Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 4: Đường tròn

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 4: Đường tròn

1. Đ4. ĐƯỜNG TRềN A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Phương trỡnh đường trũn. • Phương trỡnh đường trũn (C) tõm I(a;b), bỏn kớnh R là :(x- a)2 + (y- b)2 = R2 Dạng khai triển của (C) là : x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 với c = a2 + b2 - R2 • Phương trỡnh x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 - c > 0 , là phương trỡnh đường trũn tõm I(a;b) bỏn kớnh R = a2 + b2 - c 2. Phương trỡnh tiếp tuyến : Cho đường trũn (C) : (x- a)2 + (y- b)2 = R2 • Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M(x0 ; y0 )là đường thẳng đi qua M và vuụng gúc với IM 2 nờn phương trỡnh : D : (x0 - a)(x- a)+ (y0 - a)(y- a) = R • D : ax + by + c = 0 là tiếp tuyến của (C) Û d(I,D) = R • Đường trũn (C) : (x- a)2 + (y- b)2 = R2 cú hai tiếp tuyến cựng phương với Oy là x = a ± R . Ngoài hai tiếp tuyến này cỏc tiếp tuyến cũn lại đều cú dạng : y = kx + m B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Nhận dạng phương trỡnh đường trũn. Tỡm tõm và bỏn kớnh đường trũn. 1. Phương phỏp giải. Cỏch 1: + Đưa phương trỡnh về dạng: (C): x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 (1) + Xột dấu biểu thức P = a2 + b2 - c Nếu P > 0 thỡ (1) là phương trỡnh đường trũn (C) cú tõm I(a;b) và bỏn kớnh R = a2 + b2 - c Nếu P Ê 0 thỡ (1) khụng phải là phương trỡnh đường trũn. Cỏch 2: Đưa phương trỡnh về dạng: (x- a)2 + (y- b)2 = P (2). Nếu P > 0 thỡ (2) là phương trỡnh đường trũn cú tõm I(a;b) và bỏn kớnh R = P Nếu P Ê 0 thỡ (2) khụng phải là phương trỡnh đường trũn. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào biểu diễn đường trũn? Tỡm tõm và bỏn kớnh nếu cú. a) x2 + y2 + 2x- 4y + 9 = 0 (1) A. tõm I(2;- 4) bỏn kớnh R = 3 B. tõm I(- 2; 2) bỏn kớnh R = 9
2. C. tõm I(- 1; 2) bỏn kớnh R = 3 D. Khụng phải là đường trũn b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0 (2) A. tõm I(3;- 2) bỏn kớnh R = 3 B. tõm I(3;- 2) bỏn kớnh R = 13 C. tõm I(6; 4) bỏn kớnh R = 3 D. Khụng phải là đường trũn c) 2x2 + 2y2 - 6x- 4y- 1= 0 (3) ổ3 ử 3 A. Khụng phải là đường trũnB. Tõm Iỗ ;1ữ bỏn kớnh R = ốỗ2 ứữ 2 10 ổ3 ử 10 C. Tõm I(3; 2) bỏn kớnh R = D. tõm Iỗ ;1ữ bỏn kớnh R = 2 ốỗ2 ứữ 2 d) 2x2 + y2 + 2x- 3y + 9 = 0 (4) A. tõm I(3;- 2) bỏn kớnh R = 3 B. tõm I(3;- 2) bỏn kớnh R = 13 C. tõm I(6; 4) bỏn kớnh R = 3 D. Khụng phải là đường trũn Lời giải: a) Phương trỡnh (1) cú dạng x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 với a = - 1; b = 2; c = 9 Ta cú a2 + b2 - c = 1+ 4- 9 < 0 Vậy phương trỡnh (1) khụng phải là phương trỡnh đường trũn. b) Ta cú: a2 + b2 - c = 9 + 4- 13 = 0 Suy ra phương trỡnh (2) khụng phải là phương trỡnh đường trũn. 2 1 ổ 3ử 2 5 c) Ta cú: (3)Û x2 + y2 - 3x- 2y- = 0 Û ỗx- ữ + (y- 1) = 2 ốỗ 2ứữ 2 ổ3 ử 10 Vậy phương trỡnh (3) là phương trỡnh đường trũn tõm Iỗ ;1ữ bỏn kớnh R = ốỗ2 ứữ 2 d) Phương trỡnh (4) khụng phải là phương trỡnh đường trũn vỡ hệ số của x 2 và y2 khỏc nhau.
3. Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh x2 + y2 - 2mx- 4(m- 2)y + 6- m = 0 (1) a) Tỡm điều kiện của m để (1) là phương trỡnh đường trũn. ộm > 2 ờ > 0 Với a = m; b = 2(m- 2); c = 6- m 2 ộm > 2 2 + - - + > Û 2 - + > Û ờ Hay m 4(m 2) 6 m 0 5m 15m 10 0 ờ ởm < 1 b) Với điều kiện trờn thỡ đường trũn cú tõm I(m; 2(m- 2)) và bỏn kớnh: R = 5m2 - 15m+ 10 2 2 Vớ dụ 3: Cho phương trỡnh đường cong (Cm ) : x + y + (m+ 2)x- (m+ 4)y + m+ 1= 0 (2) a) Chứng minh rằng (2) là phương trỡnh một đường trũn b) Tỡm tập hợp tõm cỏc đường trũn khi m thay đổi A. D : x + y- 2 = 0 B. D : 2x + y- 1= 0 C. D : x + 2y- 1= 0 D. D : x + y- 1= 0 c) Tỡm điểm khi m thay đổi họ cỏc đường trũn (Cm ) luụn đi qua điểm cố định đú A. M1 (- 1;0) và M2 (1; 2) B. M1 (- 1;1) và M2 (- 1; 2) C. M1 (- 1;1) và M2 (1; 2) D. M1 (- 1;1) và M2 (1;1) Lời giải:
4. 2 2 2 ổm+ 2ử ổ m+ 4ử (m+ 2) + 4 a) Ta cú a2 + b2 - c = ỗ ữ + ỗ- ữ - m- 1= > 0 ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ 2 Suy ra (2) là phương trỡnh đường trũn với mọi m ùỡ m+ 2 ù x = - ù I b) Đường trũn cú tõm I : ớù 2 suy ra x + y - 1= 0 ù m+ 4 I I ù y = ợù I 2 Vậy tập hợp tõm cỏc đường trũn là đường thẳng D : x + y- 1= 0 c) Gọi M(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà họ (Cm ) luụn đi qua. 2 2 Khi đú ta cú: xo + y0 + (m+ 2)x0 - (m+ 4)y0 + m+ 1= 0, " m 2 2 Û (x0 - y0 - 1)m+ xo + y0 + 2x0 - 4y0 + 1= 0, " m ùỡ x - y + 1= 0 ùỡ x = - 1 ùỡ x = 1 Û ớù 0 0 Û ớù 0 hoặc ớù 0 ù 2 + 2 + - + = ù = ù = ợù x0 y0 2x0 4y0 1 0 ùợ y0 0 ợù y0 2 Vậy cú hai điểm cố định mà họ( Cm ) luụn đi qua với mọi m là M1 (- 1;0) và M2 (1; 2)  DẠNG 2: Viết phương trỡnh đường trũn 1. Phương phỏp giải. Cỏch 1: + Tỡm toạ độ tõm I(a;b) của đường trũn (C) + Tỡm bỏn kớnh R của đường trũn (C) + Viết phương trỡnh của (C) theo dạng (x- a)2 + (y- b)2 = R2 . Cỏch 2: Giả sử phương trỡnh đường trũn (C) là: x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 (Hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 ). + Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trỡnh với ba ẩn là a, b, c. + Giải hệ để tỡm a, b, c từ đú tỡm được phương trỡnh đường trũn (C). Chỳ ý: * A ẻ (C)Û IA = R * (C) tiếp xỳc với đường thẳng D tại A Û IA = d(I;D)= R * (C) tiếp xỳc với hai đường thẳng D 1 và D 2 Û d(I;D 1)= d(I;D 2 )= R 2. Cỏc vớ dụ.
