;Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dương B. Góc lượng giác Ou;Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác Ou;Ov có số đo âm C. Hai góc hình học u· Ov;u· 'Ov ' bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác Ou;Ov và Ou ';Ov ' sai khác nhau bội nguyên 2 11 13 D. Số đo Ou;Ov và số đo Ou ';Ov ' thì u· Ov u· 'Ov ' 6 6 Câu 9: Cho đường tròn bán kính R 2m . Khi đó độ dài cung có số đo 30 là: 2 5 A. m B. m C. m D. m 3 3 6 6 Ð Câu 10: Trong các hình sau, có bao nhiêu hình có tan AM không xác định?
  14. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 11: Góc 120 có số đo bằng radian là: 2 5 A. B. C. D. 3 3 6 6 68 Câu 12: Đổi số đo rad thành số đo độ ta được: 5 A. 2484 B. 4896 C. 2448 D. 4243
  15. §2. Giá trị lượng giác của một cung. Công thức lượng giác A. Lý thuyết và các dạng toán điển hình I. Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác 1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung ¼AM có sđ ¼AM (còn viết ¼AM ). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x; y x OH; y OK . Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α: sin sin y OK + Hoành độ x của M là cosin của góc α: cos cos x OH sin sin + Với cos 0 , tỉ số gọi là tang của góc α: tan tan cos cos cos cos + Với sin 0 , tỉ số gọi là cotang của góc α: cot cot sin sin - sin ,cos , tan ,cot gọi là các giá trị lượng giác của góc α. - Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin. 2. Hệ quả a. sin ,cos xác định với  ¡ , ta có: sin k2 sin k ¢ cos k2 cos k ¢ b. Vì 1 OK 1; 1 OH 1 nên ta có: 1 sin 1 1 cos 1 c. Với m ¡ mà 1 m 1 đều tồn tại và  sao cho sin m và cos  m
  16. d. tan xác định với  k k ¢ 2 cot xác định với  k k ¢ e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng ¼AM trên đường tròn lượng giác Góc phần tư I II III IV Giá trị 3 3 0; ; ; ;2 lượng giác 2 2 2 2 cos + sin + + tan + + cot + + 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 2 3 5 0 6 4 3 2 3 4 6 1 2 3 3 2 1 sin 0 1 0 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos 1 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 tan 0 1 3 | | 3 1 0 3 3 1 1 cot | | 3 1 0 1 3 | | 3 3 4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang a. Ý nghĩa hình học của tang Kẻ tiếp tuyến t ' At với đường tròn lượng giác tại A. Gọi T OM t ' At . Khi đó tan AT . Trục t ' At gọi là trục tang. b. Ý nghĩa hình học của cotang
  17. Kẻ tiếp tuyến s ' Bs của đường tròn lượng giác tại B. Gọi S OM  s ' Bs . Khi đó cot BS . Chú ý: tan k tan k ¢ cot k cot k ¢ Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức P sin x với x 420 . 3 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải 7 Ta có 420 2 3 3 3 P sin 420 sin 2 sin 3 3 2 Đáp án A. 81 Ví dụ 2: Giá trị của cot là: 4 2 2 A. B. 1 C. D. 1 2 2 Lời giải 81 Ta có: cot cot 20 cot 1. 4 4 4 Đáp án D. Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức P sin x x với x 390 là: 13 1 13 1 A. 390,5 B. 389,5C. D. 6 2 6 2 Lời giải
  18. 13 Ta có: 390 (rad) 6 13 13 13 13 1 13 P sin x x sin sin 2 sin . 6 6 6 6 6 6 2 6 Đáp án C. Ví dụ 4: Cho 0 . Tìm số khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 (1) sin .cos 0 3 (2) tan .sin 0 2 (3) tan 3 .cot 3 1 (4) cos3 0 (5) sin 2 0 A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Vì 0 điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất 2 sin 0;cos 0 sin .cos 0 (1) đúng. 3 3 0 (góc phần tư thứ ba) 2 2 2 3 3 tan 0 tan .sin 0 (2) sai. 2 2 sin tan 3 tan cos cos cot 3 cot sin tan 3 .cot 3 1 (3) đúng.
  19. 3 0 0 3 (góc phần tư thứ I, II và III) 2 2 Ở góc phần tư thứ I, cos3 0 (4) sai. 0 2 (góc phần tư thứ I, II) sin 2 0 (5) đúng. Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng. Đáp án C. II. Hệ thức lượng giác cơ bản sin 1. tan k ,k ¢ cos 2 cos 2. cot k ,k ¢ sin 3. sin2 cos2 1 2 1 4. 1 tan 2 k ,k ¢ cos 2 1 5. 1 cot2 k ,k ¢ sin2 6. tan .cot 1 k 2 1 k 7. cot tan 2 4 3 Ví dụ 1: Cho sin và . Giá trị của cos là: 5 2 3 3 3 9 A. B. C. D. 5 5 5 25 Lời giải 2 2 2 2 2 4 Ta có sin cos 1 cos 1 sin 1 5
  20. 3 cos 2 9 5 3 3 cos . Vì cos . 25 3 2 5 cos 5 Đáp án B. Ví dụ 2: Cho tan 2 . Khi đó giá trị sin .cos gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải 1 tan 2 1 tan2 1 4 5 cos 1 4 4 cos2 sin2 1 cos2 1 5 5 5 sin Mặt khác ta thấy tan 2 nên sin ,cos trái dấu cos 4 2 sin .cos . 25 5 Đáp án B. Ví dụ 3: Giá trị sin6 x cos6 x bằng giá trị nào sau đây? A. 1 2sin2 x.cos2 x B. sin4 x cos4 x sin2 x.cos2 x 1 1 C. D. 1 3sin2 x.cos2 x tan6 x 1 cot6 x 1 Lời giải 3 sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x 3sin2 x.cos2 x sin2 x cos2 x 1 3sin2 x.cos2 x STUDY TIP Hay sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin4 x sin2 x.cos2 x cos4 x +) sin6 x cos6 x sin4 x cos4 x sin2 x.cos2 x 1 3sin2 x cos2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +) sin4 x cos4 x sin x cos x 2sin x.cos x sin x.cos x 1 3sin x.cos x . 1 2sin2 x cos2 x
  21. Đáp án D. 1 sin2 a.cos2 a Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cos2 a . cos2 a A. 0B. 2C. 1D. 1 Lời giải 1 sin2 a.cos2 a Ta có: P cos2 a (ĐK: cos a 0 ) cos2 a sin2 a cos2 a sin2 a.cos2 a cos2 a cos2 a sin2 a 1 sin2 a cos2 a tan2 a 0 a thỏa mãn cos a 0 cos2 a Dấu “=” xảy ra sin a 0 cos a 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Đáp án A. Ví dụ 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x? A. sin2 x 2cos2 x B. 2 sin6 x cos6 x 3 sin4 x cos4 x C. tan2 x cot2 x 1 1 D. 2 sin2 x Lời giải STUDY TIP 2 2 2 2 2 2 Có thể thử các đáp án bằng + sin x 2cos x sin x cos x cos x 1 cos x (loại) MTCT. + 2 sin6 x cos6 x 3 sin4 x cos4 x 2 1 3sin2 x.cos2 x 3 1 2sin2 x.cos2 x 1 (thỏa mãn). Đáp án B.
  22. III. Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt 1. Cung đối nhau ( và ) STUDY TIP sin sin tan tan Cos - đối Sin - bù cos cos cot cot Phụ chéo 2. Cung bù nhau ( và ) sin a sin tan tan cos cos cot cot 3. Cung phụ nhau ( và ) 2 sin cos tan cot 2 2 cos sin cot tan 2 2 4. Cung hơn kém ( và ) 2 2 sin cos tan cot 2 2 cos sin cot tan 2 2 5. Cung hơn kém ( và ) sin sin tan tan cos cos cot cot
  23. 29 Ví dụ 1: Giá trị cos là: 3 3 1 3 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải 29 30 1 cos cos cos 10 cos cos 3 3 3 3 3 3 2 Đáp án B. 3 Ví dụ 2: Cho tan 2 . Giá trị của cot là: 2 1 1 A. B. 2C. D. 2 2 2 Lời giải Ta có: tan 2 tan 2 3 cot cot tan 2 2 2 Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn , ta được góc 1 , sau đó tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình ta được kết 3 tan Ans 2 quả như trên (để chế độ Radian). Đáp án D. Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức: B tan10.tan 20.tan 30 tan80 là: A. 1B. 1 C. 8 D. 8 Lời giải B tan10.tan 20.tan 30 tan80 cot80.cot 70.cot 60 cot10
  24. B2 tan10.cot10 tan 20.cot 20 tan80.cot80 1.1 1. 1 Mặt khác B 0 do tan10, tan 20, tan 30, , tan80 đều lớn hơn 0 B 1 Đáp án B. Ví dụ 4: Cho ABC . Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai? A. sin B sin A C B. cos B C cos A 2C 3A B C A B 2C 3C C. cos sin 2A D. tan cot 2 2 2 Lời giải Vì A B C nên sin B sin A C Vì A B C nên A 2C B C cos B C cos A 2C 3A B C 3A B C Vì sin (phụ chéo) 2 2 2 A B C 3A B C sin sin 2A 2 Vậy C sai. Đáp án C.
