›
›
›

Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Chuyên đề: Nhị thức Newtơn, đại số tổ hợp và xác suất

docx 35 trang thaodu 5560
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Chuyên đề: Nhị thức Newtơn, đại số tổ hợp và xác suất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_on_thi_thpt_quoc_gia_mon_toan_nam_2019_chuyen_de_nhi_thuc.docx

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Chuyên đề: Nhị thức Newtơn, đại số tổ hợp và xác suất

  1. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI VỀ NHỊ THỨC NIU TƠN 10 Câu 1. Tìm hệ số của x12 trong khai triển (2x - x 2 ) . 8 2 8 2 2 8 A. C10 . B. C10 2 . C. C10 . D. - C10 2 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 10 10 10 2 10 k 10- k 2 k k 10- k 10- k+ 2k k 10- k 10+ k (2x - x ) = å C10 .(2x) .(- x ) = å C10 .(2) .x = å C10 .(2) .x . k= 0 k= 0 k= 0 12 2 8 Hệ số của x ứng với 10 + k = 12 Û k = 2 ¾ ¾® hệ số cần tìm C10 2 . Chọn B. 2007 Câu 2. Khai triển đa thức P (x)= (5x - 1) ta được 2007 2006 P (x)= a2007 x + a2006 x + + a1x + a0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 7 7 7 7 A. a2000 = - C2007 .5 . B. a2000 = C2007 .5 . 2000 2000 7 7 C. a2000 = - C2007 .5 . D. a2000 = C2007 .5 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 2017 2017 2007 k 2017- k k k 2017- k k 2017- k (5x - 1) = å C2017 .(5x) .(- 1) = å C2017 .(5) .(- 1) .x . k= 0 k= 0 Hệ số của x 2000 ứng với 2017- k = 2000 Û k = 7 7 2000 2000 2000 ¾ ¾® hệ số cần tìm - C2017 .(5) = - C2007 .5 . Chọn C. Câu 3. Đa thức P (x)= 32x 5 - 80x 4 + 80x 3 - 40x 2 + 10x - 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? 5 5 5 5 A. B.(1- C.2x ) . (1+ 2x)D (2x - 1) . (x - 1) . Lời giải. Nhận thấy P (x) có dấu đan xen nên loại đáp án B. Hệ số của x 5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x 5. ) Chọn C. 13 7 æ 1ö Câu 4. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx - ÷ . èç x ø÷ 4 7 3 3 7 3 7 A. - C13 x . B. - C13. C. - C13 x . D. C13 x . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 13 13 k 13 æ 1ö æ 1ö k çx - ÷ = C k .x13- k .ç- ÷ = C k . - 1 .x13- 2k . ç ÷ å 13 ç ÷ å 13 ( ) è x ø k= 0 è x ø k= 0 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 1
  2. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 7 3 7 Hệ số của x ứng với 13- 2k = 7 Û k = 3 ¾ ¾® số hạng cần tìm - C13 x . Chọn C. 9 3 æ 1 ö Câu 5. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç 2x ø÷ 1 1 A. - C 3 x 3. B. C 3 x 3. C. - C 3 x 3. D. C 3 x 3. 8 9 8 9 9 9 Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có æ 1 ö9 9 æ1 ök 9 æ1ök çx + ÷ = C k .x 9- k .ç ÷ = C k .ç ÷ .x 9- 2k . ç ÷ å 9 ç ÷ å 9 ç ÷ è 2x ø k= 0 è2x ø k= 0 è2ø 1 Hệ số của x 3 ứng với 9- 2k = 3 Û k = 3 ¾ ¾® số hạng cần tìm C 3 x 3. Chọn B. 8 9 40 31 æ 1 ö Câu 6. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç x 2 ø÷ 37 31 37 31 2 31 4 31 A. - C40 x . B. C40 x . C. C40 x . D. C40 x . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có æ 1 ö40 40 æ1 ök 40 çx + ÷ = C k .x 40- k .ç ÷ = C k .x 40- 3k . ç 2 ÷ å 40 ç 2 ÷ å 40 è x ø k= 0 èx ø k= 0 31 37 31 Hệ số của x ứng với 40- 3k = 31 Û k = 3 ¾ ¾® số hạng cần tìm C40 x . Chọn B. 6 æ 2 2ö Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç x ø÷ 4 2 2 2 4 4 2 4 A. 2 C6 . B. 2 C6 . C. - 2 C6 . D. - 2 C6 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 6 6 k 6 æ 2ö 6- k æ2ö k çx 2 + ÷ = C k . x 2 .ç ÷ = C k . 2 .x12- 3k . ç ÷ å 6 ( ) ç ÷ å 6 ( ) è x ø k= 0 èx ø k= 0 Số hạng không chứa x ứng với 12- 3k = 0 Û k = 4 4 4 4 2 ¾ ¾® số hạng cần tìm C6 .2 = 2 C6 . Chọn A. 8 æ 1 ö Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çxy2 - ÷ . èç xyø÷ A. 70y 4 . B. 60y 4 . C. 50y 4 . D. 40y 4 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 8 8 k 8 æ 1 ö 8- k æ 1 ö k çxy2 - ÷ = C k . xy2 .ç- ÷ = C k .(- 1) .x 8- 2k .y16- 3k . ç ÷ å 8 ( ) ç ÷ å 8 è xyø k= 0 è xyø k= 0 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 2
  3. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số hạng không chứa x ứng với 8- 2k = 0 Û k = 4 4 4 4 ¾ ¾® số hạng cần tìm C8 y = 70y . Chọn A. 5 æ 1ö Câu 9. Tìm số hạng chứa x 3 y trong khai triển çxy + ÷ . èç yø÷ A. 3x 3 y. B. 5x 3 y. C. 10x 3 y. D. 4x 3 y. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 5 5 k 5 æ 1ö 5- k æ1ö çxy + ÷ = C k .(xy) .ç ÷ = C k .x 5- k .y5- 2k . ç ÷ å 5 ç ÷ å 5 è yø k= 0 èyø k= 0 ì 3 ï 5- k = 3 2 3 3 Hệ số của x y ứng với í Û k = 2 ¾ ¾® số hạng cần tìm C5 x y = 10x y. îï 5- 2k = 1 Chọn C. 3n+ 1 6 æ1 3 ö Câu 10. Tìm hệ số của x trong khai triển ç + x ÷ với x ¹ 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn èçx ø÷ 2 2 3Cn+ 1 + nP2 = 4An . A. 210x 6 . B. 120x 6 . C. 120. D. 210. 2 2 Lời giải. Từ phương trình 3Cn+ 1 + nP2 = 4An ¾ ¾® n = 3. 3n+ 1 10 10 10- k 10 æ1 ö æ1 ö æ1ö k Với n = 3 , ta có ç + x 3 ÷ = ç + x 3 ÷ = C k .ç ÷ . x 3 = C k .x 4k- 10 . ç ÷ ç ÷ å 10 ç ÷ ( ) å 10 èx ø èx ø k= 0 èx ø k= 0 6 4 Hệ số của x ứng với 4k - 10 = 6 Û k = 4 ¾ ¾® hệ số cần tìm C10 = 210. Chọn D. 2n 9 2 14 1 Câu 11. Tìm hệ số của x trong khai triển (1- 3x) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 + 3 = . Cn 3Cn n 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 A. - C18 ( 3) . B. - C18 ( 3) x . C. C18 ( 3) x . D. C18 ( 3) . 2 14 1 Lời giải. Từ phương trình 2 + 3 = ¾ ¾® n = 9. Cn 3Cn n 2n 18 18 k 18 k k k k Với n = 9 , ta có (1- 3x) = (1- 3x) = å C18.(- 3x) = å C18.(- 3) .x . k= 0 k= 0 9 9 9 Hệ số của x ứng với k = 9 ¾ ¾® hệ số cần tìm - C18 ( 3) . Chọn A. æ ö2n ç 3 ÷ Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ç2x - ÷ với x ¹ 0 , biết n là số nguyên dương èç 3 x ø÷ 3 2 thỏa mãn Cn + 2n = An+ 1 . 12 4 12 0 16 12 4 12 16 0 A. - C16 .2 .3 . B. C16 .2 . C. C16 .2 .3 . D. C16 .2 . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 3
  4. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 3 2 Lời giải. Từ phương trình Cn + 2n = An+ 1 ¾ ¾® n = 8. Với n = 8 , ta có 2n 16 16 k 16 4k æ 3 ö æ 3 ö 16- k æ 3 ö k 16- ç2x - ÷ = ç2x - ÷ = C k .(2x) .ç- ÷ = C k .216- k.(- 3) .x 3 . ç 3 ÷ ç 3 ÷ å 16 ç 3 ÷ å 16 è x ø è x ø k= 0 è x ø k= 0 4k Số hạng không chứa x ứng với 16- = 0 Û k = 12 3 12 4 12 ¾ ¾® số hạng cần tìm C16 .2 .3 . Chọn C. n 7 æ 2 2ö Câu 13. Tìm hệ số của x trong khai triển ç3x - ÷ với x ¹ 0 , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai èç x ø÷ triển bằng 1080. A. 1080. B. - 810. C. 810. D. 1080. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có n n k n æ 2ö n- k æ 2ö k ç3x 2 - ÷ = C k . 3x 2 .ç- ÷ = C k .3n- k - 2 .x 2n- 3k . ç ÷ å n ( ) ç ÷ å n ( ) è x ø k= 0 è x ø k= 0 Số hạng thứ 3 ứng với k = 2 , kết hợp với giả thiết ta có 2 n- 2 n 5 Cn .3 .4 = 1080 Û n(n - 1).3 = 4.5.3 Û n = 5. Hệ số của x 7 ứng với 2n - 3k = 7 Û 10- 3k = 7 Û k = 1 1 4 ¾ ¾® hệ số cần tìm C5 3 (- 2)= - 810. Chọn B. Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển æ 1ön çx - ÷ bằng 4. èç 3÷ø A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có æ ön æ ö æ ö2 æ ön ç 1÷ 0 n 1 ç 1÷ n- 1 2 ç 1÷ n- 2 n ç 1÷ çx - ÷ = Cn x + Cn ç- ÷x + Cn ç- ÷ x + + Cn ç- ÷ . èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ æ ö2 2 ç 1÷ n- 2 ¾ ¾® số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là Cn ç- ÷ x . èç 3ø÷ æ ö2 2 ç 1÷ n! 1 Yêu cầu bài toán Û Cn ç- ÷ = 4 Û . = 4 ¾ ¾® n = 9. èç 3ø÷ 2!(n - 2)! 9 Do n Î ¥ nên ta chọn n = 9 thỏa mãn. Chọn C. 21 Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x 3 + xy) . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 4
