Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 66 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 66 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương. b) Cho B = 21 + 22 + 23 + + 230. Chứng minh rằng: Bchia hết cho 21. Câu 2 x2 2x 2x2 1 2 a) Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 3 2x 2 3x 2 y 3 . Câu 3 a) Chứng minh: a2 5b2 (3a b) 3ab 5 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90 O (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và góc BKM = góc BCO. 1 1 1 c) Chứng minh . CD2 AM2 AN2 Câu 5 Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab 1
2. Hết Họ và tên thí sinh: . Số báo danh Câu 1: (4,0 điểm) a. n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = 2.0đ = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)] 0.5 = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) 0.5 Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 0.5 n 2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương n 6 - n 4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương 0.5 b. B = 21 + 22 + 23 + + 230 2.0đ Ta có: B = 21 + 22 + 23+ + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + + (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 + + 229) suy ra B M 3 (1) 0.75 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ + 230 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + + (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + + 228) suy ra B M 7 (2) 0.75 Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B 3.7 hay B  21 0.5 Câu 2: (4,0 điểm) x 0 a) ĐK: 0.25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 0.25 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 0.25 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x 2 2 2 2 x 2x 2x (x 1)(x 2) x(x 2) 4x (x 1)(x 2) 2 2 2 2 2 0.5 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x 2
3. x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0.5 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x x 1 x 0 Vậy A với . 0.25 2x x 2 2 3 3 2 3 7 b) Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.5 4 8 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.5 4 16 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được 0.5 x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) KL 0.25 Câu 3: (4,0 điểm) a a2 + 5b2 – (3a + b) 3ab – 5 0,5 2 2 2a + 10b – 6a -2b – 6ab +10 0 0,5 a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 0 0,5 (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 0 . 0,5 Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1 b Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 2 2 2 = x + 2x(y + 1) + y + 2y + 1 + y - 6y + 9 + 2006 0.5 = (x + y + 1)2 + (y - 3)2 + 2006 0.5 Nhận thấy với mọi x,y ta có (x y 1)2 0;(y 3)2 0 . Suy ra A 2006 0.5 Dấu “=” xảy ra khi x 4, y 3 0.5 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2006 đạt được khi x 4, y 3 Câu 4: (6,0 điểm) A I B O M K E D C N a) Xét BIO và CMO có: 3
4.  IBO =  MCO = 45O BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)  BOI = COM( cùng phụ với  BOM) BIO = CMO (g.c.g) 1,0 SBIO SCMO mà SBMOI SBOI SBMO 1 1 Hay S S S S S a2 BMOI CMO BMO BOC 4 ABCD 4 1,0 b) Ta có CM = BI ( vì BIO = CMO ) BM = AI BM AM IA AM Vì CN // AB nên CM MN IB MN IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB là hình thang 1,0 Vì OI = OM ( vì BIO = CMO ) IOM cân tại O  IMO = MIO = 45O Vì IM // BN IM // BK  BKM = IMO = 45O( sole trong) =>  BKM = BCO 0,5 c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh ADE ABM (g.c.g) AE AM Ta có ANE vuông tại A có AD  NE nên AD.NE AN.AE S AEN 2 2 AD.NE AN.AE (AD.NE)2 (AN.AE)2 1,0 Áp dụng định lí Pitago vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AD2.(AN 2 AE 2 ) AN 2.AE 2 AN 2 AE 2 1 1 1 1 1,0 AN 2.AE 2 AD2 AE 2 AN 2 AD2 1 1 1 Mà AE AM và CD = AD CD2 AM 2 AN 2 0,5 Câu 5: (2,0 điểm) Với 2 số a, b dương: 2 2 Xét: a b 1 ab a2 + b2 – ab 1 0,25 (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0) a3 + b3 a + b 0,5 (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 2a3b3 ab5 + a5b 0,25 ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0 2 ab a2 b2 0 đúng  a, b > 0 . Vậy: a2 b2 1 ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5 0,5 4