›
›
›

Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Mã đề 357 (Có đáp án)

doc 23 trang thaodu 3130
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Mã đề 357 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_on_thi_thpt_quoc_gia_mon_toan_lop_12_nam_2019_ma_de_357_c.doc

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Mã đề 357 (Có đáp án)

  1. ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: nhật ABCD có AD 24cm . Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? B M Q C M Q B,C A D N P x N P x 24cm A,D A. .x 9 B. . x 8 C. . x D. 1 0. x 6 Câu 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số? A. .y x3 3x2 B. . y x3 3x 1 C. .y x3 3x2 3x 2 D. . y x3 x 3 Câu 3: Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số chỉ có một x2 6x m tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang? A. . 27 B. hoặc9 . 27 C. . 0 D. . 9 1 Câu 4: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x x2 x A. .F x ln x ln x B.1 . F x ln x ln x 1 C. .F x ln x ln x D.1 . F x ln x ln x 1 Câu 5: Tập xác định của hàm số y x3 27 3 là A. .D ¡ \3B. . C. . D 3;D. . D 3; D ¡ 2 3 Câu 6: Cho log3 x 3 . Giá trị của biểu thức P log3 x log1 x log9 x bằng 3 3 11 3 6 5 3 A. . B. . C. D. . 3 3. 2 2 2 Câu 7: Tính S 1009 i 2i2 3i3 2017i2017 . A. S B.20 1 7 10C.09 i . D.1 009 2017i. 2017 1009i. 1008 1009i. Câu 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 4x2 4x 1 tại điểm A 3; 2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai là B . Điểm B có tọa độ là A. B 1;0 . B. BC. 1; 1 0 . D. B 2;33 . B 2;1 . 3 2 Câu 9: Hàm số y x 3x 9x 4 đạt cực trị tại x1 và x2 thì tích các giá trị cực trị bằng A. 25. B. 82. C. 207. D. 302. Câu 10: Phát biểu nào sau đây là đúng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 1/23 - Mã đề thi 357
  2. A. ex sin xB.dx ex cos x ex cos xdx. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. C. ex sin xdxD. ex cos x ex cos xdx. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. 1 1 1 1 Câu 11: Cho a 0,b 0,a 1,b 1,n ¥ * . Một học sinh tính: P log b log b log b log b a a2 a3 an theo các bước sau: 2 3 n Bước I: P logb a logb a logb a logb a . 2 3 n Bước II: P logb a.a .a a . 1 2 3 n Bước III: P logb a . Bước IV: P n n 1 .logb a . Trong các bước trình bày, bước nào sai ? A. Bước III. B. Bước I. C. Bước II. D. Bước IV. a x3 x Câu 12: Đặt I dx. Ta có: 2 0 x 1 2 2 1 é 2 2 ù A. .I = (a + 1) a + 1- B.1 . I = ê(a + 1) a + 1+ 1ú 3 ë û 2 2 1 é 2 2 ù C. .I = (a + 1) a + 1+D.1 . I = ê(a + 1) a + 1- 1ú 3 ë û 3 Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3x log2 m 0 có đúng một nghiệm. 1 A. . 4 4 4 Câu 14: Khẳng định nào sau đây là luôn luôn đúng với mọi a,b dương phân biệt khác 1 ? logb ln a 2logb 2loga a A. .a = b B. . C. . a = bD. a = ln a loga b = log10 b. Câu 15: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 1 7 1 A. . i 7 1 2i i B. . 1 i 10 3 2i 3 2i 1 i 6 13 40i C. . 2 i 3 3 i 3 16 37i D. . 1 3i 2 3i 1 2i 1 i 3 5 2 3 3 3 i Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z2 z 2 z . A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 17: Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x 1 x 2 2 . A. 5 2. B. 2. C. 2 5. D. 4. 2 Câu 18: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 biết z1 z2 có phần ảo là số thực 2 2 âm. Tìm phần thực của số phức w 2z1 z2 . A. 4. B. 4. C. 9. D. 9. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 2/23 - Mã đề thi 357
  3. Câu 19: Một người lần đầu gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 3% của một quý và lãi từng quý sẽ được nhập vào vốn (hình thức lãi kép). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai sẽ gần với kết quả nào sau đây? A. 2triệu.32 B. triệu.2 62 C. triệu. 313 D. triệu. 219 b Câu 20: Nếu b a 2 thì biểu thức 2xdx có giá trị bằng: a A. b a . B. 2 b a . C. b a. D. 2 b a . 2 Câu 21: Giải bất phương trình: log 1 x 2x 8 4. 2 A. 6 x 4 hoặc 2 x 4 . B. hoặc6 x 4 2 x 4. C. xhoặc 6 x 4. D. hoặc x 6 x 4. Câu 22: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z 4 z 4 10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R 4. x2 y2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình x 4 2 y2 x 4 2 y2 12. x2 y2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 25 9 Câu 23: Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v t 3t 2 6(t m/s ). Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t1 0 (s), t2 4 (s). A. 16. B. 24. C. 8. D. 12. Câu 24: Cho hàm số y x3 6x2 9x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? y y 4 4 x x O 1 3 -1 O 1 3 Hình 1 Hình 2 A. y x 3 6x2 9 x . B. y x3 6x2 9x. C. y x3 6x2 9x . D. y x 3 6 x 2 9 x . Câu 25: Đường thẳng d : y x 4 cắt đồ thị hàm số y x3 2mx2 m 3 x 4 tại 3 điểm phân biệt A 0;4 , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. mhoặc 2 m 3. B. hoặc m 2 m 3. C. m 3. D. hoặc m 2 m 3. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 3/23 - Mã đề thi 357
  4. Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;2;1 và mặt phẳng (P): x- 3y + 2z - 2= 0 .Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song mặt phẳng (P) là: A. . B.Q .: x 3y 2z 4 0 Q : x 3y 2z 1 0 C. . QD. :. 3x y 2z 9 0 Q : x 3y 2z 1 0 Câu 27: Hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1, x 2, y 0, y x2 2x có diện tích được tính theo công thức: 2 0 2 A. .S B.x2 . 2x dx S x2 2x dx x2 2x dx 1 1 0 0 2 2 C. .S x2 2D.x .dx x2 2x dx S x2 2x dx 1 0 0 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3) , b 0;2; 1 , c 1;7;2 . Tọa độ vectơ 1 x 4a b 3c là 3 5 53 121 17 A. .x 11; ; B. . x 5; ; 3 3 3 3 1 55 1 1 C. .x 11; ; D. . x ; ;18 3 3 3 3 Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 1;0; 1 và C 0; 1;2 , D 0;m;k . Hệ thức giữa m và k để bốn điểm ABCD đồng phẳng là A. .m k 1 B. . C.m . 2k 3 D. . 2m 3k 0 2m k 0 Câu 30: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;4 . A. . S : x2 y2B. z.2 x 2y 4z 0 S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 C. . S : x2 y2 D. z 2 x 2y 4z 0 .S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 Câu 31: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng P :8x 4y 8z 11 0 ; Q : 2x 2y 7 0 . A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 e k Câu 32: Đặt I ln dx , k nguyên dương. Ta có I e 2 khi k k 1 x A. k 1;2. B. k 2;3. C. k 4;1. D. k 3;4. Câu 33: Hình nón đường sinh l , thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung quanh của hình nón là. l 2 l 2 l 2 l 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 2 Câu 34: Hình phẳng giới hạn bởi y x2 ; y 4x2 ; y 4 có diện tích bằng 13 8 17 16 A. đvdt . B. đvdt . C. đvdt . D. đvdt . 4 3 3 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 4/23 - Mã đề thi 357
  5. Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2x 3y z 4 0 ; Q :5x 3y 2z 7 0 . Vị trí tương đối của P & Q là A. Song song. B. Cắt nhưng không vuông góc. C. Vuông góc. D. Trùng nhau. Câu 36: Cho hình chóp S.ABC là tam giác vuông tại A , ·ABC 30o , BC a . Hai mặt bên SAB và SAC cùng vương góc với đáy ABC , mặt bên SBC tạo với đáy một góc 450 . Thể tích của khối chóp S.ABC là a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 64 16 9 32 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ a 2;1; 2 , b 0; 2; 2 . Tất cả giá trị của m để hai véc tơ u 2a 3mb và v ma b vuông góc là 26 2 11 2 26 26 2 26 2 A. . B. . C. . D. . 6 18 6 6 Câu 38: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P qua điểm A 1;1;1 và vuông góc với đường thẳng OA có phương trình là: A. . P : x y z 0 B. . P : x y z 0 C. . P : x y z 3 0 D. P : x y z 3 0. Câu 39: Hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là một hình thoi có góc nhọn bằng , cạnh a . Diện tích xung quanh của hình hộp đó bằng S . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D ? 1 1 1 1 A. a.S sin . B. a.S sin . C. a.S sin . D. a.S sin . 4 2 8 6 Câu 40: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức ztrong mặt phẳng phức, biết số phức thỏaz mãn điều kiện z 2i z 1 . A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x 2y 3 0 . B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x 2y 3 0 . C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 4y 3 0 . D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 4y 3 0 . Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 . Mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến ấy có bán kính r bằng: A. r 4 . B. r 2 . C. r 5 . D. .r 6 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A B C D có A 1;1; 6 , B 0;0; 2 , C 5;1;2 và D 2;1; 1 . Thể tích khối hộp đã cho bằng: A. 12. B. 19. C. 38 . D. .42 Câu 43: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Mặt cầu tâm I 2; 3; 4 tiếp xúc với mặt phẳng Oxy có phương trình x2 y2 z2 4x 6y 8z 12 0 . B. Mặt cầu S có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 cắt trục Ox tại A ( khác gốc tọa độ O ). Khi đó tọa đô là A 2;0;0 . C. Mặt cầu S có phương trình x a 2 y b 2 z c 2 R2 tiếp xúc với trục Ox thì bán kính mặt cầu S là r b2 c2 . D. x2 y2 z2 2x 2y 2z 10 0 là phương trình mặt cầu. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 5/23 - Mã đề thi 357
  6. Câu 44: Một mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a . Diện tích mặt cầu S là: 3 a2 3 a2 A. . B. . C. .6 a2 D. . 3 a2 4 2 Câu 45: Khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng 2 . Thể tích khối trụ là: A. 3 . B. . C. 2 . D. 4 . Câu 46: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 và y x. Khối tròn xoay tạo ra khi H quay quanh Ox có thể tích là: 1 1 A. x4 x dx đvtt . B. x2 x dx đvtt . 0 0 1 1 C. x x2 dx đvtt . D. x x4 dx đvtt . 0 0 Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 49 và điểm M 7; 1;5 . Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm M là: A. x 2y 2z 15 0. B. 6x 2y 2z 34 0. C. 6x 2y 3z 55 0. D. 7x y 5z 55 0. Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; 2 , B 3; 1; 4 ,C 2;2;0 . Điểm D trong mặt phẳng Oyz có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng Oxy bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là: A. D 0;3; 1 . B. D 0; 3; 1 . C. D 0;1; 1 . D. D 0;2; 1 . Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1;2;3 . Mặt phẳng P đi qua điểm H, cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng P là A. (P) :3x y 2z 11 0. B. (P) :3x 2y z 10 0. C. (P) : x 3y 2z 13 0. D. (P) : x 2y 3z 14 0. Câu 50: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng AB D và BC D . 3 3 2 A. . B. 3. C. . D. . 3 2 3 HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 6/23 - Mã đề thi 357
  7. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C B A B A C C C A D D D B D A C D A B C D A A C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D B C B C A A B D B D A C A C C C D B B D C A D D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 24cm . Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? B M Q C M Q B,C A D N P x N P x 24cm A,D A. .x 9 B. . x 8 C. . x D. 1 0. x 6 Hướng dẫn giải Chọn B. M Q B I N P x x A 2 Gọi I là trung điểm NP IA đường cao của ANP cân tại A AI x2 12 x = 1 24 x 6 diện tích đáy S .NP.AI 12 x . 24 x 6 , với 6 x 12 thể ANP 2 tích khối lăng trụ là V SANP .MN a. 12 x . 24 x 6 (đặt MN a : hằng số dương) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 12 x . 24 x 6 , 6 x 12 : 12 12 x 36x 288 + y 24 x 6 = , y 0 x 8 6;12 24 x 6 24 x 6 + Tính giá trị: y 8 16 3 , y 6 0 , y 12 0 Thể tích khối trụ lớn nhất khi x 8 . Câu 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số? A. .y x3 3B.x2 . C. . yD. . x3 3x 1 y x3 3x2 3x 2 y x3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 7/23 - Mã đề thi 357
  8. Hướng dẫn giải Chọn C. Các hàm số trên nghịch biến trên toàn trục số khi y 0,x ¡ + Hàm số y x3 3x2 có y 3x2 6x không thoả + Hàm số y x3 3x 1 có y 3x2 3 không thoả 2 + Hàm số y x3 3x2 3x 2 có y 3x2 6x 3 thoả điều kiện y 3 x 1 0,x ¡ + Hàm số y x3 có y 3x2 không thoả x 3 Câu 3: Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số chỉ có một x2 6x m tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang? A. . 27 B. hoặc9 . 27 C. . 0 D. . 9 Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện cần ( ): Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng khi mẫu số chỉ có một nghiệm 62 4m 0 m 9 hoặc có hai nghiệm nhưng một nghiệm là x 3 2 3 6. 3 m 0 m 27 Điều kiện đủ () x 3 x 3 + Với m 9 , hàm số y y : đồ thị có TCĐ : x 3 , TCN : y 0 . x2 6x 9 x 3 2 x 3 x 3 1 + Với m 27 , hàm số y y đồy thị có , x 3 x2 6x 27 x 3 x 9 x 9 TCĐ : x 9 , TCN : y 0 . 1 Câu 4: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x x2 x A. .F x ln x ln x B.1 . F x ln x ln x 1 C. .F x ln x ln x D.1 . F x ln x ln x 1 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 1 Phân tích hàm số f x x 1 x Các nguyên hàm là ln x 1 ln x C một nguyên hàm là F x ln x ln x 1 Câu 5: Tập xác định của hàm số y x3 27 3 là A. .D ¡ \3B. . C. . D 3;D. . D 3; D ¡ Hướng dẫn giải Chọn B. y x3 27 3 là hàm luỹ thừa với số mũ không nguyên nên hàm số xác định khi x3 27 0 x 3. Tập xác định là D 3; . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 8/23 - Mã đề thi 357
