Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 6: Phương trình vô tỉ

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 6: Phương trình vô tỉ

1. CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG 1.1. Một số dạng phương trình cơ bản. g x 0 Dạng 1. f x g x f x 0 f x g x Dạng 2. 3 f x 3 g x f x g x g x 0 Dạng 3. f x g x 2 f x g x 3 Dạng 4. 3 f x g x f x g x Dạng 5. f x g x h x Phương pháp chung f c 0 + Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình bằng việc giải hệ g x 0 h x 0 + Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình và đưa phương trình về dạng F x G x . + Bước 3. Giải phương trình cơ bản F x G x và kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình để kết luận. Dạng 6. 3 f x 3 g x 3 h x Phương pháp chung + Bước 1. Lũy thừa bậc ba hai vế của phương trình thì được f x g x 3 3 f x .g x 3 f x 3 g x h x + Bước 2. Biến đổi phương trình và chú ý đến 3 f x 3 g x 3 h x ta được 3 3 f x .g x .h x h x f x g x + Bước 3. Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai về thì được phương trình 3 27.f x .g x .h x h x f x g x Dạng 7. f x g x h x r x . Trong đó xẩy ra một trong các trường hợp sau: + f x .g x h x .r x + f x .u x g x .r x + f x g x h x r x Phương pháp chung + Nếu có f x .g x h x .r x thì sử dụng phép biến đổi tương đương 2 2 f x g x h x r x + Nếu có f x .u x g x .r x thì sử dụng phép biến đổi hệ quả
2. 2 2 f x u x g x r x + Nếu có f x g x h x r x thì sử dụng phép biến đổi tương đương 2 2 f x g x h x r x Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình 3x2 69x 27 x2 96x 2 . Phân tích và lời giải Điều kiện xác định của phương trình là 3x2 69x 27 0; x2 96x 2 0 . Phương trình được cho ở trên có dạng cơ bản là f x g x , do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa. Chú ý rằng với điều kiện xác định tìm được ta biến đổi phương trình như sau 3x2 69x 27 x2 96x 2 3x2 69x 27 x2 96x 2 x 1 x 1 0 2x 27x 25 0 x 1 2x 25 0 25 2x 25 0 x 5 25 Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm S 1;  . 2  Nhận xét. Lời giải trên ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau khi đã tìm điều kiện xác định cho phương trình. Có thể thực hiện biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều kiện xác định bằng cách 2 3x 69x 27 0 x 1 2 2 2 3x 69x 27 x 96x 2 x 96x 2 0 25 x 2 2 3x 69x 27 x 96x 2 2 + Thực tế thì ta không cần phải viết cùng lúc hai điều kiện 3x2 69x 27 0; x2 96x 2 0 cùng một lúc như trong phép biến đổi trên, mà chỉ cần viết một trong hai điều kiện là được, chẳng hạn như x2 96x 2 0 3x2 69x 27 x2 96x 2 2 2 3x 69x 27 x 96x 2 Chú ý rằng việc chọn điều kiện nào trong phép biến đổi phụ thuộc vào sự thuận tiện cho qua trình kiểm tra lại và lời giải cho bài toán ngắn gọn hơn. Ví dụ 2. Giải phương trình x3 x2 3 3x 1 . Phân tích và lời giải Phương trình trong vì dụ có dạng cơ bản nên ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa. Chú ý rằng trong hai điều kiện x3 x2 3 0; 3x 1 0 thì điều kiện 3x 1 0 đơn giản hơn. Lại nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được x 2 là một nghiệm. Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình như sau
3. 3x 1 0 3x 1 0 3 2 x x 3 3x 1 3 2 3 2 x x 3 3x 1 x x 3x 2 0 3x 1 0 x 2 3x 1 0 x 2 2 5 1 x 2 x x 1 0 1 5 x x 2 2 5 1  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1;  . 2  2 Ví dụ 3. Giải phương trình x x 1 x2 7x . Phân tích và lời giải Phương trình trên có dạng cơ bản nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa. Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy nhiên nhận thấy x 0 là một nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân tích được phương trình bậc 3. Ta trình bày lời giải như sau. x2 7x 0 x2 7x 0 2 2 x x 1 x 7x 2 2 x x 1 x x 7 x x 2x 1 x x 7 x2 7x 0 2 x 0 x 7x 0 x 0 2 3 33 x x 3x 6 0 3 33 x x 2 2 Nhận xét. 2 Trong hai điều kiện x x 1 0,x2 7x 0 thì việc chọn điều kiện x2 7x 0 trong phép nâng lên lũy thừa là hoàn toàn hợp lí. Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên. + Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện 2 2 x x 1 x2 7x x x 1 x 7 0 Để thực hiện tách được x2 7x x. x 7 thì cần có điều kiện x 0 . Muốn vậy ta ta tìm 2 x x 1 0 điều kiện xác định của phương trình trước x 0 . 2 x 7x 0 + Tìm được điều kiện x 0 nhưng lại vội vàng khai căn 2 x x 1 x2 7x x x 1 x. x 7 Ta biết rằng với biểu thức dạng A.B2 thì khi khai căn phải lấy dấu giá trị tuyệt đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn A.B2 B A . Với điều kiện x 0 ta chưa xác định được x 1 mang dấu gì nên khi khai căn ta cần lấy 2 dấu giá trị tuyệt đối x x 1 x x 1 . Ví dụ 4. Giải phương trình 2x 1 3x 1 Phân tích và lời giải
4. Phương trình cho trong ví dụ là phương trình dạng f x g x nên ta sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải. Ta thấy vế trái của luôn không âm, do đó nếu vế phải của phương trình âm thì phương trình vô nghiệm. Do đó ta chỉ có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện 3x 1 0 . Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương. 1 x 0 3x 1 0 x 2x 1 3x 1 2 3 4 2x 1 3x 1 2 x 9x 4x 0 9 4  Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S ;0 . 9  Nhận xét. Trong qua trình nâng lên lũy thừa ta chỉ cần đặt điều kiện 3x 1 0 là được mà không cần phải 2 có thêm điều kiện 2x 1 0 , bởi vì khi nâng lên lũy thừa 2x 1 3x 1 thì đã đảm bảo cho điều kiện 2x 1 0 . 