Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 1: Phương trình tổng quát của đường thẳng

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 1: Phương trình tổng quát của đường thẳng

1. CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Đ1. PHƯƠNG TRèNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Vectơ phỏp tuyến và phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng : r r a. Định nghĩa : Cho đường thẳng D . Vectơ n ạ 0 gọi là vectơ phỏp tuyến (VTPT) của D nếu giỏ của r n vuụng gúc với D . Nhận xột : r r - Nếu n là VTPT của D thỡ kn(k ạ 0) cũng là VTPT của D . b. Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và cú VTPT n = (a;b). uuuuur r uuuuur r Khi đú M(x; y) ẻ D Û MM0 ^ n Û MM0 .n = 0 Û a(x- x0 )+ b(y- y0 ) = 0 Û ax + by + c = 0 (c = - ax0 - by0 ) (1) (1) gọi là phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D . Chỳ ý : r - Nếu đường thẳng D : ax + by + c = 0 thỡ n = (a;b) là VTPT của D . c) Cỏc dạng đặc biệt của phương trỡnh tổng quỏt • D song song hoặc trựng với trục Ox Û D : by + c = 0 • D song song hoặc trựng với trục Oy Û D : ax + c = 0 • D đi qua gốc tọa độ Û D : ax + by = 0 x y • D đi qua hai điểm A(a;0), B(0;b)Û D : + = 1 với (ab ạ 0) a b • Phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc k là y = kx + m với k = tana , a là gúc hợp bởi tia Mt của D ở phớa trờn trục Ox và tia Mx 2. Vị trớ tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 a1 b1 • d1 cắt d2 khi và chỉ khi ạ 0 a2 b2 a1 b1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 • d1 / /d2 khi và chỉ khi = 0 và ạ 0 , hoặc = 0 và ạ 0 a2 b2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 a1 b1 b1 c1 c1 a1 • d1 º d2 khi và chỉ khi = = = 0 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Chỳ ý: Với trường hợp a2 .b2 .c2 ạ 0 khi đú
2. a a + Nếu 1 ạ 2 thỡ hai đường thẳng cắt nhau. b1 b2 a a c + Nếu 1 = 2 ạ 1 thỡ hai đường thẳng song song nhau. b1 b2 c2 a a c + Nếu 1 = 2 = 1 thỡ hai đường thẳng trựng nhau. b1 b2 c2 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: • Để viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D ta cần xỏc định - Điểm A(x0 ; y0 ) ẻ D r - Một vectơ phỏp tuyến n(a;b) của D Khi đú phương trỡnh tổng quỏt của D là a(x- x0 )+ b(y- y0 )= 0 Chỳ ý: r o Đường thẳng D cú phương trỡnh tổng quỏt là ax + by + c = 0, a2 + b2 ạ 0 nhận n(a;b) làm vectơ phỏp tuyến. o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thỡ VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. o Phương trỡnh đường thẳng D qua điểm M(x0 ; y0 ) cú dạng 2 2 D : a(x- x0 )+ b(y- y0 )= 0 với a + b ạ 0 hoặc ta chia làm hai trường hợp + x = x0 : nếu đường thẳng song song với trục Oy + y- y0 = k(x- x0 ) : nếu đường thẳng cắt trục Oy x y o Phương trỡnh đường thẳng đi qua A(a;0),B(0;b) với ab ạ 0 cú dạng + = 1 a b Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC biết A(2;0), B(0; 4), C(1; 3) . Viết phương trỡnh tổng quỏt của a) Đường cao AH A. x- 2y- 2 = 0 B. x- y- 3 = 0 C. x- y- 4 = 0 D. x- y- 2 = 0 b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . A. x- y + 6 = 0 B. x- y + 3 = 0 C. x- y + 5 = 0 D. x- y + 4 = 0 c) Đường thẳng AB .
