Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180

1. CHƯƠNG II TÍCH Vễ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Đ1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GểC BẤT Kè TỪ 00 ĐẾN 1800 y A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa M(x;y) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi gúca (00 Ê a Ê 1800 ), ta xỏc Q định điểm M trờn trờn đường nửa đường trũn đơn vị tõm O sao cho ã a = xOM . Giả sử điểm M cú tọa độ (x; y). O P x Khi đú: y x sina = y; cosa = x; tana = (a ạ 900 ); cota = (a ạ 00 ,a ạ 1800 ) Hỡnh 2.1 x y Cỏc số sina ,cosa ,tana ,cot b được gọi là giỏ trị lượng giỏc của gúc a . Chỳ ý: Từ định nghĩa ta cú: • Gọi P, Q lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn trục Ox, Oy khi đú M(OP;OQ). • Với 00 Ê a Ê 1800 ta cú 0 Ê sina Ê 1; - 1Ê cosa Ê 1 • Dấu của giỏ trị lượng giỏc: Gúc a 00 900 1800 sina + + cosa + - tana + - cota + - 2. Tớnh chất • Gúc phụ nhau• Gúc bự nhau sin(900 - a) = cosa sin(1800 - a) = sina cos(900 - a) = sina cos(1800 - a) = - cosa tan(900 - a) = cota tan(1800 - a) = - tana cot(900 - a) = tana cot(1800 - a) = - cota 3. Giỏ trị lượng giỏc của cỏc gúc đặc biệt Gúc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 a sina 1 1 0 2 3 1 3 2 0 2 2 2 2 2 2 cosa 3 2 1 1 2 3 1 0 - - - –1 2 2 2 2 2 2 tana uuur uur 2 3 2 2 0 1 3  - 3 - 1 AB + EF = (AB+ EF) 0 3 cota 3 3 3 1 0 - - 1 - 3   3 3
2. 4. Cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản sina 1) tana = (a ạ 900 ) ; cosa cosa 2) cota = (a ạ 00 ; 1800 ) sina 3) tana.cota = 1 (a ạ 00 ; 900 ; 1800 ) 4) sin2 a + cos2 a = 1 1 5) 1+ tan2 a = (a ạ 900 ) cos2 a 1 6) 1+ cot2 a = (a ạ 00 ; 1800 ) sin2 a Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa. - Ta cú sina = OQ, cosa = OP 2 2 Suy ra sin2 a + cos2 a = OQ + OP = OQ2 + OP2 + Nếu a = 00 , a = 900 hoặc a = 1800 thỡ dễ dàng thấy sin2 a + cos2 a = 1 + Nếu a ạ 00 , a ạ 900 và a ạ 1800 khi đú theo định lý Pitago ta cú sin2 a + cos2 a = OQ2 + OP2 = OQ2 + QM 2 = OM 2 = 1 Vậy ta cú sin2 a + cos2 a = 1 sin2 a cos2 a + sin2 a 1 Mặt khỏc 1+ tan2 a = 1+ = = suy ra được 5) cos2 a cos2 a cos2 a cos2 a sin2 a + cos2 a 1 Tương tự 1+ cot2 a = 1+ = = suy ra được 6) sin2 a sin2 a sin2 a B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1 : Xỏc định giỏ trị lượng giỏc của gúc đặc biệt. 1. Phương phỏp giải. • Sử dụng định nghĩa giỏ trị lượng giỏc của một gúc • Sử dụng tớnh