  25. IV. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng tan a tan b cos a b cos a cosb sin asin b tan a b 1 tan a tan b tan a tan b cos a b cos a cosb sin asin b tan a b 1 tan a tan b cot a cot b 1 sin a b sin a cosb cos asin b cot a b cot b cot a cot a cot b 1 sin a b sin a cosb cos asin b cot a b cot b cot a Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức A sin là: 3 4 6 2 6 2 6 2 6 2 A. B. C. D. 4 4 4 4 Lời giải 3 2 1 2 6 2 sin sin cos cos sin . . 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4 Đáp án A. 1 Ví dụ 2: Cho cos . Khi đó giá trị biểu thức B sin cos 3 4 4 là: 2 2 2 2 1 2 2 1 A. B. C. D. 3 3 3 3 3 3 Lời giải STUDY TIP Có thể dùng máy tính tìm sin sin cos cos sin 4 4 4 ra giá trị góc α thỏa mãn yêu cầu đề bài và tìm giá trị của biểu thức đã cho.
  26. cos cos cos sin sin 4 4 4 1 2 Khi đó B sin cos sin cos sin cos 0 . 2 . 4 4 4 4 3 3 Đáp án B. Ví dụ 3: Biểu thức A sin 3 cos không thể nhận giá trị nào sau đây? STUDY TIP A. 1B. 3 C. 2 3 D. 2 Công thức biến đổi: asin bcos Lời giải a a2 b2 sin 2 2 1 3 a b A sin 3 cos 2 sin . cos . 2 2 b cos 2 2 a b 2 sin .cos cos .sin 2sin 2 2 3 3 3 a b cos  sin 2 A 2 ( ) sin  cos Đáp án C. a (với cos  ; 2 2 a b Ví dụ 4: Cho ABC , trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng? b sin  ) A B C B C a2 b2 A. sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 a b .sin  tan2 A tan2 B B. tan A B tan C 1 tan2 Atan2 B C. cot Acot B cot B cot C cot C cot A 1 A B C A B C D. sin2 sin2 sin2 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Lời giải STUDY TIP A A B C B C B c Ta có thể thử A, B, C là bộ + sin cos cos cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 ba số bất kì thỏa mãn A B C và A, B,C tan2 A tan2 B không là các góc có giá trị + tan A B tan A B 1 tan2 Atan2 B đặc biệt vào từng đẳng thức và rút ra kết luận.
  27. tan A B tan A B tan A B tan C + cot Acot B cot B cot C cot C cot A 1 cot Acot B Có cot C cot A B cot A B cot A cot B cot Acot B cot C cot A cot B cot Acot B 1 cot Acot B Vậy D sai. Đáp án D. 2. Công thức nhân đôi sin 2a 2sin a cos a cos 2a cos2 a sin2 a 2cos2 a 1 1 2sin2 a 2 tan a tan 2a 1 tan2 a cot2 a 1 cot 2a 2cot a Hệ quả: * Công thức hạ bậc: * Công thức nhân ba: 1 cos 2a sin2 a 2 1 cos 2a 3 cos2 a sin 3x 3sin x 4sin x 2 3 cos3x 4cos x 3cos x 2 1 cos 2a tan a 3tan x tan3 x 1 cos 2a tan 3x 2 1 cos 2a 1 3tan x cot2 a 1 cos 2a a * Công thức chia đôi (tính theo tan ): 2 a 2t 1 cos a 1 t 2 2t Đặt tan t tan a ;t 2 cos a ;sin a 2 1 t 2 1 cos a 1 t 2 1 t 2
  28. 5 3 Ví dụ 1: Cho sin ; . Khi đó giá trị biểu thức 13 2 sin 2 cos 2 tan 2 gần nhất với giá trị nào? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải STUDY TIP 5 Có thể dùng máy tính dò Vì sin ; thuộc góc phần tư thứ III nên cos 0 . 13 kết quả góc α và dùng quan hệ giữa các cung 52 12 5 lượng giác đặc biệt để thỏa Vậy cos 1 tan 132 13 12 mãn yêu cầu đề bài và tính ra kết quả. 2 2 tan Có: sin 2 cos 2 tan 2 2sin cos 1 2sin 2 1,508 . 1 tan Đáp án D. Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A cos x.cos 2x.cos 4x cos 2n x ta được kết quả là: sin nx sin 2n 1 x sin n 2 x A. B. C. D. cos 2n 1 x nsin x 2n 1 sin x n 2 sin x Lời giải 1 Có A.sin x sin x.cos x.cos 2x cos 2n x sin 2x.cos 2x cos 2n x 2 1 1 sin 22 x cos 22 x cos 2n x sin 2n x cos 2n x 22 2n sin 2n 1 x A 2n 1 sin x Đáp án B.
  29. 2 4 6 Ví dụ 3: Cho cot a . Khi đó giá trị biểu thức K sin sin sin là: 14 7 7 7 a A. a B. 2 3 4a a2 1 3a2 1 a2 1 C. D. 3 2 2 a2 1 4a a 1 3a 1 Lời giải Ta có: 2 1 1 2 1 2a 6 2 a 1 tan sin a sin ;cos a 1 2 1 2 14 a 7 1 a 1 7 7 1 a 1 a2 a2 2 2 4a a 1 sin 2sin cos 2 7 7 7 a2 1 4 3 sin sin 3sin 4sin3 7 7 7 7 4 6 3 2 sin sin 4sin 4sin 4sin 1 sin 7 7 7 7 7 7 2 4sin .cos2 2sin cos 7 7 7 7 Khi đó: 2 2 2 2 4a a 1 2a2 2 a2 1 4a a 1 3a 1 K sin 2cos 1 2 . 2 3 7 7 a2 1 a 1 a2 1 Đáp án C.
  30. 3. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b sin a b cos a cosb 2cos cos tan a tan b 2 2 cos a cosb a b a b sin a b cos a cos a 2sin sin tan a tan b 2 2 cos a cosb a b a b sin a b sin a sin b 2sin cos cot a cot b 2 2 sin asin b a b a b sin b a sin a sin b 2cos sin cot a cot b 2 2 sin asin b 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 sin a cosb sin a b sin a b 2 1 sin asin b cos a b cos a b 2 1 cos a cosb cos a b cos a b 2 sin a sin 3a sin 5a Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức A là: cos a cos3a cos5a A. sin 3a B. cos3a C. tan 3a D. 1 tan 3a Lời giải sin a sin 3a sin 5a sin a sin 5a sin 3a A cos a cos3a cos5a cos a cos5a cos3a 2sin 3a cos 2a sin 3a sin 3a 2cos 2a 1 tan 3a . 2cos3a cos 2a cos3a cos3a 2cos 2a 1 Đáp án C.
  31. Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x? 2 4 A. cos x cos x cos x 3 3 2 4 B. sin x sin x sin x 3 3 2 2 2 2 4 C. cos x cos x cos x 3 3 2 2 2 2 4 D. sin x sin x sin x 3 3 Lời giải 2 4 +) sin x sin x sin x 3 3 4 2 sin x sin x sin x 3 3 2 2 2 2sin x cos sin x 3 3 3 2 2 sin x 2cos 1 0 3 3 2 2 2 2 4 +) cos x cos x cos x 3 3 4 8 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 3 3 2 2 2 3 1 8 4 cos 2x cos 2x cos 2x 2 2 3 3 3 1 4 4 4 3 2cos 2x cos cos 2x 2 2 3 3 3 2 2 4 +) cos x cos x cos x 3 3
  32. 2 2 2 2cos x cos cos x 0 3 3 3 Đáp án D. Ví dụ 3: Giá trị của tổng 1 1 1 S khi a là: cos a cos 2a cos 2a cos3a cos na cos n 1 a n 1 1 1 A. B. C. 1 cos D. 1 cos cos cos n 1 n n 1 n Lời giải Ta có: sin 2a a sin 3a 2a sin n 1 a na S.sin a cos a.cos 2a cos 2a.cos3a cos na cos n 1 a tan 2a tan a tan 3a tan 2a tan a n 1 tan na tan n 1 a tan a tan tan a tan a tan a 1 1 S sin a cos a cos n 1 Đáp án A.
