Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 18 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 18 (Có đáp án)

1. Bài 1. Cho ba số a, b, c thỏa món điều kiện a2 b2 c2 1 Chứng minh A abc 2 1 a b c ab ac bc 0 Đặt A abc 2 1 a b c ab ac bc vỡ a2 b2 c2 1 Nếu abc 0 , ta cú: A abc a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 a b c 1 A a b c 1 2 abc 0 Nếu abc 0 , ta cú: A 2 1 a b c ab ac bc abc abc A 1 a 1 b 1 c abc Vỡ a2 b2 c2 1 nờn 1 a,b,c 1 nờn 1 a 1 b 1 c 0 và abc 0 nờn A 0 . Bài 2. Cho tam giỏc ABC cú àA 2Bà . Gọi BC a , AC b , AB c . Chứng minh hệ thức a2 b2 bc . Hướng dẫn E c A c b 1 C B a Trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE c , suy ra CE b c . à à ã à à à Ta cú ABE cõn tại A nờn E B1 , do đú BAC E B1 2E . Theo gt thỡ àA 2Bà nờn Eà ãABC . Xột BCE và ACB cú: Cà chung Eà ãABC Do đú BCE ~ ACB (g.g) BC CE BC 2 AC.CE hay a2 b b c AC BC Cho 0 a,b,c 1 .Chứng minh rằng ít nhất có một bất đẳng thức sau đây là sai: 1 1 1 a(1 b) ; b(1 c) ; c(1 a) 4 4 4 Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên. Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai.
2. Bài 2: Cho 25 số tự nhiên a1,a2 , ,a25 thoả mản điều kiện 1 1 1 9 . a1 a2 a25 Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau. Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(2 a) 1 b(2 b) 1 c(2 c) 1