4 Nếu trong qua trình biến đổi ta không đặt điều kiện 3x 1 0 thì khi tìm x 0 và x ta 9 cần thử lại vào phương trình ban đầu để xác định nghiệm. Ví dụ 5. Giải phương trình x 1 5 2 3x 2 . Phân tích và lời giải Việc đầu tiên khi giải phương trình trên là tìm điều kiện xác định của phương trình. Vì chưa biết chắc chắn vế phải âm hay dương nên trước khi biến đổi nâng lên lũy thừa ta cần có thêm điều kiện 5 2 3x 2 0 . Tuy nhiên để ý một tí ta nhận thấy khi chuyển vế đại lượng 2 3x 2 sang vế trái thì hai vế của phương trình đều dương và đến đây ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế mà không cần đến điều kiện 5 2 3x 2 0 . Từ đó ta có lời giải như sau x 1 0 Điều kiện xác định của phương trình là x 1 . Phương trình đã cho tương đương với 3x 2 0 2 x 1 2 3x 2 5 x 1 2 3x 2 25 x 1 4 x 1 3x 2 4 3x 2 25 4 x 1 3x 2 34 13x 34 13x 0 34 13x 0 x 2 2 x 2 16 x 1 3x 2 34 13x 562 x 121 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 2 . Nhận xét. Khi gặp phương trình dạng f x g x k thì ta nên chuyển vế một hạng tử sao cho hai vế của phương trình đều không âm, từ đó ta thực hiện nâng lên lũy thừa mà không cần phải bổ sung thêm điều kiện của ẩn. Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên theo phương pháp đánh giá như sau x 1 0 Điều kiện xác định của phương trình là x 1 . 3x 2 0
5. x 1 2 1 1 + Xét 1 x 2 , khi đó ta có x 1 1 5 2 3x 2 . 5 2 3x 2 5 2 3.2 2 1 x 1 2.1 1 1 + Xét x 2 , khi đó ta có x 1 1 5 2 3x 2 . 5 2 3x 2 5 2 3.2 2 1 x 1 2.1 1 1 + Xét x 2 , khi đó ta được x 1 5 2 3x 2 1 . 5 2 3x 2 5 2 3.2 2 1 Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được x 2 là nghiệm. 1.2. PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH THÀNH TÍCH Cơ sở của phương pháp Với một phương trình vô tỷ có chứa nhiều căn thức thì việc việc sử dụng phép nâng lên lũy thừa không phải là một phương án tối ưu vì khi đó phương trình thu được chưa hẳn triệt tiêu hết các căn thức mà số mũ của ẩn lại cao. Khi đó một trong các phương án xử lý phương trình đó là viết phương trình về dạng f x .g x .h x 0 . Khi đó ta đi giải các phương trình hệ quả để tìm nghiệm cho phương trình. Để phân tích một phương trình thành tích ta thường sử dụng các kỹ thuật + Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. + Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. + Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Một số kỹ năng phân tích phương trình thành tích Sử dụng các hằng đẳng thức. 1 13 7x Ví dụ . Giải phương trình . x2 x 2 x 2 Phân tích và lời giải Phương trình đã cho có chứa ẩn ở mẫu và để đơn giản ta đặt điều kiện cho ẩn rồi viết phương trình về dạng 2x x2 x 2 2 13x 7x2 . Ta để ý đến biểu thức 2x x2 x 2 có dạng 2 2ab do đó ta nghĩ đến hằng đẳng thức dạng a b , từ ý tương đó ta thêm bớt một lượng để viết phương trình về dạng x2 x 2 2x x2 x 2 x2 9x2 12x 4 . Để ý ta thấy 2 2 2 9x2 12x 4 3x 2 nên ta viết được phương trình về dạng x2 x 2 x 3x 2 , đến đây ta có lời giải như sau. Điều kiện xác định của phương trình là x 0 . Phương trình đã cho tương đương với 2x x2 x 2 2 13x 7x2 x2 x 2 2x x2 x 2 x2 9x2 12x 4 2 2 2 x x 2 x 3x 2 x2 x 2 x 3x 2 2 x x 2 x 2 3x Với x2 x 2 x 3x 2 , khi đó ta được 1 1 x x x2 x 2 4x 2 2 2 x 1 2 2 2 x x 2 4x 2 15x 17x 2 0 Với x2 x 2 x 2 3x , khi đó ta được
6. 1 x 1 x 9 57 x2 x 2 2 2x x 2 2 2 x x 2 2 2x 2 6 3x 9x 2 0 9 57  Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S ;1 . 6  Nhận xét. Quan sát phương trình ta thấy phương trình chỉ chứa một căn thức x2 x 2 nên ta sẽ viết phương trình thành phương trình bậc hai có ẩn x2 x 2 với hy vọng phương trình bậc hai đó có biệt thức delta là số chính phương. 2 Phương trình đã cho được viết lại thành x2 x 2 2x x2 x 2 6x2 14x 0 , khi đó ta có 2 2 2 , không thể viết dưới dạng chính phương. 2 2x 4 6x 14x 20x 56x x x 2 Như vậy cách viết lại phương trình như trên không đem lại hiệu quả. 2 Ta viết lại phương trình thành x2 x 2 2x x2 x 2 8x2 12x 4 0 , khi đó ta có 2 2 2 2 là một số chính phương. Từ 2 2x 4 8x 12x 4 36x 48x 16 6x 4 x x 2 đó phương trình có hai nghiệm là x2 x 2 4x 2 và x2 x 2 2 2x hay phương trình đã cho viết được dưới dạng tích x2 x 2 4x 2 x2 x 2 2x 2 0 . Đến đây ta giải phương trình tương tự như trên. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ. Giải phương trình x 3 2x 5 9 x2 Phân tích và lời giải Quan sát phương trình ta thấy phương trình trên hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp nâng lên lũy thừa, chỉ cần chuyển vế số 9 rồi bình phương hai vế thì ta thu được một phương trình bậc 4. Tuy nhiên để ý một tí ta thấy x2 9 x 3 x 3 , như vậy cả hai vế đều có nhân tử chung là x 3 do đó ta sử dụng phương pháp phân tích thành tích để giải phương trình. 5 Điều kiện xác định của phương trình là 2x 5 0 x . Phương trình đã cho tương đương 2 với x 3 0 x 3 2x 5 x2 9 x 3 2x 5 x 3 x 3 2x 5 x 3 Với x 3 0 x 3 . x 3 Với 2x 5 x 3 2 x 4 2 3 . 2x 5 x 3 Kết kết hợp với điều kiện xác định ta được x 4 2 3 là nghiệm duy nhất của phương trình. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Ví dụ. Giải phương trình 3x2 3x 2 x 6 5x2 2x 3 Phân tích và lời giải Quan sát phương trình ta nhận thấy biểu thức trong căn và ngoài căn cùng có bậc hai nên ta nghĩ đến phân tích biểu thức ngoài căn theo biểu thức trong căn, cụ thể là
7. 3x2 3x 2 3x2 2x 3 5x 5 3x2 2x 3 5 x 1 Với sự xuất hiện của biểu thức x 1 thì ta lại có x 6 3x2 2x 3 x 1 3x2 2x 3 5 3x2 2x 3 Đến đây phương trình đã cho trở thành 3x2 2x 3 5 x 1 x 1 3x2 2x 3 5 3x2 2x 3 Để ý rằng sau khi chuyển vế thì phương trình phân tích được thành tích. Từ đó ta có lời giải cho phương trình như sau 1 10 1 10 Điều kiện xác định của phương trình là 6 x hoặc x . 3 3 Phương trình đã cho tương đương với 3x2 2x 3 5 x 1 x 1 3x2 2x 3 5 3x2 2x 3 3x2 2x 3 x 1 3x2 2x 3 5 x 1 5 3x2 2x 3 0 3x2 2x 3 3x2 2x 3 x 1 5 3x2 2x 3 x 1 0 3x2 2x 3 x 1 3x2 2x 3 5 0 3x2 2x 3 x 1 0 3x2 2x 3 x 1 2 2 3x 2x 3 5 0 3x 2x 3 5 1 85 Với 3x2 2x 3 5 3x2 2x 3 25 3x2 2x 28 0 x 3 x 1 x 1 Với 3x2 2x 3 x 1 x 1 3 2 2 2 3x 2x 3 x 1 2x 4x 4 0 1 85  Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm là S 1 3;  . 3  Từ phân tích như trên nếu ta xem phương trình trên có ẩn là 3x2 2x 3 thì ta được một 2 phương trình bậc hai 3x2 2x 3 x 6 3x2 2x 3 5 x 1 0 với x đóng vai trò là tham số. Như vậy nếu phương trình này có biệt thức là “số chính phương” thì phương trình trên phân tích được thành tích. Bây giờ ta tích thử biệt thức xem sao Ta có 2 2 2 là số chính phương, do đó 2 x 6 4.5 x 1 x 8x 16 x 4 3x 2x 3 x 1 x 4 phương trình trên có hai nghiệm là 3x3 2x 3 , điều này có nghĩa là phương 2 trình trên phân tích được thành tích 3x2 2x 3 x 1 3x2 2x 3 5 0 . Nhận xét. Để tránh nhưng sai sót ta có thể đặt t 3x2 2x 3 0 , khi đó phương trình đã cho 2 2 được viết lại thành t x 6 t 5 x 1 0 và tính được t x 4 , đến đây ta giải hoàn toàn như trên. Cách đặt ẩn phụ như vậy gọi là đặt ẩn phụ không hoàn toàn. 1.3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP
8. Có một lớp bài toán phương trình vô tỷ mà xét tính không thể giải quyết được nó khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa vì nó quá phức tạp và cũng không thể sử dụng phép ẩn phụ hóa vì không tìm được mối liên hệ hỗ trợ giữa các đại lượng. Tuy nhiên ta lại dễ dàng nhẩm được nghiệm của phương trình, khi đó phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp sẽ phát huy vai trò của nó. Bản chất của phương pháp này là lạm dụng đại lương liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích phương trình thành tích. Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x x hữu0 tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành x x0 P(x) 0 và P(x) 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được. Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị x0 để trong căn là bình phương hoặc lập phương. Một số phép biến đổi nhân lượng liên hợp f x g x Dạng 1. f x g x f x g x f x g x Dạng 2. 3 f x 3 g x 3 f 2 x  3 f x .3 g x 3 g2 x f x a2 Dạng 3. f x a f x a f x a3 Dạng 4. 3 f x a 3 f 2 x  a.3 f x a2 f x g2 x Dạng 5. f x g x f x g x f x g3 x Dạng 6. 3 f x g x 3 f 2 x  3 f x .g x g2 x Một số kinh nghiệm xử sử dụng phương pháp nhân đại lượng liên hợp + Phương trình nhẩm được nghiệm hữu tỉ. + Phương trình chứa nhiều căn thức cùng bậc. + Phương trình chứa cả căn bậc hai và căn bậc ba. Ví dụ 1. Giải phương trình 3x 1 2x x 4 5 . Phân tích và lời giải Nhận thấy 3x 1 x 4 2x 5 và 3x 1 x 4 0 với x 4 , do đó ta thực hiện 2x 5 phép biến đổi 3x 1 x 4 để làm xuất hiện nhân tử chung 2x 5 3x 1 x 4 Từ đó ta có lời giải như sau Điều kiện xác định của phương trình x 4 . Ta có 3x 1 2x x 4 5 3x 1 x 4 2x 5 0 2x 5 1 2x 5 0 2x 5 1 0 3x 1 x 4 3x 1 x 4 1 Dễ thấy với x 4 thì 1 0 . 3x 1 x 4 5 Do đó từ phương trình trên ta được 2x 5 0 x , không thỏa mãn điều kiện xác định. 2
9. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 1 3x 5 x . Phân tích và lời giải Nhận thấy x 1 3x 5 3x 5 x 1 2 x 2 , do đó nếu ta thực hiện nhân liên x 1 3x 5 3x 5 x 1 hợp kiểu x 1 3x 5 2 x 2 thì phương trình sẽ có 3x 5 x 1 nhân tử chung là x 2 . Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh ở đây là lương liên hợp ta nhân vào chưa đảm bảo khác 0. Để khắc phục vấn đề này ta có thể xét hai trường hợp 3x 5 x 1 0 và 3x 5 x 1 0 . Nhưng thay vì thực hiện cách khác phục như trên ta có thể biến đổi theo cách ngược lại đó là 2 x 2 x 1 3x 5 3x 5 x 1 . Điều kiện xác định của phương trình là 3x 5 . Phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 2 3x 5 x 1 0 x 1 3x 5 3x 5 x 1 2 3x 3 x 1 0 3x 5 x 1 0 3x 3 x 1 3x 5 x 1 2 0 3x 5 x 1 2 0 3x 5 0 Với 3x 5 x 1 0 , hệ vô nghiệm. x 1 0 Với 3x 5 x 1 2 , biến đổi phương trình ta được x 4 3x 5 x 1 2 x 4 2 x 1 2 x 10 x 12x 20 0 Kết hợp điều kiện xác định ta được nghiệm của phương trình là x 10 . Chú ý: Một số kỹ thuật xử lý sau nhân lượng liên hợp Để giải bài toán phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dung đại lương liên hợp ta thường biến đổi phương trình về dạng hoặc 2 . Vấn để nay sinh x x0 .A x 0 ax bx c .A x 0 sau khi nhân lương liện hợp đó là xử lý phương trình A x 0 bằng cách nào. Thông thường thì phương trình A x 0 vô nghiệm. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh được A x 0 hoặc A x 0 . Tuy nhiên biểu thức A x thường rất phức tạp và các đại lượng trong A x không phải khi nào cũng cùng dấu. Để giải quyết hiểu vấn đề này ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau. Ví dụ. Giải phương trình 2x2 7x 10 x x2 12x 10 Phân tích và lời giải Nhẩm được x 0 là một nghiệm của phương trình nên ta dự đoán nhân tử chung khi phân tích phương trình là x và lại thấy 2x2 7x 10 x2 12x 10 x2 5x x x 5 do đó ta sẽ nhân lượng liên hợp để giải phương trinh. Để ý rằng 2x2 7x 10 x2 12x 10 0 . Do đó ta có lời giải như sau. 2x2 7x 10 0 x 6 26 Điều kiện xác định của phương trình là . 2 x 12x 10 0 x 6 26 Phương trình đã cho tương đương với
10. 2x2 7x 10 x2 12x 10 x 2x2 7x 10 x2 12x 10 2x2 7x 10 x2 12x 10 x 2x2 7x 10 x2 12x 10 2x2 7x 10 x2 12x 10 x x 5 x x 2x2 7x 10 x2 12x 10 2x2 7x 10 x2 12x 10 x 0 x 5 1 2x2 7x 10 x2 12x 10 x 5 Với 1 ta được 2x2 7x 10 x2 12x 10 x 5 2x2 7x 10 x2 12x 10 2x2 7x 10 x2 12x 10 x Kết hợp với phương trình đã cho ta được . 2 2 2x 7x 10 x 12x 10 x 5 12 129 Từ hệ phương trình trên ta được 2 x2 12x 10 5 x 2 12 129 12 129  Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm là S 0; ;  2 2  Nhận xét. Trong ví dụ trên, phương trình P x 0 sau khi nhân lượng liên hợp là một phương trình phức tạp. Tuy nhiên để ý ta ghép P x 0 với phương trình ban đầu cho ta một hệ phương trình mà ta gọi là hệ tạm. Việc đưa phương trình về hệ tạm thực chất là sử dụng phương trình hệ quả, do đó sau khi giải được các nghiệm cần phải thử lại vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận tập nghiệm. Một vấn đề đặt ra là khi nào ta sử dụng hệ tạm sau phép nhân liên hợp. Thông thường thì với phương trình có dạng f x g x ax b . Một điều cần lưu ý đó là khi nhân lượng liên hợp ta cần đảm bảo mẫu các biểu thức phải khác 0. 