Chuyên đề Toán 10 sách Chân trời sáng tạo - Chương 7: Đại số tổ hợp

36 trang hoaithuk2 23/12/2022 4661

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Toán 10 sách Chân trời sáng tạo - Chương 7: Đại số tổ hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_toan_10_sach_chan_troi_sang_tao_chuong_7_dai_so_to.docx

Nội dung text: Chuyên đề Toán 10 sách Chân trời sáng tạo - Chương 7: Đại số tổ hợp

Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ G VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHƯƠN BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON I LÝ THUYẾT. = Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển: = 2 2 2 = a b a 2ab b ; I a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3. Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a n và b . Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển a b khi n 4;5 không? Sơ đồ hình cây của ( + )4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 a b C4 a C4a b C4 a b C4 ab C4 b a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 4 Ví dụ 1: Khai triển 2x 1 . Lời giải 4 Thay a 2x và b 1 trong công thức khai triển của a b , ta được: 2x 1 4 2x 4 4 2x 3 1 6 2x 2 12 4 2x 13 14 16x4 32x3 24x2 8x 1 Page 1
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 4 Ví dụ 2: Khai triển x 2 . Lời giải 4 Thay a x và b 2 trong công thức khai triển của a b , ta được: x 2 4 x4 4 x3  2 6 x2  2 2 4 x  2 3 2 4 x4 8x3 24x2 32x 16 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 a b C5 a C5a b C5 a b C5 a b C5 ab C5 b a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 Ví dụ 3: Khai triển x 3 5 Lời giải 5 Thay a x và b 3 trong công thức khai triển của a b , ta được: (x 3)5 x5 5 x4 3 10 x3 32 10 x2 33 5 x 34 35 . x5 15x4 90x3 270x2 405x 243 Ví dụ 4: Khai triển 3x 2 5 Lời giải 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 3x 2 C5 3x C5 3x 2 C5 3x 2 C5 3x 2 C5 3x 2 C5 2 243x5 2430x4 1080x3 720x2 240x 32 Ví dụ 5: a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 1 0,05 4 để tính giá trị gần đúng của 1,054 . b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,054 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a Lời giải 4 0 4 1 3 1 a) 1 0,05 C4 1 C41 0,05 1 0,2 1,2 b) Cách bấm: 1.05^4= Hiển thị Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625. Page 2
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ BÀI TẬP. Câu 1. Khai triển các đa thức: a) x 3 4 ; b) 3x 2y 4 ; c) x 5 4 x 5 4 ; d) x 2y 5 Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 1 3 0 4 a) x 3 C4 x C4 x 3 C4 x 3 C4 x 3 C4 3 x4 12x3 54x2 108x 81 4 0 4 1 3 1 2 2 2 1 3 0 4 b) 3x 2y C4 3x C4 3x 2y C4 3x 2y C4 3x 2y C4 2y 81x4 216x3 y 216x2 y2 96xy3 16y4 4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 0 4 c) x 5 x 5 C4 x C4 x 5 C4 x 5 C4 x5 C4 5 C4 x 1 3 2 2 2 3 3 4 4 C4 x 5 C4 x 5 C4 x5 C4 5 0 4 2 2 2 4 4 4 2 4 2 2 C4 x C4 x 5 C4 5 2. x 150x 625 2x 300x 1250 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 d) x 2y C5 x C5 x ( 2y) C5 x 2y C5 x 2y C5 x 2y C5 2y x5 10x4 y 40x3 y2 80x2 y3 80xy4 32y5 Câu 2. Tìm hệ số của x4 trong khai triển của 3x 1 5 Lời giải 3 2 3 2 4 Số hạng thứ 4 của khai triển là C5 3x 1 90x . Vậy hệ số của x trong khai triển là 90 . 5 5 Câu 3. Biểu diễn 3 2 3 2 dưới dạng a b 2 với a,b là các số nguyên. Lời giải Nhận xét: 5 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 a b a b C5 a C5a b C5 a b C5 a b C5 ab C5 b 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 C5 a C5a b C5 a b C5 a b C5 ab C5 b 1 4 3 2 3 5 5 2 C5a b C5 a b C5 b 3 5 Do đó a b 5 a b 5 2 C134 2 C3 32 2 C5 2 5 5 5 2 405 2 180 2 4 2 1178 2 Page 3
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Câu 4. a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 1 0,02 5 để tính giá trị gần đúng của 1,025 . b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,025 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a. Lời giải 5 0 5 1 4 a) 1 0,02 C5 1 C5.1 .0,02 1 0,1 1,1 b) Cách bấm máy: C1.02^5= Hiển thị: Sai số tuyệt đối: 1,104080803 1,1 0,004080803 Câu 5. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r% a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số 5 r dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là P 800 1 (nghìn người). 100 b) Với r 15% , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của 1 0,015 5 , hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người). Lời giải r Số dân của tính đó sau 1 năm là 800 800.r% 800 1 (nghìn người) 100 Số dân của tính đó sau 2 năm là 2 r 800 1 r% 800. 1 r% .r% 800 1 r% 1 r% 800 1 (nghìn người). 100 5 r Lập luận hoàn toàn tương tự ta có số dân của tỉnh đó sau 5 năm là P 800 1 (nghìn 100 người) b) Số dân của tỉnh đó ước tính sau 5 năm nữa là 5 15 0 5 1 4 15 P 800 1 800. C5 .1 C5.1 . 1400 (nghìn người) 100 100 Page 4
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN 1. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON n Khai triển a b được cho bởi công thức sau: Với a,b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n a b Cn a b Cn a Cna b Cn a b Cn b . 1 k 0 Quy ước a0 b0 1 Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton). Trong biểu thức ở VP của công thức (1) a) Số các hạng tử là n 1. b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. k n k k d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: Tk 1 Cn a b . 2.HỆ QUẢ n 0 1 n Với a b 1, thì ta có 2 Cn Cn Cn . 0 1 k k n n Với a 1; b 1, ta có 0 Cn Cn 1 Cn 1 Cn 3. CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON n 0 n 1 n 1 2 n 2 k n k n 1 n ✓ x 1 Cn x Cn x Cn x Cn x Cn x Cn n 0 1 2 2 k k n 1 n 1 n n ✓ 1 x Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Cn x n 0 1 2 2 k k k n 1 n 1 n 1 n n n ✓ x 1 Cn Cn x Cn x 1 Cn x 1 Cn x 1 Cn x k n k ✓ Cn Cn ✓ Ck Ck 1 Ck 1, n 1 n n n 1 k.n! n n 1 ! ✓ k.C k nC k 1 n n k !k! n k ! k 1 ! n 1 1 k.n! n n 1 ! 1 ✓ C k C k 1 k 1 n k 1 n k !k! n 1 n k ! k 1 ! n 1 n 1 Page 5
