Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 5: Đường elip

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 5: Đường elip

1. Đ5. ĐƯỜNG ELIP A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2 = 2c(c > 0) và hằng số a > c . Elip(E) là tập hợp cỏc điểm M thỏa món MF1 + MF2 = 2a . Cỏc điểm F1 , F2 là tiờu điểm của (E). Khoảng cỏch F1F2 = 2c là tiờu cự của (E). MF1 , MF2 được gọi là bỏn kớnh qua tiờu. 2) Phương trỡnh chớnh tắc của elip: y B2 Với F (- c;0), F (c;0): 1 2 M A1 A2 2 2 x y 2 2 2 M(x; y)ẻ (E)Û + = 1 (1) trong đú b = a - c F O F2 x a2 b2 1 (1) được gọi là phương trỡnh chớnh tắc của (E) B1 3) Hỡnh dạng và tớnh chất của elip: Hỡnh 3.3 Elip cú phương trỡnh (1) nhận cỏc trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tõm đối xứng. + Tiờu điểm: Tiờu điểm trỏi F1 (- c;0), tiờu điểm phải F2 (c;0) + Cỏc đỉnh : A1 (- a;0), A2 (a;0), B1 (0;- b), B2 (0;b) + Trục lớn : A1A2 = 2a , nằm trờn trục Ox; trục nhỏ : B1B2 = 2b , nằm trờn trục Oy + Hỡnh chữ nhật tạo bởi cỏc đường thẳng x = ± a, y = ± b gọi là hỡnh chữ nhật cơ sở. c + Tõm sai : e = < 1 a + Bỏn kớnh qua tiờu điểm của điểm M(xM ; yM ) thuộc (E) là: c c MF = a + ex = a + x , MF = a- ex = a- x 1 M a M 2 M a M B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1. Xỏc định cỏc yếu tố của elip khi biết phương trỡnh chớnh tắc của elip. 1.Phương phỏp giải. Từ phương trỡnh chớnh tắc ta xỏc định cỏc đại lượng a,b và b2 = a2 - c2 ta tỡm được c elip từ đú ta suy ra được cỏc yếu tố cần tỡm. 2. Cỏc vớ dụ. x2 y2 Vớ dụ 1. Elip cú phương trỡnh sau + = 1 . 4 1 a) Xỏc định cỏc đỉnh A. A1 (- 1;0); A2 (1;0); B1 (0;- 1); B2 (0;1) B. A1 (- 2;0); A2 (2;0); B1 (0;- 2); B2 (0; 2) C. A1 (- 1;0); A2 (1;0); B1 (0;- 2); B2 (0; 2) D. A1 (- 2;0); A2 (2;0); B1 (0;- 1); B2 (0;1)
2. b) Xỏc định độ dài trục A. trục lớn A1A2 = 2 , độ dài trục bộ B1B2 = 1 B. trục lớn A1A2 = 3 , độ dài trục bộ B1B2 = 2 C. trục lớn A1A2 = 4 , độ dài trục bộ B1B2 = 3 D. trục lớn A1A2 = 4 , độ dài trục bộ B1B2 = 2 c) Xỏc định tiờu cự A. F1F2 = 3 B. F1F2 = 5 C. F1F2 = 3 3 D. F1F2 = 2 3 d) Xỏc định tiờu điểm A. tiờu điểm là - ,B. tiờu điểm là - , C. tiờu F1 ( 2;0); F2 (2;0) F1 ( 7;0); F2 ( 7;0) điểm là - ,D. tiờu điểm là - , F1 ( 5;0); F2 ( 5;0) F1 ( 3;0); F2 ( 3;0) e) Xỏc định tõm sai 3 5 7 3 A. e = B. e = C. e = D. e = 3 2 2 2 Elip cú phương trỡnh sau 4x2 + 25y2 = 100 a) Xỏc định cỏc đỉnh A. A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;- 2) B. A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;- 2) C. A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;- 2) D. A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;- 2) b) Xỏc định độ dài trục A. Độ dài trục lớn A1A2 = 12 , độ dài trục bộ B1B2 = 4 B. Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bộ B1B2 = 2 C. Độ dài trục lớn A1A2 = 12 , độ dài trục bộ B1B2 = 2 D. Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bộ B1B2 = 4 c) Xỏc định tiờu cự A. F1F2 = 21 B. F1F2 = 3 21 C. F1F2 = 2 21 D. F1F2 = 5 21 d) Xỏc định tiờu điểm A. - B. - F1 ( 2 21;0); F2 (2 21;0) F1 ( 3 21;0); F2 (3 21;0) C. - D. - F1 ( 4 21;0); F2 (4 21;0) F1 ( 21;0); F2 ( 21;0) e) Xỏc định tõm sai
