Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án)

279 trang Thái Huy 14/09/2023 1994

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_45_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_12_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án)

Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 CâuI (2 điểm): Cho hàm số: y = x3+mx2+9x+4 (Cm) 1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu? 2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)? CâuII (2 điểm): 1. Tính: / 3 I= tg 4 xdx / 4 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y= 4x2 ; y = 4. CâuIII (2 điểm): 1.Cho phương trình: (m+3)x2 - 3mx + 2m = 0 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2x1- x2= 3. 2 Xác định m để tam thức bậc hai: f(x)= x2+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dương với  x 4 Câu IV (2 điểm): 1. giải hệ phương trình: x + y + xy = 11 x2 + y2 + 3(x + y) = 28 2. Giải và biện luận phương trình: x 2 mx x m Câu V (2 điểm): Cho phương trình: 2Cos2x - (2m+1)Cosx +m = 0 3 1. Giải phương trình với m = 2 3 2. Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x ; 2 2 Câu VI (2 điểm): 1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 2. nếu ABC là nhọn, c/m tgA + tgB + tgC 3 3 Câu VII (2 điểm): x 3 3x 2 1. Tìm: lim x 1 x 1 2. Giả phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x Câu XIII (2 điểm): x 1. giải phương trình: log2(3.2 - 1) = 2x + 1 2. Cho (H) có phương trình: x2 - 3y2 = 1 và đường thẳng : kx + 3y -1 = 0 a, Xác định k để tiếp xúc với (H) b, Tìm tọa độ tiếp điểm. Câu IX (2 điểm): 1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phương trình lần lượt là: (P): Ax + By + Cz + D1 = 0 (1) (Q): Bx + Cy + Az + D2 = 0 (2) (P): Cx + Ay + Bz + D3 = 0 (3) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0 và AB + BC + CA = 0 CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc. 2. Cho tứ diện ABCD có AB  mp(BCD), BCD vuông tại C CMR 4 mặt của tứ diện là những vuông. Câu X (2 điểm): 1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác . CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) 2. Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau. DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Hướng dẫn chấm thi Môn: Toán- Đề số 1 (Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang) Câu I: 1. y' = 3x2 + 2mx + 9 Hàm số có CĐ CT' y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5đ) ' = m2 - 27 > 0 m (- ; 3 3 )  ( 3 3 ;+ ) (0,5đ) 2. Giả sử A(x1; y1) và B(-x1; -y1) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc (Cm) (0,25đ) 3 2 Khi đó: y1 = x1 mx1 9x1 4 (1) 3 2 -y1 = x1 mx1 9x1 4 (2) (0,25đ) Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t: 2 mx1 4 0 (0,25đ) 2 mx1 4 có nghiệm m < 0 (0,25đ) Câu II: 1. Ta có: 2 2 / 3 sin 2 x / 3 1 cos2 x dx dx I = 2 = 4 (0,25đ) / 4 cos x / 4 cos x / 3 dx / 3 dx / 3 dx 2 dx dx = 4 2 (0,25đ) / 4 cos x / 4 cos x / 4 / 3 / 3 / 3 2 = 1 tg x d(tgx) 2tgx x (0,25đ) / 4 / 4 / 4 1 / 3 / 3 / 3 2 = tgx tg 3 x 2tgx x (0,25đ) 3 / 4 / 4 / 4 3 12 2. Giao điểm hai đường y=x2 có hoành độ là : x 2 Giao điểm y=4 với y = 4x2 có hoành độ là x= 1 Giao điểm hai đường y=x2 và y= 4x2 có hoành độ x=0 (0,5đ) Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là : 1 2 4x2 x2 dx 4 x2 dx S=2 0 1 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 2 2 y 2 2 = 2 3x dx 4dx x dx 2 0 1 1 y = 4x y = x2 y = 4 1 2 1 2 = 2 x 3 4x x 3 0 1 3 1 16 = (đv dt) (0,5đ) 3 x Câu III 1. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1,x2 ta có : 3m x x 1 2 m 3 2x1 x2 3 (đk m -3) (0,25đ) 2m x x 1 2 m 3 2m 3 m 3 Từ (1) và (2) ta có : x1 = và x2 = (0,25đ) m 3 m 3 Thay vào (3) ta được 2m 3 m 3 2m m 3 m 3 m 1 (0,25đ) m 3 m 3 m 3 (2m 3)(m 3) 2m(m 3) 9m 9 Với m=-1 phương trình viết : 2x2+3x -2 =0 1 x1= , x2=-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm. (0,25đ) 2 2. Tam thức đã cho dương với x - 4 0 0 0 Khi và chỉ khi 0 (0,25đ) af ( 4) 0 4 x1 x2 s 4 2 S /2 + + -4 x 1 x 2 m 2 2m 3 0 – 3 m 1 2 m 2m 3 0 m 3  m 1 3 m 1 2m 7 0 m 7 / 2 7 / 2 m 3  m 1 (0,5đ) m 5 m 5 0 2 m 7 / 2 (0,25 đ) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Câu IV: x y S Hệ S P 11 (1) 1. Đặt 2 (0,25đ) xy P S 3S 2P 28 (2) (1) P = 11 - S thế vào (2) ta được: S 2 + 5S - 50 = 0 giải được: S1 = 5; S2 = -10 x y 5 * với S1 =5 P1 = 6 hệ (I) (0,25đ) xy 6 x y 10 * với S2 = -10 P2 = 21 hệ (II) (0,25đ) xy 21 * giải hệ (I) ta được 2 nghiệm (2; 3) và (3; 2) * giải hệ (II) ta được 2 nghiệm (-3; -7) và (-7; -3) vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (2; 3); (3; 2); (-3; -7); (-7; -3) (0,25đ) 2. Giải và biện luận phương trình: x 2 mx x m Giải: Phương trình tương đương với: x m 0 x m (1) 2 2 2 (0,25đ) (x mx) (x m) 3mx m (2) Xét hai trường hợp: m * m 0: ta có: x= theo điều kiện (1) ta phải có 3 m 2 -m m 0 m>0 (0,25đ) 3 3 * m=0: x đều thỏa mãn phương trình (2) so sánh với điều kiện (1) ta nhận x 0 (0,25đ) Vậy: + m 0 phương trình có nghiệm x= 3 + m=0 phương trình co nghiệm x 0 (0,25đ) Câu V: Cho phương trình : 2cos2x - (2m+1)cosx + m = 0 Đặt: cosx = t; t 1 p/t 2t2 - (2m+1)t + m =0 2 1 = (2m-1) 0 t1 = và t2=m (0,25đ) 2 3 a. với m = thì: 2 3 * nghiệm t2 = cosx = (loại) 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 * vậy t1 = cosx = = cos x= k2 (k Z) (0,5đ) 2 3 3 3 b. Để phương trình có nghiệm x ( ; ) 2 2 thì cosx 0, tgB>0, tgC>0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: tgA+tgB+tgC 33 tgA.tgB.tgC (0,25đ) từ kết quả câu 1, ta có: tgA+tgB+tgC 3 3 tgA tgB tgC (0,25đ) (tgA+tgB+tgC)3 27(tgA+tgB+tgC) (0,25đ) (tgA+tgB+tgC)2 27 tgA+tgB+tgC 3 3 (đpcm) (0,25đ) Câu VII 6 3 x 3x 2 x 3x 2 lim 1. lim = 3 (0,5đ) x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 3x 2) (x 1)(x 5 x 4 x 3 x 2 x1 2) = lim (0,25đ) x 1 (x 1)(x 3 3x 2) (x 5 x 4 x 3 x 2 x1 2) 3 lim = (0,25đ) x 1 x 3 3x 2 2 2. giải phương trình: 8.3x + 3.2x =24 + 6x 8(3x-3) - 2x(3x-3) = 0 (0,25đ) (3x-3)(8 - 2x) = 0 (0,25đ) 3x 3 x 1 (0,25đ) x 2 8 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm x =1 và x =3 (0,25đ) Câu VIII: x 1. Giải phương trình: log2(3.2 -1)= 2x+1 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x 1 3.2 x 1 0 2 3 đặt t= 2x (t>0) (0,5đ) x 2x 1 3.2 1 2 2x x 2.2 3.2 1 0 1 t x x 1 3 2 1 2 3 1 t1 1 x 2 (thỏa) 2 2t 3t 1 0 1 2 t2 2 x 0 (phương trình có 2 nghiệm) (0,5đ) x 1 x 2 y 2 2. Giải a, (H) 1 1 1/ 3 đưởng thẳng ( ): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi: A2a2- B2b2 = C2 1 k 2 .1 .32 1 k 2 4 k 2 (0,25đ) 3 giải b: * Khi k=2 ta có ( ): 2x+3y-1=0 (1) gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của ( ) và (H) áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta có: ( ): x0x-3y0y-1 = 0 (2) x 3y 1 so sánh (1) và (2) ta có: 0 0 1 (0,25đ) 2 3 1 x0 2 tiếp điểm M0(2, y0 1 -1) * khi k=-2 ta có ( ' ): -2x+3y-1=0 (3) goi M1(x1, y1) là tiếp điểm của ( ') và (H). theo công thức phân đôi tọa độ ta có: ( '): x1x- 3y1y-1 = 0 (4) (0,25đ) Từ (3) và (4) ta có: x 3y 1 x1 2 1 1 1 2 3 1 y1 1 M1(-2, -1) M 0 (2, -1) Vậy 2 tiếp điểm là (0,25đ) M1 (-2, -1) Câu IX 1. Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lượt là: n P (A, B,C) n Q (B,C, A) (0,5đ) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn n R (C, A, B) ta có: n P .n Q n Q .n R n R .n P AB BC CA 0 Vậy 3 mặt phẳng (P), (Q) ,(R) đôi một vuông góc. (0,5đ) 2. c/m: * AB  mp(BCD) A AB  BC (0,5đ) hay ABC và ABD vuông tại B. AB  BD gt cho BCD vuông tại C và AB(BCD) nên BC là hình chiếu AC trên (BCD) theo định lí 3 đường vuông góc CDAC B D hay ACD vuông tại C. (0,5đ) C Câu X 1. Cho a, b, c là 3 cạnh của . cm: a2+ b2+ c2 < 2(ab+bc+ca) Giải: Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của nên: a,b,c dương và: 2 a b c a ab ac (1) 2 b c a b bc ab (2) (0,5đ) c a b 2 c ac bc (3) cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có: a2+ b2+ c2<2(ab+bc+ca) (đpcm) (0,5đ) 2. Giải: các chữ số lớn hơn 4 là 5, 6, 7, 8, 9 (0,25đ) Số các số gồm 5 chữ số lập nên từ các chữ số đó là hoán vị của 5 phần tử. (0,5đ) Tức là: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (0,25đ) Đáp số: 120 số  DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 đề thi học sinh giỏi lớp 12 – bảng b Môn: Toán Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số: y x x 2 x 1 x 2 Bài 2:(2đ) Parabol: y chia hình tròn x 2 y 2 8 ra làm 2 phần. Tính diện tích mỗi 2 phần đó. 4 2 Bài 3:(2đ) Tìm m để phương trình x – ( 2m+3)x + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn : -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3 Bài 4:(2đ) Giải bất phương trình: x 3 x 2 4 x 2 9 2cos x 2 2cos x 2 1 Bài 5:(2đ) Giải phương trình: sin x 3 3 3 2sin x Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của ABC thoả mãn: a = x2 + x + 1; b = 2x + 1; c = x2 – 1. Hỏi ABC có đặc điểm gì? 2x 3x 5 Bài 7:(2đ) Tính Lim x 3x 1 Bài 8:(2đ) Giải hệ phương trình: log 2 x log 4 y log 4 z 2 log3 y log9 z log9 x 2 log 4 z log16 x log16 y 2 Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R và n điểm trong không gian: A1, A2 , An. Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu (C) người ta dựng điểm N sao cho: MN MA1 MA2 MAn . Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi. a 2 b 2 a b Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn: 2 2 c d c d 0 Chứng minh: a c 2 b d 2 2 2 đáp án hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 – Bảng B DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Nội dung Điể Bài m 2 0.5 1 x x 1 0 2 2 x x 1 x vi x x 1 0 x R 2  (2đ) x x x 1 0 Đk: x 0 x 0 x 0 2 2 x 1 x 0 x x 1 x x 0 x 0 Tập xác định của hàm số là R. 0.5 Ta có: y’ = 2 x 2 x 1 2x 1 2x 1 2 3 2x 1 2x 1 2x 1 0 x 4 x x 2 x 1. x 2 x 1 4 x x 2 x 1. x 2 x 1 4 x x 2 x 1. x 2 x 1 0.75 Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R 0.25 2 Đường tròn có bán kính: R= 8 2 2 y 2 0.5 (2đ) Diện tích hình tròn là: S = R 8 (đvdt) A B Gọi diện tích phần gạch chéo là S1, phần còn lại là S2. 