  33. Câu 5: Cho 5sin 12cos 13. Khi đó giá trị tan B. Bài tập rèn luyện kĩ năng là: Xem đáp án chi tiết tại trang 268 5 5 12 13 Câu 1: Cho phương trình: A. B. C. D. 12 13 13 12 5 cos 2 x 4cos x . Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn 3 6 2 cos x asin x 1 A có giá trị lớn nhất là 1? cos x 2 Nếu đặt t cos x phương trình đã cho trở thành 6 A. 0B. 1C. 2D. 3 phương trình nào dưới đây? Câu 7: Cho  . Tính giá trị: A. 4t 2 8t 3 0 B. 4t 2 8t 3 0 6 C. 4t 2 8t 5 0 D. 4t 2 8t 5 0 cos cos  2 sin sin  2 P . sin cos  2 sin  cos 2 2 Câu 2: Với tan , giá trị biểu thức: 2 A. P 2 3 B. P 2 3 3 sin2 2 cos2 A là: C. P 3 2 D. P 3 2 3 cos2 2 sin2 Câu 8: Rút gọn biểu thức: 3 2 2 3 2 2 A. B. A 4sin xsin x sin x ta được kết quả 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 bằng: C. D. 2 3 2 2 3 2 A. sin x B. sin 3x C. sin x D. sin 3x Câu 3: Cho tan 3 , giá trị biểu thức: Câu 9: Tính sin2 2x biết: sin cos2 cos3 A là 3 3 1 1 1 1 cos sin 7 tan2 x cot2 x sin2 x cos2 x 3 1 3 1 A. 0B. C. D. 1 4 8 2 16 1 3 3 1 3 3 A. B. C. D. 9 9 9 9 cot tan 3 1 Câu 4: Tính A với cos . Câu 10: Tổng: cot tan 2 1 1 1 1 S là: 2 2 sin a sin 2a sin 4a sin 22018 a A. 1 3 B. 1 3 C. D. 1 3 1 3 a a A. tan tan 22018 a B. cot cot 22018 a 2 2
  34. a a tan B sin2 B C. tan tan 2018a D. cot cot 2018a Câu 17: Cho ABC có . Khi đó xác 2 2 tan C sin2 C Câu 11: Thu gọn biểu thức: định dạng của ABC . Chọn câu trả lời đúng nhất. S cos cos3 cos5 cos 2n 1 với A. ABC vuôngB. ABC cân k C. ABC đềuD. A và B đều đúng sin 2n sin n b c a A. B. Câu 18: Cho ABC có . Khi đó 2sin sin cos B cosC sin C ABC là: cos 2n cos n C. D. 2cos cos A. tam giác vuôngB. tam giác cân Câu 12: Cho sin 2a b 5sin b . C. tam giác nhọnD. tam giác tù Câu 19: Cho ABC có: 2 tan a b Khi đó giá trị là: sin A sin B 1 tan a tan A tan B . cos A cos B 2 3 A. 1B. C. 3 D. 3 Khi đó ABC là: 3 A. tam giác vuôngB. tam giác cân Câu 13: Giả sử sin6 x cos6 x a bcos 4x với a,b ¡ . Khi đó tổng a b bằng: C. tam giác nhọnD. tam giác tù 3 5 3 Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu A. B. C. 1 D. 8 8 4 thức A sin x 5 lần lượt là a, b. Khi đó tích a.b là: Câu 14: Nếu tan và tan  là 2 nghiệm của phương A. 24B. 24 C. 0D. 25 2 trình x px q 0 và cot và cot  là 2 nghiệm của Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 phương trình x rx s 0 thì r.s bằng: A tan x cot x 1 là: 1 p q A. pq B. C. D. A. 2B. 4C. 3D. 1 pq q2 p2 Câu 22: Biểu thức y 3sin x 4cos x đạt giá trị nhỏ Câu 15: Cho ABC . Tìm GTLN của biểu thức: nhất khi sin x a,cos x b . Khi đó a, b là nghiệm của A cos A cos B cosC phương trình: 3 3 7t 12 7t 12 A. 1B. C. 2D. A. t 2 0 B. t 2 0 2 2 5 25 5 25 C. t 2 t 0 D. t 2 t 0
  35. Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1 Câu 30: Tập giá trị của hàm số y cos x là: nhất của A cos 2x 3 sin 2x 1 . Khi đó giá trị 2cos x M m là: 1 A. 0; B. 0; 2 A. 4B. 3C. 4D. 2 1 Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C. ; D. 0; 2 1 2 A sin2 x sin x 3 là: Câu 31: Có bao nhiêu giá trị m để biểu thức 11 A. B. 3C. 4D. 2 f x sin2 x msin x m có giá trị nhỏ nhất là 5? 4 Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A. 0B. 1C. 2D. Vô số 3 A cos2 x 4cos x 3 là: Câu 32: Biểu thức A sin bằng: 10 A. 1 B. 3C. 0D. 8 4 A. cos B. cos Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 5 5 biểu thức A sin2 x 3sin x 2 . Khi đó tổng M m C. 1 cos D. cos là: 5 5 A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 33: Biểu thức A cos15 bằng: x2 y2 6 2 6 2 Câu 27: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 1. A. B. 9 4 4 4 Khi đó min P x 2y 1 bằng: 3 2 3 2 C. D. A. 3 1 B. 1 3 C. 4 D. 3 2 2 Câu 28: Nếu tan và tan  là hai nghiệm của phương Câu 34: Cho cos15 t . Khi đó biểu thức 2 5 7 trình x px q 0 ( q 1) thì tan  bằng sin .sin là: 12 12 p p 2 p 2 p A. B. C. D. A. t 1 t 2 B. t 2 q 1 q 1 1 q 1 q 4 2 5 C. t 1 D. t 1 t Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x sin x Câu 35: Biểu thức A sin 5 a bằng: gần với giá trị nào sau đây? A. sin a B. cos a A. 3B. 4C. 5D. 6 C. sin a D. cos a
  36. 1 Câu 36: Cho tan 3 và . Khi đó ta có: Câu 41: Nếu sin và 0 thì cos bằng: 2 3 2 3 10 3 8 2 2 1 A. cos A. B. C. D. 10 2 9 3 3 10 cot 3tan B. cos Câu 42: Giá trị biểu thức G khi 10 2cot tan 2 3 10 cos là: C. sin 3 10 4 4 19 19 D. Không xác định góc A. B. C. D. 3 3 13 13 Câu 37: Cho cot x 2. Khi đó giá trị biểu thức: 8cos3 a 2sin3 a cos a Câu 43: Giá trị biểu thức A sin4 x cos4 x 2cos a sin3 a A là: sin4 x cos4 x khi tan a 2 là: 11 7 17 3 3 3 3 3 A. B. C. D. A. B. C. D. 5 5 15 7 2 2 2 2 Câu 38: Rút gọn biểu thức: Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m để: 3 6 6 4 4 2 2 A cos 7 x 3sin x cos x sin x P m sin cos sin cos 12sin cos 2 2 không phụ thuộc vào ? ta được kết quả là: A. 0B. 1C. 2D. 3 A. 5cos x B. 3sin x 16 1 16 1 Câu 45: Cho 33 ( C. 2cos x D. 2sin x 4cos x sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x Câu 39: Rút gọn biểu thức: 0 x ). Khi đó giá trị tan 5x là: 2 4 3cos2 x A sin6 x cos6 x ta được kết quả là: 2 79 79 cot x 1 A. B. C. 13 D. 13 3 3 A. 0B. 1C. 1 D. cos x sin4 x cos4 x cos2 x 1 Câu 46: Biểu thức A được rút Câu 40: Nếu sin và thì tan bằng: 2 1 cos2 x 3 2 gọn thành A cos2 . Khi đó góc bằng: 1 8 2 2 A. B. C. D. 9 4 4 2 A. 2 B. C. D. 3 4 6
  37. 1 A. 9B. 8C. 1D. 0 Câu 47: Cho sin a cos a với a . Giá trị 2 2 Câu 54: Giá trị của biểu thức: của tan 2a là: A cos 20 cos 40 cos160 cos180 là: 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 7 7 4 A. 0B. 1 C. 9D. 8 Câu 55: Giá trị biểu thức: Câu 48: Tính giá trị biểu thức P sin4 a cos4 a biết 2 2 n sin 2a . A. A cos .cos cos với n 2018 3 2n 1 2n 1 2n 1 là: 1 9 7 A. B. 1C. D. 1 1 1 1 3 7 9 A. B. C. D. 4036 22018 2 2018 Câu 49: Giá trị của biểu thức cos15.cos 45.cos75 là: 2 1 3 2 2 2 2 Câu 56: ABC có B C và sin B cosC A. B. C. D. 3 4 10 4 2 8 . Khi đó giá trị B C là: Câu 50: Giá trị A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60 là: A. B. C. D. 6 3 3 6 4sin10 8cos 20 A. B. sin B 2cos A cosC 3 3 Câu 57: ABC có . Khi đó sin C 2cos B cosC 4 3 ABC là tam giác nào sau đây? C. D. 4 3 A. tam giác cânB. tam giác vuông Câu 51: cos10 là nghiệm của phương trình nào sau C. tam giác đềuD. tam giác tù đây? A. x3 3x2 2 0 B. x3 x 1 0 C. 4x3 3x 3 0 D. 8x3 6x 3 0 sin a sin 3a sin 5a Câu 52: Thu gọn biểu thức A cos a cos3a cos5a ta được: A. sin 3a B. cos3a C. tan 3a D. 1 tan 3a Câu 53: Giá trị của biểu thức: A cos2 10 cos2 20 cos2 30 cos2 180 là:
  38. 5 BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III Câu 6: Đổi số đo sang đo độ ta được: 3 Xem đáp án chi tiết tại trang 274 A. 300°B. 600°C. 150°D. 120° Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung Câu 7: Số đo radian của góc 15° là: có số đo: 15 27 20 A. B. C. D. (I) (II) (III) (IV) 6 12 15 18 7 7 7 7 Các cung nào có điểm cuối trùng nhau? Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo Ox;Oz 25 thì hai tia Ox và Oz: A. Chỉ I, IIB. Chỉ I, II, III A. vuông góc với nhauB. trùng nhau C. Chỉ I, II, IVD. Cả I, II, III, IV Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm. Độ dài cung C. đối nhauD. tạo với nhau góc 4 tròn có góc ở tâm bằng 150° là: Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có 25 50 A. B. 3 3 bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ¼AM k ? 6 5 70 C. D. Đáp án khác A. 10B. 12C. 6D. 5 3 Câu 10: Trong khoảng thời gian là 5 giờ thì kim giây Câu 3: Một cung thuộc đường tròn, cung đó có số đo của đồng hồ quay được một góc có số đo là: 3 và dài 3 . Khi đó đường kính đường tròn đó là: 7 A. 6480000°B. 3240000° A. 7B. 14C. 7 D. 14 C. 108000°B. 54000° Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam 20cm. Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là giác vuông ABC (vuông tại A). Cho sđ ¼AM k2 không đổi và bằng 18km/h. Trong một thời gian bao 6 nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần ( k ¢ ). Khi đó số đo cung AC có thể nhận giá trị nào? nhất. 5 7 5 11 A. B. C. D. A. 0,01 (s)B. 0,02 (s)C. 0,1 (s)D. 0,2 (s) 6 6 6 6 Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm. Khi đó số đo Câu 12: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) có bao của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp k nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ¼AM ( k ¢ )? đường tròn đó là: 4 3 3 A. 2B. 4C. 8D. Vô số A. 2πB. 3 3 C. D. 2 3
  39. 25 C. 2D. Chưa đủ dữ kiện Câu 13: Góc lượng giác Ou;Ov có số đo góc là 7 Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng thì số đo góc hình học u· Ov là: giác gốc A cho sđ ¼AM k2 ;k ¢ . Xác định vị trí 11 3 3 4 A. B. C. D. của M biết sin 1 cos2 và cos 1 sin2 . 7 7 7 7 A. M thuộc góc phần tư thứ I Câu 14: Góc lượng giác Ou;Ov có số đo góc là 3230° B. M thuộc góc phần tư thứ II thì số đo góc hình học uOv là: C. M thuộc góc phần tư thứ I và II A. 10°B. 170°C. 190°D. 120° D. M thuộc góc phần tư thứ III Câu 15: Xét góc lượng giác OA;OM trong đó Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm M M Ox;Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để Ð 3 sao cho AM k2 k Z ; . tan ,cot cùng dấu? 2 A. I và IIIB. I và IV Xét các mệnh đề sau: C. II và IVD. Cả I, II, III và IV I. cos 0 II. sin 0 2 2 Câu 16: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Với 3 tia Ou, Ov, Ow ta có sđ Ou;Ov + sđ III. cot 0 2 Ov;Ow = sđ Ou;Ow k2 ( k ¢ ) A. 0B. 1 C. 2 D. 3 B. Với 3 tia Ou, Ov, Ox ta có: sđ Ou;Ov = sđ Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc Ox;Ov - sđ Ox,Ou k2 k ¢ Ð A với hệ trục tọa độ Oxy. Nếu sđ AM k thì 3 C. Với M là điểm trên đường tròn lượng giác hoành độ của điểm M là: M Ox,Oy thì với ¼AM ta có sin ,cos cùng 1 3 1 dấu M thuộc góc phần tư thứ I và III. A. B. C. D. 1 2 2 2 D. Với mọi góc α làm cho tan xác định thì nó cũng Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức tan x 5cot x làm cho cot xác định là: Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với A. 2 5 B. 6C. 5D. 3 ¼AM . Khi đó có bao nhiêu điểm N với »AN  thỏa mãn cos cos  . (N không trùng với M) Câu 22: Nếu tan và tan  là hai nghiệm của phương trình x2 px q 0 q 0 thì giá trị A. 0B. 1
  40. P cos2  psin  .cos  qsin2  A. 2B. 3C. 5D. 6 bằng: Câu 28: Tính p M cos cos 120 cos 120 . A. pB. qC. 1D. q A. 0B. 2 C. 2 D. 1 1 Câu 23: Giá trị của biểu thức f x là: tan x Câu 29: Đơn giản sin x y cos y cos x y sin y ta được: A. ¡ B. ¡ \ 0 A. cos x B. sin x C. 0; D. ;0 C. sin x cos 2y D. cos x cos 2y Câu 24: Có bao nhiêu cặp giá trị sin x,cos x thỏa mãn Câu 30: Cho cos18 cos78 cos  . Giá trị dương sin2018 x cos2017 x 1. nhỏ nhất của là: A. 1B. 2C. 3D. 4 A. 62B. 28C. 32D. 42 sin x 3 cos x 2 4 5 Câu 25: Giá trị của biểu thức A là Câu 31: ABC có cos A ;cos B . Khi đó cosC sin x cos x 2 5 13 a;b . Khi đó tổng a b là: bằng: 16 56 16 36 A. B. C. D. A. 5 3 B. 5 3 C. 2 D. 2 65 65 65 65 Câu 26: Có bao nhiêu đẳng thức cho dưới đây là đồng Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị tan x;cot x thỏa mãn nhất thức? tan x cot x 10 . 1. cos x sin x 2 sin x A. 0B. 1C. 2D. 4 4 5 Câu 33: Cho sin x cos x . Khi đó sin x cos x có giá 2. cos x sin x 2 cos x 4 4 trị là: 9 3 5 3. cos x sin x 2 sin x A. 1B. C. D. 4 32 16 4 1 4. cos x sin x 2 sin x Câu 34: cos x sin x và 0 x thì 4 2 p q A. 1B. 2C. 3D.4 tan x với cặp số nguyên p q là: 3 Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A. 4;7 B. 4;7 C. 8;14 D. 8;7 A sin4 x 2sin2 x 3 là:
  41. Câu 35: Cho tan cot m . Khi đó giá trị Câu 47: Rút gọn: cot3 tan3 là: 1 1 1 1 1 1 3 3 A cos x 0 x ta được: A. m 3m B. m 3m 2 2 2 2 2 2 2 3 3 C. 3m m D. 3m m x x x x A. cos B. cos C. cos D. cos 2 16 8 4 2 sin tan Câu 36: Kết quả rút gọn A 1 là: cot 1 Câu 48: Trong các hình quạt cùng diện tích S, hình có chu vi nhỏ nhất là: A. 2B. 1 tan S S 1 1 A. B. S C. 4 S D. C. D. 2 8 cos2 sin2 Câu 50: Một dây cuaroa nối 2 bánh xe tâm I và J (như 3sin 2cos Câu 37: Cho cot 3 . Khi đó A hình vẽ), bán kính lần lượt là R và R . Biết 12sin3 4cos3 1 2 bằng: IJ 8 cm ; R1 1 cm ; R2 5 cm . Khi đó chiều dài 1 5 3 1 dây là: (làm tròn đến 2 chữ số thập phân) A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 38: Cho tan cot m với m 2 . Khi đó tan cot bằng: A. m2 4 B. m2 4 C. m2 4 D. m2 4 2rs Câu 39: Nếu tan với là góc nhọn và r 2 s2 A. 39,86 B. 36,89 C. 40,12 D. 38,99 r s 0 thì cos bằng: r r 2 s2 A. B. s 2r rs r 2 s2 C. D. r 2 s2 r 2 s2 Câu 46: Giá trị tan x cot x bằng: 2 1 1 2 A. B. C. D. sin 2x sin 2x cos 2x cos 2x