5. Vớ dụ 1 : Viết phương trỡnh đường trũn trong mỗi trường hợp sau: a) Cú tõm I(1;- 5) và đi qua O(0;0). 2 2 2 2 A. (x + 1) + (y + 5) = 26 B. (x- 1) + (y + 5) = 10 2 2 2 2 C. (x + 1) + (y- 5) = 26 D. (x- 1) + (y + 5) = 26 b) Nhận AB làm đường kớnh với A(1;1), B(7; 5). 2 2 2 2 A. (x- 4) + (y- 3) = 5 B. (x- 4) + (y- 3) = 7 2 2 2 2 C. (x + 4) + (y + 3) = 13 D. (x- 4) + (y- 3) = 13 c) Đi qua ba điểm: M(- 2; 4), N(5; 5), P(6;- 2). A. x2 + y2 - 4x- 2y- 10 = 0 B. x2 + y2 + 4x + 2y- 20 = 0 C. x2 + y2 - 4x + 2y- 10 = 0 D. x2 + y2 - 4x- 2y- 20 = 0 Lời giải: a) Đường trũn cần tỡm cú bỏn kớnh là OI = 12 + 52 = 26 nờn cú phương trỡnh là 2 2 (x- 1) + (y + 5) = 26 b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I(4; 3) 2 2 AI = (4- 1) + (3- 1) = 13 Đường trũn cần tỡm cú đường kớnh là AB suy ra nú nhận I(4; 3) làm tõm và bỏn kớnh 2 2 R = AI = 13 nờn cú phương trỡnh là (x- 4) + (y- 3) = 13 c) Gọi phương trỡnh đường trũn (C) cú dạng là: x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 . Do đường trũn đi qua ba điểm M,N,P nờn ta cú hệ phương trỡnh: ùỡ 4 + 16 + 4a- 8b + c = 0 ùỡ a = 2 ù ù ớù 25+ 25- 10a- 10b + c = 0 Û ớù b = 1 ù ù ợù 36 + 4- 12a + 4b + c = 0 ợù c = - 20 Vậy phương trỡnh đường trũn cần tỡm là: x2 + y2 - 4x- 2y- 20 = 0 Nhận xột: Đối với ý c) ta cú thể làm theo cỏch sau
6. Gọi I(x; y) và R là tõm và bỏn kớnh đường trũn cần tỡm ùỡ IM 2 = IN 2 Vỡ IM = IN = IP Û ớù nờn ta cú hệ ù 2 2 ợù IM = IP ùỡ 2 2 2 2 ù (x + 2) + (y- 4) = (x- 5) + (y- 5) ùỡ x = 2 ù Û ù ớ 2 2 2 2 ớ ù + + - = - + + ù y = 1 ợù (x 2) (y 4) (x 6) (y 2) ợ Vớ dụ 2: Viết phương trỡnh đường trũn (C) trong cỏc trường hợp sau: a) (C) cú tõm I(- 1; 2) và tiếp xỳc với đường thẳng D : x- 2y + 7 = 0 2 2 7 2 2 4 A. (x + 1) + (y- 2) = B. (x- 1) + (y- 2) = 5 5 2 2 4 2 2 4 C. (x- 1) + (y + 2) = D. (x + 1) + (y- 2) = 5 5 b) (C) đi qua A(2;- 1) và tiếp xỳc với hai trục toạ độ Ox và Oy 2 2 A. (x- 5) + (y + 5) = 25 2 2 B. (x- 1) + (y + 1) = 1 2 2 2 2 C. (x- 5) + (y + 5) = 25 , (x- 1) + (y + 1) = 1 2 2 D. (x- 5) + (y + 5) = 4 c) (C) cú tõm nằm trờn đường thẳng d : x- 6y- 10 = 0 và tiếp xỳc với hai đường thẳng cú phương trỡnh d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d2 : 4x- 3y- 5 = 0 2 A. (C):(x- 10) + y2 = 49 2 2 2 ổ 10ử ổ 70ử ổ7 ử B. (C):ỗx- ữ + ỗy + ữ = ỗ ữ ốỗ 43ứữ ốỗ 43ữứ ốỗ43ứữ 2 2 2 ổ 10ử ổ 70ử ổ7 ử 2 C. (C):ỗx- ữ + ỗy + ữ = ỗ ữ và (C):(x- 10) + y2 = 49 ốỗ 43ứữ ốỗ 43ữứ ốỗ43ứữ 2 D. (C):(x- 10) + y2 = 25 Lời giải:
7. a) Bỏn kớnh đường trũn (C) chớnh là khoẳng cỏch từ I tới đường thẳng D nờn - 1- 4- 7 2 R = d(I;D)= = 1+ 4 5 2 2 4 Vậy phương trỡnh đường trũn (C) là : (x + 1) + (y- 2) = 5 b) Vỡ điểm A nằm ở gúc phần tư thứ tư và đường trũn tiếp xỳc với hai trục toạ độ nờn tõm của đường trũn cú dạng I(R;- R) trong đú R là bỏn kớnh đường trũn (C). 2 2 ộR = 1 2 = 2 Û 2 = - + - + Û 2 - + = Û ờ Ta cú: R IA R (2 R) ( 1 R) R 6R 5 0 ờ ởR = 5 2 2 2 2 Vậy cú hai đường trũn thoả món đầu bài là: (x- 1) + (y + 1) = 1 và (x- 5) + (y + 5) = 25 c) Vỡ đường trũn cần tỡm cú tõm K nằm trờn đường thẳng d nờn gọi K(6a + 10; a) Mặt khỏc đường trũn tiếp xỳc với d1 , d2 nờn khoảng cỏch từ tõm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bỏn kớnh R suy ra ộ = 3(6a + 10)+ 4a + 5 4(6a + 10)- 3a- 5 ờa 0 = 22a + 35 = 21a + 35 Û ờ - 70 5 5 ờa = ởờ 43 2 - Với a = 0 thỡ K(10;0) và R = 7 suy ra (C):(x- 10) + y2 = 49 2 2 2 - 70 ổ10 - 70ử 7 ổ 10ử ổ 70ử ổ7 ử - Với a = thỡ Kỗ ; ữ và R = suy ra (C):ỗx- ữ + ỗy + ữ = ỗ ữ 43 ốỗ43 43 ứữ 43 ốỗ 43ứữ ốỗ 43ứữ ốỗ43ứữ Vậy cú hai đường trũn thỏa món cú phương trỡnh là 2 2 2 2 ổ 10ử ổ 70ử ổ7 ử (C):(x- 10) + y2 = 49 và (C):ỗx- ữ + ỗy + ữ = ỗ ữ ốỗ 43ứữ ốỗ 43ứữ ốỗ43ứữ Vớ dụ 3: Cho hai điểm A(8;0) và B(0;6). a) Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OAB 2 2 2 2 A. (x- 4) + (y- 3) = 16 B. (x- 4) + (y- 3) = 9 2 2 2 2 C. (x- 4) + (y- 3) = 36 D. (x- 4) + (y- 3) = 25 b) Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc OAB 2 2 2 2 A. (x- 2) + (y- 2) = 9 B. (x- 7) + (y- 5) = 4
8. 2 2 2 2 C. (x- 3) + (y- 4) = 4 D. (x- 2) + (y- 2) = 4 Lời giải: a) Ta cú tam giỏc OAB vuụng ở O nờn tõm I của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc là trung điểm 2 2 của cạnh huyền AB suy ra I(4; 3) và Bỏn kớnh R = IA = (8- 4) + (0- 3) = 5 2 2 Vậy phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OAB là: (x- 4) + (y- 3) = 25 b) Ta cú OA = 8; OB = 6; AB = 82 + 62 = 10 1 Mặt khỏc OA.OB = pr (vỡ cựng bằng diện tớch tam giỏc ABC ) 2 OA.OB Suy ra r = = 2 OA + OB+ AB Dễ thấy đường trũn cần tỡm cú tõm thuộc gúc phần tư thứ nhất và tiếp xỳc với hai trục tọa độ nờn tõm của đường trũn cú tọa độ là (2; 2) 2 2 Vậy phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc OAB là: (x- 2) + (y- 2) = 4 Vớ dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d2 A d1 : 3x + y = 0 . và d2 : 3x- y = 0 . Gọi (C) là đường trũn tiếp xỳc với d tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng d 1 2 1 B tại B. Viết phương trỡnh của (C), biết tam giỏc ABC cú diện tớch 3 bằng và điểm A cú hoành độ dương. C 2 Hỡnh 3.1 2 ổ ử ổ ử2 ỗ 3 ữ ỗ 3ữ A. (C):ỗx + ữ + ỗx + ữ = 2 ốỗ 6 ứữ ốỗ 2ứữ 2 ổ ử ổ ử2 ỗ 3 ữ ỗ 3ữ B. (C):ỗx + ữ + ỗx + ữ = 4 ốỗ 6 ứữ ốỗ 2ứữ 2 ổ ử ổ ử2 ỗ 3 ữ ỗ 3ữ C. (C):ỗx + ữ + ỗx + ữ = 9 ốỗ 6 ứữ ốỗ 2ứữ 2 ổ ử ổ ử2 ỗ 3 ữ ỗ 3ữ D. (C):ỗx + ữ + ỗx + ữ = 1 ốỗ 6 ữứ ốỗ 2ứữ Lời giải:
9. (hỡnh 3.1) ẻ ị - > ẻ ị Vỡ A d1 A(a; 3a), a 0; B, C d2 B(b; 3b), C(c; 3c) uuur uuur Suy ra AB(b- a; 3(a + b)), AC(c- a; 3(c + a)) Tam giỏc ABC vuụng tại B do đú AC là đường kớnh của đường trũn C. uuur ur Do đú AC ^ d1 ị AC.u1 = 0 Û - 1.(c- a)+ 3. 3(a + c)= 0 Û 2a + c = 0 (1) uuur uur AB ^ d2 ị AB.u2 = 0 Û 1.(b- a)+ 3(a + b)= 0 Û 2b + a = 0 (2) 2 3a 1 1 2 2 3 Mặt khỏc S = d(A;d ).BC ị . (c- b) + 3(c- b) = Û 2a c- b = 1 (3) ABC 2 2 2 2 2 3 Từ (1), (2) suy ra 2(c- b)= - 3a thế vào (3) ta được a - 3a = 1 Û a = 3 ổ ử ổ ử 3 2 3 ỗ 3 ữ ỗ 2 3 ữ Do đú b = - , c = - ị Aỗ ;- 1ữ, Cỗ- ;- 2ữ 6 3 ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ ổ ử ỗ 3 3ữ AC Suy ra (C) nhận Iỗ- ;- ữ là trung điểm AC làm tõm và bỏn kớnh là R = = 1 ốỗ 6 2ứữ 2 2 ổ ử ổ ử2 ỗ 3 ữ ỗ 3ữ Vậy phương trỡnh đường trũn cần tỡm là (C):ỗx + ữ + ỗx + ữ = 1 ốỗ 6 ứữ ốỗ 2ứữ  DẠNG 3: Vị trớ tương đối của điểm; đường thẳng; đường trũn với đường trũn 1. Phương phỏp giải. • Vị trớ tương đối của điểm M và đường trũn (C) Xỏc định tõm I và bỏn kớnh R của đường trũn (C) và tớnh IM + Nếu IM R suy ra M nằm ngoài đường trũn • Vị trớ tương đối giữa đường thẳng D và đường trũn (C) Xỏc định tõm I và bỏn kớnh R của đường trũn (C) và tớnh d(I;D) + Nếu d(I;D) R suy ra D khụng cắt đường trũn Chỳ ý: Số nghiệm của hệ phương trỡnh tạo bởi phương trỡnh đường thẳng D và đường trũn (C) bằng số giao điểm của chỳng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
10. • Vị trớ tương đối giữa đường trũn (C) và đường trũn (C') Xỏc định tõm I, bỏn kớnh R của đường trũn (C) và tõm I', bỏn kớnh R' của đường trũn (C') và tớnh II ' , R+ R', R- R' + Nếu II ' > R+ R' suy ra hai đường trũn khụng cắt nhau và ở ngoài nhau + Nếu II ' = R+ R' suy ra hai đường trũn tiếp xỳc ngoài với nhau + Nếu II ' < R- R' suy ra hai đường trũn khụng cắt nhau và lồng vào nhau + Nếu II ' = R- R' suy ra hai đường trũn tiếp xỳc trong với nhau + Nếu R- R' < II ' < R+ R' suy ra hai đường trũn cắt nhau tại hai điểm phõn biệt Chỳ ý: Số nghiệm của hệ phương trỡnh tạo bởi phương trỡnh đường thẳng (C) và đường trũn (C') bằng số giao điểm của chỳng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho đường thẳng D : x- y + 1= 0 và đường trũn (C): x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0 a) Chứng minh điểm M(2;1) nằm trong đường trũn b) Xột vị trớ tương đối giữa D và (C) A. D cắt (C) tại hai điểm phõn biệt. B. D tiếp xỳc(C) C. D khụng cắt(C).D. Khụng xỏc định được. c) Viết phương trỡnh đường thẳng D ' vuụng gúc với D và cắt đường trũn tại hai điểm phõn biệt sao cho khoảng cỏch của chỳng là lớn nhất. A. D ' : 2x + y- 1= 0 B. D ' : x + 2y- 1= 0 C. D ' : x + y- 2 = 0 D. D ' : x + y- 1= 0 Lời giải: a) Đường trũn (C) cú tõm I(2;- 1) và bỏn kớnh R = 3 . 2 2 Ta cú IM = (2- 2) + (1+ 1) = 2 < 3 = R do đú M nằm trong đường trũn. 2 + 1+ 1 b) Vỡ d(I;D)= = 2 2 < 3 = R nờn D cắt (C) tại hai điểm phõn biệt. 1+ 1