2 2 Cần tính S1.Phương trình đường tròn: x + y = 8 -2 O 2 x y = 8 x 2 Đường tròn và Parabol cắt nhau tại 2 điểmA, B có toạ độ là nghiệm của hệ: 2 2 x x 2y y 0 x 2 y 0.5 2 2 2 2 y 2y 8 0 y 2 x y 8 2 x 2 2 x 3 2 8 x 2 dx 2 8 x 2 dx 2 S1 = 0 0 2 0 3 2 4 đặt x = 2 2 sin t dx 2 2 costdt cận x 0 thành cận t 0 0.5 4 8 4 8 4 8 4 S 2 8 1 sin 2 t .2 2.costdt 16 cos 2 tdt 8 (1 cos 2t)dt 2 0.5 1 (đvdt) 0 3 0 3 0 3 3 4 4 S 2 S S1 8 2 6 ( đvdt) 3 3 3 Txđ của phương trình là : R Đặt x2 = X 0 , ta có phương trình: f(X) = X2 – ( 2m+3).X + m + 5 = 0 (*) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (2đ) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 1 > X 1 > 0 4 > X2 > 1 > X1 > 0 af (1) 0 m 3 0 m 3 af (0) 0 m 5 0 m 5 9 af (4) 0 7m 9 0 m 7 0.5 không tồn tại m thoả mãn bài toán . 4 Giải bất phương trình : (x-3) x 2 4 x 2 9 Txđ :R 0.5 Bpt : x 3 x 2 4 x 3 0 x 3 x 3 5 x x 3 0 x2 4 x2 6x 9 6 1.0 2 x 4 x 3 x 3 x 3 x 3 0 x 3 0 x 3 2 x 4 x 3 x 3 x 3 x 3 0 x 3 2 2 x 4 x 6x 9 5 x 6 x 3 5 x 3 x ;  3; Đây là tập nghiệm của bấtt phương trình. 5 6 0.5 3 x 6 5 cos x 0 Đk: 2k x 2k , k z. sin x 0 0.5 (2đ) 2 2 1 2 3 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF = sin x 0.5 3 2sin x 3 áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta được: 2cos x 2 2cos x 2 3 VT 12 12 . 0.5 3 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 3 để phương trình có nghiệm thì VT=VF = 3 0.5 2 1 3 sin x sin x 3 2sin x 2 x 2k k z đây là họ nghiệm của 2cos x 2 2cos x 1 3 cos x 3 3 2 phương trình. 6 Để a, b, c là 3 cạnh của ABC: a = x2 + x + 1; b= 2x+1; c = x2 –1 thì điều kiện cần 0.5 là: (x 2 x 1) (2x 1) x 2 1 3x 3 x 1 2 2 2 1 (x x 1) (x 1) 2x 1 2x x 1 0 x ;  1; x 1 2 1.0 (x 2 1) (2x 1) x 2 x 1 x 1 x 1 Với điều kiện x>1, từ giả thiết của bài toán ta kiểm tra thấy: a2 = b2 + c2 +bc. Theo định lý hàm số côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA => 0.5 1 2 2 cosA= mà 0 A = . Vậy ABC có góc A = 2 3 3 2x 2x 7 3x 5 6 0.5 Ta có 1 (2đ) 3x 1 3x 1 1 6 6t 1 đặt thì 6t = 3x-1 x Khi x thì t t 3x 1 3 0.5 2 2 2x 4t t 4  3x 5 1 3 1 1 3 Khi đó lim lim 1 lim 1 1  = e4 x 3x 1 t t t t t  0.5 2 t 1 1 3 0.5 vì lim t e; lim 1 1 t t t t 8 Đk: x > 0; y > 0; z > 0. Khi đó hệ phương trình tương đương với: 1 1 (2đ) log x log y log z 2 2 2 2 2 2 log (x yz) 2 2 1 1 0.5 log3 y log3 z log3 x 2 log3 (y xz) 2 2 2 log (z xy) 2 1 1 4 log 4 z log 4 x log 4 y 2 2 2 0.5 x yz 4 x 2 yz 42 (1) 2 2 y zx 9 y xz 9 (2) z xy 16 z 2 xy 162 (3) 0.5 Nhân (1), (2), (3) vế với vế ta được x2y2z2 = 4.9.16 x.y.z=24 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 42 2 92 27 162 32 x ; y ; z 2 24 3 24 8 24 3 9 MN MA1 MA2 MAn (1) (2đ) MO OA1 MO OA2 MO OAn n.MO OA1 OAn 0.5 Gọi tổng: OA1 OA2 OAn OK ( Điểm K hoàn toàn được xác định tuỳ thuộc vào 0.5 cách cho hệ điểm A1, A2, A3, , An) MO ON n.MO OK ON OK (n 1).MO KN (n 1).MO Khi đó: (1) 0.5 KN (n 1).MO (n 1).R (n 2) 0.5 Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R 10 Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y M(a,b) và N(c,d). Từ giả thiết ta có: 0.5 (2đ) M 1 2 1 2 1 (a ) (b ) 1 M1 2 2 2 1 1 1 (c ) 2 (d ) 2 2 2 2 1/2 1/2 -1 1/2 0.5 1 1 1 1 11 M nằm trên đường tròn tâm I( , ) bán 1-1/2 O 1/2 1 x 2 2 1/2 1 2 K kính R= , và N nằm trên đường tròn tâm 2 N1 -1 N 1 1 2 0.5 K( , ) , bán kính R= . Nối IK cắt 2 đường 2 2 2 tròn tại 2 giao điểm xa nhất M1 và N1 MN M1N1 = 2 2 M (I, R); N (K, R) (a c) 2 (b d) 2 2 2 (đpcm) 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thpt Môn : Toán Thời gian làm bài : 180 phút đề bài Câu 1 (4đ) : Cho hàm số y = x3 – ( 2m + 1 ) x2 + (m2 – 3m + 2 ) x + 4 1)Khảo sát hàm số khi m=1 2)Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung . Câu 2 (4đ): m x y 2m 1)Cho hệ phương trình : x m y m 1 a) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên 2) Giải phương trình : ( 3 8 ) X ( 3 8 ) X 6 Câu 3 (4đ): 1)Giải phương trình : 4 cos3 x + 3 2 sin2x = 8cosx 2)Cho ∆ABC thoả mãn điều kiện : acosA + bcosB + ccosC 2p = asinB + bsinC + csinA 9R ( Trong đó p là nửa chu vi , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ) Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều . Câu 4(4đ) : Trong mp(oxy) cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 – 6x + 2y +6 = 0 và điểm A(1;3) . 1)Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn ( C ) ; chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn C . 