Đề cương ôn thi học sinh giỏi Đại số Lớp 10 - Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình

Nội dung text: Đề cương ôn thi học sinh giỏi Đại số Lớp 10 - Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình

1. CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ MỤC LỤC MỤC LỤC CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH 2 CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRèNH 2 DẠNG TOÁN 1: TèM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRèNH 2 DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRèNH BẰNG PHẫP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ 4 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN 8 DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax + b = 0 9 DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax2 + bx + c = 0 11 DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH Lí VI-ẫT 14 Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trỡnh bậc hai, phõn tớch thành nhõn tử 14 Loại 2: Bài toỏn liờn quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x 1, x2 của phương trỡnh bậc hai 16 DẠNG TOÁN 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIấN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI 19 Loại 1: Tỡm điều kiện để hai phương trỡnh bậc hai ax 2 + bx + c = 0 và a’x2 + b’x + c’ = 0 cú nghiệm chung 19 Loại 2: Chứng minh trong cỏc phương trỡnh bậc hai cú ớt nhất một phương trỡnh cú nghiệm 20 Loại 3: Chứng minh bất đẳng thức cú chứa cỏc hệ số của phương trỡnh bậc hai với nghiệm của nú cú điều kiện 20 CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI 22 DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRèNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 22 DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRèNH CHỨA ẨN Ở MẪU 26 DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRèNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI 31 Loại 1: Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh 31 Loại 2: Phõn tớch thành tớch bằng cỏch nhõn liờn hợp 33 Loại 3: Đặt ẩn phụ 35 Loại 4: Đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn 40 DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRèNH BẬC CAO 42 Loại 1: Đưa về phương trỡnh tớch 42 Loại 2: Đặt ẩn phụ 44 CHỦ ĐỀ 4. HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 49 DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN 49 DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN 53 CHỦ ĐỀ 5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI HAI ẨN 56 DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI 56 DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐỐI XỨNG 58 DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 62 DẠNG TOÁN 4: HỆ PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI HAI ẨN 64 Loại 1: Hệ phương trỡnh cú thể đưa về phương trỡnh tớch 64 Loại 2: Hệ phương trỡnh giải bằng cỏch đặt ẩn phụ 71 DẠNG TOÁN 5: GIẢI PHƯƠNG TRèNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH76 CHỦ ĐỀ 6: ễN TẬP 82 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP 83 1
2. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬNCHỦĐẠ IĐỀ SỐ 1:1 0ĐẠI CƯƠNG VỀCH PHƯƠNGUYấN ĐỀ TRèNHIII. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Định nghĩa. Cho hai hàm số y = f (x ) và y = g(x ) cú tập xỏc định lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df ầ Dg . Mệnh đề chứa biến " f (x ) = g(x )" được gọi là phương trỡnh một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xỏc định của phương trỡnh. x0 ẻ D gọi là một nghiệm của phương trỡnh f (x ) = g(x ) nếu " f (x0 ) = g(x0 )" là mệnh đề đỳng. Chỳ ý: Cỏc nghiệm của phương trỡnh f (x ) = g(x ) là cỏc hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f (x ) và y = g(x ) . 2. Phương trỡnh tương đương, phương trỡnh hệ quả. a) Phương trỡnh tương đương: Hai phương trỡnh f1 (x ) = g1 (x )và f2 (x ) = g2 (x )được gọi là tương đương nếu chỳng cú cựng tập nghiệm. Kớ hiệu là f1 (x ) = g1 (x ) Û f2 (x ) = g2 (x ) . Phộp biến đổi khụng làm thay đổi tập nghiệm của phương trỡnh gọi là phộp biến đổi tương đương. b) Phương trỡnh hệ quả: f2 (x ) = g2 (x ) gọi là phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh f1 (x ) = g1 (x ) nếu tập nghiệm của nú chứa tập nghiệm của phương trỡnh f1 (x ) = g1 (x ) . Kớ hiệu là f1 (x ) = g1 (x ) ị f2 (x ) = g2 (x ) c) Cỏc định lý: Định lý 1: Cho phương trỡnh f (x ) = g(x ) cú tập xỏc định D ; y = h(x ) là hàm số xỏc định trờn D . Khi đú trờn D , phương trỡnh đó cho tương đương với phương trỡnh sau 1) f (x ) + h(x ) = g(x ) + h(x ) 2) f (x ).h(x ) = g(x ).h(x ) nếu h(x ) ạ 0 với mọi x ẻ D Định lý 2: Khi bỡnh phương hai vế của một phương trỡnh, ta được phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh đó cho. f (x ) = g(x ) ị f 2 (x ) = g2 (x ). Lưu ý: Khi giải phương trỡnh ta cần chỳ ý Đặt điều kiện xỏc định(đkxđ) của phương trỡnh và khi tỡm được nghiệm của phương trỡnh phải đối chiếu với điều kiện xỏc định. Nếu hai vế của phương trỡnh luụn cựng dấu thỡ bỡnh phương hai vế của nú ta thu được phương trỡnh tương đương. Khi biến đổi phương trỡnh thu được phương trỡnh hệ quả thỡ khi tỡm được nghiệm của phương trỡnh hệ quả phải thử lại phương trỡnh ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: TèM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRèNH 1. Phương phỏp giải - Điều kiện xỏc định của phương trỡnh bao gồm cỏc điều kiện để giỏ trị của f (x ), g(x ) cựng được xỏc định và cỏc điều kiện khỏc (nếu cú yờu cầu trong đề bài) - Điều kiện để biểu thức 2
3. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ f (x ) xỏc định là f (x ) ³ 0 1 xỏc định là f (x ) ạ 0 f (x ) 1 xỏc định là f (x ) > 0 fC(Hx U) YấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2. Cỏc vớ dụ Vớ dụ 1: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau: 5 a) x + = 1 b) 1 + 3 - x = x - 2 x 2 - 4 x + 1 c) 1 + 2x - 3 = 3x - 2 d) 4 - 2x = x 3 - 3x + 2 Lời giải: a) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là x 2 - 4 ạ 0 Û x 2 ạ 4 Û x ạ ± 2 ùỡ 3 - x ³ 0 ùỡ x Ê 3 b) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù Û ớù Û 2 Ê x Ê 3 ù x - 2 ³ 0 ù x ³ 2 ợù ợù ùỡ 3 ỡ ù x ³ ù 2x - 3 ³ 0 ù 3 c) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù Û ớ 2 Û x ³ ù 3x - 2 ³ 0 ù 2 2 ợù ù x ³ ợù 3 d) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ùỡ 4 - 2x ³ 0 ùỡ x Ê 2 ớù Û ớù ù x 3 - 3x + 2 ạ 0 ù x - 1 x 2 + x - 2 ạ 0 ợù ùợ ( )( ) ùỡ x Ê 2 ùỡ x Ê 2 ù ỡ ù ù ù x < 2 Û ớ 2 Û ớ x ạ 1 Û ớ ù x - 1 x - 2 ạ 0 ù ù x ạ 1 ợù ( ) ( ) ù x ạ 2 ợù ợù Vớ dụ 2: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau rồi suy ra tập nghiệm của nú: a) 4x + 4x - 3 = 2 3 - 4x + 3 b) - x 2 + 6x - 9 + x 3 = 27 2 c) x + x - 2 = - 3 - x d) (x - 3) (5 - 3x ) + 2x = 3x - 5 + 4 Lời giải: ùỡ 3 ỡ ù x ³ ù 4x - 3 ³ 0 ù 3 a) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh làớù Û ớ 4 Û x = ù 3 - 4x ³ 0 ù 3 4 ợù ù x Ê ợù 4 3 Thử vào phương trỡnh thấy x = thỏa món 4 ùỡ 3ùỹ Vậy tập nghiệp của phương trỡnh là S = ớù ýù ợù 4ỵù 2 b) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là - x 2 + 6x - 9 ³ 0 Û - (x - 3) ³ 0 Û x = 3 3
4. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ Thay x = 3 vào thấy thỏa món phương trỡnh Vậy tập nghiệp của phương trỡnh là S = {3} ùỡ x ³ 0 ùỡ x ³ 0 ù ù c) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù x - 2 ³ 0 Û ớù x ³ 2 ù ù ù - 3 - x ³ 0 ù x Ê - 3 ợù ợù Khụng cú giỏ trị nào của x thỏa món điều kiện Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = ặ ỡ 2 ù (x - 3) (5 - 3x ) ³ 0 d) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù (*) ù 3x - 5 ³ 0 ợù Dễ thấy x = 3 thỏa món điều kiện (*). ùỡ 5 ỡ ù x Ê ù 5 - 3x ³ 0 ù 5 Nếu x ạ 3 thỡ (*) Û ớù Û ớ 3 Û x = ù 3x - 5 ³ 0 ù 5 3 ợù ù x ³ ợù 3 5 Vậy điều kiện xỏc định của phương trỡnh là x = 3 hoặc x = 3 5 Thay x = 3 và x = vào phương trỡnh thấy chỉ cú x = 3 thỏa món. 3 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = {3} . 3. Bài tập luyện tập Bài 3.0: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau: 5 a) = 3 x b) 1 + x - 2 = x - 1 x 2 - x - 1 x + 1 c) 1 + 2x - 4 = 2 - 4x d) 2x - 6 = x 2 - 3x + 2 Bài 3.1: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau rồi suy ra tập nghiệm của nú: a) 4x + 2 4x - 3 = 2 4x - 3 + 3 b) - x 2 + x - 1 + x = 1 c) 2x + x - 2 = 2 - x + 2 d) x 3 - 4x 2 + 5x - 2 + x = 2 - x DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRèNH BẰNG PHẫP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ 1. Phương phỏp giải Để giải phương trỡnh ta thực hiện cỏc phộp biến đổi để đưa về phương trỡnh tương đương với phương trỡnh đó cho đơn giản hơn trong việc giải nú. Một số phộp biến đổi thường sử dụng Cộng (trừ) cả hai vế của phương trỡnh mà khụng làm thay đổi điều kiện xỏc định của phương trỡnh ta thu được phương trỡnh tương đương phương trỡnh đó cho. Nhõn (chia) vào hai vế với một biểu thức khỏc khụng và khụng làm thay đổi điều kiện xỏc định của phương trỡnh ta thu được phương trỡnh tương đương với phương trỡnh đó cho. Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh ta thu được phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh đó cho. Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh(hai vế luụn cựng dấu) ta thu được phương trỡnh tương đương với phương trỡnh đó cho. 2. Cỏc vớ dụ minh họa 4
5. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ Vớ dụ 1: Giải cỏc phương trỡnh sau 1 5 x 2 1 a) 1 + = b) = - x - 2 x - 3 x 2 - x - 6 x - 2 x - 2 c) x + 3(x 4 - 3x 2 + 2) = 0 d) x - 1(x 2 - x - 2) = 0 Lời giải: ùỡ x ạ 3 ùỡ x ạ 3 a) ĐKXĐ : ớù Û ớù ù x 2 - x - 6 ạ 0 ù x ạ - 2 ợù ợù Với điều kiện đú phương trỡnh tương đương với 1 5 1 + = Û (x - 3)(x + 2) + x + 2 = 5 x - 3 (x - 3)(x + 2) Û x 2 = 9 Û x = ± 3 Đối chiếu với điều kiện ta cú nghiệm của phương trỡnh là x = - 3 . b) ĐKXĐ: x > 2 Với điều kiện đú phương trỡnh tương đương với - 1 ± 13 x 2 = 1- (x - 2) Û x 2 + x - 3 = 0 Û x = 2 Đối chiếu với điều kiện ta thấy khụng cú giỏ trị nào thỏa món Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. c) ĐKXĐ: x ³ - 3 ộ x + 3 = 0 Phương trỡnh tương đương với ờ ờx 4 - 3x 2 + 2 = 0 ởờ ộ x = - 3 ộx = - 3 ộ x = - 3 ờ ờ Û ờ Û ờx 2 - 1 = 0 Û ờx = ± 1 ờ(x 2 - 1)(x 2 - 2) = 0 ờ ờ ởờ ờx 2 - 2 = 0 ờx = ± 2 ởờ ởờ Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trỡnh là x = - 3, x = ± 1 và x = ± 2 . ỡ ỡ ù x ³ 0 ù x ³ 0 d) ĐKXĐ: ớ Û ớù Û x ³ 1 ù x - 1 ³ 0 ù x ³ 1 ợù ợù Với điều kiện đú phương trỡnh tương đương với ộx = 1 ộ ờ ờ x - 1 = 0 ờ ờ Û x = - 1 x 2 - x - 2 = 0 ờ ởờ ờx = 2 ởờ Đối chiếu với điều kiện ta cú ngiệm của phương trỡnh là x = 1 và x = 2 . Vớ dụ 2: Giải cỏc phương trỡnh sau a) 2x - 3 = 4x 2 - 15 b) .x 2 - 3x + 4 = 8 - 3x . c) 2x + 1 = x - 2 d) 2x + 1 = x - 1 Lời giải: 5
6. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ ùỡ 2x - 3 ³ 0 a) ĐKXĐ: ớù (*) ù 4x2 - 15 ³ 0 ợù Với điều kiện (*) phương trỡnh tương đương với 2 2 ( 2x - 3) = ( 4x 2 - 15) Û 2x - 3 = 4x2 - 15 ộ x = 2 2 ờ Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ờ 3 ờx = - ởờ 2 Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ cú x = 2 thỏa món Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 2 2 ổ 3ử 7 b) ĐKXĐ: x 2 - 3x + 4 ³ 0 Û ỗx - ữ + ³ 0 (luụn đỳng với mọi x ) ốỗ 2ứữ 4 Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh ta được 2 x 2 - 3x + 4 = (8 - 3x ) Û x 2 - 3x + 4 = 9x 2 - 48x + 64 45 ± 105 8x 2 - 45x + 60 = 0 Û x = 16 45 - 105 Thay vào phương trỡnh ta thấy chỉ cú x = và đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh. 16 2 2 c) Phương trỡnh tương đương với ( 2x + 1 ) = ( x - 2 ) Û 4x 2 + 4x + 1 = x 2 - 4x + 4 ộx = - 3 2 ờ Û 3x + 8x - 3 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 3 1 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm là x = - 3 và x = . 3 2 2 d) Ta cú 2x + 1 = x - 1 ị (2x + 1) = (x - 1) ị 4x 2 + 4x + 1 = x 2 - 2x + 1 Û 3x 2 + 6x = 0 ộx = 0 ị ờ ờx = - 2 ởờ Thử vào phương trỡnh ta thấy khụng cú giỏ trị nào thỏa món Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. Vớ dụ 3: Tỡm nghiệm (x;y ) với x là số nguyờn dương của phương trỡnh sau 20 - 8x + 6x 2 - y2 = y 7 - 4x Lời giải: ùỡ 20 ỡ ù x Ê ù 20 - 8x ³ 0 ù 7 Nếu phương trỡnh cú nghiệm (x;y ) thỡx phải thỏa món ớù Û ớ 8 Û x Ê ù 7 - 4x ³ 0 ù 7 4 ợù ù x Ê ợù 4 Vỡ x là số nguyờn dương nờn x = 1 Thay x = 1 vào phương trỡnh ta được 12 + 6 - y2 = y 3 (*) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh (*) là 6 - y2 ³ 0 6
7. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ 2 (*) ị 6 - y2 = 3(y - 2) ị 6 - y2 = 3(y - 2) 3 ± 3 ị 4y2 - 12y + 6 = 0 ị y = 2 CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ 3 + 3 Thử vào phương trỡnh (*) thấy chỉ cú y = là thỏa món 2 ổ 3 + 3 ử ỗ ữ Vậy phương trỡnh cú nghiệm thỏa món đề bài là ỗ1; ữ . ốỗ 2 ứữ Vớ dụ 4: Tỡm m để cặp phương trỡnh sau tương đương a) mx 2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2)x 2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2) b) 2x 2 + mx - 2 = 0 (3) và 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 (4) Lời giải: a) Giả sử hai phương trỡnh (1) và (2) tương đương ộ x = 1 Ta cú (1) Û (x - 1)(mx - m + 2) = 0 Û ờ ờmx - m + 2 = 0 ởờ Do hai phương trỡnh tương đương nờn x = 1 là nghiệm của phương trỡnh (2) Thay x = 1 vào phương trỡnh (2) ta được ộm = 4 (m - 2)- 3 + m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û ờ ờm = - 5 ởờ ộx = 1 2 ờ Với m = - 5 : Phương trỡnh (1) trở thành - 5x + 12x - 7 = 0 Û ờ 7 ờx = ởờ 5 ộ x = 1 2 ờ Phương trỡnh (2) trở thành - 7x - 3x + 10 = 0 Û ờ 10 ờx = - ởờ 7 Suy ra hai phương trỡnh khụng tương đương ộ 1 ờx = Với m = 4 : Phương trỡnh (1) trở thành 4x 2 - 6x + 2 = 0 Û ờ 2 ờx = 1 ởờ ộx = 1 2 ờ Phương trỡnh (2) trở thành 2x - 3x + 1 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 2 Suy ra hai phương trỡnh tương đương Vậy m = 4 thỡ hai phương trỡnh tương đương. b) Giả sử hai phương trỡnh (3) và (4) tương đương Ta cú 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 Û (x + 2)(2x 2 + mx - 2) = 0 ộ x = - 2 Û ờ ờ2x 2 + mx - 2 = 0 ởờ 7
8. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ Do hai phương trỡnh tương đương nờn x = - 2 cũng là nghiệm của phương trỡnh (3) 2 Thay x = - 2 vào phương trỡnh (3) ta được 2(- 2) + m (- 2)- 2 = 0 Û m = 3 ộx = - 2 2 ờ Với m = 3 phương trỡnh (3) trở thành 2x + 3x - 2 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 2 2 Phương trỡnh (4) trở thành 2x 3 + 7x 2 + 4x - 4 = 0 Û (x + 2) (2x + 1) = 0 ộx = - 2 ờ Û ờ 1 ờx = ởờ 2 Suy ra phương trỡnh (3) tương đương với phương trỡnh (4) Vậy m = 3 . 3. Bài tập luyện tập Bài 3.2: Giải cỏc phương trỡnh sau 1 6 2x 1 a) 1 + = b) = - 3 - x 2 - x 4 - x 2 3 - x 3 - x 3 - x c) x + 1(x 2 - 16) = 0 d) = 0 x 2 - 2x - 3 Bài 3.3: Giải cỏc phương trỡnh sau a) x - 2 = x 2 - 8 b) 3x 2 - x - 9 = x - 1 . c) 2x + 3 = 2x - 3 d) 2x - 1 = 3x - 4 Bài 3.4: Tỡm m để cặp phương trỡnh sau tương đương a) x 2 + mx - 1 = 0 (1) và (m - 1)x 2 + 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (2) b) (2m - 2)x 2 - (2m + 1)x + m2 + m - 17 = 0 (3) và (2 - m )x 2 + 3x + 15 - m2 = 0 (4) CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Định nghĩa Phương trỡnh bậc nhất một ẩn là phương trỡnh cú dạng ax + b = 0 với a,b là số thực và a ạ 0 Phương trỡnh bậc hai một ẩn phương trỡnh cú dạng ax 2 + bx + c = 0 với a,b,c là số thực và a ạ 0 2. Giải và biện luận phương trỡnh ax + b = 0 (1). b b Nếu a ạ 0 : (1) Û x = - do đú phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = - a a Nếu a = 0 : phương trỡnh (1) trở thành 0x + b = 0 Th1: Với b = 0 phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R Th2: Với b ạ 0 phương trỡnh vụ nghiệm 3. Giải và biện luận phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trỡnh dạng (1) Nếu a ạ 0 : D = b2 - 4ac 8
9. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ - b ± D Th1: D > 0 phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = 2a b TH2: D = 0 phương trỡnh cú nghiệm kộp x = - 2a Th3: D 0 ù ù S > 0 ợù ùỡ D ³ 0 ù + Phương trỡnh (*) cú hai nghiệm õm khi và chỉ khi ớù P > 0 ù ù S < 0 ợù B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax + b = 0 1. Phương phỏp giải Để giải và biện luận phương trỡnh dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đó nờu ở trờn. Lưu ý: ộ a ạ 0 Phương trỡnh ax + b = 0 cú nghiệm Û ờ ờa = b = 0 ởờ ùỡ a = 0 Phương trỡnh ax + b = 0 vụ nghiệm Û ớù ù b ạ 0 ợù Phương trỡnh ax + b = 0 cú nghiệm duy nhất Û a ạ 0 2. Cỏc vớ dụ minh họa Vớ dụ 1: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. a) (m - 1)x + 2 - m = 0 b) m (mx - 1) = 9x + 3 9
10. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ c) (CmH+UY1)ấ2xN =ĐỀ(3TmỰ+L7U)xẬN+ Đ2Ạ+Im SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ Lời giải: a) Phương trỡnh tương đương với (m - 1)x = m - 2 + Với m - 1 = 0 Û m = 1 : Phương trỡnh trở thành 0x = - 1 Suy ra phương trỡnh vụ nghiệm. m - 2 + Với m - 1 ạ 0 Û m ạ 1 : Phương trỡnh tương đương với x = m - 1 Kết luận m = 1 : Phương trỡnh vụ nghiệm m - 2 m ạ 1 : Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = m - 1 b) Ta cú m (mx - 1) = 9x + 3 Û (m2 - 9)x = m + 3 + Với m2 - 9 = 0 Û m = ± 3 : Khi m = 3 : Phương trỡnh trở thành 0x = 6 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm Khi m = - 3 : Phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R m + 3 1 + Với m2 - 9 ạ 0 Û m ạ ± 3 : Phương trỡnh tương đương với x = = . m2 - 9 m - 3 Kết luận: m = 3 : Phương trỡnh vụ nghiệm m = - 3 : Phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R 1 m ạ ± 3: Phương trỡnh cú nghiệm x = m - 3 ộ 2 ự c) Phương trỡnh tương đương với ở(m + 1) - 3m - 7ỷx = 2 + m Û (m2 - m - 6)x = 2 + m ộm = 3 + Với m2 - m - 6 = 0 Û ờ : ờm = - 2 ởờ Khi m = 3 : Phương trỡnh trở thành 0x = 5 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm Khi m = - 2 : Phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R ộm ạ 3 m + 2 1 + Với m2 - m - 6 ạ 0 Û ờ : Phương trỡnh tương đương với x = = . ờm ạ - 2 2 ởờ m - m - 6 m - 3 Kết luận: m = 3 : Phương trỡnh vụ nghiệm m = - 2 : Phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R 1 m ạ 3 và m ạ - 2 : Phương trỡnh cú nghiệm x = m - 3 Vớ dụ 2: Giải và biện luận phương trỡnh sau với a,b là tham số. a) a2 (x - a) = b2 (x - b) b) b(ax - b + 2) = 2(ax + 1) Lời giải: 10
11. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ a) Ta cú a2 (x - a) = b2 (x - b) Û (a2 - b2 )x = a3 - b3 + Với a2 - b2 = 0 Û a = ±b Khi a = b : Phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R Khi a = - b và b ạ 0 : Phương trỡnh trở thành 0x = - 2b3 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm (Trường hợp a = - b,b = 0 ị a = b = 0 thỡ rơi vào trường hợp a = b ) a3 - b3 a2 + ab + b2 + Với a2 - b2 ạ 0 Û a ạ ±b : Phương trỡnh tương đương với x = = a2 - b2 a + b Kết luận a = b: phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R a = - b và b ạ 0 : phương trỡnh vụ nghiệm a2 + ab + b2 a ạ ±b: Phương trỡnh cú nghiệm là x = a + b b) Ta cú b(ax - b + 2) = 2(ax + 1) Û a(b - 2)x = b2 - 2b + 2 ộa = 0 + Với a(b - 2) = 0 Û ờ ờb = 2 ởờ 2 Khi a = 0 : Phương trỡnh trở thành 0x = b2 - 2b + 2 , do b2 - 2b + 2 = (b - 1) + 1 > 0 nờn phương trỡnh vụ nghiệm. Khi b = 2 : Phương trỡnh trở thành 0x = 2 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm ùỡ a ạ 0 b2 - 2b + 2 + Với a(b - 2) ạ 0 Û ớù : Phương trỡnh tương đương với x = . ù b ạ 2 ợù a(b - 2) Kết luận a = 0 hoặc b = 2 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm b2 - 2b + 2 a ạ 0 và b ạ 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x = a(b - 2) Vớ dụ 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất. a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 b) m (4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Lời giải: a) Ta cú (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m - 2)x = m2 - 1 ùỡ m ạ - 1 Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất Û a ạ 0 hay m2 - m - 2 ạ 0 Û ớù ù m ạ 2 ợù Vậy với m ạ - 1 và m ạ 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất b) Ta cú m (4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Û (4m2 - m - 1)x = 3m2 - 2m 1 ± 17 Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất Û a ạ 0 hay 4m2 - m - 1 ạ 0 Û m ạ 8 1 ± 17 Vậy với m ạ thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 8 Vớ dụ 4: Tỡm m để đồ thị hai hàm số sau khụng cắt nhau y = (m + 1)x 2 + 3m2x + m và y = (m + 1)x 2 + 12x + 2 . Lời giải: 11
12. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Đồ thị hai hàm số khụng cắt nhau khi và chỉ khi phương trỡnh (m + 1)x 2 + 3m2x + m = (m + 1)x 2 + 12x + 2 vụ nghiệm Û 3(m2 - 4)x = 2 - m vụ nghiệm ùỡ m2 - 4 = 0 ùỡ m = ± 2 Û ớù Û ớù Û m = - 2 ù 2 - m ạ 0 ù m ạ 2 ợù ợù Vậy với m = - 2 là giỏ trị cần tỡm. 3. Bài tập luyện tập Bài 3.5: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. a) (2m - 4)x + 2 - m = 0 b) (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1 Bài 3.6: Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau: x + a - b x + b - a b2 - a2 a) - = (1) a b ab ax - 1 2 a(x 2 + 1) b) + = (2) x - 1 x + 1 x 2 - 1 Bài 3.7: Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm. a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 b) m2 (x - m ) = x - 3m + 2 Bài 3.8: Tỡm điều kiện của a,b để phương trỡnh sau cú nghiệm . a) a(bx - a + 2) = (a + b - 1)x + 1 2x - a 2x - b b) - b = - a (a,b ạ 0) a b DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax 2 + bx + c = 0 1. Phương phỏp giải Để giải và biện luận phương trỡnh dạng ax 2 + bx + c = 0 ta làm theo như cỏc bước đó nờu ở trờn. 2. Cỏc vớ dụ minh họa Vớ dụ 1: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. a) x 2 - x + m = 0 b) (m + 1)x 2 - 2mx + m - 2 = 0 c) (2m2 + 5m + 2)x 2 - 4mx + 2 = 0 Lời giải: a) Ta cú D = 1- 4m 1 1 ± 1- 4m Với D > 0 Û 1- 4m > 0 Û m : Phương trỡnh vụ nghiệm 4 Kết luận 1 1 ± 1- 4m m < : Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = 4 2 1 1 m = : Phương trỡnh cú nghiệm kộp x = 4 2 12
13. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ 1 m > : Phương trỡnh vụ nghiệm 4 3 b) + TH1: Với m + 1 = 0 Û m = - 1 khi đú phương trỡnh trở thành 2x - 3 = 0 Û x = 2 + TH2: Với m + 1 ạ 0 Û m ạ - 1 khi đú phương trỡnh trờn là phương trỡnh bậc hai Ta cú D ' = m2 - (m - 2)(m + 1) = m + 2 m ± m + 2 Khi D > 0 Û m + 2 > 0 Û m > - 2 khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = m + 1 Khi D = 0 Û m + 2 = 0 Û m = - 2 khi đú phương trỡnh cú nghiệm là x = 2 Khi D - 2 và m ạ - 1 : Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = m + 1 m 0 Û - 2(5m + 2) > 0 Û m - phương trỡnh vụ nghiệm. 5 Kết luận 1 m = - 2 phương trỡnh cú nghiệm x = - 4 1 m = - phương trỡnh cú nghiệm x = - 1 2 13
14. CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ 2 m = - phương trỡnh cú nghiệm (kộp) x = - 5 5 2 1 2m ± - 2(5m + 2) m - phương trỡnh vụ nghiệm. 5 Vớ dụ 2: Giải và biện luận phương trỡnh sau với a,b là tham số. ax 2C-HU2(Yaấ+N bĐ)Ềx +TỰa L+U2ẬbN= Đ0ẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ CHUYấN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYấN ĐỀ III. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ Tài liệu toỏn học sinh giỏi 10-11-12 nhúm em cú đầy đủ file Word, ngoài ra cũn rất nhiếu tài liệu dạy học toỏn khỏc nữa vui lũng liờn hệ zalo nhúm 0988166193 để mua tài liệu ạ 14