  9. 2 3 Câu 6: Cho log3 x 3 . Giá trị của biểu thức P log3 x log1 x log9 x bằng 3 3 11 3 6 5 3 A. . B. . C. D. . 3 3. 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 3 Ta có log3 x 3 x 3 . Do đó, 2 3 3 3 3 1 3 P log3 3 log1 3 log9 3 2 3 3 3 . 3 . 3 2 2 Câu 7: Tính S 1009 i 2i2 3i3 2017i2017 . A. S B.20 1 7 10C.09 i . D.1 009 2017i. 2017 1009i. 1008 1009i. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có S 1009 i 2i2 3i3 4i4 2017i2017 1009 4i4 8i8 2016i2016 i 5i5 9i9 2017i2017 2i2 6i6 10i10 2014i2014 3i3 7i7 11i11 2015i2015 504 505 504 504 1009  4n i 4n 3  4n 2 i 4n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1009 509040 509545i 508032 508536i 2017 1009i. Cách khác: Đặt f x 1 x x2 x3 x2017 f x 1 2x 3x2 2017x2016 xf x x 2x2 3x3 2017x2017 1 Mặt khác: x2018 1 f x 1 x x2 x3 x2017 x 1 2018x2017 x 1 x2018 1 f x x 1 2 2018x2017 x 1 x2018 1 xf x x. 2 x 1 2 Thay x i vào 1 và 2 ta được: 2017 2018 2018i i 1 i 1 2018 2018i 2 S 1009 i. 1009 i 2017 1009i i 1 2 2i Câu 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 4x2 4x 1 tại điểm A 3; 2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai là B . Điểm B có tọa độ là A. B 1;0 . B. BC. 1; 1 0 . D. B 2;33 . B 2;1 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 9/23 - Mã đề thi 357
  10. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y 3x2 8x 4 , y 3 7 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là y 7x 19 . Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số đã cho với tiếp tuyến của nó là 3 2 x 2 y 33 x 4x 4x 1 7x 19 x 3 3 2 Câu 9: Hàm số y x 3x 9x 4 đạt cực trị tại x1 và x2 thì tích các giá trị cực trị bằng A. 25. B. 82. C. 207. D. 302. Hướng dẫn giải Chọn C 2 x 1 y 9 Ta có y 3x 6x 9 , y 0 x 3 y 23 Câu 10: Phát biểu nào sau đây là đúng A. ex sin xB.dx ex cos x ex cos xdx. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. C. ex sin xdxD. ex cos x ex cos xdx. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. Hướng dẫn giải Chọn A x x u e du e dx x x x Đặt . Ta có e sin xdx e cos x e cos xdx dv sin xdx v cos x 1 1 1 1 Câu 11: Cho a 0,b 0,a 1,b 1,n ¥ * . Một học sinh tính: P log b log b log b log b a a2 a3 an theo các bước sau: 2 3 n Bước I: .P logb a logb a logb a logb a 2 3 n Bước II: .P logb a.a .a a 1 2 3 n Bước III: .P logb a Bước IV: .P n n 1 .logb a Trong các bước trình bày, bước nào sai ? A. Bước III. B. Bước I. C. Bước II. D. Bước IV. Hướng dẫn giải Chọn D. n n 1 n n 1 Vì 1 2 3 n nên P .log a 2 2 b a x3 x Câu 12: Đặt I dx. Ta có: 2 0 x 1 2 2 1 é 2 2 ù A. .I = (a + 1) a + 1- B.1 . I = ê(a + 1) a + 1+ 1ú 3 ë û 2 2 1 é 2 2 ù C. .I = (a + 1) a + 1+D.1 . I = ê(a + 1) a + 1- 1ú 3 ë û Hướng dẫn giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 10/23 - Mã đề thi 357
  11. Chọn D. 2 a x3 x a x 1 .x a Ta có: I dx dx x2 1.xdx 2 2 0 x 1 0 x 1 0 t x2 1 t 2 x2 1 t.dt x.dx . Đổi cận: x 0 t 1; x a t a2 1 a2 1 1 a2 1 1 Khi đó: I t.tdt t3 a2 1 a2 1 1 . 1 1 3 3 3 Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3x log2 m 0 có đúng một nghiệm. 1 A. . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D. Vẽ đồ thị hàm số C : y x3 3x 3 3 Ta có phương trìnhx 3x log2 m 0 x 3x log2 m ( với điều kiện m 0 ) là phương 2 trình hoành độ giao điểm của đồ thị C : y x 3x và đường thẳng y log2 m . Dựa vào đồ thị 1 log m 2 0 m C ta thấy với: thì thỏa2 yêu cầu bài toán. 4 log2 m 2 m 4 Câu 14: Khẳng định nào sau đây là luôn luôn đúng với mọi a,b dương phân biệt khác 1 ? logb ln a 2logb 2loga a A. .a = b B. . C. . a = bD. a = ln a loga b = log10 b. Hướng dẫn giải Chọn B. log b 2 2. a 2 2logb log 10 l og b log 10 2loga Ta có a = a a = (a a )loga 10 = b a = b . Câu 15: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 1 7 1 A. . i 7 1 2i i B. . 1 i 10 3 2i 3 2i 1 i 6 13 40i C. . 2 i 3 3 i 3 16 37i TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 11/23 - Mã đề thi 357
  12. D. . 1 3i 2 3i 1 2i 1 i 3 5 2 3 3 3 i Hướng dẫn giải Chọn D. 1 7 1 i 1 1 1 Ta thấy: i 7 i 1 : đúng. 2i i 2 i 2 2 1 i 10 3 2i 3 2i 1 i 6 2i 5 13 2i 3 32i 13 8i 13 40i : đúng. 2 i 3 3 i 3 2 11i 18 26i 16 37i : đúng. 1 3i 2 3i 1 2i 1 i 3 5 2 3 3 3 i : sai. Vì 1 3i 2 3i 1 2i 1 i 3 1 3i 2 2 3 4 3 i 2 2i 5 2 3 3 3 i Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z2 z 2 z . A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi z a bi với a;b ¡ . Khi đó z2 z 2 z a bi 2 a2 b2 a bi 2b2 a bi 2abi 0 2 b 0 a 0 2b2 a 0 2b a 0 1 1 . b 2ab 0 b 1 2a 0 a b 2 2 1 1 1 1 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài là z 0, z i, z i . 2 2 2 2 Câu 17: Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x 1 x 2 2 . A. 5 2. B. 2. C. 2 5. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C. x 0 y 4 Ta có y 3x x 2 ; y 0 3x x 2 0 . x 2 y 0 Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 2;0 và B 0;4 . Vậy AB 22 42 2 5 . 2 Câu 18: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 biết z1 z2 có phần ảo là số thực 2 2 âm. Tìm phần thực của số phức w 2z1 z2 . A. 9. B. 4. C. 9. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 z1 1 2i Ta có z 2z 5 0 (do z1 z2 4i có phần ảo là 4 ). z2 1 2i 2 2 Do đó w 2z1 z2 3 12i . 2 2 Vậy phần thực của số phức w 2z1 z2 là 3. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 12/23 - Mã đề thi 357
  13. Câu 19: Một người lần đầu gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 3% của một quý và lãi từng quý sẽ được nhập vào vốn (hình thức lãi kép). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai sẽ gần với kết quả nào sau đây? A. 2triệu.32 B. triệu.2 62 C. triệu. 313 D. triệu. 219 Hướng dẫn giải Chọn A. Công thức tính lãi suất kép là A a 1 r n . Trong đó a là số tiền gửi vào ban đầu, r là lãi suất của một kì hạn (có thể là tháng; quý; năm), n là kì hạn. Sau 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai thì 100 triệu gửi lần đầu được gửi là 18 tháng, tương ứng với 6 quý. Khi đó số tiền thu được cả gốc và lãi của 100 triệu gửi lần đầu là 6 3 A1 100 1 (triệu). 100 Sau 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai thì 100 triệu gửi lần hai được gửi là 12 tháng, tương ứng với 4 quý. Khi đó số tiền thu được cả gốc và lãi của 100 triệu gửi lần hai là 4 3 A2 100 1 (triệu). 100 Vậy tổng số tiền người đó nhận được 1 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai là 6 4 3 3 A A1 A2 100 1 100 1 232 triệu. 100 100 b Câu 20: Nếu b a 2 thì biểu thức 2xdx có giá trị bằng: a A. b a . B. 2 b a . C. b a. D. 2 b a . Hướng dẫn giải Chọn B. b b Ta có 2xdx x2 b2 a2 b a b a 2 b a . a a 2 Câu 21: Giải bất phương trình: log 1 x 2x 8 4. 2 A. 6 x 4 hoặc 2 x 4 . B. hoặc6 x 4 . 2 x 4. C. xhoặc 6 . x 4. D. hoặc x .6 x 4. Hướng dẫn giải Chọn C. 2 x 4 Ta có: điều kiện: x 2x 8 0 . (*) x 2 4 2 2 1 log 1 x 2x 8 4 x 2x 8 16 2 2 2 x 6 x 2x 24 0 . x 4 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: x 6; x 4. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 13/23 - Mã đề thi 357
  14. Câu 22: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z 4 z 4 10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R 4. . x2 y2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình x 4 2 y2 x 4 2 y2 12. x2 y2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 25 9 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z x yi. Gọi A 4;0 là điểm biểu diễn của số phức z 4. Gọi B 4;0 là điểm biểu diễn của số phức z 4. Khi đó: z 4 z 4 10 MA MB 10. (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm. 2 2 x y 2 2 2 Gọi phương trình của elip là 2 2 1, a b 0,a b c a b Từ (*) ta có: 2a 10 a 5. AB 2c 8 2c c 4 b2 a2 c2 9 x2 y2 Vậy quỹ tích các điểm M là elip: E : 1. 25 9 Câu 23: Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v t 3t 2 6t (m/s). Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t1 0 (s), t2 4 (s). A. 16. B. 24. C. 8. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A. 4 4 4 Quãng đường chất điểm đi được là: S v t dt 3t 2 6t dt t3 3t 2 16. 0 0 0 Câu 24: Cho hàm số y x3 6x2 9x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? y y 4 4 x x O 1 3 -1 O 1 3 Hình 3 Hình 4 A. y x 3 6x2 9 x . B. y x3 6x2 9x. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 14/23 - Mã đề thi 357
  15. C. yD. x3 6x2 9x . y x 3 6 x 2 9 x . Hướng dẫn giải Chọn A. Đồ thị hàm số ở hình 2 nhận làm trục đối xứng nên là hàm số chẵn. Loại đi 2 phương án B và C. Mặt khác, với x 1, ta có y 1 4 (nhìn vào đồ thị) nên chọn phương án A. Câu 25: Đường thẳng d : y x 4 cắt đồ thị hàm số y x3 2mx2 m 3 x 4 tại 3 điểm phân biệt A 0;4 , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. mhoặc 2 m B. hoặc3. m 2 m 3. C. mD. hoặc3. m 2 m 3. Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C : x3 2mx2 m 3 x 4 4 x 0 3 2 x 2mx m 2 x 0 2 x x 2mx m 2 0 1 Với x 0, ta có giao điểm là A 0;4 . d cắt C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. 0 m 2 0 (*) 2 m m 2 0 Ta gọi các giao điểm của d và C lần lượt là A, B xB ; xB 2 ,C xC ; xC 2 với xB , xC là nghiệm của phương trình (1). xB xC 2m Theo định lí Viet, ta có: xB .xC m 2 1 Ta có diện tích của tam giác MBC là S  BC d M , BC 4. 2 Phương trình d được viết lại là: d : y x 4 x y 4 0. 1 3 4 Mà d M , BC d M ,d 2. 12 1 2 8 8 Do đó: BC BC 2 32 d M , BC 2 2 2 2 2 Ta lại có: BC xC xB yC yB 2 xC xB 32 2 2 xB xC 4xB .xC 16 2m 4 m 2 16 4m2 4m 24 0 m 3;m 2. Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m 2. Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;2;1 và mặt phẳng (P): x- 3y + 2z - 2= 0 .Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song mặt phẳng (P) là: A. . B.Q .: x 3y 2z 4 0 Q : x 3y 2z 1 0 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 15/23 - Mã đề thi 357
  16. C. . QD. :. 3x y 2z 9 0 Q : x 3y 2z 1 0 Hướng dẫn giải Chọn D. Vì mặt phẳng Q song song P : x 3y 2z 2 0 nên phương trình Q có dạng Q : x 3y 2z m 0 m 2 Q đi qua A 3;2;1 nên thay tọa độ vào ta có m 1 . Vậy phương trình Q : x 3y 2z 1 0 Câu 27: Hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - 1, x = 2, y = 0, y = x2 - 2x có diện tích được tính theo công thức: 2 0 2 A. .S (x2 2x)dx B. . S (x2 2x)dx (x2 2x)dx 1 1 0 0 2 2 C. .S (x2 D.2 x.)dx (x2 2x)dx S x2 2xdx 1 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 x 0 (n) Giải phương trình hoành độ giao điểm x 2x 0 x 2 (n) 2 0 2 0 2 S x2 2xdx x2 2xdx x2 2xdx (x2 2x)dx (x2 2x)dx 1 1 0 1 0 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3) , b 0;2; 1 , c 1;7;2 . Tọa độ vectơ 1 x 4a b 3c 3 là: 5 53 121 17 A. .x 11; B.; . x 5; ; 3 3 3 3 1 55 1 1 C. .x 11; D.; . x ; ;18 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 2 1 4a (8; 20;12) , b 0; ; , 3c 3;21;6 . 3 3 3 1 1 55 x 4a b 3c 11; ; . 3 3 3 Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 1;0; 1 và C 0; 1;2 , D 0;m;k . Hệ thức giữa m và k để bốn điểm ABCD đồng phẳng là : A. .m k 1 B. . C.m . 2k 3 D. . 2m 3k 0 2m k 0 Hướng dẫn giải Chọn B.    AB (0;2; 1) AC ( 1;1;2) AD ( 1;m 2;k) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 16/23 - Mã đề thi 357
  17.      AB, AC (5;1;2) AB, AC .AD m 2k 3    Vậy bốn điểm ABCD đồng phẳng AB, AC .AD 0 m 2k 3 Chú ý: Có thể lập phương trình (ABC) sau đó thay D để có kết quả. Câu 30: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;4 . A. . S : x2 y2B. z.2 x 2y 4z 0 S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 C. . S : x2 y2 D. z 2 x 2y 4z 0 .S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 Hướng dẫn giải Chọn C. Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (a 2 b2 c2 d 0) Vì mặt cầu (S) đi qua O, A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;4 nên thay tọa độ bốn điểm lần lượt d 0 d 0 12 0 0 2.1.a d 0 1 a 2 2 2 vào ta có 2 2 S : x y z x 2y 4z 0 0 2 0 2 2 .b d 0 b 1 2 0 0 4 2.4.c d 0 c 2 Câu 31: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng P :8x 4y 8z 11 0 ; Q : 2x 2y 7 0 . A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 Hướng dẫn giải Chọn A. n P 8; 4; 8 ;n Q 2; 2;0 n P .n Q 12 2 2 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P & Q ta có cos n P . n Q 24 2 Vậy . 4 e k Câu 32: Đặt I ln dx . k nguyên dương. Ta có Ik e 2 khi: k 1 x A. k 1;2. B. k 2;3. C. k 4;1. D. k 3;4. Hướng dẫn giải Chọn A. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 17/23 - Mã đề thi 357