2)Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A . Câu 5(4đ) : Tính tích phân : 1 x2 I = ( e sinx + eX x2 )dx 1 Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 2006 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a b 4c P = a 1 b 1 c 1 Bảng hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 thpt Thời gian : 180 phút DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Môn : toán Câu 1 : ( 4đ) . 1) (2,5đ) Khi m=1 hàm số trở thành y= x3 – 3x2 + 4 ( 0,25đ ) • TXĐ : R (0,25đ ) • Chiều biến thiên : 2 x 0 y = 3x – 6x =0 ⇔ 3x( x-2 ) = 0 ⇔ x 2 Dùng phương pháp khoảng xét dấu + + (0,5đ) x y ta được : 0 - 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - ∞ ; 0 ) U(2;+ ∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;2 ) Vậy hàm số đặt giá trị cực đại tại x= 0 và yCĐ = y (0) = 4 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x=2 và yCT = y(2) = 0 •Dáng điệu của đồ thị : + ) y = 6x-6 = 0 ⇔ x=1 Lập bảng xét dấu ( 0,25đ ) x - ∞ 1 + ∞ y - 0 + Đồ thị Lồi Điểm uốn Lõm I(1;2) +) Lim y = ± ∞ ( 0,25 ) x→± ∞ • Bảng biến thiên : ( 0,5đ ) x - ∞ 0 1 2 + ∞ y + 0 - - 0 + CĐ Điểm uốn +∞ y =4 =2 Cực tiểu -∞ =0 • Đồ thị DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn +) Cắt trục oy tại điểm (0;4) +) Cắt trục ox tại các điểm ( -1 ; 0 ) và ( 2 ; 0 ) ( 0,25đ 4 (0,25đ) 2 -1 0 1 2 • Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn I(1;2) làm tâm đối xứng . 2)(1,5đ) Ta có y = 3x2 – 2(2m+1)x + ( m2 – 3m + 2 ) (0,25đ) Đồ thị có hai điểm CĐ và CT ở hai phía thục tung ⇔ y = 0 có hai nghiệm trái dấu . (0,5đ).⇔ 3(m2 – 3m +2 ) 0 => (3 8 )x = t Khi đó phương trình trở thành : t + 1 = 6 . t ⇔ t2 – 6t + 1 = 0 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn t 3 8 ( 3 8 ) X 3 8 ⇔ ( Thoả mãn ) ⇔ t 3 8 X ( 3 8 ) 3 8 ⇔ x= ± 2 Vậy phương trình có hai nghiệm : x= ± 2 Câu 3 : ( 4đ) (2đ) 4cos3 x + 3 2 sin2x = 8cosx (0,5đ) ⇔4cos3 x + 62 sinxcosx – 8cosx = 0 ⇔ 2cosx [ 2 cos2x + 32 sinx –4 ] = 0 ⇔2cosx [ 2(1-sin2x) +32 sinx – 4 ] = 0 ⇔cosx [ 2sin2x - 32 sinx + 2 ] = 0 cos x 0 x / 2 k ( 1đ ) ⇔ sin x 2 ( loại ) ⇔ x / 4 k2 ( k Z ) 2 x 3 / 4 k2 sin x 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm : x= /2 + k x= /4 + k2 ( k Z ) (0,5đ) x= 3 /4 + k2 2)(2đ) • Ta có : sin 2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B)cos(A-B) + 2sinCcosC = 2sinCcos(A-B) + 2sinC(- cos (A+B) ) = 2sinC [ cos(A-B) – cos(A+B) ] (0,25đ) = 2sinC ( - 2 ) sin(A)sin(-B) = 4sinAsinBsinC . . Khi đó : acosA + bcosB + ccosC 2p = asinB + bsinC + csinA 9R 2RsinAcosA + 2RsinBcosB + 2RsinCcosC a+b+c ⇔ = a .b + b .c + c . a 9R 2R22R (sin2A + 2 sin2BR + sin2C)2R a+b+c = ⇔ ⇔ ab + bc + ca 9R 2R24sinAsinBsinC a+b+c = ⇔ ab + bc + ca 9R DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a b c 8R 2 . . a b c 2R 2R 2R ⇔ ⇔ ab bc ca 9R ⇔ (a+b+c) (ab + bc + ca ) = 9abc (1) ( 0,75đ) Theo bất đẳng thức Côsi ta có : a+b+c ≥ 33 abc ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc ) 2 => ( a=b+c) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc ( 0,5đ) Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c ⇔ ΔABC đều . (0,5đ) Câu 4 : 1) (C) có phương trình : (x-3)2 + (y+1)2 = 4 (1đ) => (C) có tâm I(3;-1) và bán kính R=2 (1đ) Khoảng cách IA = ( 3 1) 2 ( 1 3) 2 20 R => A nằm ngoài đường tròn ( C ) . (1đ) 2) đường thẳng (d) đi qua A(1;3) có phương trình : a(x-1) + b(y-3) = 0 ( a2 + b2 ≠ 0 ) Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) là : | 2a – 4b | h = (0,5đ) a 2 b 2 Đường thẳng (d) là tiếp tuyến với (C) ⇔ h = R | 2a – 4b | ⇔ =2 a 2 b 2 ⇔ ⇔ b(3b-4a) = 0 (a;b) = (1;0) => Tiếp tuyến : x=1 (0,5đ) ⇔ (a;b) = (3;4) => 3x + 4y – 15 = 0 Vậy qua A(1;3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn ( C ) . Phương trình của chúng là : x=1 và 3x + 4y – 15 = 0 . Câu 5 : (4đ) 1 1 1 2 2 I (ex sin x ex x2 )dx ex sin xdx ex x2dx I I 1) ( 2đ) 1 2 1 1 1 1 1 2 I e x sin xdx I e x .x2dx Với 1 và 2 1 1 *) Tính I1 : DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đặt t=-x => dt = -dx Khi x = 1 thì t = -1 Khi x = -1 thì t = 1 1 1 2 2 I et ( sin t)( dt) et sin tdt I Vậy 1 1 1 1 => I1 = 0 *)Tính I2 : u x2 du 2xdx Đặt x x dv e dx v e 1 1 I e x x 2 xe x dx Khi đó 2 - 2 -1 1 1 1 = e - -2 xde x e 1 1 1 1 = e - - (2xex - 2 e x dx e -1 1 1 = e - 1 - ( 2e + 2. 1 ) + 2 ex e e -1 = - e - 3 + 2e - 2 e e = e - 5 e 5 Vậy I = I2 = e - e 2) ( 2đ ) Tacó a 1 1 b 1 1 4(c 1) 4 1 1 1 P 6 ( ) a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 1 1 1 1  x,y,z,t > 0 ta có : ( x + y + z + t ) ( ) ≥ 16 x y z t áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương : x , y , z , t ta có : DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x + y + z + t ≥ 4 4 xyzt (2) 1 1 1 1 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số , , , ta có : x y z t 1 1 1 1 4 ≥ 4 4 ( 3 ) x y z t xyzt Nhân ( 2 ) và ( 3 ) vế với vế ta được (1). Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = t (0,5 đ ) áp dụng (1) với x = a +1 , y = b +1 , z = c 1 , t = c 1 ta có : 2 2 c 1 c 1 1 1 2 2 (a +1 + b +1 + + ) ( ) ≥16 2 2 a 1 b 1 c 1 c 1 1 1 4 2009 ( ) ≥16 ⇔ a b c 1 1 1 4 16 ≥ ⇔ a b c 1 2009 16 12083 Vậy P ≤ 6 - => P ≤ (1đ ) 2009 2009 2005 a 4 2005 a b c 2006 b Dấu “=” xảy ra c 1 4 ⇔ a 1 b 1 ⇔ 2 2007 c 2 2005 a 4 12083 2005 Vậy MaxP = khi b ( 0,5đ ) 2009 4 2007 c 2 ĐỀ SỐ 4 đề thi học sinh giỏi khối 12 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Thời gian :180’ Môn : Toán 2 (3 điểm) Cho tích phân I Sinn xdx .()n N * 1-Bài 1: n 0 a-Tìm hệ thức giữa In và In+2 b-CMR : hàm số f(n)=(n+1)In In+1 thoả mãn f(n+1)=f(n). c-Tính f(n) 4x2 2- Bài 2 : (4 điểm) a- Giải bất phương trình sau : 2 C với vô số chỉ số n. 4- Bài 4 : ( 3 điểm )Cho ABC CMR: Điều kiện cần và đủ để trên đoạn AB tồn tại điểm D sao cho CD là trung bình nhân các độ dài AD ;BD là: C SinA.SinB Sin2 . 2 2 2 5- Bài 5 : (3 điểm). CMR x1>0 ; x2>0 ; x1y1-z1 >0 ; x2y2-z2 >0. Thì : 8 1 1 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi nào? x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 6- Bài 6 : ( 4điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. và một tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.I là trung điểm của AB, M là một điểm chạy trên AB. 1-CMR : SAD  SAB ; SBC  SAB . Vẽ giao tuyến và tính góc phẳng nhị diện của (SAD) và (SBC). 2- Vẽ MN; MQ lần lượt song song với BS,BC. (N AS;Q CD ).Mặt phẳng MNQ  SD P. a- CMR: MNPQ là hình thang vuông, MN  PQ R . Tìm quĩ tích R khi M di chuyển trên AB. b- Đặt AM=x. Tính diện tích hình thang MNPQ theo a và x, xác định x để diện tích đạt giá trị lớn nhất .Tính diện tích lớn nhất đó. đáp án thi học sinh giỏi khối 12 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1- bài 1: ( 3 điểm) a- Tìm hệ thức giữa In và In+2 . ta có In+2= 2 2 2 2 2 Sinn 2 xdx Sinn x.Sin2 xdx Sinn x 1 Cos2 x dx Sinn xdx Sinn x.Cos2 xdx (*) (0,5) 0 0 0 0 0 du Sinxdx u Cosx đặt n 1 n 1 (0,25) dv Sin x.Cosxdx v Sin x n 1 2 2 1 1 2 1 Sinn xCos2 xdx Sinn 1xCosx Sinn 2 xdx 0 I . vậy n 2 (0,5) 0 n 1 0 n 1 0 n 1 vậy (*) trở thành 1 In+2 = In - In+2 (n+1)In = (n+2) In+2 (0,25) n 1 b- CM : f(n+1) = f(n) từ f(n)=(n+1) InIn+1 : f(n+1) )=(n+2) In+1In+2 . mà (n+1)In = (n+2) In+2 (0,5) nên ta có f(n+1) )=(n+1) InIn+1 = f(n) (0,25) f 1 f 2 f 2 f 3 f 3 f 4 c- Tính f(n) ta có f n f 1 . (0,25) f n 1 f n 2 2 2 1 Sinxdx. Sin2 xdx 2 Cosx 2 . 1 Cos2x dx f(n)=f(1) =2.I1I2 =2.  0 (0,5) 0 0 0 2 2 vậy f(n) = với n . 2 2- Bài 2: (4 điểm) a- (2 điểm) Để vế trái có nghĩa : 1 1 2x 0 x điều kiện : 2 (0,25) 1 1 2x 0 x 0 Ta nhận thấy rằng 2x 2x(1 1 2x) (1 1 2x) (0,25) 1 1 2x 1 1 2x 4x2 Vậy (1 1 2x)2 (0,25) (1 1 2x)2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn BPT : : ( 1+ 1 2x )2 < 2x + 9 (0,25) 1+1 +2x + 21 2x < 2x + 9 (0,25) 7 1 2x < 2 49 1+ 2x < (0,25) 4 49 45 2x < - 1 = 4 4 45 x < (0,25) 8 Kết hợp với điều kiện : 1 45 Tập hợp nghiệm của BPT : x ; \ 0 (0,25) 2 8 b- (2 điểm) (0,5) Đặt Sinx = u ; Siny = v . Khi đó hệ trở thành : 1 (1) u v 2 (2) 2 2 2 m u v 2 (0,5) (3) u 1; v 1 - Các điểm thoả mãn ( 3) nằm trong hình vuông MNPQ . đường thẳng (1) nằm trong hình vuông là đoạn thẳng AB . 1 1 A(;1) ; B ( 1; ) (0,25) 2 2 2 m Nên ta phải tìm m để đường tròn tâm 0 bán kính r = cắt đoạn AB. 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 5 1 2 1 Ta thấy OA = OB = khoảng cách từ O đến AB là OC = . (0,25) 4 2 2 8 Vậy để đường tròn ( 2) cắt AB. Trong hình vuông ta phải có 1 2 m 5 1 7 m (0,5) 8 2 4 2 4 1 7 với m ; thì hệ có nghiệm 2 4 3-Bài 3 : ( 3 điểm) a n a k 1 k 1 1 a- k 1 ta có :1 ak 1 ak vì vậy 1- 0 => : bn  1 0 n ak ak k 1 ak (0,5) a 1 a a ak ak 1 ak ak 1 ak ak 1 mặt khác : (1 k 1 ). k k 1 2. ak ak ak . ak ak ak 1 ak ak ak 1 1 1 2 2 vậy b n ak ak 1 ak 1 ak n 1 1 1 1 2 2 2 2  k 1 ak 1 ak a0 an a0 vậy 0 bn 1 thì p(P+1) >2>q ) (0,5) 1 xét dãy a (n 1;2;3; ) thoả mãn 1=a0 lim =0 do đó limbn mà q>C nên nếu nđủ lớn thì bn > C. (0,25) n n 4-Bài 4: ( 3 điểm) (0,5) * Điều kiện cần : (1điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Giả sử : CD2 =AD.BD Ta có : SinA SinC SinB SInC 1 1 1 ; 2 SinA.SinB SinC .SinC Cos(C C ) Cos(C C ) (1 CosC) CD AD CD DB 1 2 2 1 2 1 2 2 C Sin2 2 * Điều kiện đủ : (1,5 điểm) C 1 Từ SinA.SinB Sin2 (1 CosC) (0,25) 2 2 2SinA.SinB + CosC 1 Mặt : SinA.SinB > 0 (0,25) => 2SinASinB + Cos C > CosC > -1 Vậy :  : 0 để Cos =2SinASinB + Cos C 0 C và Cos > CosC nên SinA.SinB = (Cos CosC) Sin .Sin SinC SinC 2 2 2 1 2 C C (C ;C ) Rõ ràng C1+C2 = C . Vì vậy (0,25) 1 2 2 2 Trong tam giác từ C ta có thể kẻ Cx. Sao cho chia C thành C1và C2 Cx cắt AB tại D. Thì D là điểm cần tìm . (0,25) 2 Từ : SinA.SinB=SinC1SinC2 => CD = AD.BD (0,25) 5-Bài 5: (3 điểm ) Đặt : 2 F(x) = x1 X -2z1X +y1. 