  5. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 10 40 10 10 43 10 A. C21 x y . B. C21 x y . 11 41 11 10 43 10 11 41 11 C. C21 x y . D. C21 x y ; C21 x y . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 21 21 - 3 21 k 3 21 k k k 63- 2k k (x + xy) = å C21.(x ) .(xy) = å C21.x .y . k= 0 k= 0 21 Suy ra khai triển (x 3 + xy) có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k = 10 ) và số hạng thứ 12 (ứng với k = 11 ). 10 43 10 11 41 11 Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là C21 x y ; C21 x y . Chọn D. 17 Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển (3x - 4) . A. B.S = C.1. S = - 1.D. S = 0. S = 8192. Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển ¾ ¾® cho x = 1. 17 Khi đó S = (3.1- 4) = - 1. Chọn B. 1000 Câu 17. Khai triển đa thức P (x)= (2x - 1) ta được 1000 999 P (x)= a1000 x + a999 x + + a1x + a0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n n A. a1000 + a999 + + a1 = 2 . B. .a 1 0 0 0 + a999 + + a1 = 2 - 1 C. .a 1000 + a999 + +D.a1 .= 1 a1000 + a999 + + a1 = 0 1000 999 Lời giải. Ta có P (x)= a1000 x + a999 x + + a1x + a0 . Cho x = 1 ta được P (1)= a1000 + a999 + + a1 + a0 . 1000 1000 Mặt khác P (x)= (2x - 1) ¾ ¾® P (1)= (2.1- 1) = 1. Từ đó suy ra a1000 + a999 + + a1 + a0 = 1 ¾ ¾® a1000 + a999 + + a1 = 1- a0 . 1000 Mà là số hạng không chứa x trong khai triển P (x)= (2x - 1) nên 1000 0 1000 1000 a0 = C1000 (2x) (- 1) = C1000 = 1. Vậy a1000 + a999 + + a1 = 0. Chọn D. 5 10 Câu 18. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P (x)= x (1- 2x) + x 2 (1+ 3x) . A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 5
  6. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 5 5 5 k 5- k k 5- k 6- k x (1- 2x) = x.å C5 .(- 2x) = å C5 .(- 2) .x . k= 0 k= 0 ¾ ¾® số hạng chứa x 5 tương ứng với 6- k = 5 Û k = 1 . 10 10 2 10 2 l 10- l l 10- l 12- l Tương tự, ta có x (1+ 3x) = x .å C10 .(3x) = å C10 .3 .x . l= 0 l= 0 ¾ ¾® số hạng chứa x 5 tương ứng với 12- l = 5 Û l = 7 . 5 1 4 7 3 Vậy hệ số của x cần tìm P (x) là C5 .(2) + C10 .3 = 3320 . Chọn C. 2 10 æ1 2 ö 3n Câu 19. Tìm hệ số chứa x trong khai triển f (x)= ç x + x + 1÷ (x + 2) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ èç4 ÷ø 3 n- 2 thức An + Cn = 14n . 5 10 5 10 10 9 10 9 10 10 A. 2 C19 . B. 2 C19 x . C. 2 C19 . D. 2 C19 x . 3 n- 2 Lời giải. Từ phương trình An + Cn = 14n ¾ ¾® n = 5. 2 æ1 2 ö 3n 1 4 15 1 19 Với n = 5 , ta có f (x)= ç x + x + 1÷ (x + 2) = (x + 2) (x + 2) = (x + 2) . èç4 ø÷ 16 16 19 1 19 1 k k 19- k Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có f (x)= (x + 2) = å C19 .2 .x . 16 16 k= 0 Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19- k = 10 Û k = 9 . 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là C 10 29 = 25C 10 . Chọn A. 16 19 19 n Câu 20. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển P (x)= (1- x - 3x 3 ) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức n- 2 2 Cn + 6n + 5 = An+ 1 . A. 210. B. 840. C. 480. D. 270. n- 2 2 Lời giải. Từ phương trình Cn + 6n + 5 = An+ 1 ¾ ¾® n = 10. n 10 Với n = 10 , khi đó P (x)= (1- x - 3x 3 ) = (1- x - 3x 3 ) . Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 10 10 10 k P x = 1- x - 3x 3 = é1- x + 3x 3 ù = C k - 1 k x + 3x 3 ( ) ( ) ëê ( )ûú å 10 ( ) ( ) k= 0 10 10 k k k k 2 k k l k l k+ 2l = å C10 (- 1) x (1+ 3x ) = å C10 å Ck (- 1) 3 x . k= 0 k= 0 l= 0 ïì k + 2l = 4 ï Số hạng chứa x 4 trong khai triển tương ứng với íï 0 £ k £ 10 Û (k;l)= {(4;0),(2;1)} . ï îï 0 £ l £ k Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 6
  7. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 4 4 0 2 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C10C4 + C10C2 3 = 480 . Chọn C. 5 Câu 21. Tìm hệ số của x10 trong khai triển (1+ x + x 2 + x 3 ) . A. 5. B. 50. C. 101. D. 105. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 5 5 5 5 2 3 5 5 2 5 k k l 2 l k l k+ 2l (1+ x + x + x ) = (1+ x) (1+ x ) = å C5 x .å C5 (x ) = å C5 .å C5 .x . k= 0 l= 0 k= 0 l= 0 Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với k + 2l = 10 Û k = 10- 2l . ïì k + 2l = 10 ï Kết hợp với điều kiện ta có hệ íï 0 £ k £ 5, 0 £ l £ 5 Û (k;l)= {(0;5),(2;4),(4;3)} . ï îï k,l Î ¥ 0 5 2 4 4 3 Vậy hệ số cần tìm là C5 .C5 + C5 .C5 + C5 .C5 = 101. Chọn C. 2 8 Câu 22. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P (x)= (1+ x)+ 2(1+ x) + + 8(1+ x) . A. 630. B. 635. C. 636. D. 637. 2 4 Lời giải. Các biểu thức (1+ x), (1+ x) ,L ,(1+ x) không chứa số hạng chứa x 5. 5 5 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5(1+ x) là 5C5 . 5 6 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 6(1+ x) là 6C6 . 5 7 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 7(1+ x) là 7C7 . 5 8 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8(1+ x) là 8C8 . 5 5 5 5 5 Vậy hệ số của x trong khai triển P (x) là 5C5 + 6C6 + 7C7 + 8C8 = 636 . Chọn C. Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 1 n n+ 1 n+ 2 2n A. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n- 1 n+ 1 n+ 2 2n B. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n- 2 n+ 1 n+ 2 2n C. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n+ 1 n+ 1 n+ 2 2n D. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . ïì C 0 = C 2n ï 2n 2n ï C 1 = C 2n- 1 Lời giải. Áp dụng công thức C k = C n- k , ta có íï 2n 2n . n n ï L ï ï n- 1 n+ 1 îï C2n = C2n Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 7
  8. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 0 1 n- 1 n+ 1 n+ 2 2n Cộng vế theo vế, ta được CChọn2n + C 2B.n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 2 n Câu 24. Tính tổng S = Cn + Cn + Cn + + Cn . A. S = 2n - 1. B. S = 2n. C. S = 2n- 1. D. S = 2n + 1. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x)n , ta có n 0 1 2 2 n n (1+ x) = Cn + Cn x + Cn x + L + Cn x . 0 1 2 n n n Cho x = 1 , ta được Cn + Cn + Cn + L + Cn = (1+ 1) = 2 . Chọn B. 0 1 2 2n Câu 25. Tính tổng S = C2n + C2n + C2n + + C2n . A. S = 22n. B. S = 22n - 1. C. S = 2n. D. S = 22n + 1. 2 Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) n , ta có 2n 0 1 2 2 2n 2n (1+ x) = C2n + C2n x + C2n x + L + C2n x . 0 1 2 2n 2n 2n Cho x = 1 , ta được CChọn2n + C 2A.n + C2n + L + C2n = (1+ 1) = 2 . 1 2 n 20 Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 2 - 1 . A. n = 8. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 11. 2n+ 1 0 1 2n+ 1 Lời giải. Ta có (1+ 1) = C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 . (1) 0 2n+ 1 1 2n 2 2n- 1 n n+ 1 Lại có C2n+ 1 = C2n+ 1 ; C2n+ 1 = C2n+ 1 ; C2n+ 1 = C2n+ 1 ; ; C2n+ 1 = C2n+ 1 . (2) 22n+ 1 Từ (1) và (2) , suy ra C 0 + C 1 + + C n = 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2 1 n 2n 20 2n Û C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 2 - 1 Û 2 - 1 = 2 - 1 Û n = 10 . Vậy n = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 1 3 2n+ 1 Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 1024 . A. n = 5. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 4. 2n+ 1 0 2n+ 1 1 2n 2n+ 1 Lời giải. Xét khai triển (x + 1) = C2n+ 1x + C2n+ 1x + + C2n+ 1 . 2n+ 1 0 1 2n+ 1 Cho x = 1 , ta được 2 = C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 . (1) 0 1 2n+ 1 Cho x = - 1 , ta được 0 = - C2n+ 1 + C2n+ 1 - + C2n+ 1 . (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được 2n+ 1 1 3 2n+ 1 2n+ 1 2 = 2(C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 )Û 2 = 2.1024 Û n = 5 . Chọn A. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 8
