Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 61 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 61 (Có đáp án)

1. Bài 1 a) Phân tích đa thức thành nhân tử x5 x 1 b) Chứng minh rằng nếu a4 b4 c4 d 4 4abcd và a,b,c,d 0 thì a b c d Bài 2 a) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng M 4x x y x y z x z y2 z2 là một số chính phương b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z 2, 1 1 1 x2 y2 z2 18 và xyz 1 . Tính giá trị của S xy z 1 yz x 1 zx y 1 Bài 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 x2 2x 2016 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B với x 0 x2 c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có x5 y xy5 chia hết cho 30 Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M khác A và C). Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I. a) Chứng minh EA.EB ED.EC b) Chứng minh BM.BD CM.CA BC 2 c) Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại B, đường thẳng vuông góc với CD tại C, chúng cắt nhau tại K. Chứng minh MK luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Bài 5. a) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh a b c a b c a b c a b c a b c b) Cho tam giác có nửa chu vi p với a, b, c là độ dài ba cạnh. 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 p a p b p c a b c c) Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4a 9b 16c P b c a a c b a b c
2. Hướng dẫn Bài 2 b) Ta có xy z 1 xy x y 1 x 1 y 1 Tương tự yz x 1 y 1 z 1 và zx y 1 z 1 x 1 1 1 1 x y z 3 Suy ra S x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 1 1 xyz xy yz zx x y z 1 xy yz zx Ta có x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx xy yz zx 7 1 Suy ra S 7 Bài 3 a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 Bài 5 Vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 y z x z x y ta có: x + y + z = a + b + c; a ;b ;c 2 2 2 ab bc ac (y z)(x z) (x z)(x y) (x y)(y z) a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz ( 3x 3y 3z) 3(x y z) (2 2 2 ) 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y 3(x y z) ( ) ( ) ( ) 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 3(x y z) x y z x y z 4 Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng min