Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 20 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 20 (Có đáp án)

1. Câu 1. Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các đường thẳng kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC ở E và F. Chứng minh a) EF / / AB b) AB2 EF.CD c) Gọi S1 , S2 , S3 , S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh S1.S2 S3.S4 K A B S1 O S4 S3 E F H S2 D C a) Ta có AO OE AE / /BC nên (1) OC OB OF OB BF / / AD nên (2) AO OD AO OF OE OB OF OE Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có . . nên EF / / AB OC AO OB OD OC OD b) Ta có AB BO AB / /CD nên (3) DC OD EF OF AB / /EF nên (4) AB AO OF OB BF / / AD nên (5) AO OD EF OB Từ (4) và (5) suy ra (6) AB OD AB EF Từ (3) và (6) suy ra AB2 DC.EF DC AB c) Ta có 1 1 1 1 S AH.OB ; S CK.OD ; S AH.OD ; S CK.OB 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 AH.OB AH.OD S AH S AH S S 1 2 ; 3 2 , do đó 1 3 S .S S .S S 1 CK S CK.OD CK S S 1 2 3 4 4 CK.OB 2 4 2 2 Bài 2. Hình thang ABCD (AB / /CD ) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh OM ON
2. 1 1 2 b) Chứng minh rằng AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB 2015 (đơn vị diện tích); SCOD 2016 (đơn vị diện tích); Tính SABCD A B M N O D C a) Ta có OM DO OM / / AB nên (1) AB DB ON OC ON / / AB nên (2) AB CA DO CN CN CO DO CO Mặt khác ta có (ON / /DC ) mà (ON / / AB ) nên OB CB CB CA OB CA OM ON Từ (1) và (2) suy ra OM ON AB AB b) Ta có MO AM MO DM MO / /DC nên ; MO / / AB nên DC AD AB AD MO MO AM DM 1 1 AM DM AD Suy ra MO 1 (3) DC AB AD AD DC AB AD AD NO BN NO CN NO / /DC nên ; NO / / AB nên DC BC AB CB NO NO BN CN 1 1 BN CN BC Suy ra NO 1 (4) DC AB BC CB DC AB BC BC 1 1 1 1 2 2 Từ (3) và (4) NO MO 2 AB CD AB CD NO MO MN c) Ta có SAOB OB SBOC OB SAOB SBOC ; , do đó SAOB .SCOD SBOC .SAOD SAOD OD SCOD OD SAOD SCOD Lại có SABD SABC (có cùng chiều cao và cạnh tương ứng) 2 SABD SAOB SABC SAOB SAOD SBOC suy ra SAOB .SCOD SBOC .SAOD SAOD Ta có 2 2 2 2015 .2016 SAOD SAOD 2015.2016 2 2 2 SABCD 2015 2.2015.2016 2016 4031 Bài 3.