Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 19 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 19 (Có đáp án)

1. Đề 18 Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) x2 2014x 2013 2) x(x 2)(x2 2x 2) 1 Câu 2 (4 điểm) 1 2a 3b 7 3a 1) Tìm a, b biết 15 23 7a 20 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Câu 3 (4 điểm) 2014 1) Cho a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 . 3 3 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho 3. 2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng: a b và 3a 3b 1 là các số chính phương. Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N. 1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng. 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD. 3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Câu 5 (2 điểm) Cho a b c d và x (a b)(c d), y (a c)(b d), z (a d)(b c) . Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x, y, z . Hết Họ và tên thí sinh: , Số báo danh:
2. Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. HS giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng. Câu Ý Nội Dung Điểm x2 2014x 2013 x2 2013x x 2013 0.5 1 x(x 2013) (x 2013) 1 (x 1)(x 2013) 0.5 1 x(x 2)(x2 2x 2) 1 (x2 2x)(x2 2x 2) 1 0.5 (x2 2x)2 2(x2 2x) 1 0.5 2 (x2 2x 1)2 0.5 (x 1)4 0.5 1 2a 7 3a Từ có 20(1 2a) 15(7 3a) 0.5 15 20 a 1 0.5 1 2a 3b 1 Thay a 1 vào tỉ lệ thức ta được 15 23 7a 0.5 1 2.1 3b . Suy ra b 2 15 23 7.1 Vậy a 1 , b 2 . 0.5 2 Ta có A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 0.5 x2 2x(y 1) y2 2y 1 y2 6y 9 2003 (x y 1)2 (y 3)2 2003 0.5 2 Nhận thấy với mọi x,y ta có (x y 1)2 0;(y 3)2 0 . 0.5 Suy ra A 2003 Dấu “=” xảy ra khi x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi x 4, y 3 0.5 Dễ thấy a3 a a(a 1)(a 1) là tích của ba số tự nhiên liên 0.5 tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu 3 3 3 1 B (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) 0.5 3 3 3 (a1 a1) (a2 a2 ) (a2013 a2013 ) chia hết cho 3 2014 Mà a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 M3 . 0.5 3 Do vậy B chia hết cho 3. 0.5 Từ 2a 2 a 3b2 b có(a b)(3a 3b 1) a2 0.5 Cũng có (a b)(2a 2b 1) b2 . Suy ra 0.5 (a b)2 (2a 2b 1)(3a 3b 1) (ab)2 2 Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d . Chứng minh được d=1 0.5 3a 3b 1 là số chính phương a b là số chính phương 0.5 (đpcm)
3. A M O N B H D E I K C 4 Ta có IM//AC, IN//AB AMIN là hình bình hành 1 MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường . Mà O là trung 0.5 1 điểm AI M, O, N thẳng hàng (đpcm) 0.5 Kẻ OE vuông góc với BC. Chứng minh MHKN là hình thang 0.5 vuông. Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK. Suy ra OE là 2 đường trung bình của hình thang vuông MNKH nên MH + 0.5 NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O là trung điểm của AI và OE//AD. Suy ra OE 0.5 là đường trung bình của ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD (đpcm). 0.5 Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình của 0.5 ABC(Do O là trung điểm AI) 3 I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) 1 Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC 0.5 Xét hiệu x y (a b)(c d) (a c)(b d) (d a)(b c) 0.5 Vì d a,b c nên (d a)(b c) 0 . Suy ra x y (1) 0.5 5 Xét hiệu y z (a c)(b d) (a d)(b c) (a b)(d c) 0.5 Vì b a,c d nên (a a)(d c) 0 . Suy ra y z (2) 0.5 Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x