  18. Đặt k 1 e u ln du dx k e x x Ik x.ln + dx e 1 ln k 1 Ik e 2 x 1 dv dx v x 1 e 1 e 1 ln k 1 e 2 ln k ln k 1 ln e 0 k e 2.7 e 1 Do k nguyên dương nên k 1;2. Câu 33: Hình nón đường sinh l , thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung quanh của hình nón là. l 2 l 2 l 2 l 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. l 2 Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên r 2 l 2 Vậy diện tích xung quanh của nón bằng S xq 2 Câu 34: Hình phẳng giới hạn bởi y x2 ; y 4x2 ; y 4 có diện tích bằng 13 8 17 16 A. đvdt . B. đvdt . C. đvdt . D. đvdt . 4 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 x 2 2 x 1 x 4 ; 4x 4 x 2 x 1 2 1 16 Diện tích hình phẳng là S x2 4 dx 4x2 4 dx đvdt . 2 1 3 Chú ý: Có thể vẽ hình sau đó dựa vào hình vẽ ta có: 1 2 16 S 2 (4x2 -x2 )dx (4-x2 )dx đvdt 0 1 3 Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2x 3y z 4 0 ; Q :5x 3y 2z 7 0 Vị trí tương đối của P & Q là A. Song song. B. Cắt nhưng không vuông góc. C. Vuông góc. D. Trùng nhau. Hướng dẫn giải Chọn B. n P 2; 3;1 ;n Q 5; 3; 2 n P k.n Q k 0 n P .n Q 0. Vậy vị trí tương đối của P & Q là cắt nhưng không vuông góc. Câu 36: Cho hình chóp S.ABC là tam giác vuông tại A , ·ABC 30o , BC a . Hai mặt bên SAB và SAC cùng vương góc với đáy ABC , mặt bên SBC tạo với đáy một góc 450 . Thể tích của khối chóp S.ABC là: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 18/23 - Mã đề thi 357
  19. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 64 16 9 32 Hướng dẫn giải Chọn D. S SAB  ABC Ta có: SAC  ABC SA  ABC . SAB  SAC SA Kẻ AH  BC SH  BC A C SBC  ABC BC o H Khi đó: BC  AH S· HA 45 B BC  SH a 3 a a 3 Mà AB BC.cos300 và AC BC.sin 30o nên AH AB.sin 300 2 2 4 a 3 Nên SA 4 1 1 a3 Do đó: V S .SA AB.AC.SA . 3 ABC 6 32 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ a 2;1; 2 , b 0; 2; 2 . Tất cả giá trị của mđể hai véc tơ u 2a 3mb và v ma b vuông là: 26 2 11 2 26 26 2 26 2 A. . B. . C. . D. . 6 18 6 6 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: u 2a 3mb 4;2 3m 2; 4 3m 2 và v ma b 2m;m 2; 2m 2 . Khi đó: u.v 0 8m 2 3m 2 m 2 4 3m 2 2m 2 0 26 2 9m2 2 6m 6 2 0 m 6 Câu 38: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P qua điểm A 1;1;1 và vuông góc với đường thẳng OA có phương trình là: A. . P : x B. y . z 0 P : x y z 0 C. . P D.: x y z 3 0 P : x y z 3 0 Hướng dẫn giải Chọn C.  Mặt phẳng P đi qua điểm A 1;1;1 và có véc tơ pháp tuyến OA 1;1;1 Nên: P : x y z 3 0 . Câu 39: Hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là một hình thoi có góc nhọn bằng , cạnh a . Diện tích xung quanh của hình hộp đó bằng S . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D ? 1 1 1 1 A. a.S sin B. a.S sin C. a.S sin D. a.S sin 4 2 8 6 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 19/23 - Mã đề thi 357
  20. Hướng dẫn giải A D Chọn A. C S B Ta có: S 4AB.AA AA 4a 1 2 A Và S 2S 2. AB.BC.sin a sin D ABCD ABC 2 1 Vậy: V S .AA a.S sin B ABCD 4 C Câu 40: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức ztrong mặt phẳng phức, biết số phức thỏaz mãn điều kiện z 2i z 1 . A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x 2y 3 0 . B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x 2y 3 0 . C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 4y 3 0 . D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 4y 3 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi z x yi , x, y ¡ Ta có: z 2i z 1 x y 2 i x 1 yi x2 y 2 2 x 1 2 y2 2x 4y 3 0 Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 . Mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến ấy có bán kính r bằng: A. r 4 . B. r 2 . C. r 5 . D. .r 6 Hướng dẫn giải Chọn C. Mặt cầu có bán kính R 1 4 9 14 và tâm I 1;2;3 . Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng Oxy là d 3 . Bán kính đường tròn giao tuyến là r R2 d 2 5 . Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A B C D có A 1;1; 6 , B 0;0; 2 , C 5;1;2 và D 2;1; 1 . Thể tích khối hộp đã cho bằng: A. 12. B. 19. C. 38 . D. .42 Hướng dẫn giải Chọn C.    Thể tích khối hộp đa cho V 6V AB, AC .AD . ABCD    Ta có: AB 1; 1;4 , AC 6;0;8 và AD 1;0;5      Do đó: AB, AC 8; 16; 6 . Suy ra AB, AC .AD 38 . Vậy V 38 . Câu 43: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Mặt cầu tâm I 2; 3; 4 tiếp xúc với mặt phẳng Oxy có phương trình x2 y2 z2 4x 6y 8z 12 0 . B. Mặt cầu S có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 cắt trục Ox tại A ( khác gốc tọa độ O ). Khi đó tọa đô là A 2;0;0 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 20/23 - Mã đề thi 357
