›
›
›

Đề cương ôn thi Đại số và Giải tích Lớp 12 - Chủ đề 5: Đạo hàm

docx 69 trang thaodu 2610
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn thi Đại số và Giải tích Lớp 12 - Chủ đề 5: Đạo hàm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_cuong_on_thi_dai_so_va_giai_tich_lop_12_chu_de_5_dao_ham.docx

Nội dung text: Đề cương ôn thi Đại số và Giải tích Lớp 12 - Chủ đề 5: Đạo hàm

  1. CHỦ ĐỀ 5. ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Cho hàm số y f x xác định trên a;b và x0 a;b . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f x f x0 lim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 . x x 0 x x0 f x f x0 Kí hiệu: f x0 hoặc y x0 . Vậy f x0 lim . x x 0 x x0 STUDY TIP y Nếu x x x0 và y f x f x0 f x0 x f x0 thì f x0 lim . x 0 x  gọi làx số gia của đối số tại điểm . x0  y gọi là số gia của hàm số tương ứng. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải. a) Đạo hàm bên trái. f x f x0 y f x0 lim lim trong đó x x0 được hiểu là x x0 và x x0 . x x x 0 0 x x0 x b) Đạo hàm bên phải. f x f x0 y f x0 lim lim trong đó x x0 được hiểu là x x0 và x x0 . x x x 0 0 x x0 x Nhận xét: Hàm số f x có đạo hàm tại điểm x0 f x0 và f x0 tồn tại và bằng nhau. Khi đó f x0 f x0 f x0 . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn. a) Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a;b nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. b) Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên đoạn a;b nếu có đạo hàm trên khoảng a;b và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b . 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số. - Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó. STUDY TIP  Hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó.  Hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
  2. Phương pháp: 1. Tính đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 bằng định nghĩa. Cách 1: f x f x - Tính lim 0 (1). x x 0 x x0 - Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại x0 và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại x0 . Cách 2: Tính theo số gia. - Cho x0 một số gia x : x x x0 y f x0 x f x0 . y - Lập tỉ số . x y - Tính giới hạn lim . x 0 x 2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm. - Hàm số y f x liên tục tại điểm x0 lim f x f x0 lim 0 . x x0 x 0 - Hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 y f x liên tục tại điểm x0 . - Hàm số y f x liên tục tại điểm x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0 . Ví dụ 1. Cho hàm số f x x 1 . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 1 . 2 2 2 A. .B. .C. .D. . 2 2 4 2 3 Lời giải Đáp án A. f x f 1 x 1 2 Cách 1: Xét lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2 lim lim . x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 2 2 4 Cách 2: y f x 1 f 1 x 2 2 . y x 2 2 . x x y x 2 2 x 1 2 lim lim lim lim . x 0 x x 0 x x 0 x 2 x 2 x 0 2 x 2 4 STUDY TIP a b a b2 Nhân lượng liên hợp: a b và a b . a b a b Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.
  3. 2 Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số f x x 5x 3 tại điểm x0 2 , một học sinh đã tính theo các bước sau: Bước 1: f x f 2 f x 11 . f x f 2 x2 5x 3 11 x 2 x 7 Bước 2: x 7 . x 2 x 2 x 2 f x f 2 Bước 3: lim lim x 7 9 . Vậy f 2 9 . x 2 x 2 x 2 Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào. A. Bước 1.B. Bước 2. C. Bước 3 . D. Tính toán đúng. Lời giải Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng. STUDY TIP 2 Phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm x1, x2 a x x1 x x2 0 . 2 Ví dụ 3. Số gia của hàm số f x x ứng với số gia x của đối số x tại x0 1 là: 2 A. x 2 2 x 1 .B. x 2 2 .xC. 2 x . 2 xD. x . 2 2 x Lời giải Đáp án D. 2 2 Với số gia x của đối số x tại điểm x0 1 , ta có: y 1 x 1 x 2 x . 2 Ví dụ 4. Cho hàm số f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 là: 2 A. lim x 2x0. x x .B. . lim x 2x0 1 x 0 x 0 2 C. lim x 2x0 1 .D. .lim x 2x0. x x x 0 x 0 Lời giải Đáp án B. 2 2 2 Ta có: y x0 x x0 x x0 x0 x 2x0. x x y f x0 lim lim x 2x0 1 . x 0 x x 0 Ví dụ 5. Cho hàm số y f x có đao hàm tại điểm x0 là f x0 . Khẳng định nào sau đây là sai. f x f x0 f x0 x f x0 A. f x0 lim .B. f x0 lim . x x x 0 0 x x0 x f x h f x0 f x x0 f x0 C. f x0 lim .D. f x0 lim . h 0 x x h 0 x x0 Lời giải Đáp án D. - A đúng theo định nghĩa. - B đúng vì x x x0 nên x x0 x 0 . - C đúng. Đặt h x x x0 x h x0 , h 0 khi x x0 .
  4. f x f x0 f x h f x0 f x0 h f x0 f x0 lim lim lim x x h 0 h 0 . 0 x x0 h x0 x0 h - Vậy D sai. Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x0 thì f x liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó . (3) Nếu hàm số f x gián đoạn tại điểm x x0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó . Trong ba mệnh trên: A. (1) và (3) đúng.B. (2) đúng.C. (1) và (2) đúng .D. (2) và (3) đúng. Lời giải Đáp án A. Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f x x có tập xác định D ¡ nên hàm số liên tục trên ¡ , f x f 0 f x f 0 nhưng ta có: lim 1 và lim 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 . STUDY TIP - Khi x 0 x 0 nên x x . - Khi x 0 x 0 nên x x . x2 x 1 Ví dụ 7. Cho hàm số y f x . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 1 . x 0 A. 2 .B. .C. .D. Không 1 0 tồn tại. Lời giải Đáp án D. Hàm số liên tục tại x0 1 . f x f 1 x2 2x 1 Ta có lim lim 0 (1). x 1 x 1 x 1 x x 1 f x f 1 x2 1 lim lim 2 (2). x 1 x 1 x 1 x x 1 Từ (1) và (2) hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1 . STUDY TIP Hàm số f x có đạo hàm tại x0 f x0 f x0 f x0 3 4 x khi x 0 Ví dụ 8. Cho hàm số f x . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây? 1 khi x 0 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 4 16 2 Lời giải
  5. Đáp án A. f x f 0 2 4 x 1 1 Ta có: lim lim lim . x 0 x 0 x 0 x x 0 2 4 x 4 x khi x 1 Ví dụ 9. Cho hàm số f x . Khi đó f 1 là kết quả nào sau đây. 2 x khi x 1 1 A. .B. .C. .D. không1 tồn tại. 2 f 1 2 Lời giải Đáp án D. Ta có: f 1 12 1 . x 1 1 1 x2 1 f 1 lim lim và f 1 lim lim x 1 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 Vì f ' 1 f ' 1 nên hàm số f x không tồn tại đạo hàm tại x0 1 . Ví dụ 10. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai. A. Hàm số có đạo hàm tại x 0 .B. Hàm số có đạo hàm tại . x 1 C. Hàm số có đạo hàm tại x 2 .D. Hàm số có đạo hàm tại . x 3 Lời giải Đáp án B. Tại x 1 đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 1. STUDY TIP - Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó. - Hàm số không liên tục tại điểm x0 thì không có đạo hàm tại x0 . x2 1 khi x 1 Ví dụ 11. Tìm a để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại điểm x 1 . a khi x 1 1 A. a 2 .B. .C. a .D. 2 . a 1 a 2
  6. Lời giải Đáp án B. Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết f x phải liên tục tại x 1 . x2 1 2 x2 1 f x f 1 lim 2 f 1 a . Khi đó f 1 lim lim x 1 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy a 2 . STUDY TIP Hàm số f x liên tục tại x0 lim f x f x0 . x x0 x2 1 khi x 0 Ví dụ 12. Tìm a,b để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 a 11 a 10 a 12 a 1 A. .B. .C. .D. . b 11 b 10 b 12 b 1 Lời giải Đáp án D. Trước tiên hàm số phải liên tục tại x 0 lim f (x) 1 f (0), lim f (x) b b 1 x 0 x 0 f (x) f (0) x 1 Xét lim lim 1 x 0 x x 0 x 1 f (x) f (0) lim lim a a x 0 x x 0 Hàm số có đạo hàm tại x 0 a 1 STUDY TIP Hàm số f (x) liên tục tại x lim f (x) lim f (x) f (x ) 0 0 x x0 x x0 ax2 bx 1 khi x 0 Ví dụ 13. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 0 asin x bcos x khi x 0 A aB. .C.1;b.D. .1 a 1;b 1 a 1;b 1 a 0;b 1 Lời giải Đáp án A Ta có:f (0) 1 lim f (x) lim(ax2 bx 1) 1 x 0 x 0 lim f (x) lim(asin x bcos x) b x 0 x 0 Để hàm số liên tục thì b 1
  7. ax2 x 1 1 f (0 ) lim 1 x 0 x x x x 2asin cos 2sin2 asinx bcos x 1 f (0 ) lim lim 2 2 2 x 0 x x 0 x x x sin sin x x lim 2 . lim a cos lim 2 . lim sin a x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 2 2 Để tồn tại f (0) f (0 ) f (0 ) a 1 STUDY TIP sinx sinf(x) Giới hạn lượng giác lim 1 lim 1 x 0 x f (x) 0 f (x) Ví dụ 14. Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2) (x 1000) . Tính f (0) . A 1B.00.C.00.!D 1000! 1100! 1110! Lời giải Đáp án B. f (x) f (0) x(x 1)(x 2) (x 1000) 0 f (x) lim lim lim(x 1)(x 2) (x 1000) x 0 x 0 x 0 x x 0 ( 1)( 2) ( 1000) 1000! STUDY TIP Hoán vị n phần tử: Pn n! 1.2 (n 1)n C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 3 Câu 1. Số gia của hàm số f (x) x ứng với x0 2 và x 1 bằng bao nhiêu? A B.1.9C D 7 19 7 y Câu 2. Tỉ số của hàm số f (x) 2x(x 1) theox và x là: x A 4 x 2 x 2 B 4x 2( x)2 2 C 4D.x. 2 x 2 4x. x 2( x)2 2 x Câu 3. Số gia của hàm số f (x) x2 4x 1 ứng với x và x là: A B.x.(C. x.D. 2 x 4) . 2x x x(2x 4 x) 2x 4 x x2 1 1 khi x 0 Câu 4. Cho hàm số f (x) xác định: f (x) x .Giá trị bằng:f (0) 0 khi x 0 1 1 A B C D. Không tồn tại. 2 2 2 x3 4x2 3x khi x 1 Câu 5. Cho hàm số f (x) xác định trên¡ \2 bởi f (x) x2 3x 2 .Giá trị fbằng: (1) 0 khi x 1 3 A B C 1D. Không tồn tại. 0 2 Câu 6. Xét hai mệnh đề: (I) f (x) có đạo hàm tại x0 thìf (x) liên tục tại.x0
  8. (II) f (x) có liên tục tại x0 thì f (x) đạo hàm tại.x0 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ.( I) B. Chỉ. (II) C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng. Câu 7. Cho đồ thị hàm số ynhư fhình(x) vẽ: Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây? A xB. .C.0 .D x 1 x 2 x 3 x3 2x2 x 1 1 khi x 1 Câu 8. Cho hàm số f (x) x 1 .Giá trị f (1) bằng: 0 khi x 1 1 1 1 1 A. .B C D 3 5 2 4 2x 3 khi x 1 Câu 9. Cho hàm số f (x) x3 2x2 7x 4 .Giá trị f (1) bằng: khi x 1 x 1 A 0B C D.4 Không tồn tại. 5 x khi x 0 Câu 10. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ bởi f (x) x Xét hai mệnh đề sau: 0 khi x 0 (I) f (0) 1 . (II) Hàm số không có đạo hàm tại.x0 0 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ.(B.I) Chỉ.C. Cả hai đều đúng.(II ) D. Cả hai đều sai. Câu 11. Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y liên tục tại x 0 . x 1 x (2) Hàm số y có đạo hàm tại x 0 . x 1 Trong 2 câu trên: A. (2) đúng.B. đúng.C.Cả(,1 ) đều đúng.D. Cả, đều(1) sai.(2) (1) (2)
  9. 3 4x2 8 8x2 4 khi x 0 Câu 12. Cho hàm số f (x) x .Giá trị của bằng:f (0) 0 khi x 0 1 5 4 A B C D.Không tồn tại. 3 3 3 xsin khi x 0 Câu 13. Với hàm số f (x) x .Để tìm đạo hàmf '(x) 0 một học sinh lập luận qua 0 khi x 0 các bước như sau: 1.f (x) x . sin x . x 2.Khix 0 thìx 0 nênf (x) 0 f (x) 0 . 3.Do lim f (x) lim f (x) f (0) 0 nên hàm số liên tục tại.x 0 x 0 x 0 4.Từ f (x) liên tục tại x 0 f (x) có đạo hàm tại.x 0 Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A.Bước 1.B.Bước 2. C.Bước 3. D.Bước 4. 1 xsin khi x 0 Câu 14. Cho hàm số f (x) x2 . 0 khi x 0 (1) Hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . (2) Hàm số f (x) không có đạo hàm tại điểm x 0 . Trong các mệnh đề trên: A.Chỉ(1) đúng.B. Chỉ đúng.C.(2Cả) đều đúng.D. Cả đều(1), sai.(2) (1),(2) ax2 bx khi x 1 Câu 15. Cho hàm số f (x) .Tìma,b để hàm số có đạo hàm tại x 1 2x 1 khi x 1 A aB. .C. 1.D.,b. 0 a 1,b 1 a 1,b 0 a 1,b 1 sin2 x khi x 0 Câu 16. Cho hàm số f (x) x .Giá trị của bằng:f (0) 2 x x khi x 0 A 1B C D 2 3 5 Câu 17. Xét hàm số y f (x) có tập xác định là đoạn a;b đồng thời nếu x x0 a;b thìf (x) 1 với 3 điều kiện: I.f (x) là hàm số liên tục trái và liên tục phải của x0 . II.f (x0 ) 1 . III.f (x) có đạo hàm tại.x0 Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để f (x) liên tục tại x0 là: A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ II và III. Câu 18. Xét ba hàm số: I. f (x) x .x II.g(x) x
  10. III.h(x) x 1 x Hàm số không có đạo hàm tại x 0 là: A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ I và III. D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án C. 3 3 y f x0 x f x0 x0 x x0 Với x0 2, x 1 y 19 Câu 2. Đáp án C. y f x f x0 2 x x0 x x0 2 x x0 2x 2x0 2 x x x0 x x0 (Với x0 x x ) Câu 3. Đáp án A. y f x x f x x x 2 4 x x 1 x2 4x 1 x x 2x 4 Câu 4. Đáp án A. f x f 0 x2 1 1 1 1 Xét lim lim 2 lim x 0 x x 0 x x 0 x2 1 1 2 1 Vậy f 0 2 Câu 5. Đáp án D. f x f 1 x3 4x2 3x x x 3 Xét lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x2 3x 2 x 1 x 1 x 2 Câu 6. Đáp án A. (II) Sai : ví dụ: f x x thì f x liên tục tại x = 0 nhưng f x không có đạo hàm tại x = 0 (I) Đúng theo đáp án đã trình bày Câu 7. Đáp án B. Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số không liên tục tại đó hàm số không có đạo hàm Câu 8. Đáp án C. f x f 1 x 3 2x 2 x 1 x 1 lim lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2x 2 x 1 1 2 Câu 9. Đáp án D. lim f x lim 2x 3 5 x 1 x 1 x 3 2x 2 7x 4 lim f x lim lim x 2 3x 4 0 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy không tồn tại f 1 Câu 10. Đáp án B. x 0 1 f 0 lim x lim x 0 x 0 x 0 x x Vậy (I) sai, (II) đúng Câu 11. Đáp án B.