  42. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 6 7 3 I. Cung và góc lượng giác  ·AOM 2 108 5 5 Câu 1: Đáp án A Ð Khi đó AM ' 2  k360 2 2 30 108 k360 138 k360 S 5 . R (đvdt). AOM 2 5 Câu 5: Đáp án D 2 2 Câu 2: Đáp án D M x; y x y 1 Vì M ' đối xứng với M qua Ox nên Thử các trường hợp ta thấy D Ð Ð 3 AM' AM k2 k2 , 5 không thỏa mãn. hay Câu 6: Đáp án A Ð 3 7 AM' 2 k2 k2 Ta có: 5 5 7 1945 145 5 .360 . 5 Ð Vì số đo hình học u· Ov luôn dương Gọi AM k2 . M '' đối xứng với M qua Oy nên · Ð Ð 3 và 0 uOv 180 nên 3 AM'' BM k2 k2 Khi đó x cos ; 5 u· Ov 145 (giá trị âm hay dương 2 2 9   . của góc lượng giá cho ta biết chiều 1 5 5 y sin quay từ Ou đến Ov ; còn về độ lớn 2 Câu 4: Đáp án D hình học thì bằng (với M thuộc góc phần tư thứ IV 180 u·O 180 và là độ lớn 0 của góc nhỏ nhất khi quay từ Ou 2 đến Ov, nếu 0 thì độ lớn là Ð AM k2 ). 6 6 Câu 7: Đáp án A Cách khác: Bấm máy tính thử từng Ta đưa về các góc thỏa mãn điều trường hợp với sin, cos các góc. kiện trong công thức tính nhanh. 2550 360.7 30 u· Ov 30 Có thể dùng máy tính để tìm ra góc Câu 3: Đáp án C Theo công thức, ta có: ·AON ' cần tìm. Ví dụ như ở trên, ta nhập ( NN ' là đường kính đường tròn) vào màn hình biểu thức 13 15 2550  R360 , ấn phím " " ta 12 12 được kết quả là 7, R 30, nghĩa là
  43. số dư khi chia 2550 cho 360 là 30, II. Giá trị lượng giác của một Câu 3: Đáp án B chịn đáp án A. Nếu góc đã cho âm cung . Công thức lượng giác sin cos2 cos3 thì lấy số đối của góc đó và làm A Câu 1: Đáp án A cos3 sin3 bình thường. sin cos2 cos3 5 3 Trường hợp ra số dư R 180 ta cos 2 x 4cos x cos 3 6 2 cos3 sin3 lấy 360 R được kết quả là góc cos3 cos 2 x 4cos x cần tìm. 3 6 tan 1 3 1 5 3 Câu 8: Đáp án C 0 1 tan 1 3 3 2 Câu 9: Đáp án A Câu 4: Đáp án A 2 1 2cos x Chu vi đường tròn là: 6 cot tan A 5 cot tan 2 R 4 m 4cos x 0 6 2 cot tan sin cos Độ dài cung cot tan sin cos Đặt t cos x thì phương cos2 sin2 30 6 2cos2 1 l 4 . m . sin2 cos2 260 3 trình trở thành: 4 2 3 2. 1 1 3 Câu 10: Đáp án C 3 2t 2 4t 0 4t 2 8t 3 0 4 Ð 2 Ð sin AM Câu 5: Đáp án A tan AM Ð không xác Câu 2: Đáp án A cos AM 5sin 12cos 13 Vì cos 0 nên chia cả tử và mẫu 2 2 định sin cos 1 cho cos2 ta được: Ð 5sin 13 12cos cos AM 0 hay hình chiếu của 2 2 3 tan2 2 5sin 5cos 25 M là Ox là O. Vậy hình 2 và hình A 3 2 tan2 Ð 5sin 13 12cos 4 có tan AM không xác định. 3 2 2 3 2 2 13 12sin 25cos2 25 Câu 11: Đáp án A 2 2 2 3 2 3 120 2 2 5sin 13 12cos 120 . rad rad . 180 3 12 Cách làm chung: Nhân hoặc chia cos 13 Câu 12: Đáp án C cả tử và mẫu với một giá trị phù 68 68 hợp để xuất hiện tan ,sin , 5 rad .180 2448. sin 13 5 5 5 cos ,cot . tan 12 12 cos Thay số rồi tính. 13
  44. Cách làm chung: Cho sin a,cos a 1 2 1 1 1 A 4sin x. cos 2x cos S thỏa mãn một đẳng thức nhất định, 2 3 sin a sin 2a sin 4a khi đó ta kết hợp với 2sin x cos 2x sin x 1 2018 3 sin 2 a sin2 a cos2 a 1 ta được hệ 3sin x 4sin x sin 3x a cot cot a cot a cot 2a phương trình 2 ẩn sin a,cos a . Từ Câu 9: Đáp án B 2 đó tính được sin a,cos a . 2017 2018 Ta có: cot 2 a cot 2 a a 2018 Câu 6: Đáp án C 1 1 cot cot 2 a 2 2 2 cot x tan x 2 2 7 Acos x 2A cos x asin x 1 cos x sin x 2 2 Câu 11: Đáp án A asin x cos x 1 A 2A 1 tan x 1 cot x 1 1 1 2S sin 2sin cos 2sin cos3 a2 1 A 2 2A 1 2 + 9 cos2 x sin2 x + +2sin cos 2n 1 2 2 3A 2A a 0 1 2 2 9 sin 2 sin 2 sin 4 sin2 x cos2 x Để giá trị lớn nhất của A là 1 thì (1) sin 4 sin 6 2 2 2 9 sin 2 2n sin 2n có một nghiệm bằng 1 sin x cos x 2 2 sin 2n 3 2 a 0 a 1 thay sin2 x cos2 x 9 sin 2n vào 1 ta được: 3A2 2A 1 0 S 8 2sin sin2 2x 4sin2 x cos2 x 1 9 Câu 12: Đáp án D A 1 (thỏa mãn) Câu 10: Đáp án B 3 Ta có: Sử dụng công thức: Vậy a 1 tan a b ain a b cos a 1 x Câu 7: Đáp án B cot cot x tan a cos a b sin a sin x 2 2 2 cos cos  sin sin  2 x 2 x 1 P 1 tan 1 tan sin 2a b sin b 2 1 2 sin cos  sin  cos 2 x x x 1 2 tan tan 2 tan sin 2a b sin b 2 2cos  2 2 2 2 2 2sin  x 1 (công thức tính theo tan ) .6sin b 2 3 2 tan a b 2 3 2 2cos 1 .4sin b 2 tan a P 6 2 3 Khi đó: 2 2 2sin 6 Câu 13: Đáp án C Câu 8: Đáp án B Ta có:
  45. 6 6 2 ABC đều sin x cos x B C 3 3 3 sin2 x cos2 x 1 cos A.cos B.cosC A B C max 8 3sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 3 3 ABC đều 1 3sin2 x cos2 x 1 sin2 2x Câu 16: Đáp án B 4 Câu 17: Đáp án D 3 1 cos 4x 5 3 cos A cos B cosC 1 cos 4 x tan B sin B cosC 4 2 8 8 cos A cos B .1 . tan C sin C cos B 5 3 cos Acos B sin Asin B a ;b sin B cosC sin2 B 8 8 . cos A cos B .1 sin Asin B sin C cos B sin2 C Câu 14: Đáp án C cos Acos B cosC sin B Theo hệ thức Vi – et ta có: 1 2 cos A cos B 12 cos B sin C tan tan  p;tan .tan  q; 2 1 (vì sin B,sin C 0 ) cot cot  r;cot .cot  s sin2 A sin2 B cos Acos B 2 r.s cot .cot  cot cot  cosC.sin C cos B.sin B 3 sin 2B sin 2C 1 1 1 (bất đẳng thức AM GM ) 2 B C tan .tan  tan tan  2B 2C Dấu " " xảy ra 1 tan tan  2B 2C B C . 2 tan .tan  tan .tan  cos A cos B 1 B C tan tan  p sin A sin B tan .tan  2 q2 A 2 Câu 15: Đáp án B A B t / m 3 Suy ra, ABC cân tại A hoặc Ta có: Chú ý: Thông thường biểu thức ABC vuông tại A. 1 trong tam giác đạt một giá trị lớn sin Bsin C Câu 18: Đáp án A 2 nhất (hay nhỏ nhất) với 3 góc A, B, 1 1 Hệ thức lượng trong tam giác cos B C cos B C C có vai trò như nhau khi 3 góc đo vuông: 2 2 bằng nhau. 1 1 1 cos B C a b c 2 4 2 Ví dụ: 2R sin A sin B sin C 1 cos B C 3 3 a 2Rsin A 2Rsin B C ; sin A sin B sin C 2 max 2 b 2Rsin B;c 2Rsin C Mà 0 B C ABC đều Khi đó thay vào đẳng thức đã cho tan A tan B tan C 3 3 ta được: min