  9. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 0 1 2 3 n n Câu 28. Tính tổng S = Cn + 3Cn + 3 Cn + + 3 Cn . A. S = 3n. B. S = 2n. C. S = 3.2n. D. S = 4n. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x)n , ta có n 0 1 2 2 n n (1+ x) = Cn + Cn x + Cn x + L + Cn x . 0 1 2 3 n n n n Cho x = 3 , ta được Cn + 3Cn + 3 Cn + + 3 Cn = (1+ 3) = 4 . Chọn D. 12 12 Câu 29. Khai triển đa thức P (x)= (1+ 2x) = a0 + a1x + + a12 x . Tìm hệ số ak (0 £ k £ 12) lớn nhất trong khai triển trên. 8 8 9 9 10 10 8 8 A. C12 2 . B. C12 2 . C. C12 2 . D. 1+ C12 2 . 12 Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ 2x) , ta có 12 12 12 k k k k k k k (1+ 2x) = å C12 (2x) = å C12 2 x . Suy ra ak = C12 2 . k= 0 k= 0 ïì 1 2 ï ³ ì ³ ïì k k k+ 1 k+ 1 ï ï ak ak+ 1 ï 2 C12 ³ 2 C12 ï 12- k k + 1 23 26 Hệ số ak lớn nhất khi í Û í Û í Û £ k £ . ï a ³ a ï 2k C k ³ 2k- 1C k- 1 ï 2 1 3 3 îï k k- 1 ïî 12 12 ï ³ îï k 12- k + 1 0£ k£ 12 8 8 ¾ ¾kÎ ¥¾® k = 8 . Vậy hệ số lớn nhất là a8 = C12 2 . Chọn A. æ ö10 ç1 2 ÷ 9 10 Câu 30. Khai triển đa thức P (x)= ç + x÷ = a0 + a1x + + a9 x + a10 x . Tìm hệ số ak (0 £ k £ 10) lớn nhất èç3 3 ø÷ trong khai triển trên. 27 27 26 28 A. 1+ C 7 . B. C 7 . C. C 6 . D. C 8 . 310 10 310 10 310 10 310 10 æ1 2 ö10 Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ç + x÷ , ta có èç3 3 ø÷ æ1 2 ö10 10 æ1ö10- k æ2 ök 10 æ1ö10- k æ2ök ç + x÷ = C k ç ÷ ç x÷ = C k ç ÷ ç ÷ x k . ç ÷ å 10 ç ÷ ç ÷ å 10 ç ÷ ç ÷ è3 3 ø k= 0 è3ø è3 ø k= 0 è3ø è3ø æ ö10- k æ ök k ç1÷ ç2÷ Suy ra ak = C10 ç ÷ ç ÷ . èç3ø÷ èç3ø÷ ïì a ³ a + 1 Giả sử a là hệ số lớn nhất, khi đó íï k k k ï îï ak ³ ak- 1 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 9
  10. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ïì 10- k k 10- (k+ 1) k+ 1 ï k æ1ö æ2ö k+ 1 æ1ö æ2ö ì ï C ç ÷ ç ÷ ³ C ç ÷ ç ÷ ï 19 ï 10 ç ÷ ç ÷ 10 ç ÷ ç ÷ ï k ³ ï è3ø è3ø è3ø è3ø ï 3 19 22 0£ k£ 10 Û íï Û íï Û £ k £ ¾ ¾ ¾® k = 7. 10- k k 10- (k- 1) k- 1 kÎ ¥ ï æ1ö æ2ö æ1ö æ2ö ï 22 3 3 ï C k ç ÷ ç ÷ ³ C k- 1 ç ÷ ç ÷ ï k £ ï 10 ç ÷ ç ÷ 10 ç ÷ ç ÷ ï 3 îï è3ø è3ø è3ø è3ø î 27 Vậy hệ số lớn nhất là a = C 7 . Chọn B. 7 310 10 HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)? A. B.9. C. D. 5. 4. 1. Lời giải. ·Nếu chọn cỡ áo 3 9thì sẽ có 5cách. · Nếu chọn cỡ áo 40 thì sẽ có 4 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 5+ 4 = 9 cách chọn mua áo. Chọn A. Câu 2. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là: A. B.13 .C. D. 72. 12. 30. Lời giải. ·Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4cách. · Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách. · Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 4 + 6 + 3 = 13 cách chọn. Chọn A. Câu 3. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là: A. 480. B. 24. C. 48. D. 60. Lời giải. ·Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có 8cách. · Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có 6 cách. · Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có 10 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 8 + 6 + 10 = 24 cách chọn. Chọn B. Câu 4. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? A. 45. B. 280. C. 325. D. 605. Lời giải. ·Nếu chọn một học sinh nam có 28 0cách. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 10
  11. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT · Nếu chọn một học sinh nữ có 325 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn. Chọn D. Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến? A. 31. B. 9. C. 53. D. 682. Lời giải. · Nếu chọn một học sinh lớp 11A có 31 cách. · Nếu chọn một học sinh lớp 12B có 22 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 31+ 22 = 53 cách chọn. Chọn C. Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? A. 27. B. 9. C. 6. D. 3. Lời giải. Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn. · Nếu chọn một quả trắng có 6 cách. · Nếu chọn một quả đen có 3 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn. Chọn B. Câu 7. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B ? A. 20. B. 300. C. 18. D. 15. Lời giải. · Nếu đi bằng ô tô có 10 cách. · Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách. · Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách. · Nếu đi bằng máy bay có 2 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 10 + 5+ 3+ 2 = 20 cách chọn. Chọn A. Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài? A. 20. B. 3360. C. 31. D. 30. Lời giải. ·Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8cách. · Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 11
  12. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT · Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách. · Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách. Theo qui tắc cộng, ta có 8 + 7 + 10 + 6 = 31 cách chọn. Chọn C. Câu 9. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây? A. 4. B. 7. C. 12. D. 16. Lời giải. Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có: · Có 3 cách chọn mặt. · Có 4 cách chọn dây. Vậy theo qui tắc nhân ta có 3´ 4 = 12 cách. Chọn C. Câu 10. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ '' quần-áo-cà vạt '' khác nhau? A. 13. B. 72. C. 12. D. 30. Lời giải. Để chọn một bộ '' quần-áo-cà vạt '' , ta có: · Có 4 cách chọn quần. · Có 6 cách chọn áo. · Có 3 cách chọn cà vạt. Vậy theo qui tắc nhân ta có 4´ 6´ 3 = 72 cách. Chọn B. Câu 11. Một thùng trong đó có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là? A. B.13 .C. D. 12. 18. 216. Lời giải. Để chọn một hộp màu đỏ và một hộp màu xanh, ta có: · Có 12 cách chọn hộp màu đỏ. · Có 18 cách chọn hộp màu xanh. Vậy theo qui tắc nhân ta có 12´ 18 = 216 cách. Chọn D. Câu 12. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập. A. B.24 .C. D. 48. 480. 60. Lời giải. Để chọn '' một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập '' , ta có: · Có 8 cách chọn bút chì. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 12
  13. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT · Có 6 cách chọn bút bi. · Có 10 cách chọn cuốn tập. Vậy theo qui tắc nhân ta có 8´ 6´ 10 = 480 cách. Chọn C. Câu 13. Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu. A. B.24 0C D. 210. 18. 120. Lời giải. Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng- một bông hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có: · Có 5 cách chọn hoa hồng trắng. · Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ. · Có 7 cách chọn hoa hồng vàng. Vậy theo qui tắc nhân ta có 5´ 6´ 7 = 210 cách. Chọn B. Câu 14. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn. A. B.25 .C. D. 75. 100. 15. Lời giải. Để chọn thực đơn, ta có: · Có 5 cách chọn món ăn. · Có 5 cách chọn quả tráng miệng. · Có 3 cách chọn nước uống. Vậy theo qui tắc nhân ta có 5´ 5´ 3 = 75 cách. Chọn B. Câu 15. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? A. B.91 0C.00 0D 91000. 910. 625. Lời giải. Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có: · Có 280 cách chọn học sinh nam. · Có 325 cách chọn học sinh nữ. Vậy theo qui tắc nhân ta có 280´ 325 = 91000 cách. Chọn B. Câu 16. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em? A. B.12 .C. D. 220. 60. 3. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 13