  11. x Ta có: lim 0 f 0 Hàm số liên tục tại x 0 x 0 x 1 f x f 0 x 1 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 f x f 0 x 1 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 0 Câu 12. Đáp án B. f x f 0 3 4x 2 8 8x 2 4 3 4x 2 8 2 2 8x 2 4 lim lim lim x 0 x x 0 x 2 x 0 x 2 Ta có: 2 2 1 4x 8x 1 5 lim 2 2 x 0 x 3 2 2 3 2 2 8x 2 4 3 3 4x 8 2 4x 8 4 Câu 13. Đáp án D. f x f 0 Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa sin x 0 x không có giới hạn khi x 0 Câu 14. Đáp án C. 1 Ta có: x x.sin x x 2 1 1 lim x lim x.sin lim x 0 lim x.sin 0 f 0 x 0 x 0 x 2 x 0 x 0 x 2 Vậy hàm số liên tục tại x 0 f x f 0 1 Xét lim lim sin x 0 x 0 x 2 1 Lấy dãy (xn):xn có: 2n 2 1 lim xn lim 0 lim f xn lim sin 2n 1 n n n 2 2n 2 1 1 Lấy dãy x : x , tương tự ta cũng có: n n 2 2 n 6 f x f 0 1 1 lim xn 0 lim f xn 0 lim sin 2n lim limsin 2 không n n n 6 2 x 0 x 0 x 0 x tồn tại Câu 15. Đáp án C. lim f x a b f 1 x 1 Ta có: a b 1 lim f x lim 2x 1 1 x 1 x 1 f x f 1 ax 2 bx a b lim lim lima x 1 b 2a b x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f 1 2x 2 1 a b 2x 1 1 lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
  12. a b 1 a 1 Ta có hệ: 2a b 2 b 0 Câu 16. Đáp án A. sin 2 x sin x lim f x lim lim .sin x 0 x 0 x 0 x x 0 x lim f x lim x 2 x 0 x 0 x 0 Suy ra hàm số liên tục tại x 0 f x f 0 sin 2 x f x f 0 x 2 x lim lim 1; lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x Vậy: f 0 f 0 f 0 1 Câu 17. Đáp án C. - f(x) liên tục tại x0 tức là x x0 thì f x f x0 nên (I) và (II) đúng. -f(x) có đạo hàm tại x 0 là điều điện đủ để f(x) liên tục tại x0. f(x) liên tục tại x0 nhưng có thể f(x) không có đạo hàm tại điểm đó. Câu 18. Đáp án B. g x g 0 1 Ta có: lim lim . Vậy g x không có đạo hàm tại x 0 . x 0 x 0 x 0 x
  13. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1. u v u v 2. u - v = u - v u u v v u 1 v 3. u.v u v v u 4. 2 2 v v v v STUDY TIP Mở rộng: 1. u1 u2 un u1 u2 un 2. u.v.w u .v.w u.v .w u.v.w 2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f u x f u với u u x . Khi đó: yx yu .ux 3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u u x c 0 , c là hằng số x 1 1 u 1 1 2 2 u u x x u 1 x u 2 x 2 u 1 1 x .x u .u .u sin x cos x sin u u .cosu cos x sin x cosu u .sin u u 2 1 2 tan u u . 1 tan x tan x 1 tan x 2 cos2 x cos u 1 2 1 2 cot u 2 u . 1 cot u cot x 2 1 cot x sin x sin u STUDY TIP Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ. B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm
  14. Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ 15. Đạo hàm của hàm số y 2x 5 4 x bằng biểu thức nào dưới đây? 1 4 2 1 A. B. 1 C.0x D.4 10x 4 10x 4 10x 4 x x x x Lời giải Đáp án C.
  15. Lời giải 2 y 10x4 . x 2x 1 a Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị nào x 2 x 2 2 sau đây: A. a 3 .B. . a 5 C. .D. . a 3 a 5 Lời giải Đáp án C. 2x 1 x 2 2x 1 x 2 3 y a 3. x 2 2 x 2 2 STUDY TIP ax b ad bc 2 với c 0 và ad bc 0 cx d cx d x2 x 1 ax2 bx Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a.b bằng: x 1 x 1 2 A. a.b 2 .B. . a.b 1C. .D. . a.b 3 a.b 4 Lời giải Đáp án A. 2 2x 1 x 1 x x 1 x2 2x Cách 1: y a.b 2. x 1 2 x 1 2 1 1 x2 2x Cách 2: y x y 1 x 1 x 1 2 x 1 2 STUDY TIP
  16. ax2 bx c aa x2 2ab x bb ac Với a.a 0 ta có 2 a x b a x b x2 x 3 ax b Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số y 2 bằng biểu thức có dạng 2 . Khi đó a b bằng: x x 1 x2 x 1 A. a b 4 .B. . a b 5C. . D. a b 10 . a b 12 Lời giải Đáp án D. x2 x 1 4 4 4 2x 1 8x 4 Cách 1: y 2 1 2 y 2 2 x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1 u u v uv Cách 2: Áp dụng 2 v v 2 2 2x 1 x x 1 x x 3 2x 1 8x 4 y 2 2 a b 12 x2 x 1 x2 x 1 STUDY TIP a b a c b c x2 2 x 2 ax bx c a1 b1 a1 c1 b1 c1 2 a x2 b x c 2 1 1 1 a1x b1x c1 Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số y ax2 a 1 x a3 a2 (với a là hằng số) tại mọi x ¡ là: A. 2x a 1 .B. . 2ax 1 C.a . D. 2ax . 3a2 2a 1 2ax a 1 Lời giải Đáp án D. y 2ax a 1 STUDY TIP Với c là hằng số thì c 0 c.u c.u n n 1 * x nx ,n ¥ ax b Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số y x2 x 1 bằng biểu thức có dạng . Khi đó a b bằng: 2 x2 x 1 A. a b 2 .B. . a b C.1 . D.a b 1 . a b 2 Lời giải 2 x x 1 2x 1 Đáp án C. y a b 1 2 x2 x 1 2 x2 x 1 5 Ví dụ 7. Đạo hàm của hàm số y x2 x 1 là: 4 4 A. 4 x2 x 1 2x 1 . B. 5 x2 x 1 . 4 4 C. .5D. x 2 x 1 2x 1 . x2 x 1 2x 1 Lời giải
  17. 4 4 Đáp án C. y 5 x2 x 1 x2 x 1 5 x2 x 1 2x 1 STUDY TIP n n 1 * u n.u u ,n ¥ Với u u x : u u 2 u a Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số y x2 1 5 3x2 bằng biểu thức có dạng ax3 bx . Khi đó T b bằng: A. 1 .B. . 2C. .D. . 3 3 Lời giải Đáp án D. y x2 1 5 3x2 x2 1 5 3x2 2x 5 3x2 x2 1 6x 12x3 4x STUDY TIP Với u u x ,v v x : uv u v uv Ví dụ 9. Đạo hàm của hàm số y x2 2x 1 5x 3 bằng biểu thức có dạng ax3 bx2 cx . Khi đó a b c bằng: A. 31 .B. . 24C. .D. . 51 34 Lời giải Đáp án A. Cách 1: y 2x 2x 1 5x 3 x2.2 5x 3 x2 2x 1 .5 40 x3 3x2 6x Cách 2: Nhân vào rút gọn ta được y 10x4 x3 3x2 y 40x3 3x2 6x nên a b c 31 STUDY TIP u u x ,v v x ,  x uv u v uv  uv x Ví dụ 10. Đạo hàm của hàm số y (a là hằng số) là: a2 x2 a2 a2 2a2 a2 A. .B. . C. .D. . 3 3 3 3 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 Lời giải Đáp án D. x2 a2 x2 2 2 a2 y a x 2 2 3 a x a2 x2 1 ax Ví dụ 11. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị 2 3 x 1 x2 1 nào sau đây: A. a 4 .B. . a 1C. .D. . a 2 a 3 Lời giải Đáp án B.
  18. 2 2 x 1 x 1 x y 2 a 1 x 1 2 x2 1. x2 1 x2 1. x2 1 STUDY TIP u u u x : u 2 u 2 x x 1 khi x 1 Ví dụ 12. Đạo hàm của hàm số f x là: x 1 3 khi x 1 2x khi x 1 2x 1 khi x 1 A. f x 1 . B. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1 C. .D.f x 1 . f x 1 khi x 1 khi x 1 2 x 1 2 x 1 Lời giải Đáp án D. Với x 1: f x 2x 1 1 Với x 1: f x 2 x 1 f x f 1 x 1 Với x 1, ta có lim lim nên không có đạo hàm tại x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 Vậy f x 1 khi x 1 2 x 1 STUDY TIP Loại bài toán kết hợp giữa tính đạo hàm bằng công thức và tính đạo hàm bằng định nghĩa tại 1 điểm x0. 3 x2 khi x 1 2 Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số f x . 1 khi x 1 x x khi x 1 x khi x 1 A. f x 1 . B. f x 1 khi x 1 . khi x 1 x2 1 khi x 1 x2 x khi x 1 x khi x 1 C. .D.f x 1 . f x 1 khi x 1 khi x 1 x2 1 khi x 1 x2 Lời giải
  19. Đáp án B. Với x 1: f x x 1 Với x 1: f x x2 1 lim f x lim 1 x 1 x 1 x Với x 1, ta có lim f x lim f x 1 f 1 3 x2 x 1 x 1 lim f x lim 1 x 1 x 1 2 Hàm số liên tục tại x 1. 1 1 f x f 1 x lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Xét f 1 1 3 x2 1 f x f 1 lim lim 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x khi x 1 Vậy f x 1 khi x 1 1 khi x 1 x2 STUDY TIP - Trên các khoảng xác định ta tính đạo hàm bằng quy tắc. - Tại điểm x x0 ta xét đạo hàm bằng định nghĩa. 2 Ví dụ 14. Cho hàm số f x 3x2 1 . Giá trị f 1 là: A. 4 .B. . 8C. .D. . 4 24 Lời giải Đáp án D. 2 2 2 Cách 1: f x 2 3x 1 3x 1 12x 3x 1 f 1 24 Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào màn hình: Nhận xét: Bằng cách 2 ta có thể tính nhanh chóng đạo hàm tại một điểm xác định x x0 . STUDY TIP Dùng MTCT: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm chỉ ra x x0 . Ví dụ 15. Cho hàm số f x x 1 . Đạo hàm của hàm số tại x 1 là: 1 A. .B. . 1 C. .D. Không tồn tại. 0 2 Lời giải
  20. Đáp án D. 1 Ta có: f x Không tồn tại f 1 vì f x xác định với x 1 . 2 x 1 STUDY TIP Với bài toán này nếu sử dụng MTCT thì kết quả là màn hình hiển thị thông báo “Math ERROR” và không tính được. Ví dụ 16. Cho hàm số f x 2x4 4x2 1 . Tập các giá trị của x để f x 0 là: A. 1;0  1; .B. . 1;0 C. .D. 1; . ;0 Lời giải Đáp án A. 3 1 x 0 f x 8x 8x f x 0 x 1 STUDY TIP Nhận biết được loại bài toán kết hợp việc tính đạo hàm và giải bất phương trình. Ví dụ 17. Cho hàm số f x x x2 1 . Tập các giá trị của x để 2x. f x f x 0 là: 1 1 1 2 A. ; .B. . ; C. . D. ; . ; 3 3 3 3 Lời giải Đáp án A. x f x f x f x 1 2x. f x f x 0 2x. f x 0 x2 1 x2 1 x2 1 x 0 1 2x x2 1 do f x x x2 x x 0 x 2 3x 1 3 1 Vậy x ; 3 STUDY TIP x x x x 0 f x 0, g x 0 f x g x f x g x 1 Ví dụ 18. Cho hàm số f x x3 2 2x2 8x 1 . Tập các giá trị của x để f x 0 là: 3 A.  2 2 .B. . 2; 2C. .D. .  4 2 2 2 Lời giải Đáp án D. f x x2 4 2x 8 f x 0 x 2 2
  21. STUDY TIP - Nhận biết được loại bài toán kết hợp giữa việc tính đạo hàm và giải phương trình. - Sau khi tính được đạo hàm ta có thể thử các đáp án vào phương trình để tìm ra kết quả. x3 Ví dụ 19. Cho hàm số f x . Tập nghiệm của phương trình f x 0 là: x 1 2 2 3 3 A. 0;  .B. . 0; C. .D. . 0;  0;  3 3 2 2 Lời giải Đáp án C. 3x2 x 1 x3 2x3 3x2 f x x 1 2 x 1 2 x 0 3 2 f x 0 2x 3x 0 3 (thỏa mãn) x 2 mx3 Ví dụ 20. Cho hàm số f x mx2 3m 1 x 1 . Tập các giá trị của tham số m để y 0 với 3 x ¡ là: A. ; 2 .B. . ;2 C. . D. ;0 . ;0 Lời giải Đáp án C. y mx2 2mx 3m 1 y 0 mx2 2mx 3m 1 0 1 + Với m 0 thì (1) trở thành 1 0 nên đúng với x ¡ . a 0 m 0 + Với m 0 khi đó (1) đúng với x ¡ m 0 0 1 2m 0 Vậy m 0 STUDY TIP a 0 f x 0,x 0 Cho f x ax2 bx c, a 0 a 0 f x 0,x 0 Ví dụ 21. Cho hàm số f x 2mx mx3 . Số x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 1 khi và chỉ khi: A. m 1 .B. . m 1C. . D. 1 m . 1 m 1 Lời giải Đáp án D. f x 2m 3mx2
  22. Số x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 1 2m 3m 1 m 1. DẠNG 2. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp chung: - Vận dụng các công thức đạo hàm bốn hàm số y sin x , y cos x , y tan x , y cot x và hàm hợp của nó. - Vận dụng phối hợp các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp - Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất với sinx và cosx, phương trình tích số để giải phương trình y ' 0 Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn các hàm số, biểu thức lượng giác STUDY TIP (sinn u)' nsinn 1 u.(sin u)' (cosn u)' ncosn 1 u.(cosu)' (tann u)' n tann 1 u.(tan u)' (cotn u)' ncotn 1 u.(cot u)' Ví dụ 16. Đạo hàm của hàm số y 2sin 3x.cos5x có biểu thức nào sau đây? A. 30cos3x.sin 5x . B. 8cos8x 2cos 2x . C. 8cos8x 2cos 2x .D. . 30cos3x 30sin 5x Đáp án C Lời giải Cách 1: Ta có y sin8x sin 2x y ' 8cos8x 2cos 2x Cách 2: y ' 6cos3x.cos5x 10sin 3x.sin 5x 3cos8x 3cos 2x 5cos 2x 5cos8x 8cos8x 2cos 2x Nhận xét: Nếu dùng cách 1 sử dụng công thức biến đổi từ tích sang tổng rút gọn rồi sau đó việc tính đạo hàm y ' sẽ đơn giản hơn. STUDY TIP 1 sin a cosb [sin(a b) sin(a b)] 2 1 cos a cosb [cos(a b) cos(a b)] 2 sin x cos x a Ví dụ 17. Đạo hàm của hàm số y có biểu thức dạng . Vậy giá trị a là: sin x cos x (sin x cos x)2 A. a 1 .B. .C. a . 2 D. a . 3 a 2 Đáp án B Lời giải
  23. (cos x sin x)(sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x) 2 y ' . (sin x cos x)2 (sin x cos x)2 a 2 STUDY TIP u u 'v uv ' Áp dụng quy tắc: ( và) ' sin2 x cos2 x 1 v v2 Ví dụ 18. Đạo hàm của hàm số y cot x là: 1 1 1 sin x A. .B. .C. .D. . sin2 x cot x 2sin2 x cot x 2 cot x 2 cot x Đáp án B Lời giải (cot x)' 1 Cách 1: y ' 2 cot x 2sin2 x cot x Cách 2: Học sin có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm của hàm số y cot x tại một điểm x 4 ta được kết quả 1 Với x thay vào từng đáp án ta được đáp án B 4 STUDY TIP Ví dụ 19. Đạo hàm của hàm số y cos2 (sin3 x) là biểu thức nào sau đây? A. sin(2sin3 x).sin2 x.cos x . B. 6sin(2sin3 x).sin2 x.cos x . 3 2 3 2 C. 7sin(2sin x).sin x.cos x .D. 3sin(2si .n x).sin x.cos x Đáp án D Lời giải Cách 1: y cos2 u , với u sin3 x y ' 3sin(2sin3 x).sin2 x.cos x Cách 2: Sử dụng MTCT - Nhập biểu thức của hàm số y cos2 (sin3 x) ở đơn vị radian - Thay x vào từng đáp án ta được đáp án D 4 Nhận xét: Với bài toán này việc sử dụng MTCT trở nên phức tạp hơn nhiều với việc giải tự luận thuần túy STUDY TIP cos x 4 Ví dụ 20. Đạo hàm của hàm số y cot x là biểu thức nào sau đây? 3sin3 x 3 A B.co t3 x 1 .C. 3c .o t4 x 1 D. . cot4 x 1 cot4 x Đáp án C Lời giải 1 4 1 Ta rút gọn hàm số đã cho y cot x(1 cot2 x) cot x cot3 x cot x 3 3 3 y ' cot2 x(1 cot2 x) 1 cot2 x cot4 x 1 STUDY TIP Học sinh cần biến đổi hàm số đã cho về dạng đơn giản hơn thì việc tính toán đạo hàm sẽ nhanh hơn.
  24. Ví dụ 21. Đạo hàm của hàm số y tan2 x cot2 x là: tan x cot x tan x cot x tan x cot x A. 2 2 .B. 2 2 .C. 2 2 . D. 2 tan x 2c .ot x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x Đáp án A Lời giải 1 1 2 tan x 2cot x y ' 2 tan x. 2 2cot x 2 2 2 cos x sin x cos x sin x 1 x3.sin khi x 0 Ví dụ 22. Cho hàm số f (x) x . Đạo hàm f '(x) là biểu thức nào sau đây? 0 khi x 0 1 1 1 1 x2.sin x cos khi x 0 3x2.sin x cos khi x 0 A. f '(x) x x . B. f '(x) x x . 1 khi x 0 1 khi x 0 1 1 1 1 3x2.sin x cos khi x 0 3x2.sin x cos khi x 0 C. f '(x) x x .D. f '(x) x x . 0 khi x 0 0 khi x 0 Đáp án D Lời giải 1 1 Với x 0 f '(x) 3x2 sin x cos x x f (x) f (0) Với x 0 f '(x) lim 0 x 0 x 1 1 3x2.sin x cos khi x 0 f '(x) x x 0 khi x 0 STUDY TIP Bạn đọc nhận biết loại bài toán tính đạo hàm của hàm số có nhiều biểu thức: - Với x x0 tính đạo hàm bằng công thức - Với x x0 tính đạo hàm bằng định nghĩa Ví dụ 23. Đạo hàm của hàm số y 3tan2 x cot 2x là: 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) A. . B. . 3 3tan2 x cot 2x 2 3tan2 x cot 2x 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) C. .D. . 3tan2 x cot 2x 3tan2 x cot 2x Đáp án D Lời giải 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) Ta có: y u với u 3tan2 x cot 2x y ' 3tan2 x cot 2x STUDY TIP u ' Vận dụng giữa các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm số hợp ( u)' 2 u cos x Ví dụ 24. Cho hàm số f (x) , chọn kết quả sai? 1 2sin x
  25. 5 1 A. f '( ) .B. f ' .(C.0) 2 .D. f '( ) . f '( ) 2 6 4 2 3 Đáp án A Lời giải sin x 2 5 Cách 1: Ta có f '(x) f '( ) (1 2sin x)2 6 8 Cách 2: Sử dụng MTCT tính đạo hàm của hàm số tại một điểm STUDY TIP Ví dụ 25. Cho hàm số y f (x) cos2 x với f (x) là hàm số liên tục trên ¡ . Trong 4 biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định f (x) thỏa mãn y ' 1x ¡ ? 1 1 A. x cos 2x .B. x .C.c os 2x .D. x sin 2 . x x sin 2x 2 2 Đáp án A Lời giải Ta có: y ' f '(x) 2cos xsin x f '(x) sin 2x 1 y '(x) 1 f '(x) sin 2x 1 f '(x) 1 sin 2x f (x) x cos 2x 2 STUDY TIP Bài toán ngược xác định hàm số f (x) khi biết được f '(x) Ví dụ 26. Cho hàm số f (x) sin6 x cos6 x 3sin2 x cos2 x . Khi đó f '(x) có giá trị bằng bao nhiêu? A. 1 . B. 2 .C. .D. . 0 1 Đáp án C Lời giải Cách 1: f '(x) 6sin5 x cos x 6cos5 xsin x 3(2sin x cos3 x 2cos xsin3 x) 6sin x cos x(sin4 x cos4 x cos2 x sin2 x) 6sin x cos x(sin2 x cos2 x cos2 x sin2 x) 0 . Cách 2: Sử dụng MTCT tính đạo hàm tại điểm x bất kì ta được kết quả f '(x) 0 STUDY TIP Ta có thể rút gọn biểu thức rồi tính đạo hàm sau 1 Ví dụ 27. Cho hàm số f (x) sin4 x cos4 x; g(x) cos 4x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 1 A. f '(x) g '(x) 0 . B. f (x) g(x) . 4 C. 2 f '(x) 3g '(x) 1 .D. . 3 f '(x) 2g '(x) 1 Đáp án A Lời giải Ta có: f '(x) 4sin3 x cos x 4cos3 x( sin x) 4sin x cos x(sin2 x cos2 x) sin 4x . g '(x) sin 4x . Vậy f '(x) g '(x) 0 STUDY TIP
  26. 3 Dùng biến đổi lượng giác thì ta được f (x) g(x) do 2 hàm số khác nhau một hằng số nên cùng đạo 4 hàm. Ví dụ 28. Cho hàm số y cos2 x sin x . Phương trình y ' 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; ) A. 1 nghiệm.B. 2 nghiệm.C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. Đáp án C Lời giải y ' 2cos xsin x cos x cos x(1 2sin x) x k 2 cos x 0 y ' 0 1 x k2 ;(k ¢ ) sin x 6 2 5 x k2 6 5  Vìx (0; ) x ; ;  . Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng (0; ) 6 2 6  STUDY TIP Loại bài toán kết hợp giữa tính đạo hàm và giải phương trình lượng giác Ví dụ 29. Cho hàm số y (m 1)sin x mcos x (m 2)x 1 . Tìm giá trị của m để y ' 0 có nghiệm? m 1 A. .B. .C. m 2 .D. . 1 m 3 m 2 m 3 Đáp án A Lời giải y ' (m 1)cos x msin x (m 2) Phương trình y ' 0 (m 1)cos x msin x (m 2) Điều kiện phương trình có nghiệm là a2 b2 c2 2 2 2 2 m 1 (m 1) m (m 2) m 2m 3 0 m 3 STUDY TIP Phương trình bậc nhất với sin x và cos x asin x bcos x c có nghiệm a2 b2 c2 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp Câu 19. Đạo hàm của hàm số y 2x3 9x2 12x 4 là: A. 5x2 11x 4 .B. 6x2 1 .C.8x 12 6 . x2 1D.8x 12 .6x2 9x 12 Câu 20. Đạo hàm của hàm số y x3 3mx2 3(1 m2 )x m3 m2 (với m là tham số) bằng: A. 3x2 6mx 1 m2 . B. x2 3mx 1 3m . C. 3x2 6mx 3 3m2 .D. . 3x2 6mx 3 3m2 Câu 21. Đạo hàm của hàm số y (x2 1)2 (3 5x2 ) bằng biểu thức có dạng ax5 bx3 cx . Khi đó a b c bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 5.
  27. Câu 22. Đạo hàm của hàm số y (x2 1)(x3 2)(x4 3) bằng biểu thức có dạng ax8 bx6 cx5 15x4 dx3 ex2 gx . Khi đó a b c d e g bằng: A. 0.B. 2.C. 3.D. 5. 2x 1 a Câu 23. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị nào sau x 1 (x 1)2 đây? A. a 2 .B. .C. a 1. D. a . 3 a 3 x2 3x 3 ax2 bx Câu 24. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a.b bằng: 2(x 1) 2(x 1)2 A. 2 .B. .C. .D. . 1 4 6 2x2 3x 1 ax2 bx c Câu 25. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a b c x2 5x 2 (x 5x 2)2 bằng: A. 1 .B. .C. .D. . 2 3 2 x2 2x 3 ax4 bx3 cx2 dx e Câu 26. Đạo hàm của hàm số bằngy biểu thức có dạng . Khi đó x3 2 (x3 2)2 a b c d e bằng: A. 12 .B. .C. 8.D. 5. 10 ax2 bx c Câu 27. Đạo hàm của hàm số y (x 2) x2 1 biểu thức có dạng . Khi đó a.b.c bằng: x2 1 A. 2 .B. .C. .D. . 4 6 8 Câu 28. Đạo hàm của hàm số y (x6 3x4 )2 bằng biểu thức nào sau đây? A. 12x11 52x9 64x7 . B. 12x11 73x9 49x7 . C. 12x11 62x9 70x7 .D. . 12x11 60x9 72x7 ax b a Câu 29. Đạo hàm của hàm số y 5x2 2x 1 biểu thức có dạng . Khi đó T bằng: 5x2 2x 1 b A. T 5 .B. .C. T 5 .D. . T 10 T 10 1 Câu 30. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức nào sau đây? x 1 x 1 1 1 A. . B. . ( x 1 x 1)2 2 x 1 2 x 1 1 1 1 1 C. .D. . 4 x 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 ax b Câu 31. Đạo hàm của hàm số y biểu thức có dạng . Khi đó P a.b bằng: x2 1 (x2 1)3 A. P 1 .B. .C. P . 1 D. P 2. P 2 1 x x Câu 32. Đạo hàm của hàm số y x bằng biểu thức nào sau đây?. x x 4 x 2x2 3 4 x 2x2 3 x 2x2 2 x 2x2 1 A. .B. .C. . D. . 2 x3 (x x)2 x x(x x)2 2x x(x x)2 2x x(x x)2
  28. 3x2 2x 1 Câu 33. Cho hàm số f (x) . Giá trị f '(0) là: 2 3x2 2x 1 1 A. 0 .B. .C. .D. Không tồn1 tại. 2 1 x 1 Câu 34. Cho hàm số f (x) thì f '( ) có giá trị là: 2x 1 2 A. 0 .B. .C. .D. Không3 tồn tại. 3 x Câu 17: Cho f x thì f 0 x 1 x 2  x 2017 1 1 A. . B. . 2017! C. . D. . 2017! 2017! 2017! x2 khi x 1 Câu 18: Cho hàm số f x . Hãy chọn đáp án sai: 2x 1 khi x 1 A. . f 1 1 B. Hàm số có đạo hàm tại . x0 1 2x khi x 1 C. Hàm số liên tục tại x0 1 . D. .f x x khi x 1 Câu 19: Cho hàm số f x x 4 x2 . Tập các giá trị của x để f x 0 là: A. . ;0 B. . 2C.; .2 D. 2;2 2; 2 x Câu 20: Cho hàm số f x . Tập nghiệm của bất phương trình f x 0 là: x3 1 1 1 1 1 A. . ; B. . C. . ; D. . ; ; 3 3 2 2 2 2 Câu 21: Đạo hàm của hàm số y x x x là biểu thức nào sau đây? 1 1 1 A. . 1 . 1 2 x x x 2 x x 2 x 1 1 1 B. 1 . 1 . x x x x x x 1 1 1 C. . 1 . 1 x x x 2 x x 2 x 1 1 1 D. . 1 . 1 2 x x x 2 x x 2 x Câu 22: Cho f x x5 x3 2x 3 . Tính f 1 f 1 4 f 0 .
