Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 69 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 69 (Có đáp án)

1. x4 x3 2x2 3x 3 Câu 1. Cho biểu thức P x4 2x3 2x2 6x 3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Câu 2 a) Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 và thoả mãn a b c 0 . 1 1 1 Chứng minh rằng M là bình phương của một số hữu tỉ. a2 b2 c2 x y z b) Cho a b c 1 , a2 b2 c2 1 và . a b c Tính giá trị của biểu thức xy yz xz c) Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 3xy2 10 ; y3 3x2 y 30 . Tính x2 y2 Câu 3 a) Giải phương trình x3 x 3 3 3 2x 3 0 b) Chứng minhD n n 1 n 2 n 3 không phải là số chính phương vớin ¥ * 3 3 c) Cho các số a, b, c thoả mãn a b c . Chứng minh rằng a2 b2 c2 2 4 Câu 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng DE DF 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. 2 c) Chứng minh S FDC 16SAMC .SFNA Câu 5. Cho a3 b3 3 a2 b2 4 a b 4 0 và ab 0 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của Q a b 1 a 1 b Câu 6. Cho a b 0 , so sánh hai số x, y với x ; y 1 a a2 1 a b2 Câu 7. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số hữu tỉ và ab bc ca 1 thì 1 a2 1 b2 1 c2 bằng bình phương của một số hữu tỉ. Câu 8. Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thoả mãn a b c 3 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 5
2. Hướng dẫn Câu 2 x y z x y z b) Ta có x y z (vì a b c 1 ) a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z Do đó x y z x2 y2 z2 (vì a2 b2 c2 1 ) a2 b2 c2 a2 b2 c2 Suy ra x2 y2 z2 2 xy yz xz x2 y2 z2 xy yz xz 0 Câu 4 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng DE DF 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. 2 c) Chứng minh S FDC 16SAMC .SFNA E A N F B M D C DF CD DE BD DF DE CD BD CD BD BC a) Ta có ; suy ra 2 AM MC AM BM AM AM MC BM BM BM Vậy DE DF 2AM b) Tứ giác ANDM là hình bình hành. Ta có NE AE NF AF NF AF MD MD AE NE NF ; suy ra NE NF ND AB FD FC ND AC MC MB AB ND ND c) Ta có: 2 SAMC AM AMC ~ FDC SFDC FD 2 SFNA FN FNA ~ FDC SFDC FD 2 2 4 4 SAMC SFNA AM FN 1 AM FN AM FN . . (1) SFDC SFDC FD FD 16 FD FD DF Mặt khác DE DF 2AM DF 2AM DE 2ND DE DF FN DF FN DE DF FN NE DF DE DE DF DE DF 2 Từ (1) suy ra S FDC 16SAMC .SFNA
3. Câu 5 Ta có a3 b3 3 a2 b2 4 a b 4 0 a3 3a2 3a 1 b3 3b2 3b 1 a b 2 0 a 1 3 b 1 3 a 1 b 1 0 a 1 b 1 a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 a 1 b 1 0 a 1 b 1 a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 1 0 a b 2 0 (vì a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 1 0 ) 1 1 a b 2 2 2 Q a b ab a 2 a a a 2 a2 2a Ta có a 1 2 0 a2 2a 1 , do đó Q 2 Vậy MaxQ 2 a b 1 Câu 8 Theo đề bài ta có 2 a 2 b 2 c 0 8 4c 4b 2bc 4a 2ac 2ab abc 0 8 4 a b c 2 ab bc ca abc 0 Cộng cả hai vế với a2 b2 c2 , ta có a b c 2 a2 b2 c2 abc 4 a2 b2 c2 abc 5 (vì abc 0 ) Suy ra a2 b2 c2 5