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ là phương pháp vô cùng quan trọng, bởi có đôi lúc khi gặp các phương trình vô tỷ mà ta không thể sử dụng được phép nâng lên lũy thừa vì có thể không giải được hoặc là giải được nhưng quá rắc rối. Khi đó ẩn phụ hóa phương trình là một giải pháp giúp cho lời giản gọn hơn. Tuy nhiên ngoài những dạng phương trình cụ thể có thể ẩn phụ hóa thì cũng có những dạng phương trình cần phải xem xét biến đổi sao cho có thể ẩn phụ hóa một cách hợp lý nhất. Ngoài ra khi biến đổi phương trình để ẩn phụ hóa thì phải đưa phương trình về dạng giải được. Một số kinh nghiệm khi giải phương trình bằng phương pháp đặt ản phụ là: Phương trình có sự lặp đi lặp lại của các đại lượng, phương trình có các đại lượng có mối liên hệ đặc biệt, các phương trình chứa căn nhưng có dạng đặc biệt như phương trình bạc hai hoặc phương trình đẳng cấp. Một số kỹ thuật sử dụng ẩn phụ cho phương trình vô tỷ. Đặt một ẩn phụ đưa phương trình về dạng phương trình một ẩn Ví dụ. Giải phương trình 2x2 x2 x 2 2x 7 . Phân tích và lời giải
11. Quan sát phương trình ta nhận thấy phương trình có dạng cơ bản, do đó ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình. Tuy nhiên phương trình nhận được lại có bậc bốn trong khi ta không nhẩm được nghiệm đẹp nên việc xử lý rất khó khăn. Một ý tưởng được đưa ra đó là đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng phương trình đa thức có bậc không quá 3. Để ý phương trình đã cho ta chú ý đến biến đổi x2 2x 7 2 x2 x 2 3 . Do đó nếu đặt ẩn phụ t x2 x 2 thì ta đưa phương trình về dạng 2t2 t 3 0 . Đến đây thì ta có thể giải quyết được phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là x2 x 2 0 . Phương trình đã cho tương đương với 2 x2 x 2 x2 x 2 3 0 . Đặt t x2 x 2 0 , khi đó phương trình trở thành 2t2 t 3 0 t 1 (do t 0 ) 1 13 Từ đó ta được x2 x 1 1 x2 x 2 0 x . 2 1 13 1 13  Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm S ;  . 2 2  Nhận xét. Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát là af x b f x c 0 a 0 . Các bước giải phương trình trên là + Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình: f x 0 + Bước 2: Đặt t f x 0 và đưa phương trình về dạng at2 bt c 0 a 0 . + Bước 3: Xử lý phương trình at2 bt c 0 a 0 với điều kiện t 0 . + Bước 4: Thay vào phương trình t f x để tìm nghiệm và kết luận. Đặt nhiều ẩn phụ đưa phương trình về phương trình tích. Ví dụ . Giải phương trình 2x2 6x 3 2 x 2 x x 2 0 . Phân tích và lời giải Phương trình có chứa một căn bậc và chú ý đến các hệ số thì ta nhận thấy sau khi chuyển vế và nâng lên lũy thừa thì ta thu được một phương trình bậc ba. Tuy nhiên để ý ta thấy nếu đặt ẩn phụ a x 2 và b x x 2 thì ta được a2 b2 2x2 6x 4 , điều này dẫn đến phương trình đã 2 cho được viết lại thành a2 b2 2ab 1 0 a b 1 . Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là x x 2 0 . Đặt a x 2; b x x 2 b 0 Khi đó ta có a2 b2 2x2 6x 4 . 2 Phương trình đã cho được viết lại thành a2 b2 2ab 1 0 a b 1 a b 1 . x 3 9 Với a b 1 ta được x 2 x x 2 1 x 2 2 x 2x 3 x 4 x 1 Với a b 1 ta được x 2 x x 2 1 x2 2x 1 x (hệ vô 2 2 x 2x 1 x nghiệm). 9 Kết hợp với điều kiện xác định ta được x là nghiệm duy nhất ủa phương trình. 4
12. Chú ý Với một số phương trình vô tỷ có thể phân tích được thành tích nhưng quá trình biến đổi phương trình gặp quá nhiều phức tạp, khi đó thì đặt ẩn phụ để đưa phương trình về phương trình tích là một giải pháp hoàn toàn hợp lý. Ta có thể đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ hay nhiều hơn nữa ẩn phụ nhưng mục đích chính vẫn là phân tích phương trình thành phương trình tích. Trong qua trình ẩn phụ hóa đưa phương trình về dạng tích ta cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức đáng như và cả kỹ năng sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Ví dụ. Giải phương trình x2 5x 2x 4 8x 12 0 . Phân tích tìm lời giải Quan sát ta thấy phương trình chỉ chứa một dấu căn nên ta có thể chuyển về phương trình dạng cơ bản và sử dụng phép nâng lên lũy thừa. Tuy nhiên phương trình nhận được lại có bậc 4 và lại không nhẩmđược nghiệm đẹp nên ý tưởng này không khả thi lắm. Để ý mỗi liên hệ giữa các biểu thức ta nhận thấy 8x 12 4 2x 3 , như vậy nếu đặt y 2x 3 thì ta đưa được phương trình về dạng hai ẩn đồng bậc là x2 5xy 4y2 0 . Phương trình này dễ dàng phân tích được thành tích nên ta có lời giải như sau. Lời giải 3 Điều kiện xác định của phương trình là 2x 3 0 x . 2 Phương trình đã cho tương đương với x2 5x 2x 3 4 2x 3 0 . Đặt y 2x 3 0 , khi đó ta có phương trình 2 2 x y x 5xy 4y 0 x y x 4y 0 x 4y x 0 x 0 Với ta được , vô nghiệm. x y x 2x 3 2 2 x 2x 3 x 2x 3 0 x 0 Với ta được . x 4y x 4 2x 3 2 x 16 4 13 x 32x 48 0 Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S 16 4 13;16 4 13 . Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng dạng II. 4x 2 Ví dụ 1. Giải phương trình 5x2 2 4 . 5 Phân tích tìm lời giải Phương trình có dạng cơ bản nên ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để làm mất dấu căn, tuy nhiên sau phép nâng lên lũy thừa thì phương trình thu được là phương trình bậc bốn mà ta lại không nhẩm được nghiệm đẹp, do đó ý tưởng nâng lên lũy thừa không khả thi. Để đơn giản hóa 4x 2 phương trình ta có thể đặt ẩn phụ y , khi đó phương trình có dạng 5x2 2 4y . Muốn 5 giải được phương trình thì ta cần có thêm một phương trình nữa để tạo thành hệ. Chú ý từ cách đặt 5x2 2 4y ta có 2 hay ta được 2 . Từ đó ta có hệ phương trình , đây là hệ 5y 4x 2 5y 2 4x 2 5y 2 4x phương trình đối xứng dạng 2 nên ta có thể giải được. Lời giải
13. 1 Điều kiện xác định của phương trình là x . 2 4x 2 Đặt y y 0 , khi đó ta có phương trình 5y2 4x 2 hay ta được 5y2 2 4x . 5 Phương trình đã cho trở thành 5x2 2 4y . 5x2 2 4y Kết hợp hai phương trình ta được hệ phương trình . 2 5y 2 4x Lấy hiệu theo vế hai phương trình ta được 5x2 5y2 4y 4x x y 5x 5y 4 0 . 1 Do x và y 0 nên ta có 5x 5y 4 0 . Suy ra từ phương trình trên ta được x y . 2 4x 2 x 0 x 0 Do đó , vô nghiệm. x 2 2 5 5x 4x 2 5x 4x 1 0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét. Chú ý ta viết lại được phương trình 25x2 10 4 20x 10 , đến đây ta nghĩ tới phân tích phương trình thành tích. Chú ý đến tích 4 20x 10 ta viết phương trình về thành 2 2 25x2 20x 4 20x 10 4 20x 10 4 5x 2 20x 10 2 Đến đây ta được 5x 2 20x 10 2 5x 20x 10 , phương trình vô nghiệm. Đặt nhiều ẩn phụ đưa phương trình về phương trình giải được. Ví dụ 1. Giải phương trình x 3 3x 1 5x 1 5 x Phân tích và lời giải Phương trình đã cho có bốn căn thức bậc hai và các biểu thức dưới dấu căn đều có bậc một do đó ta nghĩ đến phép nâng lên lũy thừa. Sau hai lần nâng lên lũy thừa thì ta thu được một phương trình bậc hai. Tuy nhiên để ý phương trình ta nhận thấy 2 2 2 2 x 3 3x 5 5x 1 5 x , khi đó nếu đặt a x 3; b 3x 1;c 5x 1;d 5 x thì ta thu được một hệ phương trình a b c d 2 2 2 2 ab cd a b c d Hay ta được x 3 3x 1 5x 1 5 x , đến đây ta giải được phương trình. 1 Điều kiện xác định của phương trình là x 5 . 5 Đặt a x 3; b 3x 1;c 5x 1;d 5 x . Khi đó ta được a2 b2 c2 d2 . Phương trình đã cho trở thành a b c d a2 b2 2ab c2 d2 2cd . Kết hợp với a2 b2 c2 d2 ta được 2ab 2cd ab cd . Như vậy ta được x 3 3x 1 5x 1 5 x 3x2 10x 3 5x2 26x 5 x 1 Thử lại ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho. Nhận xét. Sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa.Phương trình đã cho tương đương với
14. 2 2 x 3 3x 1 5x 1 5 x 4x 4 2 x 3 3x 1 4x 4 2 5x 1 5 x 3x2 10x 3 5x2 26x 5 8x2 16x 8 0 x 1 Thử lại ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho. TỔNG KẾT Với các kỹ thuật đặt ẩn phụ nêu trên giúp chúng ta đưa các bài toán tương đối phức tạp về bài toán đơn giản hơn, quen thuộc và dễ giải hơn. Điều đó giúp cho ta có ý tưởng có thể tiếp cận các bài toán phức tạp hơn các bài toán trên bằng cách đặt ẩn số phụ. Cũng cần lưu ý rằng nếu đặt ẩn số phụ phải đưa về bài toán đơn giản hơn thì cách làm mới có ý nghĩa. Các kỹ thuật đặt ẩn phụ trên cho ta thấy sự đa dạng trong cách ẩn phụ hóa để biến phương trình vô tỷ về dạng đơn giản nhất. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ phù hợp cho bài toán phụ thuộc vào lối tư duy linh hoạt và phân tích kỹ các mối liên hệ bản chất trong phương trình. Các bài toán trên giúp ta thấy được sự đa dạng của việc đặt ẩn phụ. 3. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Có một lớp các phương trình vô tỷ khi giải bằng các phương pháp khác thường rất dài dòng và rắc rối, cũng có khi các phương pháp đó không thể xử lý được bài toán. Khi đó phương pháp đánh giá sẽ được tính đến. Phương trình giải bằng phương pháp đánh giá thường có những dấu hiệu đặc biệt như khi chia khoảng xác định mà ta gọi là làm chặt miền nghiệm thì thu được những điều vô lý, hay khi dấu hiệu nằm ở hình thức phương trình gợi cho ta hình ảnh của các hằng đẳng thức, cũng có khi phương trình nhẩm được nghiệm đẹp nhưng lại không thể xử lý được bằng các phương pháp trước đó. Phương trình giải bằng phương pháp đánh giá thường có lời giải đẹp, bất ngờ và có lối tư duy linh hoạt. Một số kỹ năng đánh giá phương trình vô tỷ Kỹ năng làn chặt miền nghiệm để đánh giá. Kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức đưa phương tình về dạng A2m B2n C2k 0 , trong đó các số m,n,k N* . Kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Sau đây ta đi tìm hiểu các kỹ năng đánh giá phương trình vô tỷ qua các ví dụ sau. Làm chặt miền nghiệm để đánh giá phương trình vô tỷ. Giả sử ta viết phương trình đã cho về dạng f x k , khi đó ta có các đánh giá như sau. Với x x0 khi đó f x f x0 k , do đó x0 là nghiệm Với x x0 khi đó f x f x0 k , do đó phương trình vô nghiệm Với x x0 khi đó f x f x0 k , do đó phương trình vô nghiệm Vậy x x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 1. Giải phương trình 3 4 7x 15 x 2x . Phân tích và lời giải Phương trình có điểm đặc biệt là chứa hai căn thực bậc lệch nhau trong đó có một căn thức bậc bốn, do đó ta không thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa hay phương pháp nhân liên hợp dù ta nhẩm được x 3 là một nghiệm. Ta cũng không thể sử dụng phép đặt ẩn phụ và cũng không phân tích được thành tích. Do đó ta tính đến sử dụng phương pháp đánh giá. x 3 Do x 3 là một nghiệm của phương trình nên khi đó ta có . 4 7x 15 2x Ta viết lại phương trình thành 3 x 4 7x 15 2x 0 * . Ta thấy
15. 3 x 0 0 x 3 0 x 3 4 7x 15 2x x 3 4x 5 0 x 3 3 x 0 x 3 4x 5 0 x 3 . 4 7x 15 2x x 0 Như vậy + Nếu 0 x 3 thì ta có 3 x 4 7x 15 2x 0 hay phương trình * vô nghiệm. + Nếu x 3 thì ta có 3 x 4 7x 15 2x 0 hay phương trình * vô nghiệm. Đến đây ta có lời giải cho phương trình. Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là x 0 . Phương trình đã cho tương đương với 3 x 4 7x 15 2x 0 * + Nhận thấy x 3 là một nghiệm của phương trình * . + Ta xét các hệ điều kiện sau 3 x 0 0 x 3 0 x 3 4 7x 15 2x x 3 4x 5 0 x 3 3 x 0 x 3 4x 5 0 x 3 . 4 7x 15 2x x 0 Từ đó ta được Nếu 0 x 3 thì ta có 3 x 4 7x 15 2x 0 hay phương trình * vô nghiệm. Nếu x 3 thì ta có 3 x 4 7x 15 2x 0 hay phương trình * vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 3 . Chú ý. Với kỹ năng làm chặt miền nghiệm ta có thể đánh giá đánh giá được một phương trình vô nghiệm trên một khoảng nào đó thuộc tập xác định. Bản chất của vấn đề là đánh giá VT V P hoặc VT VP trên khoảng xác định đó. Trong một số trường hợp các đánh giá trên chưa đúng thì ta có thể sử dụng đễn điều kiện có nghiệm của phương trình để làm chặt hơn nữa khoảng đánh giá. Kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức đưa phương trình về dạng tổng các lũy thừa bậc chẵn. Khi ta viết được phương trình về dạng A2 B2 0 , do luôn có A2 0; B2 0 nên từ phương trình đó ta suy ra được A B 0 . Tuy nhiên để viết được phương về dạng như trên ta cần 2 cử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ a b a2 2ab b2 và việc phát hiện ra hằng đẳng thức chính là nhờ vào đại lương trong phương trình có dạng 2ab . Ví dụ . Giải phương trình 2 4x 3 5x2 6x 3 . Phân tích và lời giải Phương trình được viết lại thành 5x2 6x 3 2 4x 3 . Để ý đến hạng tử 2 4x 3 ta viết thành dạng bình phương của một hiệu. Khi đó ta viết phương trình về dạng 4x 3 2 4x 3 1 5x2 10x 5 0 2 2 Hay ta được 5 x 1 4x 3 1 0 . Đến đây ta giải được phương trình đã cho Lời giải
16. 3 Điều kiện xác định của phương trình là x . Phương trình đã cho tương đương với 4 2 2 5x2 10x 5 4x 3 2 4x 3 1 0 5 x 1 4x 3 1 0 2 . 5 x 1 0 x 1 0 2 x 1 4x 3 1 0 4x 3 1 0 Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét. Bản chất của phương trình trên chính là 5a2 b2 0 trong đó a x 1; b 4x 3 1 . Kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. a. Bất đẳng thức Cauchy. Dạng tổng quát. Cho x1 ,x2 ,x3 , ,xn là các số thực không âm ta có: x x x Dạng 1: 1 2 n n x .x x n 1 2 n n Dạng 2: x1 x2 xn n. x1.x2 xn n x1 x2 xn Dạng 3: x1.x2 xn n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 xn Một số dạng đặc biệt n n 2 n 3 Điều kiện x, y 0 x, y, z 0 x y x y z Dạng 1 xy 3 xyz 2 3 2 3 x y x y z Dạng 2 xy xyz 2 3 1 1 1 1 1 x y 4 x y z 9 Dạng 3 x y x y z x, y 0 x, y, z 0 Đẳng thức xẩy x y x y z ra b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Dạng tổng quát Cho hai dãy số tùy ý a1 ; a2 ; a3 ; ; an và b1 ; b2 ; b3 ; ; bn . Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 Dạng 1: a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2 b2 an bn 2 2 2 2 2 2 Dạng 2: a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2 b2 an bn a a a Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 1 2 n b1 b2 bn 2 2 2 2 2 2 Dạng 3: a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2 b2 an bn
17. a a a Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 1 2 n 0 b1 b2 bn Một số dạng đặc biệt n 2 n 3 2 2 a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz a b a b c Đẳng thức xẩy ra Đẳng thức xẩy ra x y x y z c. Một số bất đẳng thức khác. 2 + x2 y2 2xy; 2 x2 y2 x y ; 2 x y x y 2 3 x y + x2 y2 xy 4 + x2 y2 z2 xy yz zx 2 + 3 x2 y2 z2 x y z 3 xy yz zx Thông thường các phương trình vô tỷ áp dụng các bất đẳng thức kinh điển thương là dành cho đối tượng học sinh giỏi, nó dựa trên kiến thức về vốn có và kinh nghiệm xử lý các bất đẳng thức của học sinh. Trong nội dung này chúng tôi trình bày các ví dụ với mức đội từ dễ đến khó để các em có thể hiểu kỹ hơn về kỹ năng sử dụng bất đẳng thức trong giải phương trình vô tỷ. Ví dụ . Giải phương trình x 2 10 x x2 12x 40 . Phân tích và lời giải 2 Để ý vế phải của phương trình ta thấy x2 12x 40 x 6 4 4 . Như vậy nếu đánh giá được vế trái x 2 10 x 4 thì xem như phương trình được giải. Thử một vài giá tri đặc biệt ta thấy phương trình có nghiệm là x 6 . Khi đó ta thấy x 2 10 x 2 và để ý đến chiều bất đẳng thức cần đánh giá ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy hoặc Bunhiacopxki. + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 4 x 2 x 2 x 2 4. x 2 2 4 4 x 2 10 x 4 1 4 10 x 14 x 10 x 4 10 x 2 4 4 + Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 x 2 10 x 12 12 x 2 10 x 16 x 2 10 x 4 Đến đây ta có lời giải cho phương trình như sau Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là 2 x 10 . + Lời giải 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có x 2 .4 10 x .4 x 2 4 10 x 4 x 2 10 x 4 2 2 4 4
18. x 2 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 6 . 10 x 4 2 Mà x2 12x 40 x2 12x 36 4 x 6 4 4 , dấu bàng xẩy ra khi x 6 . x 2 10 x 4 Từ đó ta được . 2 x 12x 40 4 Như vậy để phương trình xẩy ta thì các bất đẳng thức đồng thời xẩy ra dấu bằng. Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra được x 6 là nghiệm duy nhất của phương trình. + Lời giải 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 x 2 10 x 12 12 x 2 10 x 16 x 2 10 x 4 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x 2 10 x x 6 . 2 Mà x2 12x 40 x2 12x 36 4 x 6 4 4 , dấu bàng xẩy ra khi x 6 . x 2 10 x 4 Từ đó ta được . 2 x 12x 40 4 Như vậy để phương trình xẩy ta thì các bất đẳng thức đồng thời xẩy ra dấu bằng. Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra được x 6 là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét. Ta sử dụng bổ đề sau để giải phương trình: Với a 0; b 0 , ta luôn có 2 2 2 a b a b a b a b a b 2 a2 b2 Áp dụng bổ đề trên ta được x 2 10 x 2 x 2 10 x 4 . Đến đây trình bày lời giải hoàn toàn như hai lời giải trên. TỔNG KẾT Qua các ví dụ trên ta thấy được những phân tích cần có và những chủ đích tư duy thường gặp nhất khi giải phương trình bằng phương pháp đánh giá. Mặt khác cũng qua các ví dụ đó ta thấy được sức mạnh của phương pháp đánh giá trong giải phương trình vô tỷ. Tuy nhiên với một phương trình vô tỷ ta thường chọn các phương pháp khác để xử lý thay vì phương pháp đánh giá. Với những phương trình có cấu trúc thực sự đặc biệt khi đó ta mới thường nghĩ đến đánh giá để xử lý bài toán. 4. BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: 2 2 a) x 1 x 1 b) x 2x 1 x 4x 4 3 Bài 2. Giải phương trình 3x 1 x 7 x . Bài 3. Giải phương trình x 3 3x 1 4 . Bài 4. Giải phương trình x 1 x 4 3 . Bài 5. Giải phương trình x 3 2 x 2 3x 1 . Bài 6. Giải phương trình x 10 x 4 . Bài 7. Giải phương trình 3x 15 3x 8x 5 . Bài 8. Giải phương trình . 4 x 6 x x2 2x 12 Bài 9. Giải phương trình: x 2 5 2x 1 6 x . Bài 10. Giải phương trình x 1 1 5 x 2x . Bài 11. Giải phương trình x 1 5x 4x 3 2x 4 .