2 G(x) = x2 X - 2 z2X + y2 H(x) = F(x) + G(x) (0,5) 2 2 2 Đặt : D1= x1y1 - z1 D2 = x2y2 - z 2 D= (x1+ x2 ) (y2+y2)-(z1+z2) (0,25) 2 z x y z 2 x y z 2 D Vậy F(x)=x1 X 1 1 1 1 mọi X ta có F(X) 1 1 1 1 dấu bằng xảy ra x x2 x x 1 1 1 1 X=z1/x1 D Tương tự G(X) 2 dấu bằng xảy ra X=z2/x2 (0,5) x2 D z1 z2 z1 z2 D D 1 D H(X) dấu bằng xảy ra X= khi X= ta có +2 dấu bằng x x x x x1 x2 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2 xảy ra khi z2/x2= z1/x1 (0,5) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 8 8 Vậy (0,5) D D D D D D 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Theo bất đẳng thức cô si cho hai số: 8 8 1 1 1 1 2 nghĩa là (0,5) D D1D2 D1 D2 D1 D2 2 x1x2 2 x1x2 8 1 1 2 2 2 . x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 dấu bằng xảy ra khi z2/x2= z1/x1; x1=x2 ;D1=D2  x1=x2 ; y1=y2; z1=z2. (0,25) (1 điểm) 1- (1điểm) Ta có AB= (SAB)  (ABCD) SI  AB và (SAB)  (ABCD) Nên SI  AD => AD (SAB) mà AD nằm trong (SAD) =>(SAD)  (SAB) SI  BC => BC (SAB) mà BC nằm trong( SBC) =>(SBC)  (SAB) AD (SAD) BC (SBC) S= (SAD)  (SBC); AD//BC vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua S và song song với BC , Đó là St => St (SAB)=> St SB và St  SA nên góc ASB là góc phẳng nhị diện của (SAD)và (SBC)và có độ lớn bằng 600 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2-a- (1 điểm) Ta có (MNQ) //AD; NP= (MNQ)  (SAD);MQ//AD;MQ (MNQ); AD (SAD) =>NP//MQ mặt khác MQ AB  (SAB); AB =(SAB)  (ABCD) =>MQ MNvà NP  MNvậy MNPQlà hình thang vuông tại M,N gọi R=MN PQ => SR (SAB)  (SCD SD//CD//AB từ Sta kẻ Sz //AB. Khi M chạy trên AB thì Rchạy trên Sz khiM Athì R L .L là giao của Sz với đường thẳng đi qua Avà song song với SA khiM B thì R Svậy quĩ tích của R là đoạn SL 2-b- (1 điểm) Tam giác AMN là tam giác đều => MN=NA=AM=x tam giác SNP vuông cân vì NS=NP= a-x 2 (NP MQ)MN (a x a).x (2a x).x 1 2a x x a2 a2 ta có SMNPQ = Smax 2 2 2 2 2 2 2 khi 2a-x=x x=a chính khi P N S. DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn : Toán Thời gian làm bài : 180 phút x Câu 1 : (4điểm) Cho f(x)= (m 1)6x 2m 1 6x 2 1. Giải bất phương trình f(x) 0 với m= 3 2. Tìm m để : (x-61 x )f(x) 0 với mọi x 0;1 câu 2 : (4 điểm ) 1. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm a x a x 2 2. Giải và biện luận phương trình : x 2 2 x a 2 log2 (x 2) 4 log2 (2 x a 2) câu 3: (4 điểm) Cho hàm số : x2 3x 3 y= (1) x 2 1.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có các toạ độ là các số nguyên câu 4 : (6 điểm ) 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn : x2 y2 4 và điểm A(1;0) một điểm M thay đổi trên đường tròn. Chứng minh rằng đường vuông góc với AM tại M luôn tiếp xúc với một conic cố định . 2. Cho hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi; O cố định các điểm A; B; C thay đổi . Chứng minh rằng đường vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua một điểm cố định. 3. Cho tam giác ABC vuông ở C. tìm những điểm P trong không gian thoả mãn : PA2 PB2 PC 2 câu 5: (2 điểm ) Tìm các hàm số f(x)xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điều kiện : f(x+y)=f(x).f(y);  x,y R . Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn : Toán Thời gian làm bài : 180 phút Đáp án điểm DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Câu 1 (4 điểm ): 1. (2điểm) Đặt t=6x (t 0) và : 0,25 2 0,25 f(t)=(m-1)t- 2m 1 t 2 0,5 1. m ; f(t) 0 t 2 7t 6 0 1 t 0; điều kiện x x a 0 1 a 0,5 x a cos Đặt  x a; 0; 2 phương trình a(1 cos a(1 cos 2 (*)  1 0.5 cos 2 4 a 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn  1  0.25 với o thì cos 1 2 2 2 4 1 1 0.25 Vậy để (*) có nghiệm thì 0 0  t 2 0.25 t ln 2 0.25 hàm số đồng biến Khi đó phương trình có dạng : f(x2+2) = f(2x 2 +2 ) x2+2 = 2x 2 +2 x2 = 2x +2a (1) 0.25 hoặc -x2 = 2x +2a (2) a,giải và biện luận (1) : 1 =1+2a 1 * 0 a> - (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2=1 1 2a 1 2 b,giải và biện luận (2) : 2 =1-2a 1 * (2) vô nghiệm 2 2 1 1 * = 0 a = (2) có nghiệm kép x=- 2 2 2 1 0.25 * >0 a phương trình có nghiệm : x =1 1 2a 0,5 2 Câu 3 : (4 điểm ) 1. (3 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x2 3x 3 y = x 2 TXĐ D R / 2 x2 4x 3 y' = ; y' 0 x 1; x 3 (x 2)2 ý >0: hàm số đồng biến ( ; 3 ) và ( 1 ; ) y’<0 hàm số nghịch biến ( 3; 2) và ( 2; 1) Cực đại (-3;-3); cực tiểu (-1; 1) 0.25 limx 2 y ; limx 2 y suy ra đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng 0.25 1 1 y=x+1+ ; lim 0 x+1 là tiện cận xiên x 2 x x 2 0,5 limĩm ; lim x Bảng biến thiên : 0,5 x -3 -2 -1 + 0,5 y’ + 0 - - 0 + y -3 + 0,5 - 1 Đồ thị : Giao với Oy tại (0;3 ) y 2 nhận I(-2; -1) làm tâm đối xứng 3/2 1 -3 -2 -1 x O 0,5 -3 2. (1 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 Hàm số y= x 1 x 2 vì x Z; y Z 1x 2 x 2 là ước của 1 vậy x+2=+1 hoặc x+2=-1 0,5 x 1 y 1 x 3 y 3 