Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 17 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 17 (Có đáp án)

1. Đề 17 Bài 1 a) Xác định các hằng số a, b sao cho: ax3 bx3 5x 50 chia hết cho x2 3x 10 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2xy 4x y 5 Bài 2 1 1 4 a) Chứng minh rằng với x, y 0 . x y x y 1 1 1 1 1 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: với a, b, c là a b c b c a c a b a b c độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài 3. Cho hình chữ nhật có AB 2CD , gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB, CD. Nối D với E. Vẽ Dx  DE , tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM EK . Gọi G là giao điểm của DK và EM. a) Tính D· BK . b) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. x.y.z 1 Bài 4. Cho ba số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 x y z x y z Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. Bài 5. Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2 p 1 trong đó p là số nguyên tố, chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác. Bài 6. Cho a a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và chu vi 2p Chứng minh rằng: abc a) p a p b p c 8 1 1 1 1 1 1 b) 2 p a p b p c a b c
2. Hướng dẫn A E B D C I G K H M a) Ta có: EBC ~ DCM (g.g) BE EC 1 EC EC CK mà EC DE CK DE DC DM 2 EK BEC vuông cân tại B nên BE BC , B·ED B·CK 1350 Do đó BED BCK (c.g.c) E·BD C·BK D· BK 900 b) Ta có tứ giác DEKM là hình chữ nhật nên CKM vuông cân tại M suy ra H là trung điểm của CM. AI // DM (cùng vuông góc với DE), HI // DM (tính chất đường trung bình) nên ba điểm A ; I, H thẳng hàng. Các tam giác CIH, CHK vuông cân tại C và H nên KH CI DI mà DI // KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành. Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật, do đó EM, DK, IH đồng quy tại G là trung điểm của DK. Vậy G IH do đó bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2 p 1 trong đó p là số nguyên tố, chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác. Hướng dẫn Đặt 2 p 1 a3 a 1 2 p a 1 a2 a 1
3. Vì p là số nguyên tố nên: a 1 2 p 13 (thỏa mãn) Hoặc a2 a 1 2 (vô lí) vì a 1 Vậy trong các số tự nhiên có dạng 2 p 1 trong đó p là số nguyên tố, chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.