  14. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Lời giải. Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có: · Có 5 cách chọn học sinh khối 12. · Có 4 cách chọn học sinh khối 11. · Có 3 cách chọn học sinh khối 10. Vậy theo qui tắc nhân ta có 5´ 4´ 3 = 60 cách. Chọn C. Câu 17. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng? A. B.10 0C D. 91. 10. 90. Lời giải. Để chọn một người đàn ông và một người đàn bà không là vợ chồng, ta có · Có 10 cách chọn người đàn ông. · Có 9 cách chọn người đàn bà. Vậy theo qui tắc nhân ta có 9´ 10 = 90 cách. Chọn D. Câu 18. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? A. B.6. C. D. 4. 10. 24. Lời giải. · Từ An ¾ ¾® Bình có 4 cách. · Từ Bình ¾ ¾® Cường có 6 cách. Vậy theo qui tắc nhân ta có 4´ 6 = 24 cách. Chọn D. Câu 19. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? A. 9.B. 10.C. 18.D. 24. Lời giải. · Từ A ¾ ¾® B có 4 cách. · Từ B ¾ ¾® C có 2 cách. · Từ C ¾ ¾® D có 2 cách. Vậy theo qui tắc nhân ta có 4´ 2´ 3 = 24 cách. Chọn D. Câu 20. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A? Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 14
  15. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A. 1296.B. 784.C. 576.D. 324. Lời giải. Từ kết quả câu trên, ta có: · Từ A ¾ ¾® D có 24 cách. · Tương tự, từ D ¾ ¾® A có 24 cách. Vậy theo qui tắc nhân ta có 24´ 24 = 576 cách. Chọn C. Câu 21. Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)? A. B.39 9C.16 8D.0. 12!. 35831808. 7!. Lời giải. Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn. · Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất. · Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai. · Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba. · Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư. · Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm. · Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu. · Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy. Vậy theo qui tắc nhân ta có 12´ 11´ 10´ 9´ 8´ 7´ 6 = 3991680 cách. Chọn A. Câu 22. Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau? A. B.62 4C D. 48. 600. 26. Lời giải. Một chiếc nhãn gồm phần đầu và phần thứ hai Î {1;2; ;25} . · Có 24 cách chọn phần đầu. · Có 25 cách chọn phần thứ hai. Vậy theo qui tắc nhân ta có 24´ 25 = 600 cách. Chọn C. Câu 23. Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1;2; ;9}, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0;1;2; ;9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau? Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 15
  16. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A. B.23 4C.00 0D.0. 234000. 75. 2600000. Lời giải. Giả sử biển số xe là a1a2a3a4a5a6 . · Có 26 cách chọn a1 · Có 9 cách chọn a2 · Có 10 cách chọn a3 · Có 10 cách chọn a4 · Có 10 cách chọn a5 · Có 10 cách chọn a6 Vậy theo qui tắc nhân ta có 26´ 9´ 10´ 10´ 10´ 10 = 2340000 biển số xe. Chọn A. Câu 24. Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên? A. B.16 0C D. 240. 180. 120. Lời giải. Ta có 253125000 = 23.34.58 nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng 2m ´ 3n ´ 5p trong đó m, n, p Î ¥ sao cho 0 £ m £ 3; 0 £ n £ 4; 0 £ p £ 8. · Có 4 cách chọn m. · Có 5 cách chọn n. · Có 9 cách chọn p. Vậy theo qui tắc nhân ta có 4´ 5´ 9 = 180 ước số tự nhiên. Chọn C. Câu 25. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết phải khác nhau) ? A. 324. B. 256. C. 248. D. 124. Lời giải. Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d)Î A = {1, 5, 6, 7}. Vì số cần tìm có 4 chữ số không nhất thiết khác nhau nên: đượca chọn từ tập (cóA phần4 tử) nên có cách4 chọn. đượcb chọn từ tập (cóA phần4 tử) nên có cách4 chọn. đượcc chọn từ tập (cóA phần4 tử) nên có cách4 chọn. đượcd chọn từ tập (cóA phần4 tử) nên có cách4 chọn. Như vậy, ta có 4´ 4´ 4´ 4 = 256 số cần tìm. Chọn B. Câu 26. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau ? A. 36. B. 24. C. 20. D. 14. Lời giải. Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d)Î A = {1,5,6,7}. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 16
  17. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Vì số cần tìm có 4 chữ số khác nhau nên: · a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn. · b được chọn từ tập A\{a} (có 3 phần tử) nên có 3 cách chọn. · c được chọn từ tập A\{a, b} (có 2 phần tử) nên có 2 cách chọn. · d được chọn từ tập A\{a, b, c} (có 1 phần tử) nên có 1 cách chọn. Như vậy, ta có 4´ 3´ 2´ 1 = 24 số cần tìm. Chọn B. Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn ? A. 99. B. 50. C. 20. D. 10. Lời giải. Gọi số cần tìm có dạng ab với (a, b)Î A = {0,2,4,6,8} và a ¹ 0. Trong đó: · a được chọn từ tập A\{0} (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn. · b được chọn từ tập A (có 5 phần tử) nên có 5 cách chọn. Như vậy, ta có 4´ 5 = 20 số cần tìm. Chọn C. Câu 28. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ? A. 36. B. 62. C. 54. D. 42. Lời giải. Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập A = {1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được 6 số có một chữ số. Gọi số có hai chữ số có dạng ab với (a,b)Î A. Trong đó: · a được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn. · b được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn. Như vậy, ta có 6´ 6 = 36 số có hai chữ số. Vậy, từ A có thể lập được 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100. Chọn D. Câu 29. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? A. 154. B. 145. C. 144. D. 155. Lời giải. Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d)Î A = {0,1,2,3,4,5}. Vì abcd là số lẻ Þ d = {1,3,5} Þ d : có 3 cách chọn. Khi đó a : có 4 cách chọn (khác 0 và d ), b : có 4 cách chọn và c : có 3 cách chọn. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 17
  18. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Vậy có tất cả 3´ 4´ 4´ 3 = 144 số cần tìm. Chọn C. Câu 30. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ? A. 156. B. 144. C. 96. D. 134. Lời giải. Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a,b,c,d)Î A = {0,1,2,3,4,5}. Vì abcd là số chẵn Þ d = {0,2,4}. TH1. Nếu d = 0, số cần tìm là abc0. Khi đó: · a được chọn từ tập A\{0} nên có 5 cách chọn. · b được chọn từ tập A\{0, a} nên có 4 cách chọn. · c được chọn từ tập A\{0, a, b} nên có 3 cách chọn. Như vậy, ta có 5´ 4´ 3 = 60 số có dạng abc0. TH2. Nếu d = {2,4} Þ d : có 2 cách chọn. Khi đó a : có 4 cách chọn (khác 0 và d ), b : có 4 cách chọn và c : có 3 cách chọn. Như vậy, ta có 2´ 4´ 4´ 3 = 96 số cần tìm như trên. Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 số cần tìm. Chọn A. HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI VỀ BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu 1. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là? 4 2 1 6 A. B. .C. D. . . . 16 16 16 16 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là W= 2.2.2.2 = 16. Gọi A là biến cố '' Cả bốn lần gieo xuất hiện mặt sấp '' ¾ ¾® WA = 1. 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= . Chọn C. 16 Câu 2. Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là? 12 11 6 8 A. B. C D. . . . 36 36 36 36 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là W= 6.6 = 36. Gọi A là biến cố '' Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm '' . Để tìm số phần tử của biến cố A , ta đi tìm số ¾ ¾® W = = ¾ ¾® W = - = phần tử của biến cố đối A là '' Không xuất hiện mặt sáu chấm '' A 5.5 25 A 36 25 11. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 18
  19. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 11 Vậy xác suất cần tính P (A)= . Chọn B. 36 Câu 3. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tổng hai mặt bằng 8. 1 5 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 36 9 2 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là W= 6.6 = 36. Gọi A là biến cố '' Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng 8 '' . Gọi số chấm trên mặt khi gieo lần một là x, số chấm trên mặt khi gieo lần hai là y. ïì 1£ x £ 6 ï Theo bài ra, ta có íï 1£ y £ 6 Þ (x; y)= {(2;6), (3;5), (4;4), (6;2), (5;3), (4;4)}. ï îï x + y = 8 Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là WA = 6. 6 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= = . Chọn A. 36 6 Câu 4. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn. A. 0,25. B. 0,5. C. 0,75. D. 0,85. Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là W= 6.6 = 36. Gọi A là biến cố '' Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn '' . Ta xét các trường hợp: TH1. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện phải là số chẵn. Khi đó có 3.3 = 9 cách gieo. TH2. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có 3.3+ 3.3 = 18 cách gieo. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là WA = 9 + 18 = 27. 27 Vậy xác suất cần tìm tính P (A)= = 0,75. Chọn C. 36 Câu 5. Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là? 12 1 6 3 A. B. C D. . . . 216 216 216 216 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là W= 6.6.6 = 36. Gọi A là biến cố '' Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau'' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là (1;1;1), (2;2;2), (3;3;3), L ,(6;6;6). Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 19
  20. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Suy ra WA = 6. 6 Vậy xác suất cần tính P (A)= . Chọn C. 216 Câu 6. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ. 70 73 56 87 A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143 Lời giải. Không gian mẫu là chọn tùy ý 4 người từ 13 người. 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C13 = 715 . Gọi A là biến cố '' 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ '' . Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: 3 1 ● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có C8C5 cách. 4 ● TH2: Chọn cả 4 nữ, có C8 cách. 3 1 4 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8C5 + C8 = 350 . W 350 70 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn A. W 715 143 Câu 7. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. 313 95 5 25 A. . B. . C. . D. . 408 408 102 136 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số phần tử 5 của không gian mẫu là W= C18 = 8568 . Gọi A là biến cố '' 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng'' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 1 3 ● TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có C6 .C7 .C5 cách. 2 2 1 ● TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có C6 .C7 .C5 cách. 1 1 3 2 2 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6 .C7 .C5 + C6 .C7 .C5 = 1995 . W 1995 95 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn B. W 8568 408 Câu 8. Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bị, tính xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 20
  21. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1 1 16 1 A. . B. . C. . D. . 12 3 33 2 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi. Suy ra số phần tử 4 của không gian mẫu là W= C12 = 495 . Gọi A là biến cố '' 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh'' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 3 ● TH1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên có C5 .C4 cách. 2 2 ● TH2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên có C5 C4 cách. 3 1 ● TH3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên có C5 .C4 cách. 2 1 1 ● TH4: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên có C5 C3C4 cách. 1 3 2 2 3 1 2 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 .C4 + C5 C4 + C5 .C4 + C5 C3C4 = 240 . W 240 16 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn C. W 495 33 Câu 9. Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly. 3851 1 36 994 A. . B. . C. . D. . 4845 71 71 4845 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa. 7 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C21 = 116280 . Gọi A là biến cố '' 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly'' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 1 5 ● TH1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có C8 .C7 .C6 cách. 2 2 3 ● TH2: Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có C8 .C7 .C6 cách. 3 3 1 ● TH3: Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có C8 .C7 .C6 cách. 1 1 5 2 2 3 3 3 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8 .C7 .C6 + C8 .C7 .C6 + C8 .C7 .C6 = 23856 . W 23856 994 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn D. W 116280 4845 Câu 10. Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 21
  22. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 57 24 27 229 A. . B. . C. . D. . 286 143 143 286 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C13 = 286 . Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 1 1 ● TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có C2C8C3 = 48 cách. 1 2 ● TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có C2C3 = 6 cách. 2 1 ● TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có C2 C3 = 3 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 48 + 6 + 3 = 57 . W 57 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = . Chọn A. W 286 Câu 11. Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu. 2808 185 24 4507 A. . B. . C. . D. . 7315 209 209 7315 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho. 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C22 = 7315 . Gọi A là biến cố '' Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu'' . Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu. W = 1 1 1 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C7C6C5C4 840 . W = W- W = Suy ra số phần tử của biến cố A là A A 6475 . W 6475 185 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn B. W 7315 209 Câu 12. Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu. 14 48 47 81 A. . B. . C. . D. . 95 95 95 95 Lời giải. Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 22
