Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 33 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 33 (Có đáp án)

1. ĐỀ ÔN TẬP 33. 3 x 9 Bài 1. Cho biểu thức: P = x 1 2 x x x 2 a) Tìm điều kiện xác định của P. Rút gọn P. b) Với giá trị nào của x thì P = 1. 2 4 2 Bài 2. Giải các phương trình: x 2 4 x - 9 0 x x Bài 3. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Bài 4. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = - 2mx - 4m (m là tham số). a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. b) Giả sử x1, x2 là hoành độ của A, B. Tìm m để x1 + x2 = 3 . Bài 5. Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : a) Tứ giác OMNP nội tiếp. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. d) Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2019 P . x2 y2 z2 xy yz zx HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG a) Điều kiện xác định của P: x 0 và x 4 . 3 x 9 3 x 9 P = = x 1 2 x x x 2 x 1 x 2 ( x 1)( x 2) 3( x 2) x( x 1) 9 3 x 6 x x 9 3 x x x 3 = ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 1
2. 3( x 1) x( x 1) ( x 1)(3 x) 3 x = ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) x 2 b) 3 x 25 P = 1 1 3 x x 2 2 x 5 x x 2 4 2 2 4 Đặt x - t (1), suy ra x2 t2 4 x x2 2 t 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t – 4t – 5 = 0 . t 5 Lần lượt thay các giá trị của t vào (1) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm: 5 33 5 33 x1 = 1; x2 = - 2; x ;x 3 2 4 2 3 Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h, x 4) Vận tốc ca nô khi chạy xuôi dòng nước là: x 4 km / h 48 Thời gian ca nô chạy xuôi dòng là: h . x 4 Vận tốc ca nô khi nước ngược dòng là: x 4 km / h 48 Thời gian ca nô chạy ngược dòng là: h . x 4 48 48 Nên: 5 1 x 4 x 4 Điều kiện: x 4, x 4 Mẫu thức chung: x 4 x 4 Qui đồng và khử mẫu: 48 x 4 48 x 4 5 x 4 x 4 48x 192 48x 192 5x2 80 5x2 96x 80 0 2 Ta có: b 2 ac 48 2 5 80 2304 400 2704 0 2704 52 2
3. Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: b 48 52 x 20 1 a 5 b 48 52 4 x 2 a 5 5 4 Đối chiếu với điều kiện của ẩn số, thì x 0 (không thỏa mãn điều kiện, loại) 2 5 Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 20 km/h 4 Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm: x2 + 2mx + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt ém > 4 Û D¢> 0 Û m2 - 4m > 0 Û m(m- 4)> 0 Û ê ëêm 4 thì x1x2 = 4m > 0 , do đó: 3 x + x = 3 Û x + x = 3 Û - 2m = 3 Û 2m = 3 Û m = (loại vì m > 4 ) 1 2 1 2 2 + Xét m < 0 thì x1x2 = 4m < 0 , do đó: x1 + x2 = 3 Û x1 - x2 = 3 é 9 êm = (lo¹i v× m < 0 ) 2 2 ê 2 Û 2 m - 4m = 3 Û 4m - 16m- 9 = 0 Û ê ê 1 êm = - (tháa m·n) ëê 2 1 Vậy m = - 2 Nhận xét Ở câu b) đã sử dụng tính chất: a + b = a + b Û ab ³ 0 và a - b = a- b Û ab £ 0 Ngoài ra, ta có thể làm như sau: 2 2 2 Ta có: x1 + x2 = 3 Û ( x1 + x2 ) = 9 Û x1 + x2 + 2 x1x2 = 9 3
4. 2 2 Û (x1 + x2 ) - 2x1x2 + 2 x1x2 = 9 Û 4m - 8m + 8 m - 9 = 0 (*) + Nếu m > 4 thì (*) trở thành: 3 4m2 - 8m + 8m- 9 = 0 Û 4m2 - 9 = 0 Û m = ± (loại vì m > 4 ) 2 + Nếu m M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp. Tứ giác OMNP nội tiếp: O·PM O·NM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R O·NC O·CN O·PM O·CM Xét hai tam giác OMC và MOP 4
5. Ta có: M· OC O·MP 90 ; O·PM O·CM C·MO P·OM ; MO là cạnh chung OMC MOP g c g OC MP 1 Ta có CD  AB; PM  AB giả thiết) => CO//PM (2). Từ (1) và (2): Tứ giác CMPO là hình bình hành (các cạnh đối song song). Xét hai tam giác OMC và NDC Ta có: M· OC 90 (gt CD  AB); D· NC 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) M· OC D· NC 90 Cµ: là góc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD CD CN mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) O·DP 90 => P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc với CD tại D. 5
6. Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A’ B’ song song và bằng AB. 6 1 2019 P x2 y2 z2 xy yz zx 1 1 1 2017 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Ta có: (a b c)2 3(ab bc ca) a2 b2 c2 ab bc ca 1 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 3(ab bc ca) (a b c)2 2 Dấu “=” xảy ra a b c Với a,b,c 0 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 1 1 1 a b c 33 abc ; 33 a b c abc 1 1 1 3 1 1 1 1 9 a b c 3 abc.33 9 a b c abc a b c a b c Dấu “=” xảy ra a b c Với x y z 1 , áp dụng các kết quả trên, ta có: 1 1 1 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx 9 9 9 9 x2 y2 z2 2(xy yz zx) (x y z)2 12 2017 6051 6051 6051 6051 xy yz zx 3(xy yz zx) (x y z)2 12 P 9 6051 6060 1 1 Dấu “=” xảy ra x y z . Vậy min P 6060 x y z 3 3 6