Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 4 (Có đáp án)

1. ĐỀ 4 Câu 1 2 2 a) Tìm x; y Z thoả mãn 5x 4xy y 169 . n n2 n3 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: A có giá trị là một số nguyên. 3 2 6 Câu 2 1 a 1 b a) Cho hai số a b 0 . So sánh hai số x và y . 1 a a2 1 b b2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) Tìm x, biết 6 0 . 1000 999 998 997 996 995 Câu 3 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân. Câu 4 Tìm cặp số nguyên x; y; z thỏa mãn phương trình: x2 y2 z2 4064497 2 15x 4y 2014z Câu 5. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n 1 và 2n 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24.
2. Câu 3 A M B N L I C D K DCN CBM N·DC C·BN Mà M· CB M· CD 900 N·DC M· CD 900 D· IC 900 DN  MC goi K là trung điểm của DC nên AM=KC, AM PKC Nên AMCK là hình bình hành AK PMC Mà DN  MC AK  DN Hay AK  DI (1) Goi L là giao điiểm của DN và AK. K là trung điểm của DC và AK PMC suy ra AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A
3. Câu 1 (2 điểm). a) Tìm x; y Z thoả mãn: 5x2 4xy y2 169 . n n2 n3 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: A có giá trị 3 2 6 là một số nguyên. Hướng dẫn a) Ta có: 5x2 4xy y2 169 4x2 4xy y2 x2 169 2x y 2 x2 169 2 2 2x y x 144 25 I 2 2 2x y x 169 0 II Từ (I) ta có: 2 2x y 122 x 5 x 5 ; 2 2 x 5 y m2 y m22 2 2x y 52 x 12 x 12 ; 2 2 x 12 y m19 y m29 Từ (II) ta có: 2 2x y 132 x 0 2 x 0 y 13 2 2x y 0 x 13 2 2 x 13 y 26 5; 2 ; 5; 22 ; 5;2 ; 5;22 ; 12; 19 ; 12; 29  Vậy x, y  12;19 ; 12;29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13;26 ; 13; 26  n n2 n3 b) Ta có: A 3 2 6 2n 3n2 n3 n n 1 n 2 A 6 6 Vì n n 1 n 2 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên n n 1 n 2 M 3 và n n 1 n 2 M2 mà 2,3 1 . Do đó n n 1 n 2 M6 . Hay A là một số nguyên. Câu 2 (2 điểm). 1 a 1 b a) Cho hai số a b 0 . So sánh hai số x và y . 1 a a2 1 b b2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) Tìm x, biết: 6 0 1000 999 998 997 996 995 Hướng dẫn Vì x, y 0 , ta có:
4. 1 1 1 1 1 x y 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 a a2 a2 a b2 b 1 1 1 1 Vì a b 0 nên và . a2 b2 a b Vậy x y . b) Ta có: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 Vì 0 nên x 1001 . 1000 999 998 997 996 995 Câu 3. Câu 4. Đặt x 1 y x y 1 . Ta có: 2 3 y 1 8 y 1 6 3y2 2y 1 A y 1 2 2 y 1 1 y2 2 1 A 3 y y2 1 Đặt z A 3 2z z2 y A z2 2z 1 2 A z 1 2 2 2 Vậy min A 2 z 1 y 1 x 2 .