  29. A. .4 B. . 5 C. . 6 D. . 7 1 1 Câu 23: Cho hàm số f x x2 . Tính f 1 . x x 1 A. . B. . 1 C. . 2 D. . 3 2 3 1 Câu 24: Cho hàm số y x . Hàm số có đạo hàm f x bằng: x 3 1 1 1 3 1 A. . x B. . x x 3 x 2 x x x x2 x x x x 3 1 1 1 3 1 1 1 C. . x D. . x 2 x x x x2 x 2 x x x x2 x 2 1 x Câu 25: Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức nào sau đây? 1 x 1 x 1 1 x 1 A. .2 . 2 B. . 2 . 2 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 C. . . D. . 2 . 2 2 1 x x 1 x 1 x x 1 x 3 2x 1 Câu 26: Cho hàm số y . Đạo hàm y bằng biểu thức nào sau đây? x 1 3 2x 1 2 2x 1 2 2x 1 2 9 2x 1 2 A. . B. . C. . D. . x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 Câu 27: Cho hàm số y m 1 x3 3 m 2 x2 6 m 2 x 1 . Tập giá trị của m để y 0 x ¡ là A. . 3; B. . 1; C. .  D. . 4 2; x2 x 1 khi x 0 Câu 28: Cho hàm số f x x 1 . Tìm a , b để hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . 2 x ax b khi x 0 A. a 0 , b 11 . B. a 10 , b 11 . C. a 20 , b 21 . D. a 0 , b 1 . mx2 mx2 Câu 29: Cho hàm số f x 3 m x 2 . Tìm m để f x 0 có hai nghiệm phân biệt 3 2 cùng dấu. 3 12 3 A. .m ;2 B. . C. .m D.;3 . m ;3 m ; 2 5 2 1 x 1 x Câu 30: Cho hàm số f x . Đạo hàm f x là biểu thức nào sau đây? 1 x 1 x
  30. 1 2 khi x 1, x 1 khi x 1, x 1 A. . x2 B. . x2 1 khi 1 x 1 1 khi 1 x 1 1 3 khi x 1, x 1 khi x 1, x 1 C. . x2 D. . x2 1 khi 1 x 1 2 khi 1 x 1 Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác Câu 31: Hàm số y cos x.sin2 x có đạo hàm là biểu thức nào sau đây? A. .s in xB. 3 .c osC.2 x . 1 D. . sin x 3cos2 x 1 sin x cos2 x 1 sin x cos2 x 1 1 2 Câu 32: Hàm số y 1 tan x có đạo hàm là biểu thức nào sau đây? 2 2 A. . 1 tan x B. . 1 tan2 x C. . D.1 . tan x 1 tan2 x 1 tan x cos x Câu 33: Đạo hàm của hàm số y là biểu thức nào sau đây? 2sin2 x 1 sin2 x 1 cos2 x 1 sin2 x 1 cos2 x A. . B. . C. . D. . 2sin3 x 2sin3 x 2sin3 x 2sin3 x cos x Câu 34: Cho hàm số f x . Giá trị của f f là 1 sin x 6 6 4 4 8 8 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 sin x x cos x ax2 bx c Câu 35: Hàm số y có y . Hỏi T a b c bằng: cos x xsin x cos x xsin x 2 A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 1 x Câu 36: Cho hàm số y cos 2x.sin2 . Xét hai kết quả: 2 x x 1 (I) y 2sin 2x.sin2 sin x.cos 2x (II) y 2sin 2x.sin2 sin x.cos 2x . 2 2 2 Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả 2 đều đúng. D. Không có cách nào. Câu 37: Đạo hàm của hàm số y cot2 cos x sin x là biểu thức nào sau đây? 2 1 cos x 1 cos x A. . 2cotB. c .os x 2cot cos x sinx sin2 cos x sin2 cos x 2 sin x 2 sin x 2 2
  31. 1 cos x 1 cos x C. . 2cot D.co .s x 2cot cos x sinx sin2 cos x sin2 cos x sin x sin x 2 2 sin x x Câu 38: Đạo hàm của hàm số y là biểu thức nào sau đây? x sin x 1 1 1 1 A. . x cos x sin x B. 2. 2 x cos x sin x 2 2 x sin x x sin x 1 1 1 1 C. . xsin x cos x D. 2. 2 xsin x cos x 2 2 x sin x x sin x 1 Câu 39: Đạo hàm của hàm số y là biểu thức nào sau đây? sin x cot x cot x cot x cot x A. . B. . C. . D. . sin x sin x sin x sin x Câu 40: Cho hàm số y sin cos2 x .cos sin2 x . Đạo hàm y a.sin 2x.cos cos 2x . Giá trị của a là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây? A. . 0;2 B. . 1;5 C. . D. 3.;2 4;7 Câu 41: Cho hàm số f x có đạo hàm với mọi x và thỏa mãn f 2x 4cos x. f x 2x . Tính f 0 . A. . f 0 0 B. . fC. 0. 1 D. . f 0 2 f 0 3 cos x Câu 42: Cho hàm số f x . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f x 0trên cos 2x đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Câu 43: Cho hàm số y cot 2x . Hệ thức nào sau đây là đúng? A. . y 2yB.2 . 2 C.0 . D. .y 2y2 2 0 y 3y2 5 0 y 3y2 7 0 1 xn .sin khi x 0 Câu 44: Tìm số nguyên dương n sao cho hàm số f x x có đạo hàm trên ¡ . 0 khi x 0 A. .n 1 B. . n 2 C. . n D.2 . n 3 Câu 45: Cho hàm số f x sin2 x sin 2x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của f x trên ¡ . A. m 2 , M 2 . B. m 1, M 1 . C. m 2 , M 2 . D. m 5 , M 5 . Câu 46: Cho hàm số f x cos x sin x cos 2x . Phương trình f x 1 tương đương với phương trình nào sau đây? A. .s in x 0 B. . sin x 1 0 C. . sin x 1 cos x 1 D.0 . cos x 0
  32. Câu 47: Cho hàm số f x sin2 x 3cos2 x . Tập giá trị của hàm số f x trên ¡ là: A. . 4;4 B. .  2;2C. . D. 1 .;1  3;3 cos3 x Câu 48: Cho hàm số f x 2 sin3 x 2cos x 3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng 3 giác f x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Câu 49: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đạo hàm là sin2 x ? sin3 x x 1 sin3 x x 1 A. . y B. . C. . y D. . sin 2x y x y sin 2x 3 2 4 3 2 4 Câu 50: Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn bằng 0 ? A. . y 1 siB.n2 .x y sin2 x cos2 x C. . y D.sin .2 x cos2 x y cos 2x Câu 51: Hàm số nào sau đây có đạo hàm y x.sin x ? A. . y x cos xB. . y x cos x sin x 1 C. . y sD.in .x x cos x y x2.sin x 2 Câu 52: Xét hàm số f x 3 cos 2x . Chọn câu sai: 2sin 2x A. . f B.1 . f x 2 33 cos2 2x 2 C. . f 1 D. . 3y .y 2sin 2x 0 2 1 1 1 1 1 1 x Câu 53: Cho hàm số y cos x với x 0; có y là biểu thức có dạng a.sin . 2 2 2 2 2 2 8 Khi đó a nhận giá trị nào sau đây: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 8 2 2 2 2 2 2 2 Câu 54: Cho hàm số f x cos x cos x cos x cos x 2sin x . Hàm 3 3 3 3 số có f x bằng: A. .6 B. . 2sin 2x C. . 0 D. . 2cos 2x Hướng dẫn giải chi tiết Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức Câu 1: Đáp ánB. 2 y 6x 18x 12 . Câu 2: Đáp ánD.
  33. y 3x2 6mx 3 1 m2 . Câu 3: Đáp ánA. 2 y 2 x2 1 2x. 3 5x2 x2 1 .10x 4x3 4x 3 5x2 10x5 20x3 10x 30x5 52x3 22x. a b c 0 . Câu 4: Đáp ánC. y 2x x3 2 x4 3 3x2 x2 1 x4 3 4x3 x2 1 x3 2 2x x7 2x4 3x3 6 3x2 x6 x4 3x2 3 4x3 x5 x3 2x2 2 9x8 7x6 12x5 15x4 8x3 9x2 12x. a b c d e g 3 . Câu 5: Đáp ánC. Câu 6: Đáp ánA. 2 2x 3 x 1 x 3x 3 x2 2x y 2 x 1 2 2 x 1 2 . Câu 7: Đáp ánD. 2 2 3 6x 3 x 5x 2 2x 3x 1 2x 5 13x2 10x 1 y 2 2 x2 5x 2 x2 5x 2 . a b c 2 . Câu 8: Đáp ánA. 3 2 2 2x 2 x 2 3x x 2x 3 x4 4x3 9x2 4x 4 y 2 2 x3 2 x3 2 a b c d e 12 Câu 9: Đáp ánB. 2x 2x2 2x 1 y x2 1 x 2 . 2 2 2 x 1 x 1 . Câu 10: Đáp ánD. y 2 x6 3x4 6x5 12x3 12x11 60x9 72x7 . Câu 11: Đáp ánA. 10x 2 5x 1 a y T 5 2 2 2 5x 2x 1 5x 2x 1 b . Câu 12: Đáp ánC. 1 1 1 Nhân liên hợp ta có: y x 1 x 1 y . 2 4 x 1 4 x 1
  34. Câu 13: Đáp ánA. x x2 1 x 1 . 2 x2 1 x2 x x 1 y x 1 2 3 3 x 1 x2 1 x2 1 . P a.b 1. Câu 14: Đáp ánA. 1 1 1 1 1 x x x x 1 2 2 x x x 2 x y 2 x x 2 3 x x 2x x 4 x 2x2 3 2 2 . x x 2x x x x Câu 15: Đáp ánC. 9x4 6x3 9x2 8x 4 Cách 1: Tính f x f 0 1 . 4 3x3 2x2 1 3x3 2x2 1 Cách 2: Dùng MTCT ta được kết quả. Câu 16: Đáp ánD. Câu 17: Đáp ánC. x 1 x 2  x 2017 x x 1 x 2  x 2017 Ta có: f x 2 x 1 x 2  x 2017 1 2  2017 1 f 0 . 2 2017! 1 2  2017 Câu 18: Đáp ánA. Ta có: f 1 1 , lim f x 1 lim f x Hàm số liên tục tại x 1 . x 1 x 1 Khi x 1 : f x 2x . x 1: f x 2 . f x f 1 x2 1 f x f 1 2 x 1 Với x 1 , ta xét: lim lim 2 ; lim lim 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy f 1 2 . Câu 19: Đáp ánB. Điều kiện: x  2;2 . 2 x 0 x 2 f x 1 ; f x 0 4 x x 2 x 2 . 4 x2 0 x 2 Câu 20: Đáp ánD.
  35. 2x3 1 2x3 1 0 1 f x 2 f x 0 x . x3 1 x 1 3 2 Câu 21: Đáp ánA. Ta có: y u với u x x x . 1 1 1 1 1 y 1 x x 1 1 . 2 x x x 2 x x 2 x x x 2 x x 2 x Câu 22: Đáp ánA. Ta có: f x 5x4 3x2 2 f 1 f 1 4 f 0 4 . Câu 23: Đáp ánA. 1 1 1 Ta có: f x 2x f 1 . x2 2x x 2 Câu 24: Đáp ánD. 2 1 1 1 3 1 1 1 Ta có: f x 3 x x . x 2 x 2x x 2 x x x x2 x Câu 25: Đáp ánB. 1 x Ta có: y u2 với u . 1 x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y 2. . 2. . 2 x 2 x 2. . 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x . Câu 26: Đáp ánD. 2 2x 1 3 9 2x 1 Ta có: y u3 , u , u . 2 y x 1 x 1 x 1 4 Câu 27: Đáp ánC. y 3 m 1 x2 2 m 2 x 2 m 2 . y 0 m 1 x2 2 m 2 x 2 m 2 0 (1) Với m 1 thì 1 6x 6 0 x 1 m 1 (loại). a 0 m 1 Với m 1 1 đúng x ¡ m vô nghiệm. 0 m 2 3m 0 Câu 28: Đáp ánD. Với x 0 hàm số luôn có đạo hàm. Để hàm số có đạo hàm trên ¡ thì hàm số phải có đạo hàm tại x 0 . lim f x 1, lim f x b b 1 . x 0 x 0
  36. Để hàm số liên tục tại x 0 b 1 . x2 x 1 1 f x f 0 f x f 0 x2 ax b 1 Xét lim lim x 1 0 ; lim lim a . x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x a 0 . Vậy a 0 , b 1 . Câu 29: Đáp ánC. f x mx2 mx 3 m ; f x 0 mx2 mx 3 m 0 1 . a 0 m 0 2 12 Theo bài ra ta có: 0 5m 12m 0 m 3 . 5 P 0 3 m 0 m Câu 30: Đáp ánA. 1 khi x 1, x 1 Lập bảng dấu ta được: f x x . x khi 1 x 1 1 - Với x 1 hoặc x 1 f x . x2 - Với 1 x 1 f x 1 . Ta có lim f x lim f x 1 nên hàm số liên tục tại x 1 . x 1 x 1 f x f 1 f x f 1 Xét lim 1 , lim 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại x 1 . 1 khi x 1, x 1 Vậy f x x . x khi 1 x 1 Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác Câu 31: Đáp ánB. y 2sin x.cos2 x sin3 x sin x 3cos2 x 1 . Câu 32: Đáp ánC. y 1 tan x 1 tan x 1 tan x 1 tan2 x . Câu 33: Đáp ánB. sin3 x 2sin x.cos x.cos x sin2 x 2cos2 x 1 cos2 x y . 2sin4 x 2sin3 x 2sin3 x Câu 34: Đáp ánA. 1 4 Ta có: f x f f . 1 sin x 6 6 3
  37. Câu 35: Đáp ánA. xsin x cos x xsin x x cos x sin x x cos x x2 y a 1 , b 0 , c 0 . cos x xsin x 2 cos x xsin x 2 Vậy T a b c 1 . Câu 36: Đáp ánD. x 1 y 2sin 2x.sin2 sin x.cos 2x . 2 2 Câu 37: Đáp ánB. sin x 2 1 cos x y 2cot cos x cot cos x 2cot cos x . sin2 cos x 2 sin x 2 sin x 2 2 Câu 38: Đáp ánA. x.cos x sin x sin x x cos x 1 1 y x.cos x sin x . x2 sin2 x x2 sin2 x Câu 39: Đáp ánA. 1 2sin x.cos x cot x Ta có: y nên y . sin2 x sin2 x. sin2 x sin x Câu 40: Đáp án C ′ = ―2sin .cos . cos(cos2 ) .cos(sin2 ) ― 2 sin . cos .sin(cos2 ).sin(sin2 ) = ― sin(2 ).cos(cos2 ― sin2 ) = ― sin(2 ).cos(cos 2 ) a 1. Câu 41. Đáp án B. Lấy đạo hàm 2 vế ta có: 2 f 2x 4sin x. f x 4cos x. f x 2 Thay = 0⇒2 ∙ ′(0) = 4 ∙ ′(0) ―2⇔ ′(0) = 1. Câu 42. Đáp án B. 1 sin x. cos 2x cos x sin 2x sin x f x 2 cos 2x cos 2x 3 cos 2x ′( ) = 0⇒sin = 0⇔ = , ∈ 푍. Ta biểu diễn được 2 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác. Câu 43. Đáp án A. y 2 1 cot2 2x . Do đó: y 2y2 2 2 1 cot2 2x 2cot2 2x 2 0 Câu 44. Đáp án C. Ta có: lim ( ) = lim 푛 ∙ sin 1 = (0) = 0 →0 →0
  38. lim ( ) ― (0) = lim 푛―1 ∙ sin 1 = (0) = 0 (1) →0 ― 0 →0 Với n = 1 thì giới hạn (1) không tồn tại và 푛 ≥ 2 thì: lim 푛―1 ∙ sin 1 = 0 . →0 Vậy hàm số có đạo hàm trên R khi 푛 ≥ 2. Câu 45. Đáp án D. f x 2sin x.cos x 2cos 2x sin 2x 2cos 2x Đặt t = sin 2x + 2cos x . Điều kiện phương trình có nghiệm là: 12 + 22 ≥ 푡2⟺ ― 5 ≤ 푡 ≤ 5. Vậy M = 5,m = - 5 . Câu 46. Đáp án C. ′( ) = sin + cos + 2sin2 f x 1 sin x cos x 2sin 2x 1 Đặt t sin x cos x t 2 sin 2x t 2 1 t 1 2 Khi đó phương trình 2t t 3 0 3 t l 2 = 2 Với 푡 = 1⇔sin + cos = 1⇔ 2sin + = 1⇔ = + 2 ( ∈ 푍) . 4 2 Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình (sin x - 1)(cos x - 1)= 0 . Câu 47. Đáp án B. f x 2sin 2x 2 f x 2 Vậy tập giá trị của hàm số f x là  2;2 . Câu 48. Đáp án B. f x 2sin3 x 3cos3 x 3 3 f x 0 tan3 x tan x 3 . 2 2 Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Câu 49. Đáp án D. 1 1 1 = ― sin2 ⇒ ′ = ― cos2 = sin2 2 4 2 2 Câu 50. Đáp án C. y sin2 x cos2 x 1 y 0 x . Câu 51. Đáp án C. y sin x cos x y cos x cos x xsin x xsin x Câu 52. Đáp án C. 2sin 2x f x 3 cos 2x f 3 x cos 2x 3. f 2 x . f x cos 2x f x 33 cos2 2x 3 Nên B đúng. Vì f cos 1 nên C sai. 2 Câu 53. Đáp án D.