  46. 2Rsin B 2Rsin C 2Rsin B C 1 cos Acos B sin Asin B tan x cot x 1 3 cos B cosC sin Bsin C =2cos Acos B tan x cot x 1 1 sin B sin C sin B C cos Acos B sin Asin B 1 tan x cot x 1 1 cos B cosC sin Bsin C cos A B A B sin B cosC sin C cos B Dấu " " xảy ra cos B cosC ABC cân tại C tan x cot x 1 sin B C Chú ý: Một số hệ thức trong tam Câu 22: Đáp án A sin Bsin C giác cân: sin B C sin B C Gọi góc thỏa mãn A B cos B cosC sin Bsin C a tan A b tan B a b tan 2 3 4 cos B cosC sin Bsin C cos ;sin . 2 cos B cosC sin Bsin C 0 2 tan B tan C tan B tan C 5 5 C 2sin Asin B cos B C 0 cot Khi đó 2 sin C B C A sin B f x 5 sin x cos cos xsin 2 2 2cos A sin C =5sin x 5 y 5 ABC vuông tại A. Câu 20: Đáp án A 3sin x 4cos x 5 f x Câu 19: Đáp án B min 2 2 Ta có: sin x cos x 1 tan A tan B 5 4cos x 1 sin x 1 6 sin x 5 4 sin x 1 sin Acos B sin B cos A 3 4 sin x 5 6 cos Acos B 2 2 sin x cos x 1 2 sin A sin B a 4;b 6 ab 24 =2 Thế (1) vào (2), giải hệ ta có cos A cos B Câu 21: Đáp án D nghiệm: sin A B Ta có: C 3 4 Giả thiết 2cot sin x ;cos x cos Acos B 2 tan x cot x tan x cot x 5 5 7 12 C C C (vì tan x,cot x cùng dấu) a b ;ab 2sin cos 2cos 5 25 2 2 2 cos Acos B C sin 2 tan x.cot x 2 a, b là nghiệm của phương 2 7t 12 (Bđt AM-GM) trình t 2 0 C sin2 cos Acos B 5 25 2 Dấu " " xảy ra 1 cosC 2cos Acos B Cách khác: Áp dụng bđt tan x cot x tan x cot x 1 Buniacopxki ta có: 1 cos A B 2cos Acos B tan x.cot x 1 tan x cot x 2 Khi đó tan x cot x 2
  47. 3sin x 4cos x 2 2 cos 2x 3 sin 2x 2 Dấu " " xảy ra cos x 2 (sai) 32 42 sin2 x cos2 x 25 3 cos 2x 3 sin 2x 1 1 Cách giải: 5 3sin x 4cos x . 0 cos 2x 3 sin 2x 1 3 Đặt cos x t . Dấu " " xảy ra M 3;m 0 M n 3 Khi đó A t 2 4t 3 sin x cos x Nhận xét: Với biểu thức trong dấu 3 4 (với 1 t 1) giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là hai 2 2 sin x cos x 1 2 số thực khác nhau: Ta có A t 2 1 mặt khác, 3 2 sin x - Nếu a A b;ab 0 thì 1 t 1 nên t 2 1. 5 f x max 0 A a nếu a b hoặc 4 Do đó A 0 cos x 5 b A a nếu a b . Vậy Amin 0 3 sin x - Nếu a A b;ab 0 thì nếu 5 * Cách tính giá trị max, min của f x min 4 a b hoặc 0 A b nếu cos x các hàm số bậc 2 ẩn sin x (hoặc 5 a b . cos x ) dạng at 2 bt c 3 4 a ;b - Nếu 1 trong 2 số bằng 0, giả sử ( a 0;t sin x hoặc 5 5 a 0, khi đó 0 A b t cos x t 1) : Tổng quát: Hàm số Câu 24: Đáp án A b y asin x bcos x a,b ¡ luôn - Nếu 1 1: 2a Ta có: có y2 a2 b2 + a 0 min của hàm số đạt tại sin2 x sin x 3 sin x cos x b Dấu " " xảy ra 2 t , max của hàm số đạt tại 1 a b 1 11 11 2a sin x 2 4 4 trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần Câu 23: Đáp án B  1 sin x 1 b Ta có: với hơn thì hàm số đạt max Dấu " " xảy ra 2a 2 tại đó. 2 1 cos 2x 3 sin 2x 1 3 2 sin x t / m 2 + a 0 max của hàm số đạt tại Dấu " " xảy ra b sin 2x Câu 25: Đáp án C t , min của hàm số đạt tại 1 cos 2x 2a 3 Cách làm sai: trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần 2 b cos x 4cos x 3 với hơn thì hàm số đạt min 2 2a cos x 2 1 1 tại đó.
  48. b Khi đó P 3sin a 4cos a 1 a -Nếu 1 2 giá trị lớn nhất Tổng quát: f x sin x 2a 5 1 P 5 1 4 P 6 sin x và nhỏ nhất nằm ở 2 đầu mút, đầu đạt GTNN: Vậy min P 4 mứt nào làm cho hàm số lớn hơn + a 1 hoặc a 1 thì thì đạt max, còn lại là min. Ví dụ ở Dấu " " xảy ra f x sin x 1 câu 15, min của hàm số đạt tại min sin a cos a 1 sin x , khi đó 1 cách giá trị 3 4 + 0 a 1 thì 2 3sin a 4cos a 5 1 f x 2 a sin2 x a xa hơn max của hàm số đạt 3 4 min 2 sin a ;cos a t / m 5 5 + 1 a 0 thì tại 1, khi đó max A 5 . Còn ở Câu 28: Đáp án A 4 f x 0 sin2 x a câu 16. 2 1, khi đó max, min 2 Vì tan , tan  là hai nghiệm của Câu 30: Đáp án B min của A đạt được khi phương trình x2 px q 0 nên Ta có min y 0 cos x 1; Amin 0 cos x 1 theo định lí Viet, ta có tan tan  p 2 1 Câu 26: Đáp án D cos x t / m tan .tan  q 2 Xét hàm số y sin2 x 3sin x 2 tan tan  p 1 b tan  cos 0 thì có 1,5 1. 1 tan tan  q 1 2cos x 2a Câu 29: Đáp án D 1 Hoặc Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất, ĐKXĐ: sin x 0 2cos x giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi 1 sin x 1;sin x 1. 5 sin2 x 5 cos x f x sin x 2cos x sin x sin x Với sin x 1 y 4 Câu 31: Đáp án A sin2 x 1 4 Với sin x 1 y 2 sin x +) Áp dụng câu 25, ta có: 4 y 2 0 y 4 2 sin x 4 m b®t AM-GM 1 1 2 m 2 sin x 2 M 4;m 0 M m 4 m2 m2 m2 f x m m 4 min Câu 27: Đáp án C =2 6 (vì 0 sin x 1) 4 2 4 sin x m2 2 2 f x 5 m 5 x y min Ta có: 1 nên tồn tại Dấu '' '' xảy ra 4 3 2 4m m2 20 0 x y sin x 1 t / m m2 4m 20 0 (vô nghiệm) a sao cho: sin a và cos a 3 2
  49. m trùng với biểu thức cần tính thì 1 cot4 x 17 17 +) 2 f x A 2 min chọn. 1 cot4 x 15 15 sin x 1 hoặc sin x 1 Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập Có thể bấm máy tính tìm ra góc bằng cách bấm: -Với sin x 1 f x 2m 1. Rồi ấn Cho 2m 1 5 m 2 (không Ta được góc , gán nó vào giá trị t/m). Khi đó đã gán cos15 A (để chế A rồi nhập biểu thức độ tính độ), lần lượt nhập vào màn - sin x 1 f x 1 5 (không 4 4 hình: sin A cos A t/m) sin4 A cos4 A Vậy không có giá trị m thỏa mãn được kết quả cần tìm. yêu cầu bài toán. Chú ý: sin4 A viết trong máy tính Câu 32: Đáp án B 5 7 2 4 sin .sin A 1 A là sin A , tương tự với 12 12 3 3 sin cos 5 7 cos4 A, tan4 A . 10 5 2 10 5 sin .sin A2 12 12 Câu 33: Đáp án A Câu 38: Đáp án D cos15 cos 45 2cos30.cos15 3 A cos 7 x 3sin x Khi nào ta được kết quả là 0 thì đó 2 2 cos15 3 cos15 là đáp án cần tìm. 2 cos x sin x 2 2 6 2 Câu 35: Đáp án D cos15 cos x 3cos x sin x sin x 2 3 1 4 sin 5 a sin 2.2 a cos x 3cos x 2sin x Ấn máy tính ta cũng có kết quả =sin a sin a 2sin x 4cos x tương tự. Câu 39: Đáp án B Câu 36: Đáp án D Câu 34: Đáp án B 3cos2 x A sin6 x cos6 x 5 7 Với tan 0 . cot2 x 1 t cos15 cos .sin sin 2 12 12 12 3cos2 x 1 3sin2 x cos2 x 5 7 Vậy không xác định góc thỏa 1 sin .sin t 2 12 12 mãn yêu cầu bài toán. sin2 x 1 3sin2 x cos2 x 3sin2 x cos2 x 1 Hoặc ta cũng có thể bấm máy tính Câu 37: Đáp án C bằng cách tính giá trị của t và gán Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên 4 vào một biến A trong máy, sau đó Chia cả tử và mẫu cho sin x ta vào máy với x là một góc bất kì, tính biểu thức cần tính ở đề bài và được: nếu nhiều goác ra cùng một kết thử 4 đáp án, đáp án nào có kết quả quả thì đó là kết quả cần tìm.