  21. C. Mặt cầu S có phương trình x a 2 y b 2 z c 2 R2 tiếp xúc với trục Ox thì bán kính mặt cầu S là r b2 c2 . D. x2 y2 z2 2x 2y 2z 10 0 là phương trình mặt cầu. Hướng dẫn giải Chọn D. Câu D sai vì phương trình x2 y2 z2 2x 2y 2z 10 0 có a 1 , b c 1 , d 10 nên a2 b2 c2 d 0. Do đó phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu. Câu 44: Một mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a . Diện tích mặt cầu S là: 3 a2 3 a2 A. . B. . C. .6 a2 D. . 3 a2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Trong mặt phẳng ABO dựng đường trung trực của ABcắt AO tại I . Khi đó Ilà tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . a2 2 AB2 a2 3 Ta có: AO AB2 BO2 a2 a , R IA a . 3 3 2AO 2 8 2a 3 3 3 a2 Diện tích mặt cầu S là: S 4 R2 4 a2. 8 2 Câu 45: Khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng 2 . Thể tích khối trụ là: A. 3 . B. . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi h và R là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ. Khi đó h R . Ta có: Sxq 2 2 R.h 2 R h 1 . Thể tích khối trụ: V R2.h . Câu 46: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 và y x. Khối tròn xoay tạo ra khi H quay quanh Ox có thể tích là: 1 1 A. x4 x dx đvtt . B. x2 x dx đvtt . 0 0 1 1 C. x x2 dx đvtt . D. x x4 dx đvtt . 0 0 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 21/23 - Mã đề thi 357
  22. z Hướng dẫn giải A D Chọn D. 2 x 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm x x . B C x 1 Suy ra 1 1 1 y 2 2 A V x2 x dx x4 xdx x x4 dx. D 0 0 0 Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x B C S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 49 và điểm M 7; 1;5 . Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm M là: A. x 2y 2z 15 0. B. 6x 2y 2z 34 0. C. 6x 2y 3z 55 0. D. 7x y 5z 55 0. Hướng dẫn giải Chọn C. uuur Mặt cầu S có tâm I 1; 3;2 IM 6;2;3 . uuur Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M 7; 1;5 và có véctơ pháp tuyến IM 6;2;3 nên có phương trình là: 6 x 7 2 y 1 3 z 5 0 6x 2y 3z 55 0. Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; 2 , B 3; 1; 4 ,C 2;2;0 . Điểm D trong mặt phẳng Oyz có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng Oxy bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là: A. D 0;3; 1 . B. D 0; 3; 1 . C. D 0;1; 1 . D. D 0;2; 1 . Hướng dẫn giải Chọn A. Vì D Oyz D 0;b;c , do cao độ âm nên c 0. c Khoảng cách từ D 0;b;c đến mặt phẳng Oxy : z 0 bằng 1 1 c 1 do c 0 . 1 Suy ra tọa độ D 0;b; 1 . Ta có: uuur uuur uuur AB 1; 1; 2 , AC 4;2;2 ; AD 2;b;1 uuur uuur AB, AC 2;6; 2 uuur uuur uuur AB, AC .AD 4 6b 2 6b 6 6 b 1 1 uuur uuur uuur V AB, AC .AD b 1 ABCD 6 b 3 D 0;3; 1 Mà VABCD 2 b 1 2 . Chọn đáp án D 0;3; 1 . b 1 D 0; 1; 1 Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1;2;3 . Mặt phẳng P đi qua điểm H, cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng P là A. ( P) :3x y 2z 11B. 0 . (P) :3x 2y z 10 0. C. (P) : x 3y 2z 13 0. D. (P) : x 2y 3z 14 0. Hướng dẫn giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 22/23 - Mã đề thi 357
  23. Chọn D. Do tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên nếu H là trực tâm của tam giác ABC dễ dàng chứng minh được OH  ABC hay OH  P . uuur Vậy mặt phẳng P đi qua điểm H 1;2;3 và có VTPT OH 1;2;3 nên phương trình P là x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z 14 0. Câu 50: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng AB D và BC D . 3 3 2 A. . B. 3. C. . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau: A 0;0;0 B 2;0;0 C 2;2;0 D 0;2;0 A 0;0;2 B 2;0;2 C 2;2;2 D 0;2;2 uuur uuur AB 2;0;2 , AD 0;2;2 , A' D' uuur uuur C' BD 2;2;0 , BC 0;2;2 B' A * Mặt phẳng AB D qua A 0;0;0 và nhận D véctơ r 1 uuur uuur B tuyến. Phương trình n AB , AD 1; 1;1 làm véctơ pháp C AB4 D là : x y z 0. r 1 uuur uuur * Mặt phẳng BC D qua B 2;0;0 và nhận véctơ m BD, BC 1;1; 1 làm véctơ pháp 4 tuyến. Phương trình BC D là : x y z 2 0. Suy ra hai mặt phẳng AB D và BC D song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt 2 2 3 phẳng chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BC D : d A, BC D . 3 3 1 1 2 3 Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm d AB D , BC D AC .2 3 . 3 3 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 23/23 - Mã đề thi 357