  23. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C20 .C19 . Gọi A biến cố '' 2 quả cầu được lấy cùng màu'' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: ● TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng. 1 1 Do đó trường hợp này có C8 .C7 cách. ● TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen. 1 1 Do đó trường hợp này có C12 .C11 cách. 1 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8 .C7 + C12 .C11 . 1 1 1 1 WA C8 .C7 + C12 .C11 47 Vậy xác suất cần tính P (A)= = 1 1 = . Chọn C. W C20 .C19 95 Câu 13. Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số. 8 14 29 37 A. . B. . C. . D. . 33 33 66 66 Lời giải. Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi. 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C12 = 66 . Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.'' ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 = 16 cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh). ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 = 12 cách. ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 = 9 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 16 + 12 + 9 = 37 . W 37 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = . Chọn D. W 66 Câu 14. Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu. 810 191 4 17 A. . B. . C. . D. . 1001 1001 21 21 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi. Suy ra số phần tử 6 của không gian mẫu là W= C14 = 3003 . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 23
  24. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu'' . Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau: ● TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng). 6 Do đó trường hợp này có C6 = 1 cách. 6 ● TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có C8 cách. 6 6 Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có C11 - C6 cách. 6 6 Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có C9 - C6 cách. 6 6 6 6 6 Do đó trường hợp này có C8 + (C11 - C6 )+ (C9 - C6 )= 572 cách. W = + = Suy ra số phần tử của biến cố A là A 1 572 573 . W = W- W = - = Suy ra số phần tử của biến cố A là A A 3003 573 2430 . W 2430 810 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn A. W 3003 1001 Câu 15. Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp, tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3. 816 409 289 936 A. . B. . C. . D. . 1225 1225 1225 1225 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 50 viên bi. Suy ra số phần tử 3 của không gian mẫu là W= C50 = 19600 . Gọi A là biến cố '' 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3'' . Trong 50 viên bi được chia thành ba loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho 3 dư 1 và 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2. Để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A , ta xét các trường hợp 3 3 3 ● TH1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có (C16 + C17 + C17 ) cách. 1 1 1 ● TH2: 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có C16 .C17 .C17 cách. 3 3 3 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = (C16 + C17 + C17 )+ C16 .C17 .C17 = 6544 . W 6544 409 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn B. W 19600 1225 Câu 16. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. 1 23 2 4 A. . B. . C. . D. . 5 25 25 5 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 24
  25. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ïì a,b,c Î A ï Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó íï a ¹ 0 . ï îï a ¹ b;b ¹ c;c ¹ a Khi đó ● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b ¹ a . ● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b . Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C100 = 100 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu '' . Khi đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 8 . W 8 2 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . Chọn C. W 100 25 Câu 17. Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. 1 3 17 18 A. . B. . C. . D. . 5 35 35 35 4 Lời giải. Số phần tử của tập S là A7 = 840. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C840 = 840. Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.'' 2 ● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là C4 = 6 cách. 2 ● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là C3 = 3 cách. ● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách. 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4 .C3 .4! = 432. W 432 18 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . Chọn D. W 840 35 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 25
  26. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Câu 18. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3 . 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 15 3 Lời giải. Số phần tử của S là A5 = 60 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C60 = 60. Gọi A là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 3 '' . Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là (1; 2; 3) , (1; 2; 6) , (2; 3; 4) và (2; 4; 6) . Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được 3! = 6 số thuộc tập hợp S . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 6.4 = 24 . W 24 2 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn C. W 60 5 Câu 19. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . 1 3 22 2 A. . B. . C. . D. . 30 25 25 25 Lời giải. Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau: 3 ● Số các số thuộc S có 3 chữ số là A5 . 4 ● Số các số thuộc S có 4 chữ số là A5 . 5 ● Số các số thuộc S có 5 chữ số là A5 . 3 4 5 Suy ra số phần tử của tập S là A5 + A5 + A5 = 300 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C300 = 300 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 '' . Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1 = {1; 2; 3; 4} , A2 = {2; 3; 5} , A3 = {1; 4; 5} . ● Từ A1 lập được các số thuộc S là 4! . ● Từ A2 lập được các số thuộc S là 3! . ● Từ A3 lập được các số thuộc S là 3! . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4!+ 3!+ 3! = 36. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 26
  27. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT W 36 3 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . Chọn B. W 300 25 Câu 20. Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, tính xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5 . 8 7 2 3 A. . B. . C. . D. . 15 15 5 5 Lời giải. Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C10 . Gọi A là biến cố '' 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5 '' . Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số 0 hoặc chữ số 5 . Ta đi tìm số phần tử của biến cố A , tức 3 thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số 0 và cũng không có thẻ mang chữ số 5 3 là C8 cách. 3 3 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 - C8 . 3 3 WA C10 - C8 8 Vậy xác suất cần tính P (A)= = 3 = . Chọn A. W C10 15 Câu 21. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 560 4 11 3639 A. . B. . C. . D. . 4199 15 15 4199 Lời giải. Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ. 8 Suy ra số phần tử của không mẫu là W= C20 . Gọi A là biến cố '' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 '' . Để tìm số phần tử của A ta làm như sau: 3 ● Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có C10 cách. 4 ● Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho 10 ), có C8 cách. 1 ● Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có C2 cách. 3 4 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 .C8 .C2 . 3 4 1 WA C10 .C8 .C2 560 Vậy xác suất cần tính P (A)= = 8 = . Chọn A. W C20 4199 Câu 22. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S . Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau. 8 81 36 53 A. . B. . C. . D. . 89 89 89 89 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 27