chất và bảng giỏ trị lượng giỏc đặc biệt • Sử dụng cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) A = a2 sin 900 + b2 cos900 + c2 cos1800 A. A = a2 - 2c2 B. A = 2a2 - c2 C. A = 3a2 - c2 D. A = a2 - c2 b) B = 3- sin2 900 + 2cos2 600 - 3tan2 450 A. B = 2 B. B = 3 C. B = 1 D. B = 0 c) C = sin2 450 - 2sin2 500 + 3cos2 450 - 2sin2 400 + 4 tan 550.tan 350 A. C = 3 B. C = 4 C. C = 2 D. C = 1 Lời giải:
3. a) A = a2 .1+ b2 .0 + c2 .(- 1)= a2 - c2 2 ổ ử2 ổ ử 2 ỗ1ữ ỗ 2 ữ b) B = 3- (1) + 2ỗ ữ - 3ỗ ữ = 1 ốỗ2ứữ ốỗ 2 ứữ c) C = sin2 450 + 3cos2 450 - 2(sin2 500 + sin2 400 )+ 4 tan 550.cot 550 ổ ử2 ổ ử2 ỗ 2 ữ ỗ 2 ữ 2 0 2 0 1 3 C = ỗ ữ + 3ỗ ữ - 2(sin 50 + cos 40 )+ 4 = + - 2 + 4 = 4 ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ 2 2 Vớ dụ 2: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870 A.2B.3C.4D.1 b) B = cos00 + cos 200 + cos 400 + + cos1600 + cos1800 A.2B.3C.4D.0 c) C = tan 50 tan100 tan150 tan 800 tan 850 A.1B.3C.4D.0 Lời giải: a) A = (sin2 30 + sin2 870 )+ (sin2 150 + sin2 750 ) = (sin2 30 + cos2 30 )+ (sin2 150 + cos2 150 ) = 1+ 1= 2 b) B = (cos00 + cos1800 )+ (cos 200 + cos1600 )+ + (cos800 + cos1000 ) = (cos00 - cos00 )+ (cos 200 - cos 200 )+ + (cos800 - cos800 ) = 0 c) C = (tan 50 tan 850 )(tan150 tan750 ) (tan 450 tan 450 ) = tan 50 cot 50 tan150 cot 50 tan 450 cot 50 ( )( ) ( ) = 1 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.1: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) A = sin 450 + 2cos600 - tan 300 + 5cot1200 + 4sin1350
4. 5 2 2 A. A = - 2 3 B. A = 1+ - 2 3 2 2 5 2 2 C. A = 1+ - 2 3 D. A = 1+ - 3 2 2 b) B = 4a2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2acos 450 )2 1 A. B = a2 B. B = 3a2 C. B = 4a2 D. B = a2 2 c) C = sin2 350 - 5sin2 730 + cos2 350 - 5cos2 730 A. C = - 4 B. C = - 2 C. C = - 3 D. C = - 5 12 d) D = - 5tan 850 cot 950 + 12sin2 1040 1+ tan2 760 A. D = 18 B. D = 17 C. D = 16 D. D = 15 e) E = sin2 10 + sin2 20 + + sin2 890 + sin2 900 901 101 91 9 A. E = B. E = C. E = D. E = 2 2 2 2 f) F = cos3 10 + cos3 20 + cos3 30 + + cos3 1790 + cos3 1800 A. F = 0 B. F = - 1 C. F = 1 D. F = - 2 2 1 3 3 2 5 2 Bài 2.1: a) A = + 2. - - 5. + 4. = 1+ - 2 3 2 2 3 3 2 2 ổ ử2 2 ỗ 2 ữ 2 2 2 b) B = 4a .ỗ ữ - 3a + (2a) = 3a ốỗ 2 ứữ c) C = (sin2 350 + cos2 350 )- 5(sin2 750 + cos2 750 )= 1- 5 = - 4 d) D = 12cos2 760 + 5tan 850.cot 850 + 12sin2 760 = 12 + 5 = 17 e) E = (sin2 10 + sin2 890 )+ (sin2 20 + sin2 880 )+ + + (sin2 440 + sin2 460 )+ sin2 450 + sin2 900 1 E = (sin2 10 + cos2 10 )+ (sin2 20 + cos2 20 )+ + (sin2 440 + cos2 440 )+ + 1 2 1 91 E = 14+44144+2 4 4.+44413+ + 1= 44 sụ 2 2 f) F = (cos3 10 + cos3 1790 )+ + (cos3 890 + cos3 910 )+ cos3 900 + cos3 1800
5. F = cos3 900 + cos3 1800 = 0- 1= - 1 Bài 2.2: Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: 8 tan2 (30 - x) P = 4 tan(x + 40 ).sin x.cot(4x + 260 )+ + 8cos2 (x- 30 ) khi x = 300 1+ tan2 (5x + 30 ) A.3B.4C.5D.6 8 tan2 (- 270 ) Bài 2.2: Thay vào ta cú: P = 4 tan 340.sin 300.cot1460 + + 8cos2 270 1+ tan2 1530 1 P = - 4.tan 340. .cot 340 + 8 tan2 270.cos2 270 + 8cos2 270 = - 2 + 8 = 6 2 DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giỏc, chứng minh biểu thức khụng phụ thuộc x, đơn giản biểu thức. 1. Phương phỏp giải. • Sử dụng cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản • Sử dụng tớnh chất của giỏ trị lượng giỏc • Sử dụng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ . 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Chứng minh cỏc đẳng thức sau(giả sử cỏc biểu thức sau đều cú nghĩa) a) sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x.cos2 x 1+ cot x tan x + 1 b) = 1- cot x tan x- 1 cos x + sin x c) = tan3 x + tan2 x + tan x + 1 cos3 x Lời giải a) sin4 x + cos4 x = sin4 x + cos4 x + 2sin2 xcos2 x- 2sin2 xcos2 x 2 = sin2 x + cos2 x - 2sin2 xcos2 x ( ) = 1- 2sin2 xcos2 x 1 tan x + 1 1+ 1+ cot x tan x + 1 b) = tanx = tanx = 1- cot x 1 tan x- 1 tan x- 1 1- tan x tan x cos x + sin x 1 sin x c) = + = tan2 x + 1+ tan x(tan2 x + 1) cos3 x cos2 x cos3 x = tan3 x + tan2 x + tan x + 1
6. 3 B 3 B sin cos cos(A + C) Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC . Chứng minh rằng 2 + 2 - .tan B = 2 ổA + Cử ổA + Cử sin B cosỗ ữ sinỗ ữ ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ Lời giải: Vỡ A + B+ C = 1800 nờn 3 B 3 B sin cos cos(1800 - B) VT = 2 + 2 - .tan B ổ 0 ử ổ 0 ử ỗ180 - Bữ ỗ180 - Bữ sin B cosỗ ữ sinỗ ữ ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ B B sin3 cos3 - cos B B B = 2 + 2 - .tan B = sin2 + cos2 + 1= 2 = VP B B sin B 2 2 sin cos 2 2 Suy ra điều phải chứng minh. Vớ dụ 3: Đơn giản cỏc biểu thức sau(giả sử cỏc biểu thức sau đều cú nghĩa) a) A = sin(900 - x)+ cos(1800 - x)+ sin2 x(1+ tan2 x)- tan2 x A.0B.1C.2D. tanx 1 1 1 b) B = . + - 2 sin x 1+ cos x 1- cos x A.1B.0C. sinx D. tan x Lời giải: 1 a) A = cos x- cos x + sin2 x. - tan2 x = 0 cos2 x 1 1- cos x + 1+ cos x b) B = . - 2 sin x (1- cos x)(1+ cos x) 1 2 1 2 = . - 2 = . - 2 - 2 2 sin x 1 cos x sin x sin x ổ 1 ử = ỗ - ữ= 2 2 ỗ 2 1ữ 2 cot x ốỗsin x ứữ Vớ dụ 4: Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào x. P = sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x Lời giải
