Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 35 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 35 (Có đáp án)

1. x2 3x 3 1 6x Bài 1. Cho biểu thức P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn P b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Bài 2 x y 2 x y a) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 b) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng a b và 3a 3b 1 là các số chính phương. Bài 3. Giải các phương trình 3 3 1 3 3 a) x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC AB ), AH  BC (H BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh BEC ~ ADC . Tính độ dài đoạn BE theo m AB b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh BHM ~ BEC . Tính ·AHM GB HD c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC Bài 5 3 1 a) Cho a 0 ; b 0 và a b 1 . Chứng minh 14 ab a2 b2 1 2 b) Cho a 0 ; b 0 và a b 1. Chứng minh 4ab 11 a2 b2 ab
2. Hướng dẫn Câu 1 x 3 a) P x 3 x 3 3 P 1 b) P Px 3P x 3 P 1 x 3 P 1 x x 3 P 1 P 1 0 3 P 1 P 1 P 1 0 P 1 Ta có x 0 x 0 0 P 1 P 1 P 1 0 P 1 P 1 0 Vậy P không nhận giá trị từ -1 đến 1 Câu 2 a) Ta có 4 4 x y x4 x y4 y x y x y y3 1 x3 1 x3 1 y3 1 x 1 y 1 x2 x 1 y2 y 1 4 4 x y x y x y (vì x y 1 x 1 y; y 1 x ) y3 1 x3 1 xy x2 x 1 y2 y 1 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y 1 y3 1 x3 1 xy x2 x 1 y2 y 1 xy x2 y2 x2 y x2 xy2 xy x y2 y 1 2 2 x y x y x y 1 3 3 2 2 2 2 y 1 x 1 xy x y x y xy x y xy x y 1 2 2 2 2 x y x y x y 1 x y x y 1 3 3 y 1 x 1 xy x2 y2 x2 y2 2xy 2 xy x2 y2 x y 2 2 2 2 2 x y x y x y 1 x y x y 2xy 1 2xy 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 y 1 x 1 xy x y 3 xy x y 3 xy x y 3 x y 3 x y 2 x y Vậy 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 b) Ta có 2a2 a 3b2 b 2a2 2b2 a b b2 a b 2a 2b 1 b2 2a2 a 3b2 b 3a2 3b2 a b a2 a b 3a 3b 1 a2 Suy ra a b 2 2a 2b 1 3a 3b 1 ab 2 Gọi 2a 2b 1,3a 3b 1 d . Chứng minh được d 1 Suy ra 3a 3b 1 là số chính phương nên a b là số chính phương.