3. A. 2x + y- 14 = 0 B. 2x + y- 3 = 0 C. 2x + y- 5 = 0 D. 2x + y- 4 = 0 d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . A. 2x + y- 5 = 0 B. 2x + y- 4 = 0 C. 2x + y- 6 = 0 D. 2x + y- 7 = 0 Lời giải: uuur a) Vỡ AH ^ BC nờn BC là vectơ phỏp tuyến của AH uuur uuur Ta cú BC(1;- 1) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ phỏp tuyến cú phương trỡnh tổng quỏt là 1.(x- 2)- 1.(y- 0)= 0 hay x- y- 2 = 0 . uuur b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ phỏp tuyến. x + x 1 y + y 7 ổ1 7ử Gọi I là trung điểm BC khi đú x = B C = , y = B C = ị Iỗ ; ữ I 2 2 I 2 2 ốỗ2 2ứữ ổ 1ử ổ 7ử Suy ra phương trỡnh tổng quỏt của đường trung trực BC là 1.ỗx- ữ- 1.ỗy- ữ= 0 hay x- y + 3 = 0 ốỗ 2ứữ ốỗ 2ứữ x y c) Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng AB cú dạng + = 1 hay 2x + y- 4 = 0 . 2 4 r d) Cỏch 1: Đường thẳng AB cú VTPT là n(2;1) do đú vỡ đường thẳng cần tỡm song song với đường r thẳng AB nờn nhận n(2;1) làm VTPT do đú cú phương trỡnh tổng quỏt là 2.(x- 1)+ 1.(y- 3)= 0 hay 2x + y- 5 = 0 . Cỏch 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB cú dạng 2x + y + c = 0 . Điểm C thuộc D suy ra 2.1+ 3+ c = 0 ị c = - 5 . Vậy đường thẳng cần tỡm cú phương trỡnh tổng quỏt là 2x + y- 5 = 0 . Vớ dụ 2: Cho đường thẳng d : x- 2y + 3 = 0 và điểm M(- 1; 2). Viết phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và cú hệ số gúc k = 3 A. 3x- y + 6 = 0 B. 3x- y + 7 = 0 C. 3x- y + 5 = 0 D. 3x- y + 4 = 0 b) D đi qua M và vuụng gúc với đường thẳng d A. 2x + y + 4 = 0 B. 2x + y + 3 = 0 C. 2x + y + 2 = 0 D. 2x + y + 1= 0 c) D đối xứng với đường thẳng d qua M A. x- 2y + 4 = 0 B. x- 2y + 5 = 0 C. 2x- 2y + 7 = 0 D. x- 2y + 7 = 0 Lời giải:
4. a) Đường thẳng D cú hệ số gúc k = 3 cú phương trỡnh dạng y = 3x + m . Mặt khỏc M ẻ D ị 2 = 3.(- 1)+ m ị m = 5 Suy ra phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là y = 3x + 5 hay 3x- y + 5 = 0 . 1 3 1 b) Ta cú x- 2y + 3 = 0 Û y = x + do đú hệ số gúc của đường thẳng d là k = . 2 2 d 2 Vỡ D ^ d nờn hệ số gúc của D là kD thỡ F1F2 = 2c(c > 0) Do đú a > c , MF1 + MF2 = 2a Suy ra phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng F1 , F2 là F1F2 = 2c hay 2x + y + 2 = 0 . x2 y2 c) Cỏch 1: Ta cú F (- c;0), F (c;0) do đú M(x; y)ẻ (E)Û + = 1 (1) vỡ vậy đường thẳng 1 2 a2 b2 2 2 2 b = a - c đối xứng với đường thẳng F1 (- c;0) qua M sẽ song song với đường thẳng A1 (- a;0), A2 (a;0), B1 (0;- b), B2 (0;b) suy ra đường thẳng A1A2 = 2a cú VTPT là B1B2 = 2b . Ta cú A(1; 2)ẻ d , gọi A' đối xứng với M(xM ; yM ) qua c c MF = a + ex = a + x , MF = a- ex = a- x khi đú a,b 1 M a M 2 M a M Ta cú M là trung điểm của AA' . ùỡ x + x ù = A A' ù xM ùỡ = - = - - = - ù ù xA' 2xM xA 2.( 1) 1 3 ị ớù 2 ị ớ ị A'(- 3; 2) ù y + y ù y = 2y - y = 2.2- 2 = 2 ù y = A A' ợù A' M A ợù M 2 Vậy phương trỡnh tổng quỏt đường thẳng D là 1.(x + 3)- 2(y- 2)= 0 hay x- 2y + 7 = 0 . Cỏch 2: Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d , A'(x; y) là điểm đối xứng với A qua M . ùỡ x + x ùỡ x + x ù x = 0 ù - 1= 0 ù M ù ùỡ x = - 2- x Khi đú M là trung điểm của AA' suy ra ớù 2 Û ớù 2 Û ớù 0 ù y + y ù y + y ù y = 4- y ù y = 0 ù 2 = 0 ợù 0 ợù M 2 ợù 2 Ta cú A ẻ d ị x0 - 2y0 + 3 = 0 suy ra (- 2- x)- 2.(4- y)+ 3 = 0 Û x- 2y + 7 = 0 Vậy phương trỡnh tổng quỏt của D đối xứng với đường thẳng d qua M là x- 2y + 7 = 0 . Vớ dụ 3: Biết hai cạnh của một hỡnh bỡnh hành cú phương trỡnh x- y = 0 và x + 3y- 8 = 0 , tọa độ một đỉnh của hỡnh bỡnh hành là (- 2; 2). Viết phương trỡnh cỏc cạnh cũn lại của hỡnh bỡnh hành. A. x- y + 4 = 0 B. x + 3y- 3 = 0 C. x + 3y- 2 = 0 D. x- y- 1= 0
5. Lời giải: Đặt tờn hỡnh bỡnh hành là ABCD với A(- 2; 2), do tọa độ điểm A khụng là nghiệm của hai phương trỡnh đường thẳng trờn nờn ta giả sử BC : x- y = 0 , CD : x + 3y- 8 = 0 uuur Vỡ AB / /CD nờn cạnh AB nhận nCD (1; 3) làm VTPT do đú cú phương trỡnh là 1.(x + 2)+ 3.(y- 2)= 0 hay x + 3y- 4 = 0 x2 y2 Tương tự cạnh AD nhận + = 1(a > b > 0) làm VTPT do đú cú phương trỡnh là a2 b2 1.(x + 2)- 1.(y- 2)= 0 hay x- y + 4 = 0 x2 y2 Vớ dụ 4: Cho điểm M(1; 4). Viết phương trỡnh đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia + = 1, tia 9 5 (0; 5) tại A và B sao cho tam giỏc b = 5 cú diện tớch nhỏ nhất . A. 4x + y- 6 = 0 B. 4x + y- 2 = 0 C. 4x + y- 4 = 0 D. 4x + y- 8 = 0 Lời giải: ổ ử ỗ4 10 ữ Giả sử A(a;0), B(0;b) với Mỗ ;- 1ữ. Khi đú đường thẳng đi qua A, B cú dạng ốỗ 5 ứữ 160 1 x2 y2 + = 1ị a2 = 8 . Do + = 1 nờn F (- 3;0) 25a2 5 8 5 1 1 1 Mặt khỏc S = OA.OB = ab . OAB 2 2 Áp dụng BĐT Cụsi ta cú a2 = b2 + c2 = b2 + 3 4 33 1 528 1 4 1 4 Suy ra M(1; ) ẻ (E) ị + = 1 nhỏ nhất khi = và + = 1 do đú a = 2;b = 8 5 a2 25b2 a b a b x y Vậy phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là + = 1 hay 4x + y- 8 = 0 2 8  DẠNG 2: Xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: Để xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 . ùỡ a x + b y + c = 0 Ta xột hệ ớù 1 1 1 (I) ù + + = ợù a2x b2 y c2 0 + Hệ (I) vụ nghiệm suy ra d1 / /d2 . + Hệ (I) vụ số nghiệm suy ra d1 º d2