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 4 Dạng= 1. Khai triển biểu thức dạng a b =I 1 PHƯƠNG PHÁP. = Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với n 4 ta có = a b 4 C 0a4 C1a3b C 2a2b2 C3ab3 C 4b4 . =I 4 4 4 4 4 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 4 Câu= 1. (NB) Khi khai triển nhị thức Newton x y ta thu được bao nhiêu hạng tử. =I Lời giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta được 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 x y C4 x C4 x y C4 x y C4 xy C4 y Vì không có hạng tử nào có phần biến giống nhau để thu gọn nên có tất cả 5 hạng tử. Câu 2. (NB) Khai triển nhị thức Newton 1 x 4 . Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 2 3 4 Ta có 1 x C4 1 C41 x C4 1 x C41x C4 x 1 4x 6x 4x x . Câu 3. (NB) Khai triển nhị thức Newton x 2 4 . Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 3 2 2 Ta có x 2 C4 x C4 x .2 C4 x .2 C4 x.2 C4 2 x 8x 24x 32x 16 . Câu 4. (NB) Khai triển nhị thức Newton x 1 4 . Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 3 2 Ta có x 1 C4 x C4 x . 1 C4 x . 1 C4 x. 1 C4 1 x 4x 6x 4x 1. Câu 5. (TH) Khai triển nhị thức Newton 2x y 4 . Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 Ta có 2x y C4 2x C4 2x .y C4 2x .y C4 2x .y C4 y 16x4 32x3 y 24x2 y2 8xy3 y4 . Câu 6. (TH) Khai triển nhị thức Newton x 3y 4 . Lời giải 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 Ta có x 3y C4 x C4 x . 3y C4 x . 3y C4 x. 3y C4 3y x4 12x3 y 54x2 y2 108xy3 81y4 . 4 2 1 Câu 7. (TH) Khai triển nhị thức Newton x . x Lời giải 4 2 3 4 2 1 0 2 4 1 2 3 1 2 2 2 1 3 2 1 4 1 Ta có x C4 x C4 x . C4 x . C4 x . C4 x x x x x Page 6
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 0 8 1 6 1 2 4 1 3 2 1 4 1 8 5 2 4 1 C4 x C4 x . C4 x . 2 C4 x . 3 C4 4 x 4x 6x 4 . x x x x x x 4 1 Câu 8. (TH) Khai triển nhị thức Newton x 2 . x Lời giải 4 2 3 4 1 0 4 1 3 1 2 2 1 3 1 4 1 Ta có x 2 C4 x C4 x . 2 C4 x . 2 C4 x. 2 C4 2 x x x x x 0 4 1 3 1 2 2 1 3 1 4 1 4 6 4 1 C4 x C4 x . 2 C4 x . 4 C4 x. 6 C4 8 x 4x 2 5 8 . x x x x x x x 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 9. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4 có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4 có 4 1 5 số hạng. Câu 10. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x 3 4 có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x 3 4 có 4 1 5 số hạng. Câu 11. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4 , số hạng tổng quát của khai triển là k 1 k 5 k k 4 k k k 1 5 k k 1 k 4 k 4 k A. C4 a b . B. C4 a b . C. C4 a b . D. C4 a b . Lời giải Chọn B 4 k n k k k 4 k k Số hạng tổng quát của khai triển a b là Cn a b C4 a b . Câu 12. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x 3 4 , số hạng tổng quát của khai triển là k k 4 k 4 k k 4 k k 4 k k 4 k k 4 k k k 4 k 4 k A. C4 2 3 .x . B. C4 2 3 .x .C. C4 2 3 .x .D. C4 2 3 .x . Lời giải Chọn B 4 k 4 k k k 4 k k 4 k Số hạng tổng quát của khai triển 2x 3 là C4 2x 3 C4 2 3 .x . Câu 13. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 2x 4 . A. 1. B. 1. C. 81. D. 81. Lời giải Chọn A Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x 3 4 chính là giá trị của biểu thức 2x 3 4 tại x 1. Page 7
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Vậy S 1 2.1 4 1. Câu 14. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3x 4 , số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là A. 108x . B. 54x2 . C. 1. D. 12x . Lời giải Chọn D 4 4 4 k k k k k Ta có 1 3x C4 3x C4 3 x . k 0 k 0 1 1 Do đó số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x ứng với k 1, tức là C4 3 x 12x . Câu 15. Tìm hệ số của x2 y2 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x 2y 4 . A. 32 .B. 8 .C. 24 . D. 16. Lời giải Chọn C 4 4 4 k 4 k k k k 4 k k Ta có x 2y C4 x 2y C4 .2 .x y . k 0 k 0 2 2 4 k 2 Số hạng chứa x y trong khai triển trên ứng với k 2. k 2 2 2 4 2 2 Vậy hệ số của x y trong khai triển của x 2y là C4 .2 24 . Câu 16. Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của P x 4x2 x x 2 4 . A. 28x2 .B. 28x2 . C. 24x2 .D. 24x2 . Lời giải Chọn B 4 4 2 4 2 k 4 k k 2 k k 5 k Ta có P x 4x x x 2 4x xC4 x 2 4x C4 2 x . k 0 k 0 3 Số hạng chứa x2 (ứng với k 3) trong khai triển P x là 4 C3 2 x2 28x2 . 4 3 2 3 Câu 17. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn An 2An 48. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3x n . A. 108 .B. 81.C. 54 .D. 12 . Lời giải Chọn A ĐK: n 3;n ¥ . n! n! A3 2A2 48 2. 48 n n 1 n 2 2.n n 1 48 n n n 3 ! n 2 ! n3 n2 48 0 n 4 (thỏa). 4 4 4 k k k k k Ta có 1 3x C4 3x C4 3 x . k 0 k 0 Page 8
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Hệ số của x3 trong khai triển trên ứng với k 3. 3 4 3 3 Vậy hệ số của x trong khai triển 1 3x là C4 . 3 108 . 4 1 3 Câu 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x . x A. 1. B. 4 . C. 6 . D. 12. Lời giải Chọn B. 4 4 4 k 4 1 3 k 1 3 k k 4k 4 Ta có x C4 x C4 x . x k 0 x k 0 Số hạng không chứa x trong khai triển trên ứng với 4k 4 0 k 1. 4 1 3 1 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển x là C4 4 . x Dạng 2. Khai triển biểu thức dạng a b 5 . 1 PHƯƠNG PHÁP. = Sử dụng công thức: a b 5 C 0 a5 C1a4b1 C 2 a3b2 C3a2b3 C 4 a1b4 C5b5 = 5 5 5 5 5 5 5 4 1 3 2 2 3 1 4 5 a=I 5a b 10a b 10a b 5a b b 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 5 Câu= 1: Khai triển biểu thức a b . =I Lời giải Ta có: a b 5 a5 5a4b1 10a3b2 10a2b3 5a1b4 b5 . Câu 2: Khai triển biểu thức (x 1)5 . Lời giải Ta có: x 1 5 x5 5x4 10x3 10x2 5x 1. 5 Câu 3: Khai triển biểu thức x 1 . Lời giải Ta có: x 1 5 x5 5x4 10x3 10x2 5x 1. 5 Câu 4: Khai triển biểu thức x 2 . Lời giải Page 9
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Ta có: x 2 5 x5 5x4 21 10x3 22 10x2 23 5x1 24 25 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32 . 5 Câu 5: Khai triển biểu thức 2x y . Lời giải Ta có: 2x y 5 2x 5 5 2x 4 y1 10 2x 3 y2 10 2x 2 y3 5 2x 1 y4 y5 32x5 80x4 y 80x3 y2 40x2 y3 10xy4 y5 . 5 Câu 6: Khai triển biểu thức x 3y . Lời giải Ta có: x 3y 5 x5 5x4 3y 1 10x3 3y 2 10x2 3y 3 5x1 3y 4 3y 5 x5 15x4 y 90x3 y2 270x2 y3 405xy4 243y5 . 5 Câu 7: Khai triển biểu thức 2x 3y . Lời giải Ta có: 2x 3y 5 2x 5 5 2x 4 3y 1 10 2x 3 3y 2 10 2x 2 3y 3 5 2x 1 3y 4 3y 5 32x5 240x4 y 720x3 y2 1080x2 y3 810xy4 243y5 . 5 Câu 8: Khai triển biểu thức 2x 3y . Lời giải Ta có: 2x 3y 5 2x 5 5 2x 4 3y 1 10 2x 3 3y 2 10 2x 2 3y 3 5 2x 1 3y 4 3y 5 32x5 240x4 y 720x3 y2 1080x2 y3 810xy4 243y5 . 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton (x + 1)5 . 5 4 3 2 A. x + 5x + 10x + 10x + 5x + 1. B. x5 - 5x4 - 10x3 + 10x2 - 5x + 1. C. x5 - 5x4 + 10x3 - 10x2 + 5x- 1. D. 5x5 + 10x4 + 10x3 + 5x2 + 5x + 1. Lời giải Chọn A 5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 5 4 3 2 (x- 1) = C5 x + C5 x + C5 x + C5 x + C5 x + C5 = x + 5x + 10x + 10x + 5x + 1. Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton (x- y)5 . Page 10
