Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 42 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 42 (Có đáp án)

1. Bài 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a10 a5 1 . n n2 n3 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức A có giá trị 3 2 6 là một số nguyên. Bài 2 a) Cho an 1 2 3 n . Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương 2 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10n 9n 4 tối giản 20n2 20n 9 Bài 3 x2 y2 x y a) Cho x 0 ; y 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất P 3 2 2 8 10 y x y x b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 25 y y 6 Bài 4 Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh: a) AE 2 EK.EG 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi Bài 5. Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho a b c 1 . Chứng minh b c 16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
2. Hướng dẫn Bài 1 a) a10 a5 1 a10 a9 a8 a9 a8 a7 a7 a6 a5 a6 1 a10 a5 1 a8 a2 a 1 a7 a2 a 1 a5 a2 a 1 a 1 a2 a 1 a3 1 a10 a5 1 a2 a 1 a8 a7 a5 a4 a3 a 1 2 n n2 n3 n3 3n2 2n n n 3n 2 n n 1 n 2 b) Ta có A 3 2 6 6 6 6 Vì n n 1 n 2 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Bài 2 a) Ta có an 1 1 2 3 n n 1 n n 1 2 a a 2 1 2 3 n n 1 2. n 1 n 1 là số chính phương n n 1 2 b) Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n 4 và 20n2 20n 9 10n2 9n 4Md 20n2 18n 8Md 2n 1Md d là số tự nhiên lẻ. 2 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md Mặt khác 2n 1Md 4n2 4n 1Md 5n2 5n 5Md 4Md mà d lẻ nên d 1 . Vậy phân số trên tối giản. Bài 3 2 x2 y2 x y x y x y a) P 3 2 2 8 10 3 2 8 10 y x y x y x y x x y Đặt t , khi đó ta có P 3 t 2 2 8t 10 3t 2 8t 4 3t 2 t 2 y x Nếu x, y cùng dấu nên t 2 t 2 0 ; 3t 2 0 3t 2 t 2 0 P 0 Vậy P 0 t 2 x y (1) x y Nếu x, y trái dấu thì 0 ; 0 t 0 3t 2 0 ;t 2 0 y x 3t 2 t 2 0 P 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi x 0 ; y 0 thì P 0 t 2 x y Vậy minP 0 x y b) x2 25 y y 6 y2 6y 9 x2 16 x2 y 3 2 16 Từ đó tìm được x, y. Bài 4 A B E K D C G
3. AE BE a) Vì AB / /DG (1) EG ED BE EK BK / / AD (2) ED AE AE EK Từ (1) và (2) suy ra AE 2 EG.EK EG AE AE DE AE DE AE DE b) Ta có AD / /BK (3) EK EB AE EK DE EB AK BD AE BE AE BE AE BE AB / /DG (4) EG ED AE EG BE ED AG BD AE AE DE BE DE BE 1 1 1 1 1 1 AE 1 AK EG BD BD BD AK AG AE AK AG BK AB KC GC c) Ta có và nhân từng vế của đẳng thức trên ta được KC CG AD DG BK AB BK.DG AD.AD không đổi AD DG Bài 5. Ta có a b 2 4ab , do đó ta có: a b c 2 a b c 2 4a b c Mà a b c 1 nên 1 4a b c b c 4a b c 2 (a,b,c 0 nên b c 0 ) Lại có b c 2 4bc b c 16abc a b c 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra b c , a b c 4 2