  39. 1 1 x x Ta có: cos x cos2 cos 2 2 2 2 x x 1 x Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: y cos2 cos y sin 8 8 8 8 Câu 54. Đáp án C. 2 2 4 4 f x sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x 2sin 2x 3 3 3 3 2 4 1 1 2cos .sin 2x 2cos .sin 2x 2sin 2x 1 2sin 2x 0 3 3 2 2 VI PHÂN. ĐẠO HÀM CẤP CAO A. LÝ THUYẾT 1. Vi phân của hàm số a) Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên a; b và có đạo hàm tại x a; b . Ta gọi tích f x . x (hoặc y . x ) là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số gia x . Kí hiệu: df x hoặc dy . Vậy ta có: dy y . x hoặc df x f x . x . b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng y Do f x0 lim x 0 x y Với x đủ nhỏ thì f x y f x . x f x x f x f x . x . 0 x 0 0 0 0 STUDY TIP Với y x ta có: dy x . x dx x . Vậy df x f x dx . 2. Đạo hàm cấp cao a) Đạo hàm cấp hai Giả sử hàm số y f x có đạo hàm f x . Khi đó đạo hàm của hàm số f x nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f x . Kí hiệu: y hay f x . Viết: f x f x . b) Đạo hàm cấp n .
  40. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 푛 ― 1 (푛 ∈ , 푛 ≥ 4). Kí hiệu f n 1 x . Nếu f n 1 x có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f x . n n n n 1 Kí hiệu: f x hoặc y . Viết: f x f x . STUDY TIP Đạo hàm cấp 3 của hàm số y f x là f x hoặc f 3 x hay y . c) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s f t với f t là hàm số có đạo hàm. Khi đó gia tốc tức thời  của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số f t là  t f t . STUDY TIP Vận tốc tức thời tại thời điểm t là v t f t . B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO. Dạng 1. Vi phân hàm số. Phương pháp: - Tính vi phân của hàm số f x tại x0 cho trước: df x0 f x0 . x . - Tính vi phân của hàm số f x : df x f x .dx . - Dùng vi phân tính gần đúng. Ví dụ 30. Vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x 2 ứng với x 0,1 là: A. 0,07 .B. .C. .D. 10 . 1,1 0,4 Lời giải Đáp án C. Ta có: f x 6x 1 f 2 11 df 2 f 2 . x 11.0,1 1,1 . Ví dụ 31. Vi phân của hàm số f x sin 2x tại điểm x ứng với x 0,01 là: 3 A. 1,1 .B. .C. .D. 10 . 0,1 0,01 Lời giải Đáp án D. f x 2cos 2x f 1 df f . x 0,01. 3 3 3 STUDY TIP Việc tính vi phân của hàm số tại một điểm x0 chính là tích của đạo hàm tại một điểm x0 và số gia x tương ứng.
  41. 2 x 1 Ví dụ 32. Cho hàm số f x . Biểu thức 0,01. f 0,01 là số nào? x A. 9 .B. .C. .D. . 9 90 90 Lời giải Đáp án D. 1 1 f x f 0,01 9000 0,01f 0,01 90 . x x x2 Ví dụ 33. Vi phân của hàm số y x x là: 3 3 5 1 A. dy dx .B. dy .C. dx dy . D.d x dy . dx 4 x 2 x 4 x 2 x Lời giải Đáp án A. 1 + ∙ 3 3 3 . ′ = 2 = = ⇒d = d 2 4 4 4 STUDY TIP Việc tính vi phân của hàm số f x chính là tích của đạo hàm với dx tương ứng. 1 Ví dụ 34. Vi phân của hàm số y là: 1 tan x 2 2 2 A. dy dx . B. dy dx . cos2 x 1 tan x 3 cos2 x 1 tan x 3 1 ―1 C. . d = 3d . D. d = 2d . cos 1 + tan cos2 1 + tan Lời giải Đáp án B. 1 2 1 tan x 2 2 Ta có: dy cos x dx dx 1 tan x 4 cos2 x 1 tan x 3 Ví dụ 35. Cho hàm số y 1 cos2 2x . Chọn kết quả đúng: sin 4x sin 4x A. df x dx . B. df x dx . 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x cos 2x sin 2x C. df x dx .D. df x . dx 1 cos2 2x 1 cos2 2x Lời giải Đáp án B. 2 1 cos 2x sin 4x Ta có: df x dx dx 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x STUDY TIP Có thể sử dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số sau đó ta cũng được kết quả của tính vi phân.
  42. x2 x khi x 0 Ví dụ 36. Cho hàm số f x . Khẳng định nào sau đây là sai: x khi x 0 A. f 0 1 . B. f 0 1 . C. df 0 dx .D. Hàm số không có vi phân tại . x 0 Lời giải Đáp án D. x2 x x Ta có: f 0 lim 1; f 0 lim 1 và df 0 dx . x 0 x x 0 x STUDY TIP Với hàm số có nhiều biểu thức việc tính đạo hàm của hàm ta dùng định nghĩa. Ví dụ 37. Cho hàm số y x x2 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng: A. 1 x2 .dy ydx 0 . B. 1 x2 .dx dy 0 . C. xdx 1 x2 .dy 0 .D. . 1 x2 .dy xy 0 Lời giải Đáp án A. dy Ta có: dy y dx y mà dx d 2 ′ 2 2 2 + 1 . = 1 + + 1 = + 1⇒d = + 1⇒ ∙ d ― d = 0 Ví dụ 38. Dùng vi phân tính gần đúng 3 26,7 có giá trị là: A. 2,999 .B. .C. .2D.,9 8 . 2,97 2,89 Lời giải Đáp án A. 3 1 Xét f x x thì f x . Cho x0 27, x 0,3 . 3.3 x2 Theo công thức gần đúng f x0 x f x0 . x f x0 1 3 27,3 3 27 0,3 2,999. 27 STUDY TIP Sử dụng vi phân để tính gần đúng ta xét hàm số vàf xchọn x 0sao, chox phù hợp. Ví dụ 39. Dùng vi phân tính gần đúng sin 29 có giá trị là: A. 0,4849 .B. .C. 0,546 .4D. . 0,4989 0,4949 Đáp án A. Lời giải Xét f x sin x với 29 rad . 6 180 Có f x cos x .
  43. Chọn x0 , x sin sin cos . 0,4849 . 6 180 6 180 6 6 180 DẠNG 2. Tính đạo hàm cấp cao và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Phương pháp: - Tính đạo hàm cấp cao: Áp dụng trực tiếp định nghĩa: n n 1 y y , y y , , y y . - Tính đạo hàm cấp n: Trước tiên ta tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, sau đó dự đoán công thức tổng quát của f n x . - Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm: Tính đến đạo hàm cấp cao nhất có trong đẳng thức rồi thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi cho ta được kết quả. - Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời  tại thời điểm t là đạo hàm cấp 2 của hàm số s f t . Ví dụ 40. Tính y , biết y x 1 x2 . x 3 2x2 2x 3 2x2 A. y . B. y . 2 2 3 1 x 1 x 1 x2 x 3 2x2 x 1 x2 C. y .D. . y 2 3 1 x2 2 1 x2 Đáp án A Lời giải 2 2 2 1 2x2 4x 1 x x 1 2x x 3 2x y y y 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 STUDY TIP d Sau khi tính được đạo hàm bậc nhất y ta có thể sử dụng MTCT với chức năng:  để kiểm dx x tra và tính được kết quả. Ví dụ 41. Cho f x 2x 3 5 . Tính f 3 . A. 4230 .B. .C. .D.43 20 . 4204 4132 Đáp án B. Lời giải Ta có: f x 10 2x 3 4 , f x 80 2x 3 3 , f x 480 2x 3 2 . f 3 4320 STUDY TIP f x f x ; f x f x
  44. f x 480(2x 3)2 f 3 4320 dy Cách khác sử dụng chức năng nhập biểu thức đạo hàm của f '' x tại điểm dx x W x 2 rồi so sánh kết quả ta được đáp án B 1 Ví dụ 3. Cho hàm số y .Tính y(4) x 4 1.2.3.4 4! 1.2.3.4 A. .y (4) B. . C. . y(4) D. . y(4) y(4) x5 x5 x5 x6 Đáp án B Lời giải: 4 1 1.2 3 1.2.3 4 1 .4! 4! y , y , y y x2 x3 x4 x4 1 x5 STUDY TIP (n) 1 ( 1)n .n! Tổng quát: n 1 x x 1 Ví dụ 4. Đạo hàm cấp n của hàm số y ,a 0 là: ax b n n n 2n.an .n! 1 .an .n! 1 .n! 1 .an .n! A. .y (n) B. . C. . D. . y(n) y(n) y(n) (ax b)n 1 (x 1)n 1 (ax b)n 1 (ax b)n 1 Đáp án D Lời giải: a 2a2 a3.2.3 y , y , y ax b 2 ax b 3 ax b 4 ( 1)n .an .n! Dự đoán công thức y(n) (ax b)n 1 Nhận xét: Việc dự đoán công thức ta đã được ngay kết quả của bài toán. Tuy nhiên để hiểu rõ và chính xác hơn ta có thể chứng minh công thức tổng quát bằng phương phức quy nạp toán học ( bạn đọc tự làm) STUDY TIP Phương pháp quy nạp: ta cần chứng minh mệnh đề P n ,n N * + Kiểm tra với n 1,2 + Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n k 1 . x2 x 1 Ví dụ 5. Đạo hàm cấp ba của hàm số y là: x 1 6 4 6 12 A. . B. . C. . D. . (x 1)4 (x 1)3 (x 1)3 (x 1)4 Đáp án A
  45. Lời giải : 1 Ta phân tích y x x 1 1 2 6 y' 1 , y , y . x 1 2 x 1 3 x 1 4 Nhận xét: Với hàm phân thức bậc của tử cao hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta chia tách phân A số và đưa về các phân số dạng ax b 2x 1 Ví dụ 6. Đạo hàm cấp 4 của hàm số y là : x2 5x 6 7.4! 5.4! 5.4! 2.4! A. .y (4) B. . y(4) (x 3)5 (x 2)5 (x 3)5 (x 2)5 5.4! 7.4! 7 5 C. .y (4) D. . y(4) (x 2)5 (x 3)5 (x 3)5 (x 2)5 Đáp án A Lời giải : (4) 2x 1 7 5 1 ( 1)4.4! 4! y . Mà 5 5 (x 2)(x 3) x 3 x 2 x 2 (x 2) (x 2) (4) 1 ( 1)4.4! 4! 5 5 x 3 (x 3) (x 3) 7.4! 5.4! y(4) (x 3)5 (x 2)5 Nhận xét: Với các hàm phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì ta cố gắng đưa mẫu A số về dạng tích và phân tích phân số thành tổng, hiệu các phân số dạng ax b STUDY TIP 2x 1 A B (x 2)(x 3) x 2 x 3 Các hằng số Atìm, B được bằng cách quy đồng và đồng nhất hệ số 2 vế Ví dụ 7. Đạo hàm cấp 3 của hàm số y sin x là: (3) 5 (3) (3) (3) 3 A. .y B. . sinC. x. D. . y sin x y sin x y sin x 2 2 2 Đáp án D Lời giải: Ta có: y cos x sin x 2
  46. y cos x sin x sin x 2 2 2 3 y cos x sin x 2 STUDY TIP Tổng quát: n n (sin x)(n) sin(x ) ; (cos x)(n) cos(x ) (với n 1, n N * ) 2 2 (n) n n sin(ax b) a .sin ax b 2 (n) n cos(ax b) an .cos ax b 2 Ví dụ 8. Đạo hàm cấp 4 của hàm số y sin4 x là : A. . B.8c .o C.s 2 .x D. 3 .2cos 4x 4cos 2x 16cos 4x 8cos 2x 12cos 2x 6cos 2x 32cos 4x Đáp án A Lời giải : 1 3 1 1 Ta có: y sin4 x 1 2cos 2x cos2 2x cos 2x cos 4x 4 8 2 8 1 y sin 2x sin 4x , 2 y 2cos 2x 2cos 4x , y 4sin 2x 8sin 4x , y 4 8cos 2x 32cos 4x . STUDY TIP Đối với hàm lượng giác, khi tính đạo hàm bậc cao thì ta biến đổi hạ bậc hoặc biến đổi từ tích thành tổng để đưa về bậc nhất, sin(ax b), cos ax b . Ví dụ 9. Đạo hàm cấp 4 của hàm số y sin 5x.sin 3x là: A. .y (4) 2048cosB.8x . 8cos 2x y(4) 2048cos8x 8cos 2x C. .y (4) 1024cos16D.x . 4cos 4x y(4) 2048cos8x 4cos 4x Đáp án.A. Lời giải : 1 Ta có y cos 2x cos8x y(4) 2048cos8x 8cos 2x . 2 STUDY TIP
  47. 1 cos 2x cos2 x 2 1 sin x.sin y cos x y cos x y 2 1 1 Ví dụ 10. Cho hàm số f (x) x3 x2 12x 1 . Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của f (x) không 3 2 âm là : 1 1 1 1 A. . ; B. . C. ;. D. . ; ; 2 2 2 2 Đáp án.D. Lời giải: 1 f x x2 x 12, f x 2x 1 Do đó: f x 0 x . 2 Ví dụ 11. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình : s t3 3t 2 5t 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là: A. .2 4m / s2 B. . 17mC./ s. 2 D. . 14m / s2 12m / s2 Đáp án D Lời giải: Gia tốc chuyển động tại t 3s là s '' 3 Ta có: s t 3t 2 6t 5 s t 6t 6 s 3 12m / s2 . STUDY TIP Bài toán vận dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm bậc 2. Gia tốc tức thời ( ) tại thời điểm t0 :  t0 s '' t0 Ví dụ 12. Cho hàm số y 2x x2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. .y 3.y 1 B.0 . C. . y2.yD. 1 0 3y2.y 1 0. 2y3.y 3 0. Đáp án A Lời giải : 1 x 1 Ta có: y , y 2 3 2x x 2x x2 3 1 Thay vào: y3.y 1 2x x2 . 1 1 1 0. 3 2x x2 sin3 x cos3 x Ví dụ 13. Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 sin xn cos x A. 2y y 0. B. y y 0. C. y y 0. D. 2y 3y 0.