7. 2 2 P = (1- cos2 x) + 6cos2 x + 3cos4 x + (1- sin2 x) + 6sin2 x + 3sin4 x = 4cos4 x + 4cos2 x + 1 + 4sin4 x + 4sin2 x + 1 2 2 = (2cos2 x + 1) + (2sin2 x + 1) = 2cos2 x + 1+ 2sin2 x + 1 = 3 Vậy P khụng phụ thuộc vào x . 3. Bài tập luyờn tập. Bài 2.3. Chứng minh cỏc đẳng thức sau(giả sử cỏc biểu thức sau đều cú nghĩa) a) tan2 x- sin2 x = tan2 x.sin2 x b) sin6 x + cos6 x = 1- 3sin2 x.cos2 x tan3 x 1 cot3 x c) - + = tan3 x + cot3 x sin2 x sin xcos x cos2 x d) sin2 x- tan2 x = tan6 x(cos2 x- cot2 x) tan2 a- tan2 b sin2 a- sin2 b e) = tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b Lời giải: sin2 x Bài 2.3: a) VT = - sin2 x = sin2 x(1+ tan2 x)- sin2 x = VP cos2 x 3 b) sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x) - 3sin2 x.cos2 x(sin2 x + cos2 x) = 1- 3sin2 x.cos2 x c) VT = tan3 x(cot2 x + 1)- tan x(cot2 x + 1)+ cot3 x(tan2 x + 1) = tan x + tan3 x- cot x- tan x + cot x + cot3 x = VP d) VP = tan6 xcos2 x- tan6 xcot2 x = tan4 xsin2 x- tan4 x = tan4 x.cos2 x = tan2 x.sin2 x = tan2 x- sin2 x = VT (do cõu a)) 1 1 1 1 e) VT = - = cot2 b- cot2 a = - = VP tan2 b tan2 a sin2 b sin2 a Bài 2.4. Đơn giản cỏc biểu thức sau(giả sử cỏc biểu thức sau đều cú nghĩa) 1 a) A = - tan2 (1800 - x)- cos2 (1800 - x) cos2 x
8. A. A = sin2 x B.0C.1D. tan x cos2 x- sin2 x b) B = - cos2 x cot2 x- tan2 x A. B = cos4 x B. B = sinx C. B = - cos4 x D. B = - cos4 x + 1 sin3 a + cos3 a c) C = cos2 a + sin a(sin a- cos a) A. C = 2cos a B. C = 2sin a C. C = sin a- cos a D. C = sin a + cos a 1+ sin a 1- sin a d) D = + 1- sin a 1+ sin a 1 3 2 a A. D = B. D = C. D = D. D = cos a cos a cos a cos a Lời giải: Bài 2.4: a) A = tan2 x + 1- tan2 x- cos2 x = sin2 x cos2 x- sin2 x b) B = = - cos2 x 1 1 - 1- + 1 sin2 x cos2 x = cos2 xsin2 x- cos2 x = - cos4 x (sin a + cos a)(sin2 a- sin acos a + cos2 a) c) C = = sin a + cos a sin2 a- sin acos a + cos2 a 1+ sin a 1- sin a d) D2 = + + 2 1- sin a 1+ sin a 2 2 (1+ sin a) + (1- sin a) 2 + 2sin2 a 4 = + 2 = + 2 = 1- sin2 a cos2 a cos2 a 2 Suy ra D = cos a Bài 2.5.Rỳt gọn biểu thức. (giả sử cỏc biểu thức sau đều cú nghĩa) a) (tana + cota)2 - (tana - cota)2 A.1B.2C.3D.4 b) 2(sin6 a + cos6 a)- 3(sin4 a + cos4 a) A.-1B.2C.3D.4 3 c) cot2 300 (sin8 a - cos8 a)+ 4cos600 (cos6 a - sin6 a)- sin6 (900 - a)(tan2 a - 1)
