Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 48 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 48 (Có đáp án)

1. Bài 1. Cho biểu thức 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Bài 2 a) Chứng minh rằng: Với mọi a ¢ nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 b 6 chia hết cho 9 b) Cho a b 2 b c 2 c a 2 4. a2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh rằng a b c Bài 3 a) 2x 8x 1 2 4x 1 9 b) x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB / /CD ), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BCtại F. a) Chứng minh SAOD SBOC 1 1 2 b) Chứng minh AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF 1 1 2 a b c b Bài 5. Cho a,b,c 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất P a c b 2a b 2c b Bài 6. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a b c 2016 và 1 1 1 1 thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2016 a b c 2016
2. Hướng dẫn Bài 2 a) Chứng minh rằng: Với mọi a ¢ nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 b 6 chia hết cho 9 Vì a không chia hết cho 3 thì a có dạng a 3k 1 hoặc a 3k 2 Nếu a 3k 1 a2 9k 2 6k 1 chia 3 dư 1 Nếu a 3k 2 a2 9k 2 12k 4 chia 3 dư 1 Tương tự với b, từ đó suy ra a2 b2 M3 2 2 2 Ta có a6 b6 a2 b2 a2 a2b2 b2 a2 b2 a2 b2 3a2b2 2 Vì a2 b2 M3 , a2 b2 3a2b2 M3 nên a6 b6 chia hết cho 9 Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB / /CD ), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BCtại F. a) Chứng minh SAOD SBOC 1 1 2 b) Chứng minh AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF A B K E F O I M N D C a) HS tự làm EO AO AB AO b) Vì EO // DC . Mặt khác AB // CD DC AC DC OC AB AO AB AO EO AB AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dụng trung tuyến EM M DF . Dựng EN // MK N DF , nối K với N. KN là đường thẳng phải dựng. Chứng minh Ta có SEDM SEMF (1) Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN (chứng minh phần a) (2) Từ (1) và (2) suy ra SEDNI SIMN SKIMF SIKE SEDNI SIKE SKIMF SIMN Vậy SEDNK SKNF .