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ A. x5 - 5x4 y + 10x3 y2 - 10x2 y3 + 5xy4 - y5 B. x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xy4 + y5 C. x5 - 5x4 y - 10x3 y2 - 10x2 y3 - 5xy4 + y5 D. x5 + 5x4 y - 10x3 y2 + 10x2 y3 - 5xy4 + y5 . Lời giải Chọn A 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 (x- y) = C5 x + C5 x (- y)+ C5 x (- y) + C5 x (- y) + C5 x(- y) + C5 (- y) = x5 - 5x4 y + 10x3 y2 - 10x2 y3 + 5xy4 - y5 . Khai triển của nhị thức x 2 5 . Câu 3: A. x5 - 100x4 + 400x3 - 800x2 + 800x- 32 . B. 5x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x- 32. C. x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x- 32 . D. x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32 . Lời giải Chọn C 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 (x- 2) = C5 x + C5 x (- 2)+ C5 x (- 2) + C5 x (- 2) + C5 x(- 2) + C5 (- 2) = x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x- 32 . Câu 4: Khai triển của nhị thức (3x + 4)5 là A. x5 + 1620x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024. B. 243x5 + 405x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024. C. 243x5 - 1620x4 + 4320x3 - 5760x2 + 3840x- 1024 . D. 243x5 + 1620x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024 . Lời giải Chọn D 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 1 4 5 5 (3x + 4) = C5 (3x) + C5 (3x) .4+ C5 (3x) .4 + C5 (3x) .4 + C5 (3x) .4 + C5 .4 = 243x5 + 1620x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024 . Câu 5: Khai triển của nhị thức (1- 2x)5 là A. 5- 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . B. 1+ 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . Page 11
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ C. 1- 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . D. 1+ 10x + 40x2 + 80x3 + 80x4 + 32x5 . Lời giải Chọn C 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (1- 2x) = C5 + C5 (- 2x) + C5 (- 2x) + C5 (- 2x) + C5 (- 2x) + C5 (- 2x) = 1- 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . Câu 6: Đa thức P (x)= 32x 5 - 80x 4 + 80x 3 - 40x 2 + 10x - 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? 5 5 5 5 A. (1- 2x) . B. (1+ 2x) . C. (2x - 1) . D. (x - 1) . Lời giải Chọn C Nhận thấy P (x) có dấu đan xen nên loại đáp án B. Hệ số của x 5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x 5. ) Câu 7: Khai triển nhị thức (2x + y)5 . Ta được kết quả là A. 32x5 + 16x4 y + 8x3 y2 + 4x2 y3 + 2xy4 + y5 . B. 32x5 + 80x4 y + 80x3 y2 + 40x2 y3 + 10xy4 + y5 . C. 2x5 + 10x4 y + 20x3 y2 + 20x2 y3 + 10xy4 + y5 . D. 32x5 + 10000x4 y + 80000x3 y2 + 400x2 y3 + 10xy4 + y5 . Lời giải Chọn B 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 (2x + y) = C5 (2x) + C5 (2x) y + C5 (2x) y + C5 (2x) y + C5 (2x)y + C5 y = 32x5 + 80x4 y + 80x3 y2 + 40x2 y3 + 10xy4 + y5 . Câu 8: Đa thức P(x)= x5 - 5x4 y + 10x3 y2 - 10x2 y3 + 5xy4 - y5 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? A. (x- y)5 . B. (x + y)5 . C. (2x- y)5 . D. (x- 2y)5 . Lời giải Chọn A Nhận thấy P (x) có dấu đan xen nên loại đáp án B. Hệ số của x 5 bằng 1 nên loại đáp án C và còn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì khai triển số hạng cuối của đáp án A là - y5 ). Page 12
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ æ 1ö5 Câu 9: Khai triển của nhị thức çx- ÷ là èç xø÷ 10 5 1 A. x5 + 5x3 + 10x + + + . x x3 x5 10 5 1 B. x5 - 5x3 + 10x- + - . x x3 x5 10 5 1 C. 5x5 - 10x3 + 10x- + - . x x3 x5 10 5 1 D. 5x5 + 10x3 + 10x + + + x x3 x5 Lời giải Chọn B æ ö5 æ ö1 æ ö2 æ ö3 æ ö4 æ ö5 ç 1÷ 0 5 1 4 ç- 1÷ 2 3 ç- 1÷ 3 2 ç- 1÷ 4 1 ç- 1÷ 5 ç- 1÷ çx- ÷ = C5 .x + C5.x .ç ÷ + C5 x ç ÷ + C5 x ç ÷ + C5 x ç ÷ + C5 ç ÷ èç xø÷ èç x ÷ø èç x ø÷ èç x ø÷ èç x ø÷ èç x ø÷ 10 5 1 = x5 - 5x3 + 10x- + - . x x3 x5 Câu 10: Khai triển của nhị thức (xy + 2)5 là A. x5 y5 + 10x4 y4 + 40x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32 . B. 5x5 y5 + 10x4 y4 + 40x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32. C. x5 y5 + 100x4 y4 + 400x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32 . D. x5 y5 - 10x4 y4 + 40x3 y3 - 80x2 y2 + 80xy - 32 . Lời giải Chọn A 5 0 5 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 5 5 (xy + 2) = C5 (xy) + C5 (xy) .2 + C5 (xy) .2 + C5 (xy) .2 + C5 (xy) .2 + C5 .2 = x5 y5 + 10x4 y4 + 40x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32 . Dạng 3. Xác định một hệ số hay một số hạng trong khai triển của bậc 4 hay bậc 5: 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu= 1: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển 2x 1 4 . =I Lời giải Ta xét khai triển 2x 1 4 có số hạng tổng quát là k 4 k k k k 4 k 4 k Tk 1 C4 2x 1 1 C4 2 x Số hạng chứa x3 trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : 4 k 3 k 1. Page 13
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 3 1 1 3 3 3 Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: C4 1 2 x 32x . Câu 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 2 3x 5 . Lời giải Ta xét khai triển 2 3x 5 có số hạng tổng quát là k 5 k k k 5 k k k Tk 1 C5 2 3x C5 2 3 x . Số hạng chứa x4 trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : k 4 . 4 4 5 4 4 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là: C5 2 3 810 . Câu 3: Tìm số hạng chứa x trong khai triển (3x- 2)4 . Ta xét khai triển (3x- 2)4 có số hạng tổng quát là k 4 k k k 4 k k 4 k Tk 1 C4 3x 2 C4 3 2 x . Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : 4 k 1 k 3 . 3 4 3 3 Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: C4 3 2 x 96x . Câu 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển 1 2x 5 . Lời giải 5 2 5 Đặt 1 2x a0 a1x a2 x a5 x . 5 Cho x 1 ta có tổng các hệ số a0 a1 a2 a5 1 2 1. 5 3 3 1 Câu 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x ( với x 0 ). x Lời giải 5 3 1 Ta xét khai triển x ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là x k 5 k k 1 3 k 15 4k Tk 1 C5 . x C5 .x . x Số hạng chứa x3 tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 15 4k 3 k 3 . 3 3 Vậy hệ số của số hạng chứa x là C5 10 . 4 x 4 Câu 6: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển với x 0 . 2 x Lời giải 4 x 4 Ta xét khai triển ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là 2 x 4 k k k x 4 k 3k 4 4 2k Tk 1 C4 . C4 . 2 x . 2 x Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 2k 0 k 2 . Page 14