Vậy trên đồ thị hàm số có 2 điểm có toạ độ là các số nguyên là : (-1; 1) và (-3; -3) 0,5 Câu IV: (6 điểm ) 1. (2 điểm) Đường tròn : x2 y2 4 giả sử M(2cos ;2sin ); 0;2 0,25 AM (2cos 1;2sin ) do đó phương trình đưòng thẳng vuông góc với AM tại M có phương trình : (2cos 1)x 2sin .y D 0 M D 2cos 4 0,5 phương trình ( ) : (2cos 1)x 2sin .y 2cos 4 0 (*) Giả sử (x;y) là toạ độ các điểm không thuộc đường thẳng nào 0,25 Phương trình (*) vô nghiệm 3x2 4y2 12 x2 y2 0,5 Xét (1) 1 4 3 ta có họ đường thẳng luôn tiếp xúc với elip trên 0,5 2. (2 điểm) Lập hệ trục Oxy; O gốc A,C thay đổi lần lượt thuộc Ox và Oy. A(a;0) ; C(0;c) B(a; c) 0,25 y (a;c>0): a+c=b=hằng số c Phương trình AC: y= x c C(0;c) B(a;c) a Đường thẳng qua B vuông góc với AC 0,25 O A(a;0) a a c2 a2 y=x y0 y0 c a 0,25 c c c =b(1-a ) c a a Vậy : y = x + b(1- ) c c DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Giả sử qua D ( x1; y1) cố định với mọi a và c 0.25 a 0.25 (x1-b) – (y1-b) = 0  a;c c 0.25 x1 b y1 b 0.25 Vậy luôn đi qua điểm D (b;b) cố định. 0.25 3. (2 điểm ) 0.25 Chọn hệ trục Cxyz như hình vẽ z x A (a;0;0) ;B(0;b;0) C(0;0;0) 0.25 A Gọi P(x;y;z)ta có 0.25 PA2 PB2 PC 2 C B (x a)2 y2 z 2  x2 (y b)2 z 2  y x2 + y2 + z 2 (x-a)2 + (y-b)2 +z2 0 0.25 x a y b Vậy P(a;b;0) 0.5 z 0 Vậy tập hợp cần tìm có một điểm đó là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ACBP. 0.5 Câu 5 : (2 điểm) Nhận xét : f(x) =0 là một hàm số thỏa mãn điều kiện . f(x+y) = f(x).f(y) * ;  x ; y R và có đạo hàm  x R xét f(x) 0 . Khi đó tồn tại x0 R để f(x0 ) 0 0.25 . Theo * thì f(x0 ) = f((x0 -x)+x) = f(x) .f(x0 -x) 0;x  R f(x) 0; x  R 0.25 x x x 0.25 mặt khác ,từ * ta có f( ) = f(x) =(f( ))2 0 ; x  R 2 2 2 Lấy đạo hàm hai vế theo biến x và biến y của * ta có. Theo x : f' (x+y) =f' (x).f(y) :  x ; y R ' ' Theo x : f (x+y) =f(x).f (y) :  x ; y R 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn f ' (x) f ' (y) = ;  x ; y R f (x) f (y) 0.25 Từ đó ta có (lnf(x).), =a f(x).= ea.x + b Thử lại ta có 0.25 f(x+y) =ea(x+y)+b f(x).= ea.x + b 0.25 f(y).= ea.y + b f(x).f(y)=ea.x+b+a.y+b Vậy b=0 Do đó : f(x)= ea.x ;  x R Kết luận f(x)  0 hoặc f(x)= ea.x ; a tùy ý ;  x R 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 thpt môn toán (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) m Cho hàm số y= x + (Cm) x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. Câu 2: (3 điểm) 1. Giải phương trình sau: x - 2 2006 + x - 1 2006 = 1 2 2 2. Giải bất phương trình sau: x log 2 x - 2x log2 x - log 2 x + 5 log2 x - 6 Câu 3: (4 điểm): 1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng x -2;4 - x2 + 2x + 4 x 2 2x 8 + m 0 sin 2x 2. Tính dx  2 sin( x) 4 Câu 4: (5 điểm). 1. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó? 2. Cho Parabol (P): y2 = 8x. Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với nhau. Câu 5: (3 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 đứng có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 và CC1, I là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng d qua I cắt AB1 và MN lần lượt tại P và Q. Tính độ dài đoạn PQ theo a. ___Hết ___ Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn toán DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5.0 điểm). 1 1. m = 1 hàm số trở thành y = x + 3đ x 1 1 = x 0 TXĐ: D = R  1; y’ 1 (x 1) 2' , y’ = 0 0,5đ x 2 y’ > 0 x (- ; 0) U (2; + ) y’ < 0 x (0;1) U (1; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 0) và (2; + ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1; 2) 0,5đ ycđ = y (0) = - 1 , yct = y (2) = 3 0,5đ 1 lim y = lim x = x 1 x 1 x 1 Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 lim (y - x) =lim = 0 ĐT y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. x x x 1 1 lim y = lim x = 0,5đ x x x 1 Bảng biến thiên: x 0 1 2 + xy’ + 0 - - 0 + x y -1 + + 0.5đ - - 1 Đồ thị: Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy tại điểm (0; - 1) y 0.5đ 3 1 I O 1 2 x - 1 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn m x 0 có 2 N0pb x1, x2 khác 1 (1) 2,0đ 2. Bài toán tìm m để: x 1 y'(x1 ).y'(x2 ) 1 (2) 0,5đ 2 (1) x - x + m = 0 (3) có 2 Nopb x1, x2 khác 1 0 m 1/ 4 0,5đ 1 1 m 0 m 0 m m (2) 1 2 1 = -1 m = 1/5 (Theo ĐL Viet PT (3)) 0,75đ (x1 1) (x2 1) KL: m = 1 là giá trị cần tìm. 0,25đ 5 Câu 2: (3 điểm) 1. Giải phương trình: x -1 2006 + x -22006 = 1 1.5đ Nhận xét: x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình 0.5đ + x > 2 =>  x -1 > 1 =>  x -1 2006 > 1 => VT > 1 = VP => PTVN. + x  x -1 > 1 =>  x -2 2006 > 1 => VT > 1 = VF => PTVN 0 => VT PTVN 0.75đ KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 0.25đ 2. ĐK: x > 0 1.5đ 2 BPT (x + 1) log 2 x - (2x + 5) log2 x + 6 > 0 3 (log2 x - 2) (log2 x - ) > 0 (*) 0.5đ x 1 3 1 Log2x 2 x 4 TH1: 2 x : (*) 3 3 3 log x log x 0 log 2 x 2 x 1 2 2 x 1 2 x 1 2 2 1 3 (Vì hàm số y = log2 x - đồng biến trên (0; + )) x 1 1 => x ;2 4; 0.5đ 2 TH2: 2 x x 4 => x (0; 1 ) x 1 2 x 2 2 3 1 2 TH3: 2 = x = : (*) (log2 x - 2) > 0,  x > 0 => x = 1/2 t/m. x 1 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: (0;24;+ ) 0.5đ Câu 3: (4 điểm) 1. Xét f(x) = - x2 + 2x + 8 với x -2;4 2,0đ Ta có: x0 = 1 -2;4, f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = 0 => Tập giá trị của f(x) trên -2;4 là (0;9 1,0đ Đặt: t = x 2 2x 8 , 0 Bài toán tìm m để t2 + 4t + m - 8 > 0, t 0;3 0.5đ Xét g(t) = t2 + 4t + m - 8 trên đoạn 0;3 Ta có: t0 = 2 0;3, g(t) đồng biến trên đoạn 0;3, g(0) = m - 8, g(3) = m + 13. Suy ra g(t) > 0, t 0;3 m - 8 > 0 m > 8. 