9. A.0B.2C.3D.4 d) (sin4 x + cos4 x- 1)(tan2 x + cot2 x + 2) A.1 B.-2C.3D.4 sin4 x + 3cos4 x- 1 e) sin6 x + cos6 x + 3cos4 x- 1 2 A.1B.2C.3D. 3 Lời giải: Bài 2.5: a) (tana + cota)2 - (tana - cota)2 = 4 b) 2(sin6 a + cos6 a)- 3(sin4 a + cos4 a) = 2(1- 3sin2 x.cos2 x)- 3(1- 2sin2 x.cos2 x)= - 1 3 c) cot2 300 (sin8 a - cos8 a)+ 4cos600 (cos6 a - sin6 a)- sin6 (900 - a)(tan2 a - 1) = 3(sin2 a - cos2 a)(sin4 a + cos4 a) - 2(sin2 a - cos2 a)(sin4 a + sin2 a cos2 a + cos4 a) 3 3 3 - (sin2 a - cos2 a) = (sin2 a - cos2 a) - (sin2 a - cos2 a) = 0 d) (sin4 x + cos4 x- 1)(tan2 x + cot2 x + 2) = - 2 sin4 x + 3cos4 x- 1 2 e) = sin6 x + cos6 x + 3cos4 x- 1 3 Bài 2.6: Cho tam giỏc ABC . Hóy rỳt gọn B A + C B A + C a) A = cos2 + cos2 + tan tan 2 2 2 2 A. A = 3 B. A = - 1 C. A = 1 D. A = 2 B B sin cos cos(A + C) b B = 2 - 2 - .tan B A + C A + C sin B cos sin 2 2 A. B = 3 B. B = 1 C. B = - 1 D. B = 2 Lời giải: Bài 2.6: a) A = 1 b) B = 1 DẠNG 3 : Xỏc định giỏ trị của một biểu thức lượng giỏc cú điều kiện. 1. Phương phỏp giải.
10. • Dựa vào cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản • Dựa vào dấu của giỏ trị lượng giỏc • Sử dụng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ 2. Cỏc vớ dụ. 1 Vớ dụ 1: a) Cho sina = với 900 < a < 1800 . Tớnh cosa và tana 3 2 2 1 A. cosa = - B. tana = - 3 2 2 C.Cả A, B đều đỳngD.Cả A, B đều sai 2 b) Cho cosa = - . Tớnh sina và cota 3 5 2 A. sina = B. cota = - 3 5 C.Cả A, B đều đỳngD.Cả A, B đều sai c) Cho tan g = - 2 2 tớnh giỏ trị lượng giỏc cũn lại. 1 2 2 A. cosa = - B. tana = 3 3 1 C. cota = - D.Cả A, B, C đều đỳng 2 2 Lời giải: a) Vỡ 900 < a < 1800 nờn cosa < 0 mặt khỏc sin2 a + cos2 a = 1 suy ra 1 2 2 cosa = - 1- sin2 a = - 1- = - 9 3 1 sina 1 Do đú tana = = 3 = - cosa 2 2 2 2 - 3 4 5 b) Vỡ sin2 a + cos2 a = 1 nờn sina = 1- cos2 a = 1- = và 9 3 2 - cosa 2 cota = = 3 = - sina 5 5 3 1 c) Vỡ tan g = - 2 2 < 0 ị cosa < 0 mặt khỏc tan2 a + 1= nờn cos2 a