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 2 3.2 4 Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C4 . 2 24 . 4 3 Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x với x 0 . x Lời giải 4 3 Ta xét khai triển 2x ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là x 4 k k k 3 k k 4 k 2k 4 Tk 1 C4 2x C4 2 3 x x Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 2k 4 0 k 2 . 2 2 2 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C4 2 3 216 . 4 1 1 Câu 8: Tìm số hạng chứa 2 trong khai triển 2x 2 , x 0 . x x Lời giải 4 1 Ta xét khai triển 2x 2 ( với x 0 ) có số hạng tổng quát là x k k 4 k 4 3k Tk 1 1 C4 2 x . 1 Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 3k 2 k 2 . x2 1 2 24 Vậy số hạng chứa trong khai triển là 1 C 2 24 2 x4 3.2 . x2 4 x2 4 2 1 Câu 9: (VD). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x 2 . x Lời giải k k 2 4 k 1 k 4 k 8 2k k 1 k 4 k 8 4k k Xét số hạng tổng quát Tk 1 C4 2x 2 C4 2 x 1 2k C4 2 x 1 x x (với 0 k 4 ). Số hạng không chứa x ứng với 8 4k 0 k 2 . 2 2 2 Vậy số hạng không chứa x là T3 C4 2 1 24 . 1 2 Câu 10: (VD). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 15. Tìm số hạng không chứa x trong n 2 khai triển x 4 . x Lời giải Điều kiện: n 2,n ¥ * (1) 1 2 n n 1 2 n 5 Cn Cn 15 n 15 n n 30 0 n 5. 2 n 6 Page 15
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 5 5 k 5 2 k k 5 k 1 k k 5 5k Khi đó, x 4 C5 .2 x . 4 C5 .2 x x k 0 x k 0 Số hạng không chứa x tương ứng 5 5k 0 k 1 1 1 Suy ra số hạng không chứa x là: C5.2 10 n 2 n Câu 11: (VD). Cho khai triển 1 2x a0 a1x a2 x an x thỏa mãn a0 8a1 2a2 1. Tìm giá trị của số nguyên dương n. Lời giải n n k k k k k 0 0 1 Ta có: 1 2x  2 Cn x ; k ¥ . Suy ra: ak 2 Cn . Thay a0 2 Cn 1, a1 2Cn , k 0 2 1 2 1 2 a2 4Cn vào giả thiết ta có: 1 16Cn 8Cn 1 2Cn Cn n! n! n n 1 2 n 0 2 2n n 5n 0 . n 1 ! n 2 !2! 2 n 5 Do n là số nguyên dương nên n 5 . Câu 12: (VDC). Tìm hệ số của x10 trong khải triển thành đa thức của (1 x x2 x3 )5 Lời giải 2 3 5 2 5 2 5 5 2 5 Ta có (1 x x x ) (1 x) x (1 x) (1 x).(1 x ) (1 x) .(1 x ) . 5 5 5 5 5 2 5 k k l 2l k l k 2l Xét khai triển (1 x) .(1 x ) C5 x .C5 x (C5 .C5.x ). k 0 l 0 k 0 l 0 Số hạng chứa x10 tương ứng với k,l thỏa mãn k 2l 10 k 10 2l. Kết hợp với điều kiện, ta có hệ : k 10 2l 0 k 5, k N (k,l) (0;5),(2;4),(4;3). 0 l 5, l N 10 k l 0 5 2 4 4 3 Vậy hệ số của x bằng tổng các C5 .C5 thỏa mãn C5 .C5 C5 .C5 C5 .C5 101. n 3 2 2 Câu 13: (VDC). Tìm số hạng có hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của x biết n là 2 3 0 2 4 2n số nguyên dương thỏa mãn: C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 Lời giải 2n 1 0 2n 1 1 2n 2n 2n 1 Ta có x 1 C2n 1x C2n 1x C2n 1x C2n 1 1 . 2n 1 0 1 2n 2n 1 Thay x 1 vào 1 ta được 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 . 0 1 2n 2n 1 Thay x 1 vào 1 ta được 0 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 3 . 2n 1 0 2 2n Lấy 2 3 vế theo vế ta được 2 2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 . Page 16
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Theo đề 22n 1 2.1024 n 5. n 3 2 2 Số hạng tổng quát của khai triển x là 2 3 5 k k k 3 2 2 k k 5 2k 2k 5 2k Tk 1 C5 . . x C5 . 1 .3 .2 x . 2 3 Ta có bảng sau k 0 1 2 3 4 5 k k 5 2k 2k 5 243 135 20 40 32 C5 . 1 .3 .2 15 32 8 3 27 243 Vậy số hạng có hệ số nguyên là 15x4. n Câu 14: (VDC) Tìm số hạng chứa x 2 trong khai triển của biểu thức P x 3 x x2 với n là số A3 nguyên dương thỏa mãn C 2 n 12. n n Lời giải A3 Xét C 2 n 12 1 (Điều kiện : n Z , n 3 ). n n n! n! 1 12 2! n 2 ! n. n 3 ! n n 1 n 1 n 2 12 2 n 4 (tm) 3n2 7n 20 0 5 n (L) 3 4 4 k 2 4 k 4 k k k 4 k k i i i Với n 4 thì P x 3 x x C4 3 x 1 x C4 3 x Ck 1 x k 0 k 0 i 0 4 k k i 4 k i i k P x C4 Ck 3 1 x k 0 i 0 2 i 0,k 2 Theo đề bài số hạng chứa x thỏa mãn với i k 2 i,k ¢ ,0 i k 4 i 1,k 1 0 1 Vậy số hạng chứa x 2 là C 2C 0 32 1 C1C133 1 x2 54x2 . 4 2 4 1 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 15: Khai triển theo công thức nhị thức Newton x y 4 . A. x4 4x3 y 4x2 y2 4xy3 y4 . B. x4 4x3 y 4x2 y2 4x1 y3 y4 . C. x4 4x3 y 4x2 y2 4x1 y3 y4 . D. x4 4x3 y 4x2 y2 4x1 y3 y4 . Page 17
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Lời giải Chọn A x y 4 x4 4x3 y 4x2 y2 4xy3 y4 Câu 16: Đa thức P x 32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1 là khai triển của nhị thức nào? A. 1 2x 5  B. 1 2x 5  C. 2x 1 5  D. x 1 5  Lời giải Chọn C Vì hệ số của x5 là 32 và dấu trong khai triển đan xen nên chọn đáp án C. 5 Câu 17: Trong khai triển 2a b , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: A. 80 B. 80 C. 10 D. 10 Lời giải Chọn B 2a b 5 2a 5 5 2a 4 b 10 2a 3 b2 10 2a 2 b3 5 2a b4 b5 = 32a5 80a4b 80a3b2 40a2b3 10ab4 b5 5 Câu 18: Tìm hệ số của đơn thức a3b2 trong khai triển nhị thức a 2b . A. 160 B. 80 C. 20 D. 40 Lời giải Chọn D Ta có a 2b 5 a5 5a4 2b 10a3 2b 2 10a2 2b 3 5a 2b 4 2b 5 = a5 10a4b 40a3b2 80a2b3 80ab4 32b5 Suy ra hệ số của a3b2 trong khai triển trên là: 40 . 4 Câu 19: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x 2y là: A. C 2 x2 y2 .B. 6 3x 2 2y 2 . C. 6C 2 x2 y2 .D. 36C 2 x2 y2 . 4 4 4 Lời giải Chọn D 3x 2y 4 3x 4 4 3x 3 2y 6 3x 2 2y 2 4 3x 2y 3 2y 4 2 2 2 2 2 Suy ra hệ số chính giữa trong khai triển trên là: 6 3x 2y 36C4 x y . 4 3 3 3 Câu 20: Biết 1 2 a0 a1 2 a2 4 . Tính a1a2 A. a1a2 24 .B. a1a2 8 . C. a1a2 54 .D. a1a2 36 . Lời giải Chọn D 4 1 2 3 4 Ta có 1 3 2 14 4.13 3 2 6.12 3 2 4.11 3 2 3 2 1 4 3 2 6 3 4 8 2 3 2 9 6 3 2 6 3 4 . Suy ra a1a2 6.6 36 . Page 18
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 4 2 Câu 21: Số hạng chứa x trong khai triển x , x 0 là số hạng thứ mấy ? x A. 5 .B. 3 .C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C 4 2 3 4 2 4 3 2 2 2 2 2 Ta có: x x 4 x 6 x 4 x x x x x x 1 x 1 x2 8 x 24 32 16 . x x3 x4 Số hạng chứa x trong khai triển trên ứng với số hạng thứ 2 . 5 3 1 Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức x 2 . x Lời giải A. 10 .B. 5 . C. 10. D. 5 . Lời giải Chọn A Ta có: 5 2 3 4 5 3 1 3 5 3 4 1 3 3 1 3 2 1 3 1 1 x 2 x 5 x 2 10 x 2 10 x 2 5 x 2 2 x x x x x x . 1 1 x15 5x10 10x5 10 5 x5 x10 Số hạng không chứa x trong khai triển là 10 . Câu 23: Cho a là một số thực bất kì. Rút gọn 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 M C4 a C4a 1 a C4 a 1 a C4 a 1 a C4 1 a . A. M a4 . B. M a . C. M 1. D. M 1. Lời giải Chọn C 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 Ta có M C4 a C4a 1 a C4 a 1 a C4 a 1 a C4 1 a a 1 a 1. n 2 n Câu 24: Giả sử có khai triển 1 2x a0 a1x a2 x an x . Tìm a4 biết a0 a1 a2 31. A. 80 .B. 80 . C. 40 . D. 40 . Lời giải Chọn A n 0 n 0 1 n 1 2 n 2 2 1 2 2 Ta có 1 2x Cn 1 2x Cn1 2x Cn 1 2x 1 2Cn x 4Cn x 1 2 Vậy a0 1; a1 2Cn ; a2 4Cn . Theo bài ra a0 a1 a2 31 nên ta có: Page 19