0.5đ (sin x cos x)2 1 1 2. I = dx  (sin x cos x) dx 2,0đ sin x cos x  2 sin(x ) 4 1 dx = - cosx + sinx + C - 0.5đ 1  2 sin(x ) 4  sin(x ) dx J = 4 dx 0.5đ   sin(x ) Sin2 (x ) 4 4   d cos(x ) cos(x ) 1 1 = 4 ln 4 C 0.5đ   2  2 (1 cos(x ))(1 cos(x )) cos(x ) 1 4 4 4  cos(x ) 1 1 Suy ra: I = - cosx + sinx - ln 4 C 0.5đ  2 2 cos(x ) 1 4 Câu 4: (5 điểm) 3 1. - Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được A6 = 120 số tự nhiên có 3 2,5đ chữ số khác nhau. - Tính tổng các số lập được: 0.5đ 2 Có A5 số có chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị 2 Có A5 số có chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 Có A5 số có chữ số 4 đứng ở hàng đơn vị 2 Có A5 số có chữ số 3 đứng ở hàng đơn vị 2 Có A5 số có chữ số 2 đứng ở hàng đơn vị 2 Có A5 số có chữ số 1 đứng ở hàng đơn vị => Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 2 A5 (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6) = 420 1,0đ Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là: 420 Tổng các chữ số hàng trăm là: 420 0.5đ Vậy tổng các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là: 420 .100 + 420.10 + 420 = 46620 0.5đ 2. Gọi M (x0; y0), hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của (P) qua M là d1và d2 2,5đ. 2 2 Giả sử PT d1 là: A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (A +B 0) Ax + By - (Ax0 + By0) = 0 0.5đ => Phương trình d2 là: Bx - Ay - (Bx0 - Ay0) = 0 0.5đ Theo giả thiết: d1, d2 tiếp xúc với (P) nên ta có hệ phương trình 0.5đ 2 4B = 2A (-Ax0 - By0) (1) 2 4A = 2B (-Bx0 - Ay0) (2) Từ hệ phương trình suy ra A.B 0 0.5đ 2 2 2 2 4A 2B x 0 B x 0 2A Từ (2) ta có: y0 = thay vào (1) ta được x0 = -2 0.5đ 2AB AB Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng x = -2 P 0.5đ Câu 5: (3 điểm) J C1 B1 A1 Q N M 0,25 đ DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn C B I F A Theo giả thiết lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều cạnh a, ba mặt bên là ba hình vuông cạnh a. 0.25đ - Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB tại F. Trong mặt phẳng (ABA1B1), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB1tại P. IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN tại Q. Vậy P, Q là hai điểm cần xác định. 1,0đ - Tính PQ: Đường A1B1 cắt PF tại J. Do M là điểm BB1 nên BF = B1J. I là trọng tâm tam giác đều ABC nên BF = 1 AF = a/3. 2 1 => B1J = AF => 4PM = 3FP (vì M là trung điểm của FJ và J là trung điểm PF) => 4 PQ 2 = 3 PI. 0.5đ 2a 13 - Mặt khác: FP = 4 MF = 4 BM 2 BF 2 3 1 a a 7 FI = BC = , MI = BM 2 BI 2 3 3 2 3 IF 2 FM 2 IM 2 1 => Cos  IFM = 0.5đ 2.IF.IM 13 57a 2 a 57 => IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP. cos  IFM = IP 9 3 => PQ = 3 PI = a 57 . Vậy PQ = a 57 0.5đ 4 4 4 (Thí sinh có thể làm bài này theo phương pháp toạ độ) ___Hết ___ DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: toán Thời gian 180 phút 3 1 Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x3 - mx 2 m3 (m là tham số) 2 2 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b. Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị (cm)tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. Bài 2: (2điểm) Tính tích phân 1 I = x 3 1 x 2 dx 0 Bài 3: (2điểm) Cho phương trình: x2 – 2 ( m - 1) x + 2m2 – 3m + 1 = 0 (m là tham số) Chứng minh rằng khi phương trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thỏa mãn bất đẳng thức. 9 | x1+ x2 + x1x2 | 8 Bài 4: (2 điểm) Giải bất phương trình 2 3x 2 + x 2 3 4 (3x 2)(x 2) Bài 5: (2điểm) Giải phương trình sin3 (x + ) 2 sin x 4 Bài 6: (2điểm) Cho ABC có: cos 2 A cos 2 B 1 (cotg2A + cotg2 B) sin 2 A sin 2 B 2 Chứng minh rằng ABC cân Bài 7: (2điểm) Tính giới hạn sau: 3 x 7 5 x 2 I = lim x 1 x 1 Bài 8: ( 2 điểm) Giải phương trình x- x 2 5 x-1- x 2 5 4 - 12 . 2 + 8 = 0 Bài 9: (2điểm) Cho hình chóp S . ABCD trong đó SA  (ABCD) và SA = 2; ABCD là hình chữ nhật, AB = 1; BC = 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD Bài 10: (2 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 3 Giả sử x,y là 2 số dương thỏa mãn điều kiện 6 x y