  48. Lời giải : sin x cos x sin2 x cos2 x sin x cos x Ta có : y sin x cos x 1 sin x cos x y cos x sin x, y sin x cos x y y 0. STUDY TIP Với các biểu thức lượng giác phức tạp ta cần biến đổi rút gọn rồi sau đó tính đạo hàm cấp cao Ví dụ 14. Phương trình chuyển động của một chất điểm s t3 3t 2 9t 2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0. A. .1 0 m / s2 B. . 12C.m ./ s2 D. . 8 m / s2 16 m / s2 Đáp án.B. Lời giải: 2 t 1 l v t s t 0 3t 6t 9 0 t 3  (3) 12m / s2 . k Dạng 3 :Dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp Cn Phương pháp: n 0 1 1 2 2 n 1 n 1 n n Cách 1: Từ khai triển 1 x =Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở hai vế khai triển của nhị thức -Chọn x x0 và chọn n thích hợp. Cách 2: Sử dụng MTCT tính thay với một vài giá trị n 1, 2, và kiểm tra tính đúng sai ta đi đến việc lựa chọn đáp án Ví dụ 15. Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 3 n n 1 A. Cn 2Cn 3Cn  nCn n.2 ,n N. 1 2 3 n n B. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 ,n N. 1 2 3 n n 1 C. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 , n N. 1 2 3 n n 1 D. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 , n N. Đáp án A Lời giải: n 0 1 1 n n 1 n n Cách 1: Xét f x 1 x Cn Cn x  Cn x Cn x  x R n 1 1 2 n 2 n 1 n 1 n f ' x n 1 x Cn 2xCn  n 1 x .Cn n.x .Cn ' 1 1 2 n 1 n n 1 f Cn 2Cn  n 1 .Cn n.Cn n.2 .
  49. Cách 2: Sử dụng MTCT 1 0 -Chọn với n 1 : C1 2 1 (đúng) 1 2 -Chọn với n 2 :C2 2C2 2.2 4 (đúng) . Từ việc thử đáp án ta được kết quả Ví dụ 16. Tính tổng với n N, n 2 : 2 3 n 1 n S 1.2.Cn 2.3.Cn (n 2).(n 1).Cn (n 1).n.Cn A. .( n B.1) ( n 2).2C.n 2. nD ( n. 1).2n 2 n.(n 1).2n 1 (n 1).(n 2).2n Đáp án B Lời giải: n 0 1 1 2 2 n 1 n 1 n n Cách 1: Xét hàm số f (x) (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Suy ra: n 1 1 2 n 2 n 1 n 1 n f ' x n 1 x Cn 2xCn  n 1 x .Cn n.x .Cn f x n 1 .n. 1 x n 2 2 3 n 3 n 1 n 2 n 1.2.Cn 2.3.x.Cn (n 2).(n 1)x .Cn (n 1).n.x .Cn 2 3 n 1 n n 2 f 1 1.2.Cn 2.3.Cn  n 2 . n 1 .Cn n 1 .n.Cn n n 1 2 . Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị n 2. 2 1 -Với n 2 S 1.2.C2 2.1.2 2 (đúng) 2 3 -Với n 3 S 1.2.C3 2.3.C3 3.2.2 12 (đúng) So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả. STUDY TIP Nếu trong biểu thức thiếu 2 số hạng đầu tiên hoặc 2 số hạng cuối cùng của khai triển nhị thức đồng thời các hệ số là tích của 2 số tự nhiên lien tiếp ta dung đạo hàm cấp 2. 0 1 2 n Ví dụ 17. Tính tổng S Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn bằng A. .n .2n 1 B. . (n C.1) 2 n 1 D. . (n 2).2n 1 (n 1).2n Đáp án C Lời giải: n 0 1 1 2 2 n 1 n 1 n n Cách 1: Ta có: (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x Cn x  x R n 0 2 1 3 2 n n 1 n 1 n Nhân 2 vế với x ta được: x(1 x) x.Cn x .Cn x .Cn x .Cn x .Cn n n 1 0 1 2 2 n n Lấy đạo hàm 2 vế ta được : (1 x) nx(1 x) Cn 2x.Cn 3x .Cn (n 1)x .Cn
  50. 0 1 2 n n n 1 n 1 Thay x 1 ta được: S Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn 2 n.2 (n 2).2 . Cách 2: Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại) STUDY TIP Nếu trong khai triển nhị thức vẫn có số hạng đầu hoặc số hạng cuối và hệ số tăng thêm 1 đơn vị thì ta nhân 2 vế với x và sau đó dùng đạo hàm cấp 1. Ví dụ 18. Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 C2n 1 2.2.C2n 1 3.2 .C2n 1 4.2 .C2n 1 (2n 1).2 .C2n 1 2017 A. .n 1005 B. . n C. 1 0. 06 D. . n 1007 n 1008 Đáp án D Lời giải: 2n 1 0 1 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 Với x ¡ ta có: 1 x C2n 1 C2n 1.x C2n 1.x C2n 1.x C2n 1 .x Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: 2n 1 2 2 3 2n 2n 1 2n 1 1 x C2n 1 2x.C2n 1 3x .C2n 1 2n 1 .x .C2n 1 1 Thay x 2 vào 1 ta được: 1 2 2 3 4 2n 2n 1 2n 1 C2n 1 2.2.C2n 1 3.2 .C2n 1 4.2.C2n 1 2n 1 .x .C2n 1 Từ yêu cầu bài toán ta có : 2n 1 2017 n 2018 . STUDY TIP : Nhận biết được cần sử dụng đạo hàm cấp 1 và chọn giá trị x x0 dựa vào cơ số an với chỉ số n tăng dần. 99 100 198 199 0 1 1 1 0 1 100 1 Ví dụ 5: Tính tổng: S 100.C100 101.C100 199.C100 200.C100 2 2 2 2 A 1B.0.C D 0 1 100 Đáp án B. Lời giải: 100 Xét f x x2 x x100 1 x 100 100 0 1 2 2 100 100 x C100 C100 x C100 x C100 x 0 100 1 101 2 102 100 200 C100.x C100.x C100 x C100 x 99 f ' x 100 2x 1 . x2 x 99 0 100 1 101 2 199 100 100x .C100 101x .C100 102x .C100 200x C100 1 Lấy x ta được: 2 99 100 199 1 0 1 1 1 100 0 100 C100 101 C100 200 C100 S 0 . 2 2 2 2 100 1 STUDY TYP : Xuất phát từ nhị thức x x , sau khi dùng đạo hàm cấp 1 , chọn x0 . 2 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DẠNG 1: VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 3 Câu 1. Cho hàm số y x . Tính vi phân của hàm số tại x0 1 với số gia x 0,01 . A 0B.,0.C.1 .D 3. 0,01 2 0,01 3 0,03
  51. x 3 Câu 2. Cho hàm số y .Vi phân của hàm số tại x 3 là: 1 2x 1 1 A dB.y. C dx D dy 7dx dy dx dy 7dx 7 7 Câu 3. Xét hàm số x sin y 0 y cùng với ba đẳng thức: 2 dx dy 1 1 dy I cos y ; II ; III cos x ; dy dx cos y 1 x2 dx Số đẳng thức đúng là: A. Chỉ I .B. Chỉ .C.Chỉ III và .D. Chỉ vàI II . I III Câu 4. Vi phân của hàm số y cos2 3x là: A dB.y. C.3.D.sin.2 3xdx dy sin 6xdx dy 3sin 6xdx dy 6sin 6xdx Câu 5. Với hàm số x2 y y3 2 thì đạo hàm y tại điểm 1;1 bằng: 3 1 A. .B C D. . 1 0 2 2 Câu 6. Cho hàm số y sin sin x . Vi phân của hàm số là: A. dy cos sin x .sin xdx . B dy sin. cos x .dx C dD.y. cos sin x ,cos xdx dy cos sin x dx xsin x cos x Câu 7. Vi phân của hàm số y bằng: x cos x sin x dx x2dx A. dy . B. dy 2 . x cos x sin x 2 x cos x sin x cos xdx x2 sin xdx C. dy .D. d. y 2 x cos x sin x 2 x cos x sin x dy Câu 8. Xét hàm số f x x2 1 . Nếu đặt y f x2 thì nhận kết quả nào sau đây? dx A 2B.x x4 1 .C D 2x x2 1 x4 1 x2 1 2 Câu 9. Xét hàm số y x . Gọi x,dy theo thứ tự là số gia và vi phân của hàm số ytại x0 1và dx 0,01 . Hiệu của y dy bằng: A 0B.,0.C.01.D 0,002 0,0001 0,00001 2 Câu 10. Xét cos y sin x 0 y ,0 x . Đạo hàm của y tại x là: 2 2 4 2 3 A B C. .D. . 6 3 3 2 2x2 2x 1 Câu 11. Vi phân của hàm số y 2 là: x2 x 1 2 2x 1 x2 x 2 2x 1 x2 x 1 A d y B. 3 dx . dy 3 dx x2 x 1 x2 x 1 3x 1 x2 2x 5 x 1 x2 x 2 C. dy 3 dx .D. dy . 3 dx x2 x 1 x2 x 1 Câu 12. Cho hàm số: y 2 1 x . Kết luận nào sau đây là đúng?