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ n! n! 1 2C1 4C 2 31 1 2 4 31 1 2n 2n n 1 31 n n 1! n 1 ! 2! n 2 ! 2n2 4n 30 0 n2 2n 15 0 n 5 . 4 4 Từ đó ta có a4 C5 2 80 . n Câu 25: Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3x là 90 . Khi đó ta có 3n4 bằng A. 7203. B. 1875. C. 1296. D. 6561. Lời giải Chọn B n k k k k k Số hạng tổng quát khai triển của 1 3x là Tk 1 Cn 3x 3 Cn x . n hệ số của x2 trong khai triển của 1 3x ứng với k 2 . 2 2 n n 1 n 4 4 Khi đó 3 Cn 90 9 90 n n 1 20 3n 1875  2 n 5 n 2 3 1 0 1 2 Câu 26: Tìm hệ số của x trong khai triển : f x x 2 , với x 0 , biết: Cn Cn Cn 11. x A. 20. B. 6. C. 7. D. 15. Lời giải Chọn B 0 1 2 n n 1 n 4 Ta có : Cn Cn Cn 11 1 n 11 . 2 n 5 4 k 3 1 k 3 4 k 1 k 12 5k Số hạng tổng quát của khai triển f x x 2 là Tk 1 C4 x 2 C4 x . x x Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với số mũ của x là: 12 5k 2 k 2 . 2 2 Vậy hệ số của x trong khai triển là: C4 6 . n 2 3 2 Câu 27: Tìm hệ số của x trong khai triển : f x x 2 , với x 0 , biết tổng ba hệ số đầu của x x trong khai triển bằng 33. A. 34. B. 24. C. 6. D. 12. Lời giải Chọn B 0 1 2 Ta có : Cn 2Cn 4Cn 33 n 4 4 k 3 2 k 3 4 k 2 k k 12 5k Số hạng tổng quát của khai triển f x x 2 là Tk 1 C4 x 2 2 C4 x . x x Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với số mũ của x là: 12 5k 2 k 2 . 2 2 2 Vậy hệ số của x trong khai triển là : 2 C4 24 . n 7 3 2 Câu 28: Tìm hệ số của x trong khai triển : f x x 2 , với x 0 , biết tổng ba hệ số đầu của x x trong khai triển bằng 33. A. 34. B. 24. C. 6. D. 12. Page 20
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Lời giải Chọn B 0 1 2 Ta có : Cn 2Cn 4Cn 33 n 4 4 k 3 2 k 3 4 k 2 k k 12 5k Số hạng tổng quát của khai triển f x x 2 là Tk 1 C4 x 2 2 C4 x . x x Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với số mũ của x là: 12 5k 2 k 2 . 2 2 2 Vậy hệ số của x trong khai triển là : 2 C4 24 . n n i Câu 29: Cho khai triển: 3x 5 ai x . Tính tổng S a0 a1 a2 an 1 . i 0 0 1 2 n n Biết : Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 . A. 3093. B. 3157. C. 3157. D. 3093. Lời giải Chọn A 0 1 2 n n n n 5 Ta có : Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 1 2 243 3 3 n 5 . 5 Ta có : f x 3x 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 C5 3x C5 3x 5 C5 3x 5 C5 3x 5 C5 3x 5 C5 5 Tổng là: 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 S C5 3 C5 3 5 C5 3 5 C5 3 5 C5 .3. 5 f 1 C5 5 5 3 5 55 3093. 3n 3 Câu 30: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 2 n n f x x 1 x 2 . Tìm n để a3n 3 26n . A. n 11. B. n 5. C. n 12. D. n 10 Lời giải Chọn B n n n n 2 n n k 2n 2k i n i i k i i 3n 2k i f x x 1 x 2 Cn x Cn x 2  Cn Cn 2 x , (0 £ i,k £ n) k 0 i 0 k 0 i 0 k i 1 Yêu cầu 3n 2k i 3n 3 2k i 3 k 0, i 3 1 1 3 0 3 a3n 3 2CnCn 2 Cn Cn 26n n 5 . n 2 n Câu 31: Cho khai triển: 1 2x a0 a1x a2x an x , biết n thỏa mãn a0 8a1 2a2 1. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển. A. 160. B. 80. C. 60. D. 105. Lời giải Chọn B n n n 2 n k k k k k Ta có: 1 2x a0 a1x a2x an x Cn 2x Cn 2 x . k 0 k 0 Page 21
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ k k 0 1 2 2 ak Cn 2 a0 Cn , a1 2Cn , a2 2 Cn . 8n n 1 Nên a 8a 2a 1 C 0 16C1 8C 2 1 1 16n 1 n 5 . 0 1 2 n n n 2! 5 5 k k k k k Suy ra ta có khai triển : 1 2x C5 2 x Hệ số của khai triển là: ak C5 2 . k 0 k k k 1 k 1 ak ak 1 C5 2 C5 2 Ta có: ak là hệ số lớn nhất a a k k k 1 k 1 k k 1 C5 2 C5 2 5! k 5! k 1 1 2 2 2 k! 5 k ! k 1 ! 5 k 1 ! 5 k k 1 k 1 10 2k 11 3k 12 5! 5! 2 1 12 2k k 2k 2k 1 k! 5 k ! k 1 ! 5 k 1 ! k 5 k 1 11 k 3 k 4 . 3 k 4 3 3 4 4 Vậy hệ số lớn nhất của khai triển là : a3 C5 2 80 a4 C5 2 80. k Dạng 4. Tính tổng của các tổ hợp Cn k n 5;k,n ¥ và ứng dụng (nếu có). 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu 1: (NB) Tính tổng sau 0 1 10 . = S C10 C10 C10 =I Lời giải 10 10 k 10 k k Xét khai triển a b C10a b . k 0 10 0 1 10 Ta chọn a b 1, thu được 1 1 C10 C10 C10 . Vậy S 210 1024 . 1 2 5 Câu 2: (NB) Tính tổng sau S C6 C6 C6 . Lời giải 6 6 k 6 k k Xét khai triển a b C6 a b . k 0 6 0 1 6 Ta chọn a b 1, thu được 1 1 C6 C6 C6 . 6 0 6 Do đó S 2 C6 C6 62 . Vậy S 62 . 0 1 2 2 6 6 Câu 3: (NB) Tính tổng sau S C6 2.C6 2 .C6 2 C6 . Lời giải 6 6 k 6 k k Xét khai triển a b C6 a b . k 0 Page 22
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 6 0 1 2 2 6 6 Ta chọn a 1;b 2 , thu được 1 2 C6 2.C6 2 .C6 2 C6 . Vậy S 36 729 . 0 1 2 11 12 Câu 4: (NB) Tính tổng sau S C12 C12 C12 C12 C12 . Lời giải 12 12 k 12 k k Xét khai triển a b C12a b . k 0 12 0 1 2 11 12 Ta chọn a 1;b 1, thu được 1 1 C12 C12 C12 C12 C12 . Vậy S 012 0. 2 0 1 n Câu 5: (TH) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n 6n 7 0 . Tính tổng S Cn Cn Cn . Lời giải 2 n 7 Ta có n 6n 7 0 n 1. 0 1 7 Do n ¥ nên n 7 . Khi đó S C7 C7 C7 . 7 7 k 7 k k Xét khai triển a b C7 a b . k 0 7 0 1 7 Ta chọn a b 1, thu được 1 1 C7 C7 C7 . Vậy S 27 128 . Câu 6: (TH) Cho đa thức P x 1 x 8 . Tính tổng các hệ số của đa thức P x . Lời giải 8 8 k k k Ta có P x 1 x C8 ( 1) x . Khi đó tổng các hệ số của đa thức P x là k 0 0 1 7 8 S C8 C8 C8 C8 . 8 8 k 8 k k Xét khai triển a b C8 a b . k 0 8 0 1 2 7 8 Ta chọn a 1;b 1, thu được 1 1 C8 C8 C8 C8 C8 . Vậy tổng các hệ số của đa thức P x bằng 0. 1 2 2 3 19 20 Câu 7: (TH) Tính tổng sau S C20 2C20 2 .C20 2 C20 . Lời giải 1 2 2 3 3 20 20 Ta có 2S 2.C20 2 C20 2 .C20 2 .C20 . 20 20 k 20 k k Xét khai triển a b C20a b . k 0 Page 23
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 20 0 1 20 20 Ta chọn a 1;b 2 , thu được 1 2 C20 2.C20 2 .C20 . 20 0 20 Do đó 2S 1 2 C20 3 1. 320 1 Vậy S . 2 0 2 4 20 Câu 8: (TH) Tính tổng sau S C20 C20 C20 C20 . Lời giải 20 20 k 20 k k Xét khai triển a b C20a b . k 0 20 0 1 2 3 20 Chọn a b 1, ta thu được 1 1 C20 C20 C20 C20 C20 . 20 0 1 2 3 20 Chọn a 1;b 1, ta thu được 1 1 C20 C20 C20 C20 C20 . Cộng theo vế hai phương trình ta được 20 0 2 4 20 2 2. C20 C20 C20 C20 2S 220 S 219 . 1 2018 2 2017 2 3 2016 3 2018 1 2018 2019 2019 Câu 9: Tính tổng: S C2019.3 .2 C2019.3 .2 C2019.3 .2 C2019 .3 .2 C2019 .2 Lời giải 2019 2019 k 2019 k k Xét A a b  C2019a b k 0 0 2019 1 2018 2 2017 2 3 2016 3 2018 1 2018 2019 2019 C2019.a C2019.a .b C2019.a .b C2019.a .b C2019 .a .b C2019 .b Ta chọn a 3,b 2, khi đó 3 2 2019 C 0 .32019 C1 .32018.2 C 2 .32017.22 C3 .32016.23 C 2018.31.22018 C 2019.22019 2019 2019 2019 20192019 2019  S 2019 0 2019 2019 2019 2019 S 3 2 C2019.3 1 3 3 1 . 0 2021 1 2010 2 2019 2 3 2018 3 2020 1 2020 Câu 10: Tính tổng: S C2021.4 C2021.4 .2 C2021.4 .2 C2021.4 .2 C2021 .4 .2 Lời giải 2021 2021 k 2021 k k A a b  C2021a b k 0 0 2021 1 2020 2 2019 2 3 2018 3 2020 1 2020 2021 2021 C2021.a C2021.a .b C2021.a .b C2021.a .b C2021 .a .b C2021 .b Ta chọn a 4,b 2 , khi đó 4 2 2021 C 0 .42021 C1 .42020.2 C 2 .42019.22 C3 .42018.23 C 2020.4.22020 C 2021.22021 2021 2021 20212021 2021  2021 S 2021 2021 2021 2021 2021 2022 S 4 2 C2021 .2 2 2 2 * 7 0 8 1 9 2 10 3 2n 6 2n 1 2n 7 2n Câu 11: Cho n ¥ , tính tổng S 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n . Lời giải 7 0 1 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n Ta có: S 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n . Xét khai triển Newton Page 24
