Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 39 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 39 (Có đáp án)

1. Bài 1 a) Phân tích đa thức a a 2b 3 b 2a b 3 1 1 1 1 1 1 b) Cho 2 ; 2 . Chứng minh a b c abc a b c a2 b2 c2 Bài 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 a) Giải phương trình 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn y2 2xy 3x 2 0 . Bài 3. Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là la ,lb ,lc . 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: la lb lc a b c Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh EA.EB ED.EC và E·AD E·CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC ? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì BM.BD CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 3 . a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 ab bc 1 bc ca 1 ca ab
2. Hướng dẫn Câu 1 a) a a 2b 3 b 2a b 3 3 3 a a b b b a b a a a b 3 3b a b b3 b a b 3 3a a b a3 a a b 3 3ab a b ab3 b a b 3 3ab a b a3b a b 3 a b ab a b a b a b a b a b 2 ab a b 3 a b b) HS tự làm Bài 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 a) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 ĐK: x 0 x x x x 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 x 4 x 2 x 2 x 2 2 x 4 x x x x 2 1 2 1 2 8 x 2 2 8 x 2 x 4 x x x 4 2 16 b) y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 x y 2 x 1 x 2 (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. x 1 0 x 1 y 1 x 2 0 x 2 y 2 Bài 3 M A B C D Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M. Ta có B·AD ·AMC (hai góc ở vị trí đồng vị) D· AC ·ACM (hai góc ở vị trí so le trong) Mà B·AD D· AC nên ·AMC ·ACM hay ACM cân tại A, suy ra AM AC b
3. AD BA c Do AD / /CM nên CM BM b c c AD 1 1 1 1 Mà CM AM AC 2b (1) b c 2b la 2 b c 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự ta có: (2); (3) lb 2 c a la 2 b c Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Bài 4 Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh: a) BIC ~ AOH b) AO  BI Bài 5 2 a2 b2 c2 a b c Với a,b,c ¡ ; x, y, z 0 , ta có x y z x y z Ta có 2 a2 b2 c2 a b c P 1 ab bc 1 bc ca 1 ca ab 3 2ab 2ac 2bc a b c 2 a b c 2 P 1 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a b c 2 Vậy minP 1 a b c 1