3. 21 21 21 21 A. e = B. e = C. e = D. e = 5 4 3 2 Lời giải: a) Từ phương trỡnh của (E) ta cú a = 2, b = 1ị c = a2 - b2 = 3 . Suy ra tọa độ cỏc đỉnh là A1 (- 2;0); A2 (2;0); B1 (0;- 1); B2 (0;1) Độ dài trục lớn A1A2 = 4 , độ dài trục bộ B1B2 = 2 Tiờu cự = = , tiờu điểm là - , F1F2 2c 2 3 F1 ( 3;0); F2 ( 3;0) c 3 Tõm sai của (E) là e = = a 2 x2 y2 b) Ta cú 4x2 + 25y2 = 100 Û + = 1 suy ra a = 5; b = 2 ị c = a2 - b2 = 21 25 4 Do đú tọa độ cỏc đỉnh là A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;- 2) Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bộ B1B2 = 4 Tiờu cự = = , tiờu điểm là - , F1F2 2c 2 21 F1 ( 21;0); F2 ( 21;0) c 21 Tõm sai của (E) là e = = a 5  DẠNG 2. Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường elip. 1. Phương phỏp giải. Để viết phương trỡnh chớnh tắc của elip ta làm như sau: x2 y2 + Gọi phương trỡnh chớnh tắc elip là + = 1(a > b > 0) a2 b2 + Từ giả thiết của bài toỏn ta thiết lập cỏc phương trỡnh, hệ phương trỡnh từ giải thiết của bài toỏn để tỡm cỏc đại lượng a,b của elip từ đú viết được phương trỡnh chớnh tắc của nú. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1. Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: 2 a) (E) cú độ dài trục lớn là 6 và tõm sai e = 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 16 5 9 4 16 4 9 5 ổ ử ỗ4 10 ữ b) (E)cú tọa độ một đỉnh là (0; 5) và đi qua điểm Mỗ ;- 1ữ ốỗ 5 ứữ x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 16 5 8 5 16 4 4 5 4 33 c) (E) cú tiờu điểm thứ nhất (- 3;0) và đi qua điểm M(1; ) . 5
4. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 25 22 8 5 16 4 4 5 d) Hỡnh chữ nhật cơ sở của (E) cú một cạnh nằm trờn đường thẳng y + 2 = 0 và cú diện tớch bằng 48. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 25 22 8 5 16 4 36 4 5 e) (E) cú tõm sai bằng và hỡnh chữ nhật cơ sở của (E) cú chu vi bằng 20. 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 25 22 8 5 16 4 9 4 Lời giải: x2 y2 Phương trỡnh chớnh tắc của (E) cú dạng: + = 1(a > b > 0) a2 b2 2 a) (E) cú độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a = 6 Û a = 3 , Tõm sai e = nờn 3 c 2 = ị c = 2, b2 = a2 - c2 = 5 a 3 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 9 5 b) (E) cú một đỉnh cú tọa độ là (0; 5) nằm trờn trục tung nờn b = 5 do đú phương trỡnh chớnh tắc của x2 y2 (E) cú dạng: + = > . 2 1(a 5) a 5 ổ4 10 ữử 160 1 Mặt khỏc (E) đi qua điểm ỗ - ữ nờn + = ị 2 = Mỗ ; 1ữ 2 1 a 8 ốỗ 5 ứữ 25a 5 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 8 5 2 2 2 2 c) (E) cú tiờu điểm F1(- 3;0) nờn c = 3 suy ra a = b + c = b + 3 (1) 4 33 1 528 Mặt khỏc M(1; ) ẻ (E) ị + = 1 (2) 5 a2 25b2 Thế (1) vào (2) ta được 1 528 + = 1 Û 25b4 - 478b2 - 1584 = 0 Û b2 = 22 ị a2 = 25 b2 + 3 25b2 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 25 22 d) (E) cú hỡnh chữ nhật cơ sở cú một cạnh nằm trờn đường thẳng y + 2 = 0 suy ra b = 2 Mặt khỏc hỡnh chữ nhật cơ sở diện tớch bằng 48 nờn 2a.2b = 48 ị b = 6 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 36 4 5 a2 - b2 5 e) (E) cú tõm sai bằng suy ra = hay 4a2 = 9b2 (3) 3 a 3 Hỡnh chữ nhật cơ sở của (E) cú chu vi bằng 20 suy ra 4(a + b)= 20 (4). Từ (3) và (4) suy ra a = 3, b = 2
5. x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 9 4  DẠNG 3. Xỏc định điểm nằm trờn đường elip thỏa món điều kiện cho trước. 1. Phương phỏp giải. x2 y2 Để xỏc định tọa độ điểm M thuộc elip cú phương trỡnh chớnh tắc là (E): + = 1(a > b > 0) ta làm a2 b2 như sau x2 y2 • Giả sử M(x ; y ), điểm M ẻ (E)Û M + M = 1 ta thu được phương trỡnh thứ nhất. M M a2 b2 • Từ điều kiện của bài toỏn ta thu được phương trỡnh thứ hai; giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh ẩn xM , yM ta tỡm được tọa độ của điểm M 2. Cỏc vớ dụ: x2 y2 Vớ dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): + = 1 cú tiờu điểm F và F . 25 9 1 2 Tỡm điểm M trờn (E) sao cho a) Điểm M cú tung gấp ba lần hoành độ ổ 5 15 ử ổ 5 15 ử A. M ỗ ; ữ và M ỗ- ;- ữ 1 ỗ ữ 2 ỗ ữ ốỗ 26 26 ứữ ốỗ 26 26 ứữ ổ 5 15 ử ỗ ữ B. Mỗ ; ữ ốỗ 26 26 ứữ ổ 5 15 ử ỗ- - ữ C. Mỗ ; ữ ốỗ 26 26 ứữ D.Khụng tồn tại b) MF1 = 2MF2 ổ ử ổ ử ỗ25 119 ữ ỗ25 119 ữ A. Mỗ ; ữ và Mỗ ; - ữ ốỗ12 4 ứữ ốỗ12 4 ứữ ổ ử ỗ25 119 ữ B. Mỗ ; - ữ ốỗ12 4 ứữ ổ ử ỗ25 119 ữ C. Mỗ ; ữ ốỗ12 4 ứữ D.Khụng tồn tại ã 0 c) F1MF2 = 60 ổ ử ỗ5 13 3 3 ữ A. Mỗ ; ữ ốỗ 4 4 ứữ ổ ử ỗ 5 13 3 3 ữ B. Mỗ- ; - ữ ốỗ 4 4 ứữ ổ ử ổ ử ỗ 5 13 3 3 ữ ỗ5 13 3 3 ữ C. Mỗ- ; ữ, Mỗ ; - ữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ
6. ổ5 13 3 3 ửữ ổ 5 13 3 3 ữử ổ5 13 3 3 ữử ổ 5 13 3 3 ữử D. ỗ ữ, ỗ- ữ ỗ - ữ và ỗ- - ữ M1 ỗ ; ữ M2 ỗ ; ữ, M3 ỗ ; ữ M4 ỗ ; ữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ữứ d) Diện tớch tam giỏc DOAM lớn nhất với A(1;1) ổ25 9 ử ỗ - ữ A. Mỗ ; ữ ốỗ 34 34 ứữ ổ 25 9 ử ỗ- ữ B. Mỗ ; ữ ốỗ 34 34 ứữ ổ25 9 ử ổ 25 9 ử ỗ - ữ ỗ- ữ C. Mỗ ; ữ và Mỗ ; ữ ốỗ 34 34 ứữ ốỗ 34 34 ứữ D.Khụng tồn tại Lời giải: x 2 y 2 Giả sử M(x ; y )ẻ (E) suy ra M + M = 1(*) M M 25 9 a) Điểm M cú tung gấp ba lần hoành độ do đú yM = 3xM thay vào (*) ta được 2 2 3x xM ( M ) 2 5 + = 1 Û 26xM = 25 Û xM = ± 25 9 26 ổ 5 15 ử ổ 5 15 ử Vậy cú hai điểm thỏa món là M ỗ ; ữ và M ỗ- ;- ữ 1 ỗ ữ 2 ỗ ữ ốỗ 26 26 ứữ ốỗ 26 26 ứữ b) Từ phương trỡnh (E) cú a2 = 25, b2 = 9 nờn a = 5, b = 3,c = a2 - b2 = 4 Theo cụng thức tớnh bỏn kớnh qua tiờu điểm ta cú : c 4 c 4 MF = a + x = 5+ x và MF = a- x = 5- x 1 a M 5 M 2 a M 5 M 4 ổ 4 ử 25 Theo giải thiết MF = 2MF suy ra 5+ x = 2ỗ5- x ữ Û x = 1 2 5 M ốỗ 5 M ứữ M 12 25 y2 119 Thay vào (*) ta cú : + M = 1 Û y = ± 144 9 M 4 ổ25 119 ữử ổ25 119 ữử Vậy cú hai điểm M thỏa món là: ỗ ữ và ỗ - ữ M1 ỗ ; ữ M2 ỗ ; ữ ốỗ12 4 ứữ ốỗ12 4 ứữ uuuur uuuur c) Ta cú F1 (- 4;0), F2 (4;0)ị MF1 (xM + 4; yM ), MF2 (xM - 4; yM ) uuuur uuuur 2 2 ã 0 0 MF .MF x + y - 16 Vỡ F MF = 60 nờn cos60 = uuuur1 uuu2ur = M M 1 2 ổ ửổ ử MF . MF ỗ 4 ữỗ 4 ữ 1 2 ỗ5+ x ữỗ5- x ữ ốỗ 5 M ứữốỗ 5 M ứữ 1 ổ 16 ử Û x2 + y2 - 16 = ỗ25- x2 ữ M M 2 ốỗ 25 M ứữ x2 57 y2 57 y2 y 2 3 3 5 13 Suy ra M = - M thế vào (*) ta được - M + M = 1ị y = ± và x = ± 25 66 33 66 33 9 M 4 M 4
7. ổ5 13 3 3 ữử Vậy cú bốn điểm thỏa món là ỗ ữ, M1 ỗ ; ữ ốỗ 4 4 ữứ ổ 5 13 3 3 ữử ổ5 13 3 3 ữử ổ 5 13 3 3 ữử ỗ- ữ ỗ - ữ và ỗ- - ữ M2 ỗ ; ữ, M3 ỗ ; ữ M4 ỗ ; ữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ứữ ốỗ 4 4 ữứ uuur r d) Ta cú OA(1;1) nờn đường thẳng đi qua hai điểm O, A nhận n(- 1;1) làm vectơ phỏp tuyến cú phương trỡnh là - x + y = 0 1 1 - xM + yM 1 SOAM = OA.d(M;OA)= 2 = - xM + yM 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacốpxki ta cú 1 x y 1 ổx 2 y 2 ử 34 = - M + M Ê ỗ M + M ữ= SOAM 5. 3. .34.ỗ ữ 2 5 3 2 ốỗ 25 9 ứữ 2 x y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi - M = M kết hợp với (*) ta được 25 9 ỡ ỡ ù 25 ù 25 ù xM = ù xM = - ù 34 ù 34 ớù hoặc ớù ù 9 ù 9 ù y = - ù y = ù M ù M ợù 34 ợù 34 ổ25 9 ử ổ 25 9 ử Vậy cú hai điểm M ỗ ;- ữ và M ỗ- ; ữ thỏa món yờu cầu bài toỏn 1 ỗ ữ 2 ỗ ữ ốỗ 34 34 ứữ ốỗ 34 34 ứữ x2 y2 Vớ dụ 2: Cho elip (E) : + = 1 và C(2;0). Tỡm A,B thuộc (E) biết A,B đối xứng nhau qua trục 4 1 hoành và tam giỏc ABC đều. ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ A. Aỗ ; ữ, Bỗ ;- ữ hoặc Aỗ ;- ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ổ ử ổ ử ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ B. Aỗ ; ữ, Bỗ ;- ữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ổ ử ổ ử ỗ3 4 3 ữ ỗ3 4 3 ữ C. Aỗ ;- ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ỗ3 4 3 ữ ỗ3 4 3 ữ ỗ3 4 3 ữ ỗ3 4 3 ữ D. Aỗ ; ữ, Bỗ ;- ữ hoặc Aỗ ;- ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ Lời giải: Giả sử A(x0 ; y0 ). Vỡ A,B đối xứng nhau qua trục hoành nờn B(x0 ;- y0 ) với y0 > 0 . x2 y2 x2 Vỡ A ẻ (E) nờn 0 + 0 = 1 Û y2 = 1- 0 (1) 4 1 0 4 2 2 2 2 2 Vỡ tam giỏc ABC đều nờn AB = AC ị (- 2y0 ) = (2- x0 ) + (- y0 ) 2 2 Û 3y0 = 4- 4x0 + x0 (2)
8. Thay (1) vào (2) ta cú ộx = 2 ổ x2 ử ờ 0 ỗ - 0 ữ= - + 2 Û 2 - + = Û ờ 3ỗ1 ữ 4 4x0 x0 7x0 16x0 4 0 2 ốỗ 4 ứữ ờx = ởờ 0 7 + Nếu x0 = 2 thay vào (1) ta cú y0 = 0 . Trường hợp này loại vỡ A º C 2 4 3 + Nếu x = thay vào (1) ta cú y = ± 0 7 0 7 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ ỗ2 4 3 ữ Vậy Aỗ ; ữ, Bỗ ;- ữ hoặc Aỗ ;- ữ, Bỗ ; ữ. ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ứữ ốỗ7 7 ữứ ốỗ7 7 ứữ