Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 50 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 50 (Có đáp án)

1. Bài 1 a b c a) Cho a b c 0 ; x y z 0 ; 0 . Chứng minh rằng ax2 by2 cz2 0 x y z 2 b2 c2 a2 a2 b c b) Cho x ; y . Tính giá trị của biểu thức x y xy 2bc b c 2 a2 Bài 2 a) Giải phương trình x6 7x3 8 0 b) Chứng minh rằng: Nếu 2n 1 và 3n 1 (n N ) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 Bài 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 y2 2xy 4x 2y 5 9x2 b) Giải phương trình x2 40 x 3 2 Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E bất kỳ trên BC, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF CE . K là giao điểm của FE và BD, O là giao điểm của AC và BD; DE cắt BF tại H; M là trung điểm của EF. a) Chứng minh DH  BF b) Chứng minh tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi AM BN CS M, N, S lần lượt là điểm đối xứng của H qua BC, AC, AB. Tính AD BE CF 4x2 Bài tập tương tự bài 3b). Giải phương trình x2 5 x 2 2
2. Hướng dẫn Bài 2 b) Do 2n 1 là số chính phương lẻ nên 2n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn. Vì 3n 1 là số chính phương lẻ nên 3n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3nM8 nM8 (1) Do 2n 1 và 3n 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà 2n 1 3n 1 5n 2 , do đó 2n 1 và 3n 1 khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra 2nM5 và 3nM5 suy ra nM5 (2) Từ (1) và (2) suy ra nMBCNN 5;8 hay n chia hết cho 40 Bài 3 a) A 2x2 y2 2xy 4x 2y 5 y x 1 2 x 3 2 5 5 b) ĐKXĐ: x 3 9x2 x2 40 x 3 2 3x 9x2 3x x2 2x. 40 2x. x 3 x 3 2 x 3 2 3x 6x2 x 40 0 x 3 x 3 2 x2 6x2 40 0 x 3 x 3 x2 Đặt t , ta có phương trình t 2 6t 40 0 t 10 t 4 0 x 3 Bài 4 A B K H E O P M 1 1 D C F µ µ 0 a) Ta có CEF vuông cân tại C nên F1 C1 45 suy ra FK / / AC . Vì AC  BD mà FK / / AC nên FK  DB Xét BDF có hai đường cao BC và FK cắt nhau tại E nên E là trực tâm của BDF , do đó DH  BF . b) Ta có C·OK O·KM K·MC 900 nên tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Gọi P là giao điểm của OM và HC, ta có HO OC , CM HM nên OM là đường trung trực của HC nên P là trung điểm của HC. Ta có OP là đường trung bình của tam giác AHC nên OM / / AH .
3. Lại có tứ giác AKMO là hình bình hành nên OM / / AK . Do đó A, K, H thẳng hàng (Theo tiên đề Ơ-Clit) Bài 5 N A E S F H B D C M AM BN CS AD DM BE EN CF FS DM EN FS Ta có 1 1 1 AD BE CF AD BE CF AD BE CF AM BN CS DM EN FS 3 mà DM HD ; NE HE ; FH SF , do đó AD BE CF AD BE CF AM BN CS DH HE HF 3 AD BE CF AD BE CF 1 1 1 HD.BC HE.AC FH.AB S HD S HE S FH BHC 2 ; AHC 2 ; AHB 2 S 1 AD S 1 BE S 1 CF ABC AH.BC ABC BE.AC ABC CF.AB 2 2 2 DH HE HF S S S S BHC AHC AHB ABC 1 AD BE CF SABC SABC AM BN CS DH HE HF Do đó 3 1 3 4 AD BE CF AD BE CF