6. + Hệ (I) cú nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chỳ ý: Với trường hợp a2 .b2 .c2 ạ 0 khi đú a b + Nếu 1 ạ 1 thỡ hai đường thẳng cắt nhau. a2 b2 a b c + Nếu 1 = 1 ạ 1 thỡ hai đường thẳng song song nhau. a2 b2 c2 a b c + Nếu 1 = 1 = 1 thỡ hai đường thẳng trựng nhau. a2 b2 c2 2. Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Xột vị trớ tương đối cỏc cặp đường thẳng sau a) D 1 : x + y- 2 = 0; D 2 : 2x + y- 3 = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được b) D 1 :- x- 2y + 5 = 0; D 2 : 2x + 4y- 10 = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được c) D 1 : 2x- 3y + 5 = 0; D 2 : x- 5 = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được d) D 1 : 2x + 3y + 4 = 0; D 2 :- 4x- 6y = 0 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được Lời giải: 1 1 a) Ta cú ạ suy ra D cắt D 2 1 1 2 - 1 - 2 5 b) Ta cú = = suy ra D trựng D 2 4 - 10 1 2 1 0 c) Ta cú ạ suy ra D cắt D 2 - 3 1 2
7. - 4 - 6 0 d) Ta cú = ạ suy ra D / /D 2 3 4 1 2 2 2 3x xM ( M ) 2 5 Vớ dụ 2: Cho tam giỏc + = 1 Û 26xM = 25 Û xM = ± cú phương trỡnh cỏc đường 25 9 26 ổ 5 15 ử thẳng M ỗ ; ữ là AB : 2x- y + 2 = 0 ; BC : 3x + 2y + 1= 0 ; CA : 3x + y + 3 = 0 . 1 ỗ ữ ốỗ 26 26 ứữ Xỏc định vị trớ tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng D : 3x- y- 2 = 0 A. cắtB. trựng C. Song song D. Khụng xỏc định được Lời giải: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ a = 5, b = 3,c = a2 - b2 = 4 c 4 Ta xỏc định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là MF = a + x = 5+ x 1 a M 5 M c 4 Đường cao kẻ từ đỉnh A vuụng gúc với BC nờn nhận vectơ MF = a- x = 5- x làm vectơ phỏp 2 a M 5 M 4 ổ 4 ử tuyến nờn cú phương trỡnh là 2(x + 1)- 3y = 0 hay 5+ x = 2ỗ5- x ữ 5 M ốỗ 5 M ứữ 25 Ta cú Û x = suy ra hai đường thẳng cắt nhau. M 12 25 y2 119 ổ25 119 ữử Vớ dụ 3: Cho hai đường thẳng + M = Û = ± và ỗ ữ. 1 yM M1 ỗ ; ữ 144 9 4 ốỗ12 4 ứữ a) Xỏc định vị trớ tương đối và xỏc định giao điểm (nếu cú) của D 1 và uuuur uuuur ã 0 F1 (- 4;0), F2 (4;0)ị MF1 (xM + 4; yM ), MF2 (xM - 4; yM ) trong cỏc trường hợp F1MF2 = 60 A. D 1 cắt D 2 B. D 1 trựng D 2 C. D 1 / /D 2 D. Khụng xỏc định được uuuur uuuur MF .MF x2 + y2 - 16 b) Tỡm cos600 = uuuur1 uuu2ur = M M để hai đường thẳng song song với nhau. ổ ửổ ử MF . MF ỗ 4 ữỗ 4 ữ 1 2 ỗ5+ x ữỗ5- x ữ ốỗ 5 M ứữốỗ 5 M ứữ A. m = 2 B. m = 5 C. m = 4 D. m = 3 Lời giải:
8. 1 ổ 16 ử x2 57 y2 a) Với Û x2 + y2 - 16 = ỗ25- x2 ữ xột hệ M = - M suy ra M M 2 ốỗ 25 M ữứ 25 66 33 57 y2 y 2 3 3 5 13 ổ5 13 3 3 ửữ - M + M = ị = ± cắt = ± tại điểm cú tọa độ ỗ ữ 1 yM xM M1 ỗ ; ữ 66 33 9 4 4 ốỗ 4 4 ứữ ổ 5 13 3 3 ữử ổ5 13 3 3 ữử ổ 5 13 3 3 ữử r Với ỗ- ữ ỗ - ữ xột hệ ỗ- - ữ suy ra D cắt - tại M2 ỗ ; ữ, M3 ỗ ; ữ M4 ỗ ; ữ 1 n( 1;1) ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ữứ gốc tọa độ 1 1 - xM + yM 1 b) Với - x + y = 0 hoặc SOAM = OA.d(M;OA)= 2 = - xM + yM theo cõu a hai 2 2 2 2 đường thẳng cắt nhau nờn khụng thỏa món 1 x y 1 ổx 2 y 2 ử 34 Với = - M + M Ê ỗ M + M ữ= và ạ hai đường thẳng song song khi và SOAM 5. 3. .34.ỗ ữ m 1 2 5 3 2 ốỗ 25 9 ứữ 2 chỉ khi m- 3 2 m2 - 1 = ạ Û = 2 m 2 - 1 m (m- 1) ỡ ù 25 ù xM = - ù 34 Vậy với ớù thỡ hai đường thẳng song song với nhau. ù 9 ù y = ù M ợù 34 ổ25 9 ử Vớ dụ 4: Cho tam giỏc M ỗ ;- ữ, tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc trong trường hợp sau 1 ỗ ữ ốỗ 34 34 ứữ a) Biết A(2; 2) và hai đường cao cú phương trỡnh d1 : x + y- 2 = 0 ; d2 : 9x- 3y + 4 = 0 . ổ 13ử ổ 22ử A. B(- 2; 4) và Cỗ1; ữ B. B(0; 2) và Cỗ2; ữ ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ ổ ử ổ ử ỗ2 4 3 ữ ỗ 31ữ C. B(- 1; 3) và Bỗ ; ữ D. B(1;1) và Cỗ3; ữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ 3 ứữ b) Biết A(4;- 1) , phương trỡnh đường cao kẻ từ B là A,B ; phương trỡnh trung tuyến đi qua đỉnh C là ABC ổ 2ử ổ 2ử ổ 4ử A. Bỗ1; ữ và Cỗ1;- ữ.B. Bỗ2; ữ và C(6;- 4). ốỗ 3ứữ ốỗ 3ứữ ốỗ 3ứữ ổ1 1ử ổ 4ử x2 y2 C. ỗ ữ và ỗ - ữ.D. + = > > và - . Bỗ ; ữ Cỗ2; ữ 2 2 1(a b 0) C(6; 4) ốỗ2 3ữứ ốỗ 3ữứ a b
9. Lời giải: a) Tọa độ điểm A khụng là nghiệm của phương trỡnh A(x0 ; y0 ) suy ra A,B nờn ta cú thể giả sử B ẻ d1 , C ẻ d2 x2 y2 x2 Ta cú AB đi qua A và vuụng gúc với A ẻ (E) nờn nhận 0 + 0 = 1 Û y2 = 1- 0 làm VTPT nờn cú 4 1 0 4 phương trỡnh là 2 2 2 2 2 2 2 ABC hay AB = AC ị (- 2y0 ) = (2- x0 ) + (- y0 ) ; AC đi qua Û 3y0 = 4- 4x0 + x0 và vuụng gúc ộx = 2 ổ x2 ử ờ 0 với ỗ - 0 ữ= - + 2 Û 2 - + = Û ờ nờn nhận = làm VTPT nờn cú 3ỗ1 ữ 4 4x0 x0 7x0 16x0 4 0 2 x0 2 ốỗ 4 ứữ ờx = ởờ 0 7 phương trỡnh là y0 = 0 hay A º C 2 B là giao điểm của x = và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ 0 7 4 3 y = ± 0 7 ổ ử ỗ2 4 3 ữ Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ Aỗ ; ữ ốỗ7 7 ứữ ổ ử ỗ2 4 3 ữ Vậy A(2; 2), B(- 1; 3) và Bỗ ; ữ ốỗ7 7 ứữ 2 2 b) Ta cú AC đi qua Oxy và vuụng gúc với 9x + 25y = 225 nờn nhận F1 làm VTPT nờn cú phương trỡnh là 3(x- 4)+ 2(y + 1)= 0 hay 3x + 2y- 10 = 0 ùỡ 3x + 2y- 10 = 0 ùỡ x = 6 Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ ớù Û ớù ị C(6;- 4) ợù 2x + 3y = 0 ợù y = - 4 Giả sử B(xB ; yB ) suy ra trung điểm A(0; 3) của AB thuộc đường thẳng B, C do đú x2 y2 (E): + = 1 hay 2x + 3y + 5 = 0 (1) 9 3 B B Mặt khỏc B ẻ D suy ra 2xB - 3yB = 0 (2) ổ 5 5ử Từ (1) và (2) suy ra Bỗ- ;- ữ ốỗ 4 6ứữ x2 y2 Vậy A(4;- 1) , + = 1(a > b > 0) và C(6;- 4). a2 b2