Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 62 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 62 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 2 4 a) 3x x 2 3x 6x 2 1 b) a b c b c a c a b c) 4x 81 b) Cho a; b; c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn ab bc ca 0 a2 b2 c2 Rút gọn biểu thức A a2 2bc b2 2ac c2 2ab Câu 2 1 1 1 1 1 1 a) Cho 0 . Tính A xyz 3 3 3 x y z x y z b) Với mọi x, y, cho f(x,y) 5x2 2y2 4xy 2x 2060 , chứng minh rằng f x, y 2016 Câu 3 a) Chứng minh rằng A 13 23 33 43 20163 là số chính phương. b) Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. 5 5 5 Chứng minh rằng A a1 a2 a2016 chia hết cho 5. Câu 4 Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng AE  BC b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. a2 b2 c2 4 Câu 5. Chứng minh rằng P 1 với mọi a, b, c. a2 3 b2 2 c2 1 a2 4 c2 Câu 6. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x(x 1)(x 2)(x 3) y2 Câu 7. Cho x; y; z là các số nguyên khác 0. Chứng rằng nếu: x2 yz a; y2 zx b; z2 xy c thì tổng ax by cz chia hết cho tổng a b c .
2. Câu Ph Nội dung Điểm ần Câu 3x(x 2)(3x2 6x 2) 1 (3x2 6x)(3x2 6x 2) 1 0.5 5đ 2 2 2 2 2 a.1 (3x 6x) 2(3x 6x) 1 = (3x 6x 1) 0.5 a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) = a2 (b c) b2 (a c) c2 (a b) = a2 (b c) b2 (a b) (b c) c2 (a b) 0.5 a.2 =(a2 b2 )(b c) (c2 b2 )(a b) = (a b)(a b(b c) (b c)(b c)(a b) 0.5 =(a b)(b c) (a b b c) = (a b)(b c)(a c)   0.5 4 2 2 2 2 2 2 2 0.5 a3. 4x 81=(2x ) 36x 81 (6x) = 2x 9 (6x) a.3 2 2 = 2x 6x 9 2x 6x 9 0.5 a2 b2 c2 Rút gọn biểu thức: A= Ta có: a2 2bc b2 2ac c2 2ab ab ac bc 0 ab ac bc; ac bc ab; ab bc ac 0.5 a 2 b2 c2 b A=2 2 2 a ab ac bc b bc ab ac c ac bc ab a2 b2 c2 0.5 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 1 0.5 (a b)(a c)(b c) A 1 1 1 1 1 1 Câu 2 Ta có: 0 2 đ x y z x y z 0.5 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 x y z x y xy x y z 0.5 1 1 1 1 1 3 3 3 3 z xy z z xyz 1 1 1 1 1 1 3 Vậy: 0. 3 3 3 . x y z x y z xyz 0.5 1 1 1 do đó: A xyz( ) x3 y3 z3 1 1 1 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 x y z xyz 0.5 B f(x,y) 5x2 2y2 4xy 2x 2060 1 đ f(x,y) 4x2 2y2 9 4xy 12x 6y x2 10x 25 y2 6y 9 2017 0.5 2 2 2 0.5 f(x,y) 2x y 3 x 5 y 3 2017 f(x,y) 2016 với mọi x,y. Câu a a) Chứng minh : A 13 23 33 43 20163 là số chính phương.Thật 3 vậy:
3. 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 2016 A .4.1 .4.2 .4. 3 .4. 4 .4. 5 .4.2016 2 2 2 2 2 2 0.5 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2016 2 2 A 2 0 3 1 4 2 5 3 2017 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.5 1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016 A 2 2 2 2 2 2 2 2 0.5 2 2016.2017 2 A ; A 1008.2017 ; Vậy A là số chính phương. 2 0.5 b Dễ thấy: a5 a a(a4 1) a(a2 1)(a2 4 5) a(a2 1)(a2 4) 5a(a2 1) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) 5a(a2 1) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia 0.5 hết cho 5; còn 5a(a2 1) là bội của 5 nên chia hết cho 5. 5 0.5 Vậy; a a chia hết cho5 5 5 5 Xét hiệu A (a1 a2 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a5 a ) (a5 a ) (a5 a ) chia hết cho 5 1 1 2 2 2016 2016 0.5 Mà a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. Do vậy A chia hết cho 5. 0.5 Câu D C 4 I H O E F 0,5 A K M B a Ta có: CAB = FMB= 450 AC // MF (Vị trí đồng vị) 0,5 mà EB  MC (T/c đường chéo hình vuông) EB  AC 0,5 ∆ACB có: BE  AC; CM  AB E là trực tâm của ∆ACB AE  0,5 BC; b Gọi O là giao điểm của AC và BD. ∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 0,5 1 1 HO AC DM 2 2 0,5 ∆DHM vuông tại H DHM = 900 0,5 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 0,5 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng. c Gọi I là giao điểm của AC và DF. 0,5 Ta có: DMF = 900 MF  DM mà IO  DM IO // MF Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 0,5
4. Kẻ IK  AB (K AB) IK là đường trung bình của hình thang ABFD 0,5 AD BF AM BM AB IK (không đổi) 2 2 2 0,5 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định. Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB Câu Chứng minh rằng: P= 5 a 2 b2 c2 4 1 a 2 b2 3 b2 c2 2 c2 a 2 1 a 2 b2 c2 1 Với mọi a,b,c. Thật vậy, với mọi a,b,c ta có: a 2 a 2 b2 b2 ; 0,5 a 2 b2 3 a 2 b2 c2 4 b2 c2 2 a 2 b2 c2 4 c2 c2 4 4 ; c2 a 2 1 a 2 b2 c2 4 a 2 b2 c2 1 a 2 b2 c2 4 0,5 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: a 2 b2 c2 4 P a 2 b2 c2 4 a 2 b2 c2 4 a 2 b2 c2 4 a 2 b2 c2 4 a 2 b2 c2 4 1.Điều phải chứng minh. 0,5 a 2 b2 c2 4 0,5