  50. Câu 40: Đáp án C 3 16 1 16 1 Chia cả tử và mẫu cho cos a ta 33 sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x có: Đối chiếu với thì 16 1 16cot2 x 2 1 2 2 8 2 tan3 a sin x cos x sin 0 2 A cos a tan2 x 33 2 3 có góc thỏa mãn 2 tan a 16 1 cos a 2 2 2 16cot x 3 2 sin x cos x 1 8 2 tan a 1 tan a 2 2 1 cot 9 = 2 3 + 16 tan x 1 50 sin2 2 2 tan a tan a 32 2 cot2 8 cot 2 2 8 16 1 4 3 = 2 2 50 2 8 8 2 sin x cos x 16 1 mà cot 0 25 2 Câu 44: Đáp án B sin2 x cos2 x 6 6 4 Áp dụng bất đẳng thức cot 2 2 P m sin cos sin cos4 12sin2 cos2 Bunhiacopxki ta có: 1 1 2 tan m 1 3sin2 cos2 1 cot 2 2 4 16 1 2 2 2 2 sin x cos x 2sin2 cos2 12sin2 cos2 sin x cos x Câu 41: Đáp án C 2 2 4 1 2 25 m 1 sin cos 3m 10 1 8 cos2 1 sin2 1 16 1 25 Để P không phụ thuộc vào thì 2 2 2 2 9 9 sin x cos x sin x cos x 10 0 cos 0 3m 10 0 m 25 2 3 Dấu " " xảy ra 8 2 2 Vậy có duy nhất 1 giá trị của m để cos 4 1 9 3 P là hằng số  . sin2 x 4cos2 x sin2 x cos2 x Câu 42: Đáp án C Câu 45: Đáp án A Mà Nhân cả tử và mẫu của G với sin2 x cos2 x 1 5cos2 x 1 sin .cos ta có: 5 cos x (vì 0 x ) cos2 3sin2 G 5 2 2cos2 sin2 4 4 15 2 5 3 1 cos2 sin x (vì 0 x ) 19 5 2 = 9 9 9 8 2 8 5 13 1 cos Dùng máy tính ta tìm được góc x. 9 9 9 Câu 43: Đáp án A 79 Khi đó ta có: tan 5x Ta có tan a 2 cos a 0 4 3 Câu 46: Đáp án C
  51. sin2 x cos2 x cos2 x 1 cos15.cos 45.cos75 A 2 1 cos2 x 2 2 .cos15.cos75 2 2 1 2 cos cos 2 2 1 2 2 2 cos60 cos90 . 4 4 2 8 Thử 4 đáp án chỉ có đáp án C là Câu 50: Đáp án B thỏa mãn A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60 Ta có: Câu 47: Đáp án C cot 30 cot 60 cot 40 cot 50 3 1 2cos2 a cos a 0 sin 90 sin 90 sin a cos a 4 2 sin 30.sin 60 sin 40.sin 50 2 2 1 7 1 1 sin a cos a 1 cos a kh«ng t/m 4 cos30 cos90 cos10 cos90 1 sin a cos a 1 7 2 2 2 cos a t/m cos30 cos10 2 2 4 sin a cos a 1 2cos10.cos 20 8 1 7 1 7 2. cos 20 2 sin a tan a 1 2 cos30.cos10 3 cos a cos a 1 4 1 7 2 Câu 51: Đáp án D 2 tan a 3 tan 2a 2cos2 a cos a 0 1 tan2 a Ta có: 4 2 1 7 cos30 cos 3.10 Vì a 8 2 7 4cos3 10 3cos10 2 1 7 1 8 2 7 3 3 Nên 1 cos x 0 sin x 1 4cos 10 3cos10 2 1 7 2 4 7 cos10 là 11 nghiệm của 1 7 . 2 1 7 phương trình 8x3 6x 3 0 2 1 7 1 7 12 3 Câu 52: Đáp án C 4 7 4 7 7 sin a sin 5a sin 3a Câu 48: Đáp án D A cos a cos5a cos3a 4 4 P sin a cos a 2sin 3a cos 2a sin 3a = sin2 2a 2cos3a cos 2a cos3a =1-2sin2a cos2 a 1 2 sin 3a 2cos 2a 1 = tan 3a 2 7 =1 cos3a 2cos 2a 1 9 9 Câu 53: Đáp án A Câu 49: Đáp án D
  52. cos2 10 cos2 20 cos2 30 1 1 sin B 2cos A cosC n 1 A 1 ; 1 1 + +cos2 180 2 2 sin C 2cos B cosC 2 2 1 1 cos A cos B µA Bµ Cµ cos 10 cos 100 n 2 A ; 4 22 cos2 20 cos2 110 1 1 ABC đều. n 3 A ; 8 23 cos2 90 cos2 180 + Tại B µA Cµ 1 1 n 4 A sin2 100 cos2 100 16 24 sin B 3cosC 1 2 2 sin C 2cos B cosC sin 110 cos 110 1 CTTQ là: A n sin2 180 cos2 180 2 Giả sử µA Cµ 50 Bµ 80. 1 1 1 9 1  Vậy với n 2018 thì A Thử máy tính thấy không thỏa 9 sè h¹ng 2018 2 mãn. Cách bấm máy: Nhập vào màn 18 Câu 56: Đáp án A 2 Nếu µA Bµ Cµ 60 thì thỏa mãn hình biểu thức: cos 10X x 1 1 3 sin Bsin C ABC đều. Câu 54: Đáp án B 4 1 + Tại C µA Bµ VP 1 sin B C sin B C A cos 20 cos 40 2 sin B µ µ cos160 cos180 1 3 1 B C ABC sin B C sin C 2 2 cos 20 cos160 đều. 1 cos 40 cos140 sin B C B C 2 6 Vậy ABC đều. cos80 cos160 cos180 5 cos180 1 (loại TH B C vì III. Đề kiểm tra chủ đề 7 6 Câu 55: Đáp án B Câu 1: Đáp án B C B C mà C 0 nên Ta sử dụng cách thử bằng máy 15 27 không thỏa mãn) 2 ; 2.2 ; tính. Thông thường những biểu 7 7 7 7 thức này thường có công thức tổng Câu 57: Đáp án C 20 3 quát. Khi đó công thức đúng n . 7 7 Dễ thấy nếu µA Bµ Cµ 60 thì Vì vậy có thể thử với n 1;2;3;4 đẳng thức đã cho đúng loại B (vì 3 không có dạng và D. k2 k ¢ nên không thỏa mãn) Xét ABC cân: Câu 2: Đáp án B + Tại A Bµ Cµ 150 50 l 2.20 . 360 3 Câu 3: Đáp án B
  53. 3 5 5 Vì ABC vuông tại A .180 300 7 3 3 3 3 l 2 R. R. · 2 7 BAC 90 3 Câu 7: Đáp án B R 7 2R 14 BC là đường kính O 3 15 15 . 7 180 12 Ð AC k2 6 Câu 4: Đáp án C Câu 8: Đáp án C 7 18km / h 5m / s 500cm / s . = k2 k ¢ 6 Chu vi bánh xe là 20 cm , suy ra Ð 5 Với k 1 AC thời gian quay hết 1 vong bánh xe 6 là: Câu 12: Đáp án D 20 0,12569 s 2 500 25 2.12 s® Ox;Oz Có 8 nên có thể xác định 8 2 tia đối nhau. Câu 5: Đáp án B 4 Câu 9: Đáp án A điểm M bằng cách trên. Số điểm M thỏa mãn là: Nhận xét: Số k cứ tăng lên (hoặc giảm đi) 8 đơn vị thì điểm M trùng 2 : 10 (điểm) 5 với A (bắt đầu từ k 0 , sau đó đến k 8;k 16; ; k 8i i ¢ ). Câu 10: Đáp án C Vậy sau 8 số k đó, M lại bắt đầu Cứ 1 giờ kim giây quay được 60 một chu kì mới giống như cũ. Gọi AH là đường cao AH đi vòng, vậy 5 giờ quay được qua O 60.5 300 vòng. Sau 5 giờ kim Ð · · giây quay được góc: BOC 2BAC s® BC O có: 360.300 108000 120 B· OH 60 Câu 11: Đáp án C BC 2BH 2.BO.sin B· OH 3 2.BO. BO 3 R 3 2 l R 3.3 3R 3 số đo cung trong là 3 3rad . Câu 6: Đáp án A Vậy có 8 điểm M thỏa mãn.
  54. Câu 13: Đáp án B. 3 Vì tan , tan  là hai nghiệm của 2 2 2 2 25 3 3 phương trình x px q 0 nên 4 u· Ov 7 7 7 theo định lí Viet, ta có cos 0 I đúng 2 Câu 14: Đáp án A tan tan  p 3 3 tan .tan  q 3230 350 8.360 u· Ov 2 2 2 360 350 10 tan tan  p tan  1 tan .tan  1 q Câu 15: Đáp án D sin 0 II đúng 2 2 tan .cot 1 0 tan ,cot P cos  1 p.tan  q.tan2  cùng dấu trên từng khoảng xác cos 0 cot 0 2 2 định. 1 p.tan  q.tan2  III sai 2 Câu 16: Đáp án D 1 tan  Câu 20: Đáp án C 2 p p Giả sử với 0 sin 0; 1 p. q. x cos k 1 q 1 q cos 1 tan 0 cot 2 3 p không xác định 1 1 1 q cos n2 víi k ch½n Câu 17: Đáp án D 3 2 2 2 2 1 q p .q q.p 1 4 1 2 2 + Nếu M không trùng với A và A' cos n2 víi k lÎ 1 q p 3 2 có duy nhất 1 điểm N thỏa mãn Câu 23: Đáp án B yêu cầu bài toán (hình vẽ). 1 f x cot x tan x tan x 0 x k 2 k Với x k Z thì cot x 0. 2 + Nếu M  A M  A' thì không Câu 21: Đáp án A Mà tập giá trị của cot x là ¡ . có điểm nào thỏa mãn yêu cầu tan x 5cot x tan x 5cot x (với cos x 0 ) Câu 18: Đáp án B 2 5 tan x . 5cot x 2 5 1 Vậy tập giá trị của f x là Theo đề bài sin 0;cos 0 tan x (bất đẳng thức AM-GM) M thuộc góc phần tư thứ II. ¡ \ 0 Câu 22: Đáp án C Câu 19: Đáp án C Câu 24: Đáp án C
  55. 0 sin2 x 1 0 sin2016 x 1 Vậy giá trị dương nhỏ nhất của 2 sin x sin x cos x; 0 sin2018 x sin2 x 4 là 42 1 cos2015 x 1 2 cos x cos x sin x Câu 31: Đáp án A 2 2017 2 4 cos x cos x cos x cosC cos A B 2018 2017 2 2 sin x cos x sin x cos x 1 2 sin x sin x cos x; 4 cos Acos B sin Asin B Dấu " " xảy ra khi 2 2 2 sin x cos x sin x 20 4 5 2 1 2 1 2 sin x 0 sin x 0 4 65 5 13 2017 cos x 1 0 cos x 1 Câu 27: Đáp án B 20 3 12 20 36 16 . cos2 x 0 sin x 1 65 5 13 65 65 4 2 sin x 0x;sin x 0x sin2018 x 1 cos x 0 4 2 Câu 32: Đáp án C A sin x 2sin x 3 3x Vậy có 3 cặp sin x,cos x thỏa tan x cot x 10 Dấu " " xảy ra tan x,cot x tan x.cot x 1 mãn. sin4 x 0 sin x 0 t/m là nghiệm của phương trình: Câu 25: Đáp án A 2 sin x 0 t 5 2 6 Điều kiện xác định: D ¡ 2 Câu 28: Đáp án A t 10t 1 0 t 5 2 6 (Vì sin x cos x 2 M cos a cos a 120 Vậy có 2 cặp giá trị thỏa mãn là 12 12 2 2 2 0 ) cos a 120 5 2 6;5 2 6 và Ta có: 1 cos a cos a sin asin120 Asin x Acos x 2A sin x 3 cos x 2 2 5 2 6;5 2 6 1 A 1 sin x A 3 cos x 2A 2 cos a sin asin120 0 2 Câu 33: Đáp án B 2 2 2 2A A A 1 A 3 Câu 29: Đáp án B sin x cos x 2 4A 8A 4 1 2 2 2 s in x y cos y cos x y sin y sin x cos x sin x cos x 2 2 2 A 2A 1 y 2A 3 3 sin x y y sin x 1 25 9 2A2 A 10 2 3 0 1 Câu 30: Đáp án D 2 16 32 A 2A 10 2 3 0 Câu 34: Đáp án B cos a cos18 cos78 0 A 5 3. 2sin 30 sin 48 Vậy a b 5 3 sin 48 cos 42 a 42 k360 k ¢ Câu 26: Đáp án B a 42 k360 k ¢
  56. 1 2 1 4r 2s2 cos x sin x sin 2 sin 2 1 tan 1 2 cos cos r 2 s2 h2 A 1 1 2 cos 1 cos xsin x cos x sin x 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 r s 2r s 4r s r s 2 2 2 2 2 2 r 2 s2 r s cos x sin x sin cos 1 1 cos cos 1 2 2 2 2 r s 1 cos 2 2 cos x sin x 2 1 r s 2 tan 1 cos2 2 2 3 r s cos xsin x cos 2 2 8 Câu 37: Đáp án A r s (vì cos 0 do nhọn và cos x,sin x là nghiệm của Chia cả tử và mẫu cho sin3 có: r s 0 ) phương trình: 3 cot 2 2 2 Câu 40: Đáp án A t 3 1 7 A sin sin t 2 0 t 12 4cot 4 4 1 2 8 4 2 2 3sin x cos x 3 1 cot 2cot 1 cot 2 Mà sin x 0 3 2 2 12 4cot cos x 1 sin x 30 60 1 3 1 7 1 7 2sin4 x sin2 x 0 sin x ;cos x 12 4.27 4 4 4 2 Câu 38: Đáp án D 2 2 1 7 8 2 7 cos x 1 sin x tan x 2 1 7 6 tan cot 2 1 sin x 2 2 4 4 4 7 4 7 tan cot 4 tan .cot sin x 3cos x 1 2 1 3 3 2 cos x m 4 p 4;q 7 2 tan cot m2 4 Câu 41: Đáp án B Câu 35: Đáp án B Câu 39: Đáp án D Q sin x cos3 x cos xsin3 x cot3 tan3 sin x cos x cos2 x sin2 x cot tan 3 1 1 sin 2x cos 2x sin 4x 3tan cot tan cot 2 4 3 m 3m Câu 42: Đáp án A Câu 36: Đáp án C Với a,b 0 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: sin4 x cos4 x a b a a 2 sin2 x cos2 x 1
  57. sin4 x cos4 x 1 Câu 45: Đáp án C Câu 48: Đáp án B a b a b Xét biểu thức: Dấu " " xảy ra 2 2 tan x.tan 2x tan 2x 1 1 tan x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x tan 2x tan 2x 1 tan2 x a a a b Khi đó: 2 tan x 2 tan 2x 2 1 tan x 1 tan x sin8 x cos8 x tan 2x 2 tan x 1 Ta có: 2R 2 R. p a3 b3 2 Áp dụng 1 ta có: 4 2 2 4 2 2 sin x sin x cos x cos x 2R R p p 2 2R2 a a b b a a a Sn tan a 2 tan 2 tan 4 tan 2 2 4 4 2 2 2 p 1 sin x cos x (bđt AM – GM) R2 2 n 1 a n a 16 a b a b 2 tan n 1 2 tan n 2 2 2 2 4 4 2 R p 1 sin x cos x n a S .R . . tan a 2 tan quat 2 n 2 2 16 a b a b 2 Câu 46: Đáp án A 1 1 1 Dấu " " xảy ra 2 . 3 a b a b a b sin2 x cos2 x tan x cot x 2R R 2 Câu 43: Đáp án A sin x.cos x 2 2 Câu 49: Đáp án C Thử với n 2 sin 1 2sin x cos x sin 2x 2 Câu 47: Đáp án B 2 n 3 sin sin 3 x 3 3 2cos2 1 1 1 cos x 2 2 3 cos x 2 n 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 R 4 4 4 S R . 2 x 2 2 1 2 cos 2 Cquat 2R R Thử các giá trị n ở trên vào 4 đáp 2 2R2 2 4S 4 S 1 1 1 1 án, ta có đáp án A thỏa mãn. A cos x 2 2 2 2 Dấu " " xảy ra 2 Câu 44: Đáp án A 1 1 x x cos cos Câu 50: Đáp án B Asin x sin x 2sin x cos 2x 2 2 4 8 Gọi tiếp tuyến chung của hai 2sin x cos 4x 2sin x cos6x đường tròn là AB, A' B ' sin x sin 3x sin sin 5x sin 3x sin 7x sin 5x A, A' I; R1 ; B ', B J; R2 sin 7x sin 7x A Từ I kẻ IH  BJ BH R 1 sin x 1
  58. JH BJ BH R2 R1 4 JH 4 1 Có cos B· IJ IJ 8 2 B· JI 60 B· JB ' 2B· JI 120 Dễ thấy ·AIA' B· IB ' 120 AB ' AB IH IJ sin B· JH 8 3 4 3 2 Chiều dài dây là: AB A' B ' l l ·ANA' B· MB' 120 240 8 3 .2 .10 360 360 22 8 3 36,89 cm . 3