19. Bài 12. Giải phương trình 3 x2 6 8 x3 1 3 . Bài 13. Giải phương trình 5 1 x3 2 x2 2 . Bài 14. Giải phương trình x 2x 2 5x 9 . Bài 15. Giải phương trình x 1 4x 1 4 . Bài 16. Giải phương trình x 1 2 x2 4 x2 x 2 . Bài 17. Giải phương trình x x 11 x x 11 4 . Bài 18. Giải phương trình x 1 1 x x 8 . Bài 19. Giải phương trình x2 2x 6 x2 x 2 1 . Bài 20. Giải phương trình x2 8 x2 3x 6 5 . Bài 21. Giải phương trình x2 2x x2 4x 3x2 x . Bài 22. Giải phương trình x2 x x2 3x 2 x2 . x 3 Bài 23. Giải phương trình 2 x2 9 x 5 . x 3 Bài 24. Giải phương trình x x 1 x x 2 2 x2 . 3 4 5 Bài 25. Giải phương trình 2 2 . x2 x x Bài 26. Giải phương trình 2x 1 x2 3x 1 0 . Bài 27. Giải phương trình x2 x 1 1 . Bài 28. Giải phương trình x 4 1 x 1 2x . Bài 29. Giải phương trình x 2 3 x2 4 0 . Bài 30. Giải phương trình . 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 6 Bài 31. Giải phương trình . 4x2 3 2 x 3x2 1 2 2 Bài 33. Giải phương trình . x x 9 x 1 x x2 1 Bài 34. Giải phương trình . 3 1 x2 1 x2 Bài 35. Giải phương trình .4x2 8x2 6x 10 4x 10 2 2 x 16 7 x Bài 36. Giải phương trình . x 3 x 3 x 3 x x Bài 37. Giải phương trình . 1 1 2 x2 x 1 x3 1 Bài 38. Giải phương trình . 2 x 1 2 x 1 x2 x 1 2x 1 Bài 39. Giải phương trình . x3 3x2 2x 3 x x3 2x2 1 Bài 40. Giải phương trình . x3 2x2 2x 12 2 x 1 x3 8x 2
20. Bài 41. Giải phương trình .x2 2 x2 2 x 4 2 x2 2 Bài 42. Giải phương trình 3 x 2 3 7 x 3 . Bài 43. Giải phương trình 3 x 3 3 5 x 2 . Bài 44. Giải phương trình 3 x 1 3 x 1 3 5x . Bài 45. Giải phương trình .3 2x2 3x 2 3 3x2 5x 3 x2 2x 2 Bài 46. Giải phương trình .3 x 2 3 x2 3x 5 3 x2 4x 4 1 Bài 47. Giải phương trình .x 3 3x2 x 3 3 6x2 12x 4 3 2x3 3x2 x 1 2 Bài 48. Giải phương trình .x 3 x3 3x2 3x 1 3 2x3 3x2 3x 9 2 Bài 49. Giải phương trình .2 x2 3x 1 x 2 x3 4x2 2x 1 Bài 50 . Giải phương trình .x3 7x 12 3x 3 9 3 x 2x2 Bài 51. Giải phương trình x2 2x x 5 3 . Bài 52. Giải phương trình .x3 2x2 5x 2 x 2 3 x3 2 6x 8 Bài 53. Giải phương trình .1 x2 7x 2x4 14x3 x2 7x 2x2 1 Bài 54. Giải phương trình .1 3 x 1 3 x3 3x 1 3 1 2x 3x2 x3 x4 Bài 55. Giải phương trình .2 3x2 2x 1 3 3x 1 6 x 1 Bài 56. Giải phương trình . 2x2 x 3 2 x 2 x2 x 2 2 2x 3 3 Bài 57. Giải phương trình .2 x 1 3 2x 3 3 2 2x2 5x 3 3x 3 2 x Bài 58. Giải phương trình . x 3 4 2 x2 x 2 x 1 x 1 Bài 59. Giải phương trình .x 2x 3 3 x 5 1 3x 2x2 13x 15 2x 3 Bài 60. Giải phương trình .2x2 3x 1 2x 1 2x 3 x 1 x 1 2x2 5x 3 0 Bài 61. Giải phương trình .3x2 x 2 2 3x 3x 2 x 1 x 2 3x2 8x 4 Bài 62. Giải phương trình .13x 17 4 x 1 6 x 2 1 2 x 1 Bài 63. Giải phương trình .6 4x 3 2x2 19x 14 2x 1 Bài 64. Giải phương trình .x2 3x 4 x2 4x 2 x 1 Bài 65. Giải phương trình .x2 2x 2x x 3 x 2 7 x Bài 66. Giải phương trình . 2 2x 12 4 x 2x 12 2 x 7 3 13 2 Bài 67. Giải phương trình . 2 2x 1 4 x2 7 4 2x 1 x 2x 1 3 0 Bài 68. Giải phương trình 6x3 25x 8x 2 4x2 23x 10 2x 1 . 3 Bài 69. Giải phương trình 2x 1 x3 3 x 1 2x 1 x 2 .
21. 4x x 1 Bài 70. Giải phương trình .x2 x 5 x x 1 3x 2x 1 Bài 71. Giải phương trình .x3 2x 1 2x 1 1 x 2x 1 Bài 72. Giải phương trình 3 x 6 x 1 x2 1 Bài 73. Giải phương trình x2 2x 5 2 4x 5 x3 2x2 5x 4 . Bài 74. Giải phương trình 5x 3 x 1 2 x2 3 x2 3 3x2 5 . Bài 75. Giải phương trình x2 x 18 2x 9 x 3 2 5x 1 0 . Bài 76. Giải phương trình x 1 x 2 x 6 x 7 x2 7x 12 Bài 77. Giải phương trình x3 2x2 6x 1 2 x2 x 1 x 1 3x 1 Bài 80. Giải phương trình 4 x 1 3 x2 13 x 1 8 x 4 x 1 3 0 . PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài 1. Giải phương trình x2 x 2 2 x2 x 1 . Bài 2. Giải phương trình.x2 x2 2x 19 2x 39 2 x x 4 Bài 3. Giải phương trình 2 1 0 x 4 2 x 2 Bài 4. Giải phương trình 2x 1 12 x2 x 2 1 Bài 5. Giải phương trình 2x 1 3 4x2 2x 1 3 8x3 1 Bài 6. Giải phương trình x2 8x 3 2 x 8 x 2 Bài 7. Giải phương trình x 1 2 x2 2x 4 0 5x Bài 8. Giải phương trình 5x 9 3 5x 4 Bài 9. Giải phương trình 5x2 10x 1 7 x2 2x Bài 10. Giải phương trình x2 2x 2 x2 2x 1 2x2 4x 4 0 Bài 11. Giải phương trình 2 1 x x2 2x 1 x2 2x 1 Bài 12. Giải phương trình 3 24 x 12 x 6 Bài 13. Giải phương trình x 5 2 4 x 2x 2 4 4 x 2x 2 Bài 14. Giải phương trình x2 5x 8 3 2x3 5x2 7x 6 Bài 15. Giải phương trình x2 x 1 x2 9x 9 2x Bài 16. Giải phương trình x 6 x 2 1 x2 4x 12 8 . Bài 17. Giải phương trình 1 x 1 x 2 2 1 x2 8 2 Bài 18. Giải phương trình 3 2x x2 1 x 1 3 x