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 2n 0 2n 0 1 2n 1 1 2 2n 2 2 2n 1 1 2n 1 2n 2n x 2 C2n x 2 C2n x . 2 C2n x . 2 C2n x 2 C2n 2 2n 0 1 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n Tại x 1 ta có 1 1 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n Vậy S 27. 1 2n 27 0 1 2 n Câu 12: Cho n là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau: S C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 Lời giải 0 1 2 n S C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 0 1 n 0 1 n 2S C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 k n k Ta có Cn Cn (tính chất tổ hợp). 0 1 n 2n 1 2n n 1 2S C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 0 1 n n 1 2n 2n 2S C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2n 1 0 0 1 1 2n 1 2n 1 Xét khai triển x 1 C2n 1x C2n 1x C2n 1 x Khi x 1 2S 22n 1 S 22n 4n . 0 1 2 n Câu 13: Cho n là số tự nhiên. Thu gọn biểu thức S 3Cn 7Cn 11Cn 4n 3 Cn theo n . Lời giải 0 1 2 n Ta có S 0.4 3 Cn 1.4 3 Cn 2.4 3 Cn n.4 3 Cn . 1 2 3 n 0 1 n S 4 Cn 2Cn 3Cn n.Cn 3 Cn Cn Cn . n 0 0 1 1 n n Xét khai triển x 1 Cn x Cn.x Cn x . 0 1 n n Khi x 1 Cn Cn Cn 2 . k n! n n 1 ! k 1 Mặt khác ta lại có: k.Cn k. n.Cn 1 k! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! 1 2 3 n 0 1 2 n 1 Do đó: Cn 2.Cn 3Cn n.Cn n Cn 1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 n 1 0 0 1 1 n 1 n 1 Tương tự xét khai triển x 1 Cn 1x Cn 1.x Cn 1 x 0 1 2 n 1 n 1 Khi x 1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 2 . Vậy S 4n.2n 1 3.2n 2n 3 .2n . 1 1 1 1 Câu 14: Rút gọn biểu thức S 1.0!.2019! 2.1!2018! 3.2!.2017! 2020.2019!.0! Lời giải 2019 2019 2019 1 2020! 1 k 1 Ta có S    C2020 k 0 k 1 k! 2019 k ! k 0 2020! k 1 ! 2020 k 1 ! 2020! k 0 2020 2020 2020 k k k k Xét nhị thức x 1  C2020.x 1  C2020.x k 0 k 1 2020 2019 k k 1 2020 Cho x 1  C2020  C2020 2 1. k 1 k 0 22020 1 Vậy: S . 2020! Page 25
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 0 1 3 4 n Câu 1: (NB) Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng A. 2n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 0 Lời giải Chọn C n n k n k k Theo khai triển nhị thức Niuton a b Cn a b * k 0 n 0 1 n‐1 n Với a b 1, ta có * 2 Cn C  Cn Cn . 0 2 4 Câu 2: (NB) Với n 4, tổng T Cn Cn Cn bằng A. 22n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 2n 1. Lời giải Chọn B n n k n k k Theo khai triển nhị thức Niuton a b Cn a b * k 0 n 0 1 n‐1 n Với a b 1, ta có * 2 Cn C  Cn Cn . 1 0 1 k k n n Với a 1;b 1, ta có * 0 Cn C  1 Cn  1 Cn . 2 Lấy 1 2 2n 2T Vậy T 2n 1 . 0 1 2 k k n n Câu 3: (NB) Tổng T Cn Cn Cn 1 Cn 1 Cn bằng A. 2n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 0 . Lời giải Chọn D n n k n k k Theo khai triển nhị thức Niuton a b Cn a b * k 0 0 1 k k n n Với a 1;b 1, ta có * 0 Cn C  1 Cn  1 Cn . 1 3 5 Câu 4: (NB) Với n 4, tổng T Cn Cn Cn bằng A. 22n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 2n 1. Lời giải Chọn D n n k n k k Theo khai triển nhị thức Niuton a b Cn a b * k 0 n 0 1 n‐1 n Với a b 1, ta có * 2 Cn C  Cn Cn . 1 0 1 k k n n Với a 1;b 1, ta có * 0 Cn C  1 Cn  1 Cn . 2 Lấy 1 2 2n 2T Vậy T 2n 1 . k k 1 Câu 5: (NB) Biểu thức P Cn Cn bằng Page 26
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ k 1 k k k A. Cn 1 B. Cn 1 C. Cn 1 D. Cn . Lời giải Chọn C k k 1 k 1 Áp dụng Cn Cn Cn 1 7 8 9 Câu 6: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãnCn Cn Cn 1 . Giá trị của số n bằng A. 16 B. 24. C. 18. D. 17. Lời giải Chọn A Điều kiện : n 8;n ¥ . k k 1 k 1 Áp dụng Cn Cn Cn 1 n 1 ! n 1 ! Ta có C 7 C8 C9 C8 C9 n n n 1 n 1 n 1 8! n 7 ! 9! n 8 ! 1 1 n 16 . n 7 9 n 1 n Câu 7: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 4 Cn 3 8 n 2 . A. 14 B. 13 C. 16 D. 15 Lời giải Chọn B Điều kiện : n ¥ . n 1 n n n 1 n Ta có Cn 4 Cn 3 8 n 2 Cn 3 Cn 3 Cn 3 8 n 2 n 2 n 3 C n 1 8 n 2 8 n 2 n 3 2! n 3 8.2! n 3 16 n 13. 1 2 n Câu 8: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãnCn Cn Cn 4095. Giá trị của n bằng A. 14 B. 16 C. 13 D. 12 Lời giải Chọn D 1 2 n 0 1 2 n Ta có Cn Cn Cn 4095 Cn Cn Cn Cn 4096 0 1 2 n n Mà Cn Cn Cn Cn 2 nên suy ra 2n 4096 n 12 0 2 4 2k 2n Câu 9: (TH) Tổng T C2n C2n C2n C2n C2n bằng A. 2n 1 B. 22n 1 C. 22n 1 D. 22n Lời giải Chọn B 0 2 4 n 1 Ta có Cn Cn Cn 2 0 2 4 2k 2n 2n 1 Áp dụng hệ thức trên, ta có T C2n C2n C2n C2n C2n 2 . 1 3 5 2021 n Câu 10: (TH) Cho T C2022 C2022 C2022 C2022 . Tính biểu thức T 2 thì n bằng A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 Lời giải Chọn D 1 3 5 n n 1 Ta có Cn Cn Cn Cn 2 Page 27
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 1 3 5 2021 2021 Áp dụng T C2022 C2022 C2022 C2022 2 Do đó n 2021. 0 1 2 n Câu 11: Tính tổng Cn + Cn + Cn + + Cn. ta được kết quả là: A. 3n B. 2n C. n! D. 2n 1 Lời giải Chọn B n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n Xét khai triển: a b Cn a Cna b Cn a b Cn b . a 1 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n Chọn ta được : 1 1 Cn .1 Cn.1 .1 Cn .1 .1 Cn .1 b 1 n 0 1 2 n 2 = Cn + Cn + Cn + + Cn. 0 1 2 n n Câu 12: Tính tổng Cn Cn + Cn + + 1 Cn. ta được kết quả là: A. 0 B. 2n C. 2n 1 D. 2n 1 Lời giải Chọn A n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n Xét khai triển: a b Cn a Cna b Cn a b Cn b . a 1 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n Chọn ta được : 1 1 Cn .1 Cn.1 . 1 Cn .1 . 1 Cn . 1 b 1 0 1 2 n n 0 = Cn Cn + Cn + + 1 Cn. 0 2 4 2n Câu 13: Tính tổng C2n + C2n + C2n + + C2n ta được kết quả là: A. 2n 1 B. 2n C. 22n 1 D. 22n 1 Lời giải Chọn A 2n 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 2n 2n Xét khai triển: a b C2na C2na b C2na b C2n b . a 1 2n 0 1 2 2n Chọn ta được : 2 C2n C2n C2n C2n (1) b 1 a 1 0 1 2 3 4 2n 1 2n Chọn ta được : 0 C2n C2n C2n C2n C2n C2n C2n (2) b 1 0 2 4 2n 2n 1 Từ (1) và (2) suy ra : C2n + C2n + C2n + + C2n 2 . 20 2 40 Câu 14: Xét khai triểm 1 2x x a0 a1x a40 x . Tổng S a0 a1 a40 là: A. 440 B. 220 C. 240 D. 410 Lời giải Chọn C 20 2 40 0 1 2 2 40 40 Xét khai triển: 1 2x x 1 x C40 C40 x C40 x C40 x . 40 Chọn x 1 ta được S a0 a1 a40 2 . 0 2 1 2 2 2 n 2 Câu 15: Tính tổng (Cn ) + (Cn ) + (Cn ) + + (Cn ) ta được kết quả là: Page 28
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ n 2n 2 2n 1 2n A. C2n B. C2n C. 2 D. 2 Lời giải Chọn A Xét khai triển: (1+ x)m.(1+ x)n = (1+ x)m+n ta có: 0 k 1 k-1 2 k-2 m k-m k k Cm.Cn + Cm.Cn + Cm.Cn + + Cm.Cn = Cm+n , m k n. ( hệ số chứa x ở cả hai vế). n n 2n Áp dụng với khai triển 1 x . 1 x 1 x ta có hệ số chứa xn bằng nhau nên: 2 2 2 C0.Cn + C1 .Cn 1 + + Cn.C0 = Cn C0 + C1 + + Cn = Cn n n n n n n 2n n n n 2n n 1 0 n 2 1 n 3 2 2 n 1 n 1 Câu 16: Tính tổng n.2 .Cn + n -1 .2 .3.Cn + n - 2 .2 .3 .Cn + + 3 .Cn ta được kết quả là: A. 5n B. n.5n C. n.5n 1 D. 5n 1 Lời giải Chọn C Ta có: n 1 0 n 2 1 n 3 2 2 n 1 n 1 n.2 .Cn + n -1 .2 .3.Cn + n - 2 .2 .3 .Cn + + 3 .Cn n 1 n 1 n k 1 k k n k 1 k n k 1 n 1 n 1  n k .2 .3 .Cn  n.2 .3 .Cn 1 n. 2 3 n.5 k 0 k 0 C2 C3 C n Câu 17: Tính tổng C1 n n n n ta được kết quả là: n 2 1 3 2 n 1 Cn Cn Cn n n 1 n n 1 A. 3n B. 2n C. D. 2 2 Lời giải Chọn D Ck n k 1 Ta có: n . k 1 k Cn Suy ra: C2 C3 C n n 1 n 2 1 C1 n n n n n n n 2 1 3 2 n 1 2. 3 . Cn Cn Cn 2 3 n n n 1 n n 1 n 2 2 1 . 2 Dạng 5. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của x x 4 , x x 5 để tính gần đúng và ứng dụng (nếu có). 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 5 Câu= 18: Viết khai triển lũy thừa x x =I Lời giải Page 29
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 Ta có: x x C5 .x C5.x . x C5 .x . x C5 .x . x C5 .x. x C5 . x Câu 19: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 6,01 4 Lời giải Ta có: 6,01 4 6 0,01 4 C 0.64 C1.63.0,01 C 2.62. 0,01 2 C3.6. 0,01 3 C 4. 0,01 4 4 4 4 4 4 0 4 1 3 C4 .6 C4.6 .0,01 1304,64 4 Vậy: 6,01 1304,64 . Câu 20: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 2022,02 5 Lời giải Ta có: 5 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 2022,02 2022 0,02 C5 .2022 C5.2022 .0,02 C5 .2022 .0,02 C5 .2022 .0,02 4 4 5 5 C5 .2022.0,02 C5 .0,02 0 5 1 4 16 C5 .2022 C5.2022 .0,02 3,38.10 Vậy: 2022,025 3,38.1016 . Câu 21: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 4,98 5 Lời giải Ta có: 5 5 0 5 0 1 4 2 2 2 3 2 3 4,98 5 ( 0,02) C5 .5 0,02 C5.5 . 0,02 C5 .5 . 0,02 C5 .5 . 0,02 4 4 5 5 C5 .5. 0,02 C5 . 0,02 0 5 1 4 C5 .5 C5.5 . 0,02 3062,5 Vậy: 4,985 3062,5 Câu 22: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 1999,99 4 Lời giải Ta có: 4 4 0 4 0 1 3 2 2 2 1999,99 2000 ( 0,01) C4 .2000 . 0,01 C4.2000 . 0,01 C4 .2000 . 0,01 3 3 4 4 C4 .2000. 0,01 C4 . 0,01 0 4 1 3 13 C4 .2000 C4.2000 . 0,01 1,599968.10 1999,99 4 1,599968.1013 Vậy: Câu 23: Tìm giá trị gần đúng của x , biết 9 x 5 59705,1 khi ta dùng 2 số hạng đầu tiên trong khai triển 9 x 5 . Lời giải 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 Ta có: 9 x C5 .9 C5.9 .x C5 .9 .x C5 .9 .x C5 .9.x C5 .x 0 5 1 4 C5 9 C5 9 x 59705,1 x 0,02 Page 30
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Vậy x 0,02 Câu 24: Một người có 500 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7,2% / năm. Với giả thiết sau mỗi tháng người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau n tháng được tính bởi công thức n T T0 1 r , trong đó T0 là số tiền gởi lúc đầu và r là lãi suất của một tháng. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính gần đúng số tiền người đó nhận được (cả gốc lẫn lãi) sau 6 tháng Lời giải 7,2 Lãi suất của một tháng r % 0,6% / tháng. 12 n Ta có: T T0 1 r . 6 6 6 0 1 Suy ra: T 500.10 1 0,006 500.10 C6 C6.0,006 518000000 đồng Vậy: sau 6 tháng người đó nhận được hơn 518000 000 đồng. Câu 25: Một người có T0 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7,2% / năm. Với giả thiết sau mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau n năm được tính bởi công thức n T T0 1 r , trong đó T0 là số tiền gởi lúc đầu và r là lãi suất của một năm. Sau 4 năm người đó nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi số tiền 386400000 đồng khi dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn. Tính gần đúng số tiền người đó đã gởi lúc đầu. Lời giải n Ta có: T T0 1 r . 4 0 1 Suy ra: T T0 1 0,072 T0 C4 C4.0,072 T0 300 000 000 đồng Vậy lúc đầu người đó gởi vào khoảng 300 000 000 đồng 4 5 Câu 26: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để so sánh 3,01 và 2,1 .Lời giải Ta có: 4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 3,01 3 0,01 C4 .3 C4.3 .0,01 C4 .3 . 0,01 C4 .3. 0,01 C4 . 0,01 0 4 1 3 C4 .3 C4.3 .0,01 82,08 5 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 2,1 2 0,1 C5 .2 C5.2 .0,1 C5 .2 . 0,1 C5 .2 . 0,1 C5 .2. 0,1 C5 . 0,1 0 5 1 4 C5 .2 C5.2 .0,1 40 4 5 Vậy: 3,01 2,1 . Câu 27: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa 2 3x 4 để ước lượng giá trị gần đúng 4 của x (làm tròn sau dấy phẩy hai chữ số), biết 2 3x 12,8. Lời giải Ta có: 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 2 3x C4 .2 C4.2 . 3x C4 .2 . 3x C4 .2. 3x C4 3x . 0 4 1 3 C4 .2 C4.2 . 3x 16 96x Page 31
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 4 Khi đó: 2 3x 12,8 16 96x 12,8 x 0,03. Vậy: x 0,03. 5 Câu 28: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa T 1 a 2 để ước lượng giá trị gần đúng của T theo a . Lời giải Ta có: 5 2 0 5 1 4 2 3 T 2 1 a C5 2 C5. 1 a. 2 C5 . 1 a . 2 3 4 5 3 2 4 5 C5 . 1 a . 2 C5 1 a . 2 C5 1 a 0 5 1 4 C5 2 C5. 1 a. 2 32 80 1 a. Vậy: T 32 80 1 a Câu 29: Một người có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8% / năm. Với giả thiết sau mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính số tiền người đó thu được (cả gốc lẫn lãi) sau 4 năm. Lời giải Gọi P là số tiền ban đầu người đó gửi vào, r là lãi suất, Pn là số tiền nhận được sau n năm. n Khi đó: Pn P 1 r . Theo giả thiết: 4 4 2 3 4 8 6,8 8 6,8 8 0 1 6,8 2 6,8 3 6,8 4 6,8 P4 10 1 10 1 10 C4 C4. C4 . C4 . C4 . 100 100 100 100 100 100 8 0 1 6,8 10 C4 C4. 127 200 000 (đồng) 100 Vậy: sau 4 năm người đó nhận được hơn 127 200 000 đồng. Câu 30: Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là 5% . Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa a b n , hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người? Lời giải Gọi A là số dân ban đầu, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, An là số dân của tỉnh đó sau n năm. n Khi đó: An A 1 r . Theo giả thiết: n 2 n 1 n 5 0 1 5 2 5 n 1 5 n 5 1,2 1 1,2 Cn Cn . Cn . Cn . Cn 100 100 100 100 100 5 1,2 C 0 C1. 1,2 1 0,05n n 4 (năm) n n 100 Vậy: Sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người. Câu 31: Ông A có 800 triệu đồng và ông B có 950 triệu đồng gửi hai ngân hàng khác nhau với lãi suất lần lượt là 7% / năm và 5% / năm. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Page 32
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ Niu – tơn, ước lượng sau bao nhiêu năm thì số tiền của hai ông thu được là bằng nhau và mỗi người nhận được bao nhiêu tiền? Lời giải Gọi P là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng, r là lãi suất, Pn lần lượt là số tiền nhận được sau n năm. n Khi đó: Pn P 1 r . Theo giả thiết: n n 7 5 800 1 950 1 100 100 0 1 7 19 0 1 5 7n 19 19n 17n 3 Cn Cn . Cn Cn . 1 n 17,6. 100 16 100 100 16 320 1600 16 0 1 7 P17 800 000 000 C17 C17 . 1 192 000 000 (đồng) 100 Vậy: Sau hơn 17 năm mỗi người nhận được hơn 1 192 000 000 đồng. 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 4 4 Câu 1: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,01 .Tìm số đó? A. 1,04 .B. 1,0406 . C. 1,040604 . D. 1.04060401. Lời giải Chọn A 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 1,01 1 0.01 C4 C4.0,01 C4 .0,01 C4 .0,01 C4 .0,01 . 4 0 1 Khi đó: 1,01 C4 C4.0,01 1,04. 5 5 Câu 2: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 2,01 . Tìm số đó? A. 32.808 . B. 32,80804 . C. 32,8 . D. 32,8080401. Lời giải Chọn C 5 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 2,01 2 0.01 C5 .2 C5.2 .0,01 C5 .2 .0,01 C5 .2 .0,01 C5 .2.0,01 C5 .0,01 . 5 0 5 1 4 Khi đó: 2,01 C5 .2 C5.2 .0,01 32,8 4 4 Câu 3: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,02 . Tìm số đó? A. 1,08. B. 1.0824. C. 1,08243. D. 1,082432 . Lời giải Chọn B 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 1,02 1 0,02 C4 C4.0,02 C4 .0,02 C4 .0,02 C4 .0,02 . 4 0 1 2 2 Khi đó: 1,02 C4 C4.0,02 C4 .0,02 1,0824 . 5 5 Câu 4: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 2,03 . Tìm số đó? Page 33
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ A. 34,473.B. 34,47 . C. 34,47308. D. 34,473088. Lời giải Chọn A 5 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 2,03 2 0.03 C5 .2 C5.2 .0,03 C5 .2 .0,03 C5 .2 .0,03 C5 .2.0,03 C5 .0,03 . 5 0 5 1 4 2 5 2 Khi đó: 2,03 C5 .2 C5.2 .0,03 C5 .2 .0,03 34,473 5 5 Câu 5: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,03 . Tìm số đó? A. 1,15.B. 1,1592. C. 1,159274. D. 1,15927407 . Lời giải Chọn C 5 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1,03 1 0.03 C5 C5.0,03 C5 .0,03 C5 .0,03 C5 .0,03 C5 .0,03 . 5 0 1 2 2 3 3 Khi đó: 1,03 C5 C5.0,03 C5 .0,03 C5 .0,03 1,159274 4 4 Câu 6: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 4,001 . Tìm số đó? A. 256,2560963 .B. 256,25 .C. 256,256 . D. 256,256096 . Lời giải Chọn A 4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4,001 4 0.001 C4 .4 C4.4 .0,001 C4 .4 .0,001 C4 .4 .0,001 C4 .4 .0,001 . 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 3 Khi đó: 4,001 C4 .4 C4.4 .0,001 C4 .4 .0,001 C4 .4 .0.001 256,2560963. 5 5 Câu 7: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,0002 . Tìm số đó? A. 32,02.B. 32,024. C. 32,0240072. D. 32,024007 . Lời giải Chọn C 5 5 5 0 4 1 3 2 2 2 3 3 2,0003 2 0.0003 2 .C5 2 .C5.0,0003 2 .C5 .0,0003 2 C5 .0,0003 4 4 5 5 2C5 .0,0003 C5 .0,0003 . 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 Khi đó: 2,0003 C5 .2 C5.2 .0,0003 C5 .2 .0,0003 C5 .2 .0,0003 32,0240072 . 5 5 Câu 8: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 4,0002 . Tìm số đó? A. 1024,25 .B. 1024,256026 . C. 1024,25602 . D. 1024,256 . Lời giải Chọn C Page 34
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ 5 5 5 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4,0002 4 0.0002 4 .C5 4 .C5.0,0002 4 .C5 .0,0002 4 C5 .0,0002 4 4 5 5 4C5 .0,0002 C5 .0,0002 . Khi đó: 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4,0002 C5 .4 C5.4 .0,0002 C5 .4 .0,0002 C5 .4 .0,0002 1024,256026. 0 1 2 2 14 14 15 15 Câu 9: Tính giá trị của H C15 2C15 2 C15 2 C15 2 C15 A. 315 .B. 315 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn D. 15 0 1 2 2 14 14 15 15 1 x C15 C15 x C15 x C15 x C15 x . 0 1 2 2 14 14 15 15 15 Chọn x 2 , ta được C15 2C15 2 C15 2 C15 2 C15 1 2 1 20 0 19 1 18 2 2 19 19 20 20 Câu 10: Tính giá trị của K 3 C20 3 .4.C20 3 .4 .C20 3.4 .C20 4 .C20 . A. 720 .B. 720 .C. 1.D. 1 Lời giải Chọn D. 20 20 0 19 1 18 2 2 19 19 20 20 3 x 3 C20 3 C20 x 3 C20 x 3C20 x C20 x . 20 0 19 1 18 2 2 19 19 20 20 20 Chọn x 4 ,ta được 3 C20 3 .4.C20 3 .4 .C20 3.4 .C20 4 .C20 3 4 1 5 Câu 11: Trong khai triển biểu thức F 3 3 2 số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là A. 8 B. 60 C. 58 D. 20 Lời giải Chọn B 5 k k Ta có số hạng tổng quát k 3 Tk 1 C5 3 2 Ta thấy bậc hai của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó để Tk 1 là một số nguyên thì k ¥ 0 k 5 2 3 3 3 k 3 T4 C5 3 2 5 k 2 k3 Vậy trong khai triển có giá trị lớn nhất là số hạng nguyên là T4 60 . Câu 12: Nếu một người gửi số tiền A vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kỳ hạn mà người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp) với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là C = A(1 + r) N (triệu đồng). Ông An gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% một quý. Hãy dùng ba số hạng đầu trong khai triển 1 0,0865 5 tính sau 5 quý (vẫn tính lãi suất kì hạn theo quý), ông An sẽ Page 35
Chuyên Đề Toán 10 CTST (Nhóm Gv Huế) vừa trắc nghiệm vừa tự luận lien hệ Zalo 0988 166 193 để mua ạ thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất hằng năm của ngân hàng X là không đổi) ? A. 30.15645 triệu đồng.B. 30.14645 triệu đồng. C. 30.14675 triệu đồng. D. 31.14645 triệu đồng. Lời giải Chọn B Áp dụng công thức C A 1 r 5 với A 20 triệu r 8,65% , n 5 quí. 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 x C5 C5 x C5 x C5 x C5 x C5 x 5 0 1 2 2 2 1 0,0865 C5 C5.0,0865 C5 0,0865 1 5.0,0865 10. 0,0865 1,5073225= Vậy số tiền thu được sau 5 quý là: C 20.1,5073225 30.14645 triệu đồng. n Câu 13: Để dự báo dân số của một quốc gia người ta sử dụng công thức S A 1 r , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, 푆 là dân số sau 푛 năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, r 1,5% . Năm 2015 dân số của một quốc gia là 212.942.000 người. Dùng ba số hạng đầu trong khai triển 1 0,015 5 ta ước tính được số dân của quốc gia đó vào năm 2020 gần số nào sau đây nhất ? A. 229391769 nghìn người.B. 329391769 nghìn người . C. 229391759 nghìn người.D. 228391769 nghìn người. Lời giải Chọn A Lấy năm 2015 làm mốc và tính dân số năm 2015 thì n 2020 2015 5 Áp dụng công thức S A 1 r n với A 212.942.000 , r 1,5% . 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 x C5 C5 x C5 x C5 x C5 x C5 x 5 0 1 2 2 2 1 0,015 C5 C5.0,015 C5 0,015 1 5.0,015 10. 0,015 1,07725 Ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2020 là: 212.942.000 1,07725 229391769,5 . Vậy dân số quốc gia đó là 229391769 nghìn người. Page 36