11. c) Vỡ D ' vuụng gúc với D và cắt đường trũn tại hai điểm phõn biệt sao cho khoảng cỏch của chỳng là lớn nhất nờn D ' vuụng gúc với D và đi qua tõm I của đường trũn (C). uur Do đú D ' nhận vectơ uD = (1;1) làm vectơ phỏp tuyến suy ra D ' : 1(x- 2)+ 1(y + 1)= 0 hay x + y- 1= 0 Vậy phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là D ' : x + y- 1= 0 Vớ dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường trũn (C): x2 + y2 - 2x- 6y- 15 = 0 và (C'): x2 + y2 - 6x- 2y- 3 = 0 a) Chứng minh rằng hai đường trũn cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A, B b) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và B ùỡ x = 1+ 5t ùỡ x = 1+ 4t ùỡ x = 1+ 5t ùỡ x = 1+ 4t A. ớù B. ớù C. ớù D. ớù ợù y = - 2 + 5t ợù y = - 2 + 4t ợù y = - 2 + 4t ợù y = - 2 + 5t c) Viết phương trỡnh đường trũn đi qua ba điểm A, B và O A. x2 + y2 - 7x- y + 1= 0 B. x2 + y2 - 7x- y- 2 = 0 C. x2 + y2 - 7x- y- 4 = 0 D. x2 + y2 - 7x- y = 0 Lời giải: a) Cỏch 1: (C) cú tõm I(1; 3) và bỏn kớnh R = 5 , (C) cú tõm I '(3;1) và bỏn kớnh R = 13 2 2 II ' = (3- 1) + (1- 3) = 2 2 Ta thấy R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2 suy ra hai đường trũn cắt nhau. Cỏch 2: Xột hệ phương trỡnh ùỡ x2 + y2 - 2x- 6y- 15 = 0 ùỡ x2 + y2 - 2x- 6y- 15 = 0 ớù Û ớù ù 2 2 ù ợù x + y - 6x- 2y- 3 = 0 ợù x- y- 3 = 0 ùỡ ộ = - ỡ 2 2 ù y 2 ù (y + 3) + y2 - 2(y + 3)- 6y- 15 = 0 ùỡ y - y- 6 = 0 ù ờ Û ớù Û ớù Û ớù ờy = 3 ù ù = + ù ở ợù x = y + 3 ợù x y 3 ù ợù x = y + 3 Suy ra hai đường trũn cắt nhau tại hai điểm cú tọa độ là A(1;- 2) và B(6; 3) uuur b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận AB(5; 5) làm vectơ chỉ phương suy ra phương trỡnh ùỡ x = 1+ 5t đường thẳng cần tỡm là ớù ợù y = - 2 + 5t
12. c) Cỏch 1: Đường trũn cần tỡm (C") cú dạng x2 + y2 - 2ax- 2by + c = 0 ùỡ 7 ù a = ỡ ù 2 ù 1+ 4- 2a + 4b + c = 0 ù ù ù 1 (C") đi qua ba điểm A, B và O nờn ta cú hệ ớù 36 + 9- 12a- 6b + c = 0 Û ớù b = ù ù 2 ù = ù ợù c 0 ù c = 0 ù ợù Vậy (C") : x2 + y2 - 7x- y = 0 Cỏch 2: Vỡ A, B là giao điểm của hai đường trũn (C) và (C') nờn tọa độ đều thỏa món phương trỡnh x2 + y2 - 2x- 6y- 15+ m(x2 + y2 - 6x- 2y- 3)= 0 (*) Tọa độ điểm O thỏa món phương trỡnh (*) khi và chỉ khi - 15+ m.(- 3)= 0 Û m = - 5 Khi đú phương trỡnh (*) trở thành x2 + y2 - 7x- y = 0 Vậy phương trỡnh đường trũn cần tỡm là x2 + y2 - 7x- y = 0 Vớ dụ 3: Cho đường trũn (C) : x2 + y2 - 2x + 4y- 4 = 0 cú tõm I và đường thẳng D : 2x + my + 1- 2 = 0 a) Tỡm m để đường thẳng D cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A, B A. m = 2 B. m ẻ (2;9) C. m = 9 D. m = Ă b) Tỡm m để diện tớch tam giỏc IAB là lớn nhất A. m = - 2 B. m = - 4 C. m = 2 D. m = 9 Lời giải: (hỡnh 3.2) a) Đường trũn (C) cú tõm I(1;- 2), bỏn kớnh R = 3 D cắt (C) tại hai điểm phõn biệt khi và chỉ khi 2 - 2m+ 1- 2 d(I;D) 0 (đỳng với mọi m) B A H Hỡnh 3.2
13. 1 ã 9 ã 9 b) Ta cú S = IA.IB.sin AIB = sin AIB Ê IAB 2 2 2 9 ã ã 0 Suy maxS = khi và chỉ khi sin AIB = 1 Û AIB = 90 IAB 2 ã 0 0 3 Gọi H là hỡnh chiếu của I lờn D khi đú AIH = 45 ị IH = IA.cos 45 = 2 1- 2m 3 Ta cú d(I;D)= IH Û = Û m2 + 8m+ 16 = 0 Û m = - 4 2 + m2 2 Vậy với m = - 4 thỏa món yờu cầu bài toỏn.  DẠNG 4: Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đường trũn 1. Phương phỏp giải. Cho đường trũn (C) tõm I(a;b), bỏn kớnh R uuur • Nếu biết tiếp điểm là M(x0 ; y0 ) thỡ tiếp tuyến đú đi qua M và nhận vectơ IM(x0 - a; y0 - b) làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh là (x0 - a)(x- x0 )+ (y0 - b)(y- y0 )= 0 • Nếu khụng biết tiếp điểm thỡ dựng điều kiện: Đường thẳng D tiếp xỳc đường trũn (C) khi và chỉ khi d(I;D)= R để xỏc định tiếp tuyến. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho đường trũn (C) cú phương trỡnh x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 và điểm hai điểm A(1;- 1); B(1; 3) a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường trũn, điểm B nằm ngoài đường trũn b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại điểm A A. y = - 1 B. x = 1 C. x + y = 0 D. x- y = 2 c) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) kẻ từ B. A. y = 3 và 3x + 4y- 15 = 0 B. x = 1 và 2x + 4y- 14 = 0 C. x = 1 và x + 4y- 13 = 0 D. x = 1 và 3x + 4y- 15 = 0 Lời giải: Đường trũn (C) cú tõm I(3;- 1) bỏn kớnh R = 32 + 1- 6 = 2 . a) Ta cú: IA = 2 = R; IB = 2 5 > R suy ra điểm A thuộc đường trũn và điểm B nằm ngoài đường trũn
14. uur b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA = (2;0) làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh là 2(x- 1)+ 0(y + 1)= 0 hay x = 1 b) Phương trỡnh đường thẳng D đi qua B cú dạng: a(x- 1)+ b(y- 3)= 0 (với a2 + b2 ạ 0 ) hay ax + by- a- 3b = 0 Đường thẳng D là tiếp tuyến của đường trũn Û d(I;D)= R 3a- b- a- 3b 2 ộ b = 0 Û = Û - = 2 + 2 Û 2 - = Û ờ 2 (a 2b) a b 3b 4ab 0 ờ a2 + b2 ở3b = 4a + Nếu b = 0 , chọn a = 1 suy ra phương trỡnh tiếp tuyến là x = 1. + Nếu 3b = 4a , chọn a = 3, b = 4 suy ra phương trỡnh tiếp tuyến là 3x + 4y- 15 = 0 Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) cú phương trỡnh là x = 1 và 3x + 4y- 15 = 0 Vớ dụ 2: Viết phương trỡnh tiếp tuyến D của đường trũn (C): x2 + y2 - 4x + 4y- 1= 0 trong trường a) Đường thẳng D vuụng gúc với đường thẳng D ' : 2x + 3y + 4 = 0 A. D :- 3x + 2y + 10 = 0 B. D :- 3x + 2y + 10 ± 2 13 = 0 C. D :- 3x + 2y + 8 ± 3 13 = 0 D. D :- 3x + 2y + 10 ± 3 13 = 0 b) Đường thẳng D hợp với trục hoành một gúc 450 A. D : x- y- 3 2 - 4 = 0 B. D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0 C. D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0, D 3 : x- y + 3 2 - 4 = 0 D. D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0, D 3 : x- y + 3 2 - 4 = 0 ,D : x- y- 3 2 - 4 = 0 Lời giải: a) Đường trũn (C) cú tõm I(2;- 2), bỏn kớnh R = 3 r Vỡ D ^ D ' nờn D nhận u(- 3; 2) làm VTPT do đú phương trỡnh cú dạng - 3x + 2y + c = 0 Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường trũn (C) khi và chỉ khi
15. - 10 + c d(I;D)= 3 Û = 3 Û c = 10 ± 3 13 13 Vậy cú hai tiếp tuyến là D :- 3x + 2y + 10 ± 3 13 = 0 b) Giả sử phương trỡnh đường thẳng D : ax + by + c = 0, a2 + b2 ạ 0 Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường trũn (C) khi và chỉ khi 2a- 2b + c 2 d(I;D)= 3 Û = 3 Û (2a- 2b + c) = 9(a2 + b2 )(*) a2 + b2 Đường thẳng D hợp với trục hoành một gúc 450 suy ra b b cos(D;Ox)= ị cos 450 = Û a = b hoặc a = - b a2 + b2 a2 + b2 TH1: Nếu a = b thay vào (*) ta cú 18a2 = c2 Û ± c = 3 2a , chọn a = b = 1ị c = ± 3 2 suy ra D : x + y ± 3 2 = 0 ộ = - 2 ờc (3 2 4)a = - 2 = + Û ờ TH2: Nếu a b thay vào (*) ta cú 18a (4a c) ờ ờc = - 3 2 + 4 a ở ( ) Với c = (3 2 - 4)a , chọn a = 1, b = - 1, c = (3 2 - 4)ị D : x- y + 3 2 - 4 = 0 Với c = - (3 2 + 4)a , chọn a = 1, b = - 1, c = - (3 2 + 4)ị D : x- y- 3 2 - 4 = 0 Vậy cú bốn đường thẳng thỏa món là D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0, D 3 : x- y + 3 2 - 4 = 0 và D 4 : x- y- 3 2 - 4 = 0 Vớ dụ 3: Lập phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn sau: 2 2 2 2 (C1): x + y - 4y- 5 = 0 và (C2 ): x + y - 6x + 8y + 16 = 0 A. 4x- 3y- 9 = 0 B. 2x + y- 2 ± 3 5 = 0 C. 2x + y- 2 ± 3 5 = 0, y + 1= 0 D. 2x + y- 2 ± 3 5 = 0, y + 1= 0, 4x- 3y- 9 = 0 Lời giải:
16. Đường trũn (C1) cú tõm I1 (0; 2) bỏn kớnh R1 = 3 Đường trũn (C2 ) cú tõm I2 (3;- 4) bỏn kớnh R2 = 3 Gọi tiếp tuyến chung của hai đường trũn cú phương trỡnh D : ax + by + c = 0 với a2 + b2 ạ 0 ỡ ùỡ D = ù 2b + c = 3 a2 + b2 * ù d(I1 , ) 3 ù ( ) D là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2 ) Û ớ Û ớ ù d(I ,D) = 3 ù 2 2 ợù 2 ợù 3a- 4b + c = 3 a + b ộ = ờa 2b Suy ra 2b + c = 3a- 4b + c Û ờ - 3a + 2b ờc = ởờ 2 TH1: Nếu a = 2b chọn a = 2, b = 1 thay vào (*) ta được c = - 2 ± 3 5 nờn ta cú 2 tiếp tuyến là 2x + y- 2 ± 3 5 = 0 - 3a + 2b TH2: Nếu c = thay vào (*) ta được 2b- a = 2 a2 + b2 Û a = 0 hoặc 3a + 4b = 0 2 + Với a = 0 ị c = b , chọn b = c = 1 ta được D : y + 1= 0 + Với 3a + 4b = 0 ị c = 3b , chọn a = 4, b = - 3, c = - 9 ta được D : 4x- 3y- 9 = 0 Vậy cú 4 tiếp tuyến chung của hai đường trũn là : 2x + y- 2 ± 3 5 = 0, y + 1= 0, 4x- 3y- 9 = 0