  28. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Lời giải. Số phần tử của tập S là 9.10 = 90 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S . 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C90 = 4005 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau'' . Ta mô tả không gian của biến cố X nhưu sau: ● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số {0; 1; 2; 3; ; 9} ). 2 ● Có C9 cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số {1; 2; 3; ; 9} ). 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 10.C9 = 360 . W 360 8 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . Chọn A. W 4005 89 Câu 23. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số 0 là số lẻ). 49 5 1 45 A. . B. . C. . D. . 54 54 7776 54 8 Lời giải. Số phần tử của tập S là 9.A9 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 8 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ '' . Do số 0 luôn đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng 1 ● Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0 , có C7 cách. 2 ● Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có A5 cách. ● Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ {2; 4; 6; 8} sau đó xếp 6 số này vào 6 vị trí 2 4 trống còn lại có C3 .C4 .6! cách. 1 2 2 4 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C7 .A5 .C3 .C4 .6! . 1 2 2 4 WX C7 .A5 .C3 .C4 .6! 5 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 8 = . Chọn B. W 9.A9 54 Câu 24. Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau. 3 19 9 53 A. . B. . C. . D. . 56 28 28 56 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 28
  29. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Lời giải. Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 9 đội thành 3 bảng. 3 3 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C9 .C6 .C3 . Gọi X là biến cố '' 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau'' . ● Bước 1. Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có 3! cách. 2 2 2 ● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng A, B, C này có C6 .C4 .C2 cách. 2 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3!.C6 .C4 .C2 . 2 2 2 WX 3!.C6 .C4 .C2 540 9 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 3 3 3 = = . Chọn C. W C9 .C6 .C3 1680 28 Câu 25. Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B , mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu. 6 5 4 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 người thành 2 bảng. 4 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C8 .C4 . Gọi X là biến cố '' 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu.'' 1 ● Bước 1. Xếp 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu nên có C2 cách. 2 4 ● Bước 2. Xếp 6 bạn còn lại vào 2 bảng A, B cho đủ mỗi bảng là 4 bạn thì có C6 .C4 cách. 1 2 4 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C2 .C6 .C4 . 4 4 WX C8 .C4 3 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 1 2 4 = . Chọn D. W C2 .C6 .C4 7 Câu 26. Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là '' Tốt 'nếu' trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt.'' 941 2 4 625 A. . B. . C. . D. . 1566 5 5 1566 5 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là W= C30 = 142506 . Gọi A là biến cố '' Đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt.'' '' Vì trong một đề thi '' Tốt '' có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 29
  30. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 3 1 1 ● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có C15C10C5 đề. 3 1 1 ● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có C15C10C5 đề. 2 1 2 ● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có C15C10C5 đề. 3 1 1 3 1 1 2 1 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C15C10C5 + C15C10C5 + C15C10C5 = 56875 . W 56875 625 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn D. W 142506 1566 Câu 27. Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội dung giống nhau. Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau. 3 12 4 1213 A. B. . C. . D. . 4 1225 7 1225 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là WA = C50 . Gọi X là biến cố '' Thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau'' . Để tìm số phần tử của X ta tìm số phần tử của biến cố X , lúc này cần chọn được 1 cặp trong 4 cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu trong 48 phiếu còn lại. W = 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố X là X C4 .C48 . W- W 3 1 1 WX X C50 - C4 .C48 1213 Vậy xác suất cần tính P (X )= = = 3 = . Chọn D. W W C50 1225 Câu 28. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên. 20 20 20 20 C 30 .(3) A30 .(3) C 30 .(3) A30 .(3) A. 50 B. . 50 C 50 D 50 . 450 450 50 50 Lời giải. Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50- x là số câu trả lời sai. Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x - 0,1.(50- x)= 4 Û x = 30 . Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 450 . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 30
  31. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu'' . Vì mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, 30 20 mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có C50 .(3) khả năng thuận lợi cho biến cố X . 30 20 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C50 .(3) . 20 W C 30 .(3) Vậy xác suất cần tính P (X )= X = 50 . Chọn A. W 450 Câu 29. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 . 5 7 1 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 1728 72 Lời giải. Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9! . Gọi A là biến cố '' Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 '' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau: ● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách. ● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học sinh lớp 12 (gồm 5 vị trí 3 giữa 6 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có A7 cách xếp 3 học sinh lớp 12 . 3 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 6!.A7 . W 6!.A3 5 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = 7 = . Chọn A. W 9! 12 Câu 30. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau. 653 7 41 14 A. . B. . C. . D. . 660 660 55 55 Lời giải. Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 12 học sinh thành một hàng ngang. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 12! . Gọi A là biến cố '' Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau '' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau: ● Đầu tiên xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang, có 8! cách. ● Sau đó xem 8 học sinh này như 8 vách ngăn nên có 9 vị trí để xếp 4 học sinh nữ thỏa yêu cầu bài 4 toán (gồm 7 vị trí giữa 8 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có A9 cách xếp 4 học sinh nữ. 4 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 8!.A9 . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 31