22. 2 Bài 19. Giải phương trình x 4 6 x2 3x 13 Bài 20. Giải phương trình 2 1 x2 x 1 x x 1 Bài 21. Giải phương trình x 1 2x2 2x 2x2 – 3x – 2 Bài 22. Giải phương trình x2 x 4 2 x 1 1 x Bài 23. Giải phương trình 2x 3 4x2 9x 2 2 x 2 4x 1 9 2x Bài 24. Giải phương trình 2 1 0 x 2x2 9 Bài 25. Giải phương trình 2x 1 1 2x2 2 x x2 Bài 26. Giải phương trình x2 4x 12 2x 4 x 1 Bài 27. Giải phương trình 5 x3 1 2 x2 2 Bài 28. Giải phương trình x 3 8 x 11x x2 24 1. Bài 29. Giải phương trình x 9 2012 x 6 2012 x 9 x 6 Bài 30. Giải phương trình 14 x 35 6 x 1 84 x2 36x 35 Bài 31. Giải phương trình x 3 6 x x 3 6 x 3 Bài 32. Giải phương trình 3 x 2 x 1 3 . Bài 33. Giải phương trình x2 2x 3 x2 3x 3 x . Bài 34. Giải phương trình 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3 . Bài 35. Cho phương trình 5x2 x 5 5 x4 x2 1 Bài 36. Giải phương trình 2x2 x 1 4x4 1 Bài 37. Giải phương trình 3x2 4x 23 3 x4 8x 63 Bài 38. Giải phương trình x2 5x 2 4 x3 8 . Bài 39. Giải phương trình 2x 1 2 2 x 3 4 2x 1 2 x Bài 40. Giải phương trình 3 3x 2 4 4x 3 7 4 12x2 17x 6 . 2 2 Bài 41. Giải phương trình 4 3 2x 1 3 3 1 2x 8 3 4x2 1 Bài 42. Giải phương trình 5x2 11x 2 2 x3 4x Bài 43. Giải phương trình x 1 2x 1 3x2 8x 4 Bài 44. Giải phương trình x 1 2x 3 5x2 12x 8 x x2 2x 3 Bài 45. Giải phương trình 1 4x2 2x 3 Bài 46. Giải phương trình 1 x2 1 2x 2 14x2 12x 1 Bài 47. Giải phương trình x2 2 x2 1 3 3x4 2x2 2 Bài 48. Giải phương trình 3 2x2 x 5x3 13x2 4x 10 x3 3x2 x 2 Bài 49. Giải phương trình 2 x3 x 2 x3 2x 2 x3 5x 14 Bài 50. Giải phương trình 2 3 x 1 3 x 1 6 x2 1 Bài 51. Giải phương trình 2 3 x 1 2 3 x 1 5 6 x2 1
23. Bài 52. Giải phương trình 5x2 24x 28 5 x 2 x2 x 20 Bài 53. Giải phương trình 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 Bài 54. Giải phương trình 2x2 3x 2 18x2 16x 39 5 x 1 Bài 55. Giải phương trình 3x2 11x 27 x2 1 3 x 2 Bài 56. Giải phương trình 3 x 1 x2 4 3x2 19x 1 Bài 57. Giải phương trình 5x2 21x 27 5 x 2 x2 2x 3 Bài 58. Giải phương trình x3 2x2 7x 6 x x3 1 Bài 59. Giải phương trình x3 2x2 32x 17 x3 2x 4 x 3 Bài 60. Giải phương trình x8 14x4 1 x4 12x2 1 Bài 61. Giải phương trình 2 2x2 13 x x 5 4x2 21 7 Bài 62. Giải phương trình 3 x 2x2 2 x2 5 x x 2 1 Bài 63. Giải phương trình 3x x2 1 3 x Bài 64. Giải phương trình 5x2 4x 3 x x 3 5x2 4x . Bài 65. Giải phương trình 7x2 5 x 7x2 2 x 3 Bài 66. Giải phương trình x2 14 x 3 2x x2 8 4x2 1 x 1 Bài 67. Giải phương trình x 6x 1 2x 1 8x2 5 4x2 3 Bài 68. Giải phương trình 3 x 3x 2 x3 14 x3 3x 4 Bài 69. Giải phương trình 2 3 2 x 1 x 1 x 15 x 21 Bài 70. Giải phương trình 2 2 2 x 2x 2 3 x 1 11 3x 2 2 3x 2 2x 1 1 Bài 71. Giải phương trình 3 2x 1 2 2x 1 x x x 3 Bài 72. Giải phương trình 4x 3 1 3 4x 3 x 2 x2 1 4 3x 1 3 x 1 Bài 73. Giải phương trình 2 3x 1 3x 1 3x 1 3 x2 Bài 74. Giải phương trình 8 3 x 2 x 4 3 x Bài 75. Giải phương trình 2x 3 x 1 x 2 Bài 76. Giải phương trình 3 3x 2 2 3 2x 1 1
24. Bài 77. Giải phương trình 3 14x 6 3 3x 2 3 2x 1 Bài 78. Giải phương trình 3 4 6x 1 3 3x 7 3 3x 1 Bài 79. Giải phương trình 4 3 x 4 x 14 3 Bài 80. Giải phương trình 4 2x 1 4 15x 1 3 4 x Bài 81. Giải phương trình 4 7x2 2x 13 4 x 3 4 8 3x x2 Bài 82. Giải phương trình x 1 4 x2 2x 5 2 4 x2 3 Bài 83. Giải phương trình 2 x x 5 2x x2 7 Bài 84. Giải phương trình x 5 x2 3x 5 x2 9 35 x Bài 85. Giải phương trình 25 x2 3x 1 Bài 85. Giải phương trình 4x 5 4 4x 5 1 x 3 1 x Bài 87. Giải phương trình 5 1 4x 2 25x 4 1 4x 25x 4 11 2 2 Bài 88. Giải phương trình 3 14 x 3 14 x 3 196 x2 7 2 2 Bài 89. Giải phương trình 3 3x 2 3 11 3x 3 3x 2 11 3x 3 2 Bài 90. Giải phương trình 3 3x 2 3 4 3x 3 3x 2 4 3x 2 Bài 91. Giải phương trình 3 x 6 x 1 3 x 6 3 x 1 8 Bài 92. Giải phương trình 3 3 x 7 2 3 x . 3 x2 7x 2 2 Bài 93. Giải phương trình 2 3 2x 1 6x 5 1 3 2x 1 6x 5 . Bài 94. Giải phương trình x 3 9 x x 3 9 x 6 . Bài 95. Giải phương trình 3x2 2 x 1 x 1 2x 1 5x 2 . Bài 96. Giải phương trình 5x2 4 x 2 1 x x2 1 Bài 97. Giải phương trình 1 x x 3 1 x 2 Bài 98. Giải phương trình 4 x 2 x2 4x 5 5x2 12 20x Bài 99. Giải phương trình x 2 1 3 3 x x 1 Bài 100. Giải phương trình 4x2 19x 6 x 2x2 4x 3 9x2 2 Bài 101. Giải phương trình 9x2 6x 2 3x 1 Bài 102. Giải phương trình: x4 x2 2012 2012 4x2 23x 23 Bài 103. Giải phương trình 2 x2 3x 6 x 2
25. 17x 6 Bài 104. Giải phương trình 4 2x3 5x2 1 x 1 x 2 5x 6 Bài 105. Giải phương trình x3 2x2 9x 9 x2 4x 4 2x4 3x3 8x2 28x 13 Bài 106. Giải phương trình 2x3 5x2 16x 25 x2 2x 4 x2 3x 2 Bài 107. Giải phương trình x3 x 3x 1 x2 3 Bài 108. Giải phương trình x2 5x 2x 3 4 2x 3 0 Bài 109. Giải phương trình x 2 x. 3 x 3 x. 5 x 5 x. 2 x Bài 110. Giải phương trình 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2 Bài 111. Giải phương trình x2 3x 14 2 2x2 9x 4 6 2x x 4 2x 1