11. 1 1 1 cosa = - = - = - tan2 + 1 8 + 1 3 sina ổ 1ử 2 2 Ta cú tana = ị sina = tana.cosa = - 2 2.ỗ- ữ= cosa ốỗ 3ứữ 3 1 - cosa 1 ị cota = = 3 = - sina 2 2 2 2 3 3 tana + 3cota Vớ dụ 2: a) Cho cosa = với 00 < a < 900 . Tớnh A = . 4 tana + cota 17 17 1 7 A. A = - B. A = C. A = D. A = 8 8 8 8 sina - cosa b) Cho tana = 2 . Tớnh B = sin3 a + 3cos3 a + 2sina 3( 2 - 1) 3( 2 - 2) 3( 2 - 1) ( 2 - 1) A. B = B. B = C. B = D. B = 3+ 8 2 3+ 8 2 1+ 8 2 3+ 8 2 Lời giải: 1 1 tana + 3 2 + 2 tan a + 3 2 a) Ta cú A = tana = = cos a = 1+ 2cos2 a 1 tan2 a + 1 1 tana + tana cos2 a 9 17 Suy ra A = 1+ 2. = 16 8 sina cosa - 2 2 3 3 tana (tan a + 1)- (tan a + 1) b) B = cos a cos a = sin3 a 3cos3 a 2sina 3 a + + a 2 a + + + tan 3 2 tan (tan 1) cos3 a cos3 a cos3 a 2 (2 + 1)- (2 + 1) 3( 2 - 1) Suy ra B = = 2 2 + 3+ 2 2 (2 + 1) 3+ 8 2 Vớ dụ 3: Biết sin x + cos x = m a) Tỡm sin4 x- cos4 x 3+ 2m2 - m4 3 3+ 2m2 - m4 A. A = B. A = 12 2 3+ 2m2 - m4 3+ 2m2 - 2m4 C. A = D. A = 2 2
12. b) Chứng minh rằng m Ê 2 Lời giải: 2 a) Ta cú (sin x + cos x) = sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x = 1+ 2sin xcos x (*) m2 - 1 Mặt khỏc sin x + cos x = m nờn m2 = 1+ 2sina cosa hay sina cosa = 2 Đặt A = sin4 x- cos4 x . Ta cú A = (sin2 x + cos2 x)(sin2 x- cos2 x) = (sin x + cos x)(sin x- cos x) 2 2 ị A2 = (sin x + cos x) (sin x- cos x) = (1+ 2sin xcos x)(1- 2sin xcos x) ổ 2 ửổ 2 ử 2 4 2 ỗ m - 1ữỗ m - 1ữ 3+ 2m - m ị A = ỗ1+ ữỗ1- ữ= ốỗ 2 ứữốỗ 2 ữứ 4 3+ 2m2 - m4 Vậy A = 2 b) Ta cú 2sin xcos x Ê sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra 2 (sin x + cos x) Ê 2 ị sin x + cos x Ê 2 Vậy m Ê 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.7: Tớnh cỏc giỏ trị lượng giỏc cũn lại, biết 3 a) sina = với 00 < a < 900 5 4 3 4 A. cosa = , tana = , cota = 5 4 3 4 3 4 B. cosa = , tana = - , cota = - 5 4 3 1 3 4 C. cosa = , tana = , cota = 5 4 3 2 3 2 D. cosa = , tana = , cota = 5 2 3 1 b) cosb = 5
13. 1 1 A. sina = , tana = - 2, cota = 5 2 2 1 B. sina = - , tana = 2, cota = - 5 2 1 1 C. sina = , tana = - 2, cota = - 5 2 2 1 D. sina = , tana = 2, cota = 5 2 c) cot g = - 2 1 6 1 A. sina = , cosa = , tana = 3 3 2 1 6 1 B. sina = - , cosa = - , tana = - 3 3 2 1 6 1 C. sina = , cosa = , tana = - 3 2 2 1 6 1 D. sina = , cosa = - , tana = - 3 3 2 1 d) tana + cota < 0 và sina = . 5 1 2 6 A. cota = - 2 6,tana = - , cosa = cota.sina = - 2 6 5 1 6 B. cota = - 2 6,tana = - , cosa = - 2 6 5 1 2 6 C. cota = - 6,tana = - , cosa = - 2 6 5 1 2 6 D. cota = - 2 6,tana = - , cosa = - 6 5 Lời giải:
14. 4 3 4 Bài 2.7: a) cosa = 1- sin2 a = , tana = , cota = 5 4 3 2 1 b) sina = 1- cos2 a = , tana = 2, cota = 5 2 1 6 1 c) sina = , cosa = - , tana = - 3 3 2 d) Ta cú tana cota = 1> 0 mà tana + cota < 0 suy ra tana < 0, cota < 0 1 cota = - - 1 = - 2 6 sin2 a 1 2 6 ị tana = - , cosa = cota.sina = - 2 6 5 2 cot a + 3tan a Bài 2.8. a) Cho cos a = . Tớnh A = 3 2cot a + tan a 19 19 1 29 A. A = - B. A = C. A = D. A = 3 3 3 3 1 3cot a + 2 tan a + 1 b) Cho sin a = với 900 < a < 1800 . Tớnh B = 3 cot a + tan a 26- 2 2 26- 2 2 26- 2 26 A. B = B. B = C. B = D. B = 3 9 9 9 2sin a + 3cos a c) Cho tan a = 2 . Tớnh C = ; sin a + cos a 4 7 7 A. C = B. C = C. C = 1 D. C = - 3 3 3 d) Cho cot a = 5 . Tớnh D = 2cos2 a + 5sin acos a + 1 101 101 101 11 A. D = B. D = C. D = D. D = 27 23 26 26 Lời giải: 19 Bài 2.8: a) A = ; b) Từ giả thiết suy ra 3 2 2 1 26- 2 2 cosa = - , tana = - , cota = - 2 2 ị B = 3 2 2 9
15. 2 tan a + 3 7 c) C = = tan a + 1 3 D 1 d) = 2cot2 a + 5cot a + ị (cot2 a + 1)D = 3cot2 a + 5cot a + 1 sin2 a sin2 a 101 Suy ra D = 26 Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m . a) Tỡm tan2x + cot2x A. m2 + 1 B. m2 - 2 C. m2 - 3 D. m2 - 1 tan6x + cot6x b) tan4x + cot4x (m4 - 4m2 + 1) (m2 - 2) A. B. m4 - 4m2 + 2 m4 - 4m2 + 2 (m2 - 2)(m4 - 4m2 + 1) (m2 - 2)(m4 - 4m2 + 1) C. D. m4 - 4m2 - 2 m4 - 4m2 + 2 c) Chứng minh m ³ 2 Lời giải: Bài 2.9: a) tan2x + cot2x=m2 - 2 2 2 b) tan4x + cot4x=(tan2x + cot2x) - 2 = (m2 - 2) - 2 = m4 - 4m2 + 2 2 2 4 4 2 2 tan6x + cot6x (tan x + cot x)(tan x + cot x-tan xcot x) ị = tan4x + cot4x m4 - 4m2 + 2 (m2 - 2)(m4 - 4m2 + 1) = m4 - 4m2 + 2 12 Bài 2.10: Cho sina cosa = . Tớnh sin3 a + cos3 a 25 91 91 29 9 A. B. - C. D. 125 125 125 125 Lời giải: 2 24 7 Bài 2.10: (sina + cosa) = 1+ ị sina + cosa = (do cosa > 0 ) 25 5
16. 91 ị sin3 a + cos3 a = (sina + cosa)(sin2 a - sina cosa + cos2 a)= 125 Bài 2.11: Cho tan a- cot a = 3 . Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) A = tan2 a + cot2 a A. 11B.12C.13D. 14 b) B = tan a + cot a A. ± 15 B. ± 13 C. ± 14 D. ± 12 c) C = tan4 a- cot4 a A. ± 44 13 B. ± 11 13 C. ± 22 13 D. 13 Lời giải: Bài 2.11: ĐS: a) 11 b) ± 13 c) ± 33 13 3 Bài 2.12: a) Cho 3sin4 x + cos4 x = . Tớnh A = sin4 x + 3cos4 x . 4 7 7 3 7 A. A = B. A = C. A = D. A = - 4 2 4 4 1 b) Cho 3sin4 x- cos4 x = . Tớnh B = sin4 x + 3cos4 x . 2 A. B = 1B. B = 0C. B = 2D. B = 3 7 c) Cho 4sin4 x + 3cos4 x = . Tớnh C = 3sin4 x + 4cos4 x . 4 57 7 57 7 7 7 5 7 A. C = , C = - B. C = , C = C. C = , C = D. C = , C = 28 4 28 4 28 4 28 4 Lời giải: 7 57 Bài 2.12: ĐS: a) A = b) B = 1 ; c) hoặc C = 4 28