  32. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT W 8! A4 14 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = 9 = . Chọn D. W 12! 55 Câu 31. Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3 . Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. 5 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 6 6 3 2 Lời giải. Không gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 con tem trên 3 bì thư. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 3! = 6 . Gọi A là biến cố '' 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó'' . Thế thì bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Trường hợp này có 1 cách duy nhất. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 1 . W 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = . Chọn B. W 6 Câu 32. Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp thành một dãy sao cho 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau? A. 1 6800. B. 1680. C. 140. D. 4200. Lời giải. Xếp 3 cuốn sách Toán kề nhau. Xem 3 cuốn sách Toán là 3 vách ngăn, giữa 3 cuốn sách Toán có 2 vị trí trống và thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có 4 vị trí trống. 3 Bước 1. Chọn 3 vị trí trống trong 4 vị trí để xếp 3 cuốn Lý, có C4 cách. Bước 2. Giữa 6 cuốn Lý và Toán có 5 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 7 vị trí trống. 3 Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí trống để xếp 3 cuốn Hóa, có C7 cách. Bước 3. Giữa 9 cuốn sách Toán, Lý và Hóa đã xếp có 8 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 3 10 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 10 vị trí trống để xếp 3 cuốn Sinh, có C10 cách. Vậy theo quy tắc nhân 3 3 3 có C4 .C7 .C10 = 16800 cách. Chọn A. Câu 33. Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. 37 5 5 1 A. . B. . C. . D. . 42 42 1008 6 Lời giải. Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9. Không gian mẫu là hoán vị 9 học sinh (còn lại không cố định) trên 9 ghế đánh dấu. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 32
  33. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9! . Gọi A là biến cố '' không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau'' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau: ● Đầu tiên ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp. ● Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thế thì sẽ tạo ra 6 ô trống để ta xếp 4 học 4 sinh nữ vào (mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh nữ). Do đó có A6 cách. 4 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 5!.A6 . W 5!.A4 5 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = 6 = . Chọn B. W 9! 42 Câu 34. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. 3 3 13 1 A. . B. . C. . D. . 4 16 16 4 Lời giải. Không gian mẫu là số cách sắp xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu. Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 44 cách xếp. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 44 . Gọi A là biến cố '' 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai'' . Để tìm số phần tử của A , ta chia làm hai giai đoạn như sau: ● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 1 3 hành khách vừa chọn. Suy ra có C4 .C4 cách. ● Giai đoạn thứ hai. Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách còn lại. Suy ra 1 có C3 cách. 3 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C4 .C4 .C3 . W C 3.C 1.C 1 48 3 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = 4 4 3 = = . Chọn B. W 44 44 16 Câu 35. Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để 3 người cùng đến quầy thứ nhất. 10 3 4769 1792 A. . B. . C. . D. . 13 13 6561 6561 Lời giải. Không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 người khách vào 3 quầy. Vì mỗi người khách có 3 cách chọn quầy nên có 38 khả năng xảy ra. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 38 . Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 33
  34. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gọi A là biến cố '' Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai hoặc ba'' . Để tìm số phần tử của A , ta chia làm hai giai đoạn như sau: 3 ● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 người khách trong 8 người khách và cho đến quầy thứ nhất, có C8 cách. ● Giai đoạn thứ hai. Còn lại 5 người khách xếp vào 2 quầy. Mỗi người khách có 2 cách chọn quầy. Suy ra có 25 cách xếp. 3 5 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8 .2 . W C 3.25 1792 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = 8 = . Chọn D. W 38 6561 Câu 36. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào. 94 1 6 89 A. . B. . C. . D. . 95 95 95 95 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người. 3 Suy ra số phần tử không gian mẫu là W= C20 = 1140 . Gọi A là biến cố '' 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào'' . Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 người được chọn luôn có 1 cặp vợ chồng. 1 ● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có C4 cách. 1 ● Chọn thêm 1 người trong 18 người, có C18 cách. W = 1 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C4 .C18 72 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 1140- 72 = 1068 . W 1068 89 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn D. W 1140 95 Câu 37. Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào. 64 1 1 255 A. . B. . C. . D. . 65 65 256 256 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh. 3 Suy ra số phần tử không gian mẫu là W= C40 = 9880 . Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào'' . Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 học sinh được chọn luôn có 1 cặp anh em sinh đôi. Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 34
  35. ÔN THI THPTQG 2019 - NHỊ THỨC NEW TƠN, ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1 ● Chọn 1 cặp em sinh đôi trong 4 cặp em sinh đôi, có C4 cách. 1 ● Chọn thêm 1 học sinh trong 38 học sinh, có C38 cách. W = 1 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C4 .C38 152 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 9880- 152 = 9728 . W 9728 64 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn A. W 9880 65 Câu 38. Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi. 3 13 99 224 A. . B. . C. . D. . 7 64 323 323 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày. 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C20 = 4845 . Gọi A là biến cố '' 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi '' . Để tìm số phần tử của biến cố A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 4 chiếc giày được chọn không có đôi nào. 4 ● Số cách chọn 4 đôi giày từ 10 đôi giày là C10 . 1 1 4 ● Mỗi đôi chọn ra 1 chiếc, thế thì mỗi chiếc có C2 cách chọn. Suy ra 4 chiếc có (C2 ) cách chọn. 4 W = 4 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C10 .(C2 ) 3360 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 4845- 3360 = 1485 . W 1485 99 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . Chọn C. W 4845 323 Bùi Huy Tường – THPT Nguyễn Văn Cừ Trang 35