  52. A. 1 x dy dx 0 . B. 1 x dx dy . 0 C 2 1D. .x dy dx 0 1 x dy dx 0 DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI: Câu 13. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm câp hai là 6x ? A yB. 3x2 .C y D.2x. 3 y x3 y x2 2 3 Câu 14. Cho hàm số y cos x . Khi đó y bằng: 3 A. 2 .B C D 2 3 2 3 2 Câu 15. Cho hàm số y x2 1 . Xét hai đẳng thức: I y.y 2x ; II y2.y y . Đẳng thức nào đúng? A.Chỉ I . B.Chỉ II .C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng. 5x2 3x 20 Câu 16. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y bằng: x2 2x 3 2 7x3 15x2 93x 77 2 7x3 15x2 93x 77 A. y 3 . B. y 3 . x2 2x 3 x2 2x 3 2 7x3 15x2 93x 77 2 7x3 15x2 93x 77 C. y 3 .D. y . 3 x2 2x 3 x2 2x 3 Câu 17. Hàm số y sin2 x có đạo hàm cấp 4 là: A. cos2 2x .B. .C D.co. s2 2x 8cos 2x 8cos 2x Câu 18. Cho hàm số y cos x . Khi đó y 2016 x bằng: A B.c.oC.s x.D sin x sin x cos x 1 Câu 19. Đạo hàm cấp n của hàm số y là: x 1 n n n 1 n! 1 .n! 1 .n! A. n 1 .B. .C. .D. . n 1 n x 1 x 1 n 1 x 1 x 1 Câu 20. Đạo hàm cấp 2 của hàm số : y tan x cot x sin x cos x là: 2 tan x 2cot x A B. sin . x cos x 0 cos2 x sin2 x 2 tan x 2cot x C tD.an.2 x cot2 x cos x sin x sin x cos x cos2 x sin2 x Câu 21. Cho hàm số y sin 2x . Đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi x ? A. y2 y 2 4 .B C. 4y y . D.0. 4y y 0 y y .tan 2x Câu 22. Cho hàm số y cos2 2x . Giá trị của biểu thức ym yn 16y 16y 8 là kết quả nảo? A 0B. .C D 8 8 16cos 4x 4 Câu 23. Cho hàm số y f x cos 2x . Phương trình f x 8 có số nghiệm thuộc đoạn 3 0;  là: A. 1 .B. .C D. . 2 3 0 Câu 24. Cho hàm số f x 5 x 1 3 4 x 1 .Tập nghiệm của phương trình f x 0 là: A.  1;2 .B C D. . ;0   1
  53. 2x2 3x Câu 25. Cho hàm số y . Đạo hàm cấp 4 của hàm số này là: 1 x 16 32 24 24 A yB. 4. C. .D y 4 y 4 y 4 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 Câu 26. Cho hàm số y x.sin x . Tìm hệ thức đúng: A yB. . y 2cos x y y 2cos x C y y D. .2cos x y y 2cos x Câu 27. Phương trình chuyển động của một chất điểm s 15 20t 2 8t3 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0 là: 50 10 A B C.m /. s D m / s 15m / s 20m / s 3 3 Câu 28. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 9t 2 t 10 trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là: A tB. .C.5s.D t 6 s t 2 s t 3s Câu 29. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 2t 2 4t 1 trong đó tlà giây,s là mét. Gia tốc của chuyển động khi t 2 là: A 1B.2.mC./.sD 8m / s 7 m / s 6m / s Câu 30. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trìnhs t3 3t 2 (t tính bằng giây,s tính bằng mét). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Gia tốc của chuyển động khi t 4 s là  18m / s2 . B. Gia tốc của chuyển động khi t 4 s là  9m / s2 . C. Gia tốc của chuyển động khi t 3s là  12m / s2 . D. Gia tốc của chuyển động khi t 3s là  24m / s2 . DẠNG 3: DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 1 2 3 n 1 n Câu 31. Tính tổng S Cn 2Cn 3Cn 1 .n.Cn . A 0B. .C D 1 10 100 999 1 998 2 0 1000 Câu 32. Tính tổng: S 1.2 C1000 2.2 C1000 1000.2 C1000 . A 1B.00.C.0.2.D.999. 999.31000 1000.3999 999.3999 1 2 3 n Câu 33. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1.Cn 2.Cn 3.Cn n.Cn 11264 . A nB. .C.9 .D n 10 n 11 n 12 2 1 2 2 2 3 2 2000 Câu 34. S 1 .C2000 2 .C2000 3 .C2000 2000 .C2000 . A 2B.00.C.0 2 001.D.21.998 1999.2000.21999 2000.2001.21999 2000.2001.22000 0 2 1 3 2 4 198 200 Câu 35. Tính tổng: S 2.1.3 .C200 3.2.3 .C200 4.3.3 .C200 200.199.3 .C200 . A. 200.199.2199 .B C D 199.198.2200 200.199.2198 199.198.2199 0 1 2 n 1 n Câu 36. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 1.Cn 2.Cn 3.Cn n.Cn n 1 .Cn 1024 n 2 . A n 0;1;2;3;4;B.5;.6;7;8;9;10;11 n 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 C nD. .0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 n 0;1;2;3;4;5;6;7;8 1 2 3 4 5 6 99 100 Câu 37. Tính tổng: S 2.2 .C100 4.2 .C100 6.2 .C100 100.2 .C100 . A 5B.0. C.39.9D. 1. 100 398 1 200 399 1 25 3200 1 Câu 38. Đẳng thức nào sau đây đúng? n 1 1 2 2 3 3 n n 3 A 0 Cn 1 Cn 2 Cn n 1 Cn n 1 2 2 2 2 2 0 n 1 n 1 2 n 2 n 1 1 n 1 B n.3 .Cn n 1 3 .Cn n 2 3 .Cn 1.3 .Cn n 1 .4
  54. 2 4 6 2n 2n 1 C 2.C2n 1 4.C2n 1 6.C2n 1 2n.C2n 1 2n 1 2 1 3 5 2n 1 2n 1 D 1 .C2n 3.C2n 5.C2n 2n 1 .C2n 2n.2 D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT DẠNG 1: VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Câu 1. Đáp án D. dy 3.12,.0,01 0,03 Câu 2. Đáp án A. 7 1 1 Ta có: y y 3 dy dx . 1 2x 2 7 7 Câu 3. Đáp án C. dx dy 1 1 Ta có: x sin y 0 y dx cos ydy cos y và đúng. 2 dy dx cos y 1 x2 Câu 4. Đáp án C. y 2cos3x 3sin 3x 3sin 6x dy 3sin 6xdx . Câu 5. Đáp án C. x2 y y3 2 d x2 y d y3 0 2xydx x2dy 3y2dy 0 tại điểm 1;1 ta có: dy 1 2dx dy 3dy 0 4dy 2dx y 1 . dx 2 Câu 6. Đáp án C. y cosx.cos sin x dy cos x.cos sin x dx . Câu 7. Đáp án B. x cos x x cos x sin x xsin x cos x xsin x x2 Ta có : y . x cos x sin x 2 x cos x sin x 2 Câu 8. Đáp án A. Đặt u x2 y f u Từ f x x2 1 f u u2 1 dy dy du du . f u . u2 1 2x 2x x4 1 . dx du dx dx Câu 9. Đáp án C. Chọn x dx 0,01; x0 1 y0 1 dy 2.0,01 0,02 y dy 0,0001 . Câu 10. Đáp án C. cos y sin2 x sin ydy sin 2xdx . sin dy sin 2x sin 2x dy 2 (vì sin y 0 ) y 2 . dx sin y 2 dx 3 1 cos y 1 sin4 4 Câu 11. Đáp án A. 2 4x 2 x2 x 1 2x2 2x 2 x2 x 1 2x 1 2 2x 1 x2 x 2 y 4 3 . x2 x 1 x2 x 1 Lưu ý: có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm tại một điểm x 0 và thử lại x 0 vào các Đáp án ta được kết quả là A. Câu 12. Đáp án A.
  55. 1 dx Ta có:y ,dy 1 xdy dx 0 . 1 x 1 x DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI. Câu 13. Đáp án C. y x3 , y 3x2 , y 6x Câu 14. Đáp án B. 3 3 y sin 2x, y 2cos 2x y 4sin 2x y 2 3 . 3 Câu 15. Đáp án C. x.x x2 1 x 2 1 Ta có: y , y x 1 2 2 3 x 1 2 x 1 x 1 1 y.y x và y2.y nên I và II sai. x2 1 Câu 16. Đáp án B. 3 2 7x2 10x 31 2 7x 15x 93 x 77 Ta có y 2 y 3 . x2 2x 3 x2 2x 3 Kết luận: Ta có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm tại 1 điểm x 0 của y và thử với x 0 vào các Đáp án ta được kết quả. Câu 17. Đáp án D. Ta có:y sin 2x, y 2cos x, y 4sin 2x y 4 x 8cos 2x . Câu 18. Đáp án D. n n 2016 Áp dụng cos x cos x y x cos x 1008 cos x . 2 Câu 19. Đáp án C. n n n n 1 1 .a .n! n 1 .n! Áp dụng n 1 ta được: y n 1 . ax b ax b x 1 Câu 20. Đáp án D. 2 tan x 2cot x y tan2 x cot2 x cos x sin x y sin x cos x . cos2 x sin2 x Câu 21. Đáp án B. y 2cos 2x, y 4sin 2x 4y y 0 Câu 22. Đáp án A. y 2sin 4x, y 8cos 4x, y 32sin 4x y y 16y 16y 8 0 . Câu 23. Đáp án B. n n n Áp dụng cos ax b a .cos ax b 2 4 4 f x 16.cos 2x 2 f x 8 3 x k 1 2 cos 2x k ¢ . 3 2 x k 6
  56. 5 Với x 0;  x , x . 2 6 Câu 24. Đáp án D. f x 15 x 1 2 4, f x 30 x 1 f x 0 x 1. Câu 25. Đáp án C. 1 1 2 2.3 2.3.4 24 y 2x 1 y 2 , y , y , y 4 . x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 5 Câu 26. Đáp án D. Ta có: y sin x x cos x, y 2cos x xsin x y y 2cos x . Câu 27. Đáp án A. Ta có :  t s t 40 48t 5 Gia tốc:  t 0 t v t s t 40 24t 2 . 6 2 5 5 5 50 v 40. 24. m / s 6 6 6 3 Câu 28. Đáp án D. v t s t 3t 2 18t 1 3 t 2 6t 9 28 28 3 t 3 2 28 Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t 3s . Câu 29. Đáp án B. s t 3t 2 4t 4, s t 6t 4 Vậy gia tốc  2 s 2 8 m / s2 Câu 30. Đáp án A. s t 3t 2 6t, s t 6t 6 s 4 18 m / s2 k DẠNG 3: DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP Cn Câu 28. Đáp án A. n 0 1 1 2 2 n n Từ nhị thức 1 x Cn Cn x Cn x Cn x * lấy đạo hàm hai vế: n 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 x Cn 2xCn 3x Cn nx Cn . 1 2 3 n 1 n Thay x 1 ta được S Cn 2Cn 3Cn 1 Cn 0 . Câu 29. Đáp án C. Xét khai triển nhị thức 1 x n . Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được n 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 x Cn 2xCn 3x Cn nx Cn n 1 Cho x 2 ta được S n3 . Với n 1000 ta được S 1000.3999 Câu 30. Đáp án C. Xét khai triển nhị thức 1 x n . Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được n 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 x Cn 2xCn 3x Cn nx Cn 1 2 3 n n 1 Cho x 1 ta được 1Cn 2Cn 3Cn nCn n.2 11264 n 11 Câu 31. Đáp án A. 2 1 2 2 2 3 2 n 1 2 n Xét S 1 Cn 2 Cn 3 Cn n Cn 1 2 1 Cn 2 3 1 Cn n n 1 1 Cn 1 2 3 n 1 2 3 n 1.2.Cn 2.3Cn 3.4Cn n n 1 Cn 1Cn 2Cn 3Cn nCn A B
  57. Từ câu 3 thì B n2n 1 n 0 2 1 3 2 n 1 n Xét khai triển x 1 x x.Cn x .Cn x .Cn x .Cn n n 1 0 1 2 2 n n Lấy đạo hàm hai vế: 1 x nx 1 x Cn 2x.Cn 3x .Cn n 1 x .Cn Tiếp tục lấy đạo hàm ta có: n 1 n 1 n 2 1 1 2 n 1 n n 1 x n 1 x n n 1 x 1 x 1.2.Cn 2.3x .Cn n n 1 x .Cn Cho x 1 A 2n.2n 1 n n 1 .2n 2 S n n 1 .2n 2 Với n 2000 S 2000.2001.21998 . Câu 32. Đáp án C. 200 198 Từ khai triển 1 x lấy đạo hàm đến cấp 2 hai vế, sau đó thay x 3 ta được S 200.199.2 . Câu 33. Đáp án A. 0 1 2 n n 1 Từ ví dụ 3 - Dạng 3. Phần lý thuyết ta có: 1.Cn 2.Cn 3.Cn n 1 .Cn n 2 2 . Theo yêu cầu của bài toán n 2 .2n 1 1024. n 2 2n 1 1024 210 n 11,n ¥ . Vậy chọn A. Câu 34. Đáp án A. Khai triển 1 x 100 và lấy đạo hàm cấp 1. Khai triển 1 x 100 và lấy đạo hàm cấp 1. Cộng vế với vế và thay x 2 ta được S 50 399 1 Câu 35. Đáp án C. Cách 1: Khai triển 1 x 2n 1 và lấy đạo hàm cấp 1. Khai triển 1 x 2n 1 và lấy đạo hàm cấp 1. Cộng vế với vế và thay x 1 ta được kết quả đáp án C. Cách 2: Thử với n 1,2 và các đáp án thì ta được kết quả đáp án C đúng
  58. TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng. Định nghĩa: y Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M 0T . Khi điểm M di chuyển trên (C) và dần đến M 0 thì đường thẳng (C) f(x0)+ x M M 0T gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M 0 . Điểm M 0 (x0 ; f (x0 )) được gọi là tiếp điểm. Định lý: T M0 Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên a;b và C f(x0) là đồ thị hàm số. Đạo hàm của hàm số f x tại điểm x0 là hệ số góc x0 x0+ x x của tiếp tuyến M 0T của C tại M 0 (x0 ; f (x0 )) . 2. Phương trình tiếp tuyến a. Tiếp tuyến tại một điểm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x tại điểm M 0 (x0 ; y0 ) C : y f x0 x x0 y0 STUDY TIP - Hệ số góc k f x0 . - Nếu cho x0 thì thế vào y f x tìm y0 . - Nếu cho y0 thì thế vàoy f x giải phương trình tìm x0 . b. Tiếp tuyến biết hệ số góc - Hệ số góc k của tiếp tuyến: k f x0 * Giải phương trình * ta tìm được hoành độ của tiếp điểm x0 thế và phương trình y f x tìm tung độ y0 . - Khi đó phương trình tiếp tuyến: y k x x0 y0 d STUDY TIP * Tiếp tuyến d // : y ax b k a . * Tiếp tuyến d  : y ax b k.a 1. * k tan , với là góc giữa d và tia Ox . c. Tiếp tuyến đi qua một điểm Lập phương trình tiếp tuyến d với C biết d đi qua điểm M xM ; yM Phương pháp: - Gọi M 0 x0 ; y0 C là tiếp điểm. - Phương trình tiếp tuyến tại M 0 : y f x0 x x0 y0 d . - Vì đường thẳng d đi qua M nên yM y0 f x0 xM x0 . Giải phương trình ta tìm được x0 rồi suy ra y0 . STUDY TIP Điểm M x0 ; y0 có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong C B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Ví dụ 1. Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1;3 là: A. B.y C. 3D.x. y x 3. y 9x 6. y 9x 6.
  59. Đáp án A. Lời giải: Tập xác định: D ¡ y 3x2 6x Phương trình tiếp tuyến tại M 1;3 là: y y 1 x 1 3 y 3x 4 Ví dụ 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x 1 x0 1 là: A. y x 2. B. y x 2. C. y x 1. D. y x 3. Đáp án D. Lời giải: Tập xác định: D ¡ \1 4 y ; y 1 1; y 1 2 x 1 2 Phương trình tiếp tuyến tại M 0 1; 2 là: y y 1 x 1 y 1 x 3 STUDY TIP Học sinh nhận biết các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm - Cho M x0 ; y0 C . - Cho x0 tìm y0 . - Cho y0 tìm x0 . - 4 2 Ví dụ 3. Cho hàm số y x 2x 1 C . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0 2 là: A. y 8x 6; y 8x 6. B. y 8x 6; y 8x 6. C. y 8x 8; y 8x 8. D. y 41x 17. Đáp án A. Lời giải: Tập xác định: D ¡ y 4x3 4x 4 2 y0 2 x 2x 1 2 x 1; x 1 Phương trình tiếp tuyến tại M 1;2 : y 8x 6 . Phương trình tiếp tuyến tại M 1;2 : y 8x 6 . STUDY TIP Giải phương trình ax4 bx2 c 0, a 0 . Đặt t x2 ,t 0 suy ra giải phương trình bậc hai a.t 2 bt c 0 4x 2 Ví dụ 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm x 3 có hệ số góc bằng: x 2 0 A. 3. B. 7. C. 10. D. 3. Đáp án C. Lời giải: Tập xác định: D ¡ \2 10 y ;k y 3 10. x 2 2 x3 Ví dụ 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x2 2 có hệ số góc k 9 có phương trình là: 3 A. y 9x 11. B. y 9x 27. C. y 9x 43. D. y 9x 11.
  60. Đáp án A. Lời giải: Tập xác định: D ¡ y x2 6x k 9 y x0 9 x0 3 y0 16. Phương trình tiếp tuyến tại M 3; 16 : y 9x 11 STUDY TIP Học sinh nhận biết được loại bài toán viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k :k f x0 . 2x 2 Ví dụ 6. Cho hàm số y C . Phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x 1 d : y 4x 1 là: A. y 4x 2; y 4x 14. B. y 4x 21; y 4x 14. C. y 4x 2; y 4x 1. D. y 4x 12; y 4x 14. Đáp án A. Lời giải: 4 Tập xác định: D ¡ \1. y x 1 2 4 x 0 0 Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm y x0 4 4 2 x 1 x0 2 Phương trình tiếp tuyến tại M 0; 2 : y 4x 2 . Phương trình tiếp tuyến tại M 2;6 : y 4x 14. STUDY TIP Hai đường thẳng song song thì cùng hệ số góc. Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc của hai đường thẳng bằng 1. 3 2 Ví dụ 7. Cho hàm số y x 2x 2x C . Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm M , N trên C mà tiếptuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y x 2017. Khi đó x1 x2 bằng: 8 2 4 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Đáp án C. Lời giải: Tập xác định: D ¡ . y 3x2 4x 2. Từ giả thiết suy ra x1 x2 là nghiệm của phương trình 4 1 3x2 4x 2 3x2 4x 1 0 x x 1 2 3 2x 1 Ví dụ 8. Cho hàm số y C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi quađiểm x 1 M 7;5 . 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y x ; y x . B. y x ; y x . 4 4 16 16 4 2 16 16 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y x ; y x . D. y x ; y x . 4 4 16 16 4 4 16 16 Đáp án D. Lời giải: 3 Tập xác định: D ¡ \1. y . x 1 2
  61. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Do tiếp tuyến qua M 7;5 nên: 3 2x 1 5 7 x 0 x 2 4x 5 0 x 1; x 5. 2 0 x 1 0 0 0 0 x0 1 0 3 1 3 29 Ta tìm được hai phương trình tiếp tuyến là: y x và y x . 4 4 16 16 STUDY TIP Học sinh cần phân biệt loại bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm M 0 x0 ; y0 và viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M xM ; yM . Dấu hiệu ban đầu là điểm M xM ; yM có thể thuộc đường cong C hay có thể không thuộc đường cong C 3 Ví dụ 9. Cho hàm số y x 1 m x 1 Cm . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến tại Cm tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Đáp án D. Lời giải: Cm giao với Oy :M 0;1 m y 3x2 m, y 0 m Phương trình tiếp tuyến của Cm tại M : y mx 1 m Nếu m 0 tiếp tuyến song song với Ox (loại) Xét m 0.Gọi A ,B lần lượt là giao điểm tiếp tuyến và hai trục tọa độ 1 m A ;0 ; B 0;1 m . m 2 1 1 1 m 1 m m 9 4 5 Ta có SOAB 8 OA.OB 8 1 m 8 16 . 2 2 m m m 7 4 3 Vậy có bốn giá trị của m thỏa mãn. 3 2 Ví dụ 10. Cho hàm số y x 2x m 1 x 2m Cm . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị Cm vuông góc với đường thẳng : y 2x 1 11 6 A. m 1. B. m 2. C. m . D. m . 6 11 Đáp án C. Lời giải: y 3x2 4x m 1 2 2 7 7 Ta có y 3 x m m 3 3 3 2 7 Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc đó có giá trịk m . 3 3 7 11 Theo bài ra: 2.k 1 2 m 1 m . 3 6
  62. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG x 1 Câu 35. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x 0 x 1 0 A. y 2x 1 .B. .C.y 2x 1 . D.y x 2 . y x 2 Câu 36. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 2 tại điểm có tung độ y0 2 1 3 1 3 3 3 3 1 A. y x .B. y .C. x . y D. x . y x 4 2 4 2 2 2 2 4 1 Câu 37. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) sin x , x [0;2 ] song song với đường thẳng y x 3 2 là : A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. 3 2 Câu 38. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x 1 tại điểm x0 1 có hệ số góc bằng : A. 7.B. 5.C. 1.D. 1. 2x 4 Câu 39. Cho hàm số y có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của C với trục x 3 hoành là: A. y 2x 4 .B. .yC. 3x 1 . yD. 2x 4 . y 2x Câu 40. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x 2 vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trên hệ trục Oxy là: A. y x 2 và y x 4 . 1 5 3 1 5 3 B. y x và y x . 3 9 3 9 1 18 5 3 1 18 5 3 C. y x và y x . 3 9 3 9 1 18 5 3 1 18 5 3 D. .y x và y x 3 9 3 9 x 1 Câu 41.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y C tại các giao điểm của C với các trục x tọa độ là : A. y x 1 .B. và y x 1 . y x 1 C. y x 1 .D. . y x 1 Câu 42. Cho hàm số y x2 6x 5 có tiếp tuyến song song trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là : A. x 3 .B. .C. y . 4 D. y . 4 y 3 4 Câu 43. Cho hàm số y 2 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường x thẳng y x 2 là: A. y x 4 .B. vày x 2 . y x 4 C. y x 2 và y x 6 .D. và .y x 3 y x 1 x 1 Câu 44. Cho hàm số y có đồ thị là C . Có bao nhiêu nhiêu cặp điểm thuộc C mà tiếp tuyến x 1 tại đó song song với nhau? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số. 1 Câu 45. Trên đồ thị hàm số y có điểm M (x ; y ) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vói các trục tọa x 1 0 0 độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó x0 y0 bằng : 13 1 13 A. 3 .B. .C. .D. . 3 7 4
  63. 1 Câu 46. Cho hàm số C : y x3 x2 2 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ là 3 nghiệm của phương trình y 0 là 7 7 7 7 A. y x .B. y .C. x .D. y . x y x 3 3 3 3 Câu 47. Số cặp điểm A, B trên đồ thị hàm số y x3 3x2 3x 5 mà tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau là: A. 1 .B. .C. .D. Vô số. 2 0 Câu 48. Qua điểm A(0;2) có thể ké được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x4 2x2 2 (C) ? A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Câu 49. Cho hàm số y x3 3x3 2 có đồ thị C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến với C và có hệ số góc nhỏ nhất? A. y 3x 3 .B. .C. y 1 .D. y . 5x 7 y 3x 3 1 x2 Câu 50. Cho hai hàm số f x và g x . Góc giữa hai tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số đă x 2 2 cho tại giao điểm của chúng là: A. 600 .B. .C. .D. 90 . 0 450 300 1 Câu 51. Tìm m để đồ thị: C : y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ m 3 dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 7 A. m 0;  ; .B. m 0;  ; . 4 2 3 4 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; .D. m 0;  ; . 2 2 3 2 2 3 2x 1 Câu 52. Cho hàm số y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến với C biết tiếp tuyến này x 1 cắt Olầnx, Olượty tại A, B sao cho OA . 4OB 1 5 1 13 1 5 1 13 A. y x và y x . B. y x và y x . 4 4 4 4 4 4 4 4 1 5 1 3 1 1 1 5 C. y x và y x .D. yvà x . y x 4 4 4 4 4 2 4 2 3 2 Câu 53. Cho hàm số y x 3x m . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 1 cắt các trục Ox,Oy lần 3 luợt tại A, B sao cho diện tích AOB bằng . Hỏi m là giá trị nguyên nằm trong khoảng nào 2 sau đây? A. ( ; 1)  (0; ) .B. ( ; 5)  (1; .C.) ( 4 . ;0) D. ( 2 .;2) 3 Câu 54. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x mx m l tại điểm x0 1 cắt đường tròn 2 2 1 x 2 y 3 theo cung có độ dài nhỏ nhất. 5 5 A. m 1 hoặc m 2 .B. m hoặc1 m . 2 C. m 3 hoặc D.m 1 hoặcm 1 . m 3 Câu 55. Cho hàm số y x3 ax2 bx c,c 0 có đồ thị (C) cắt Oy tại A và có hai điểm chung với Ox là M , N . Tiếp tuyến với đồ thị tại M đi qua A . Tìm T a b c biết SAMN 1 . A. T 1 .B. .C. T .D. 2 . T 5 T 3
  64. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 19. Đáp án B. 2 y ; x 0 y 1 x 1 0 0 Phương trình tiếp tuyến tại M (0; 1) là: y y (0)(x 0) 1 y 2x 1 . Câu 20. Đáp án A. 1 y ; y 2 x 2 2 x 2 2 x 2 0 0 0 1 3 Phương trình tiếp tuyến tại M(2;2) là y y (2)(x 2) y x . 4 2 Câu 21. Đáp án C. 1 1 f (x) cos x . Theo giả thiết f (x ) cos x x k2 ,k Z 0 2 0 2 0 3 5 Do x [0;2 ] x ; x . 0 0 3 0 3 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn. Câu 22. Đáp án B. y 3x2 2x y 1 5 Câu 23. Đáp án C. Giao điểm của C với Ox là A(2;0) . 2 y x 3 2 Phương trình tiếp tuyến tại A(2;0) là : y y 2 x 2 0 y 2x 4 Câu 24. Đáp án C. y 3x2 2 Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất : y x 1 y x .1 1 3x2 2 2 x 0 0 0 3 1 18 5 3 1 18 5 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y x và y x 3 9 3 9 Câu 25. Đáp án A. TXĐ: D R \0 nên C không giao với Oy . C giao với Ox tại M (1;0) nên phương trình tiếp tuyến là: y y (1)(x 1) x 1 . Câu 26. Đáp án B. Ta có: y 2x 6 . Phương trình tiếp tuyến song song với trục hoành y (x0 ) 0 x0 3 y0 4 Phương trình tiếp tuyến là: y 4 . Câu 27. Đáp án C. 4 TXĐ: D R \0; y . x2 4 x 2 0 Theo giả thiết y x0 1 1 y x0 1 2 1 x0 x0 2 Vậy phương trình tiếp tuyến là y x 2 và y x 6 Câu 28. Đáp án D.
  65. 2 y .Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;1) . x 1 2 Lấy điểm A(x0; y0 ) (C) , gọi B là điểm đối xứng với A qua I B(2 x0;2 y0 ) (C) . Ta có: 2 + Hệ số góc của phưong trình tại A là: kA y x0 2 x0 1 2 + Hệ số góc của phương trình tại B là: kB y 2 x0 2 x0 1 Ta thấy kA kB nên có vô số cặp điểm A, B (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Câu 29. Đáp án D. 1 Ta có y . x 1 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến tại M(x ; y ) (C) là : y x x ( ) 0 0 2 0 x 1 x0 1 0 ( ) giao với Ox : A 2x0 1;0 . 2x 1 ( ) giao với Oy : B 0; 0 . 2 x0 1 2 1 2x0 1 3 SOAB OA.OB 4 x0 y0 4 2 x0 1 4 3 13 Vậy x y 4 . 0 0 4 4 Câu 30. Đáp án A. y' x2 2x, y" 2x 2 4 y" x 0 2x 2 0 x 1 y 0 0 0 0 3 4 7 Phương trình tiếp tuyến tại M 1; là : y x . 3 3 Câu 31. Đáp án C. 2 y 3x 6x 3. Gọi A xA; yA , B xB ; yB . Tiếp tuyến tại A,B lần lượt có hệ số góc là: 2 2 kA 3xA 6xA 3, kB 3xB 6xB 3 Theo giả thiết: kA.kB 1 2 2 3xA 6xA 3 3xB 6xB 3 1 2 2 9 xA 2xA 1 xB 2xB 1 1 2 2 9 xA 1 xB 1 1 (Vô lý). Vậy không tồn tại cặp điểm A, B thỏa mãn. Câu 32. Đáp án D. 3 y 4x 4x . Gọi M 0 x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến tại M0 là: 3 4 2 y 4x0 4x0 x x0 x0 2x0 2 3 4 2 Vì đi qua A 0;2 nên: 2 4x0 4x0 x0 x0 2x0 2
  66. x0 0 3x4 2x2 0 0 0 2 x0 3 Ứng với 3 hoành độ x0 ta viết được 3 phương trình tiếp tuyến với C . Câu 33. Đáp án A. 2 y 3x 6x . Gọi M 0 x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến tại M0 là: y y x0 x x0 y0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M : 2 2 y x0 3x0 6x0 3 x0 1 3 y x0 3 Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là 3 khi x0 1 y0 0 . Phương trình tiếp tuyến tại M 0 0;1 là: y 3x 3 Câu 34. Đáp án B. Phương trình hoành độ giao điểm: 1 x2 1 x2 x 1, x 0 x 2 2 x 1 giao điểm M 1; . 2 1 1 Ta có f 1 ; g (1) f 1 .g 1 1 2 2 Vậy góc giữa 2 tiếp tuyến đó là 900 . Câu 35. Đáp án D. y mx2 2 m 1 x 4 3m 1 Theo bài ra y . 1 y 2 2 mx2 2 m 1 x 2 3m 0 có 2 nghiệm dương phân biệt m 0 m 0 1 m 0 2 1 1 2 hay m 0;  ; . S 0 0 m 1 2 2 3 P 0 2 0 m 3 Câu 36. Đáp án A. Phương trình tiếp tuyến tại M 0 x0 ; y0 C là: 2 x 2x0 2x0 1 y 2 2 x0 1 x0 1 2 giao với Ox tại A 2x0 2x0 1;0 . 2x2 2x 1 giao với Oy tại B 0; 0 0 . 2 x0 1 2 x0 3 OA 4OB x0 1 4 x0 1 Từ đó ta được 2 phương trình tiếp tuyến là:
  67. 1 5 1 13 y x và y x . 4 4 4 4 Câu 37. Đáp án A. Với x0 1 y0 m 2 M 1;m 2 Phương trình tiếp tuyến tại M là : y 3x m 1 m 1 giao với Ox tại A ;0 . 3 giao với Oy tại B 0;m 1 . 3 1 3 m 1 S OA.OB . m 1 3 OAB 2 2 2 3 2 m 4 m 1 9 . m 2 Câu 38. Đáp án B. 2 Với x0 1 y0 0 M 1;0 , y 3x m Phương trình tiếp tuyến tại M 1;0 là: 3 m x y 3 m 0 1 Đường tròn tâm I 2;3 và bán kính R . 5 Vì IM R nên độ dài cung nhỏ nhất khi tiếp xúc với đường tròn tức là: 3 m .2 3 3 m 1 d I; R 3 m 2 1 5 m 1 2 2m 3m 5 0 5 . m 2 Câu 39. Đáp án A. Giả sử (C) cắt Ox tại M m;0 , N n;0 , cắt Oy tại A 0;c . Tiếp tuyến tại M có phương trình: y 3m2 2am b x m Tiếp tuyến đi qua A nên 3m3 2am2 bm c 0 2m3 am2 0 do m3 am2 bm c 0 a m . 2 Vì (C) cắt Ox tại 2 điểm nên (C) tiếp xúc với Ox (do tính chất đồ thị hàm bậc 3 học sinh sẽ được học rõ hơn lớp 12). Nếu M là tiếp điểm Ox đi qua A (vô lý) C tiếp xúc với Ox tại N. Do đó y x3 ax2 bx c x n 2 x m
  68. a a m ,n m 2n a 2 4 2 3 2m.n n b a 32c I 2 2 m.n c 5a 16b Mặt khác S AMN 1 c. n m 2 c. a 8 a3 32c - Với a 0 ac 8 (vô nghiệm) 2 5a 16b a3 32c a 4 - Với a 0 ac 8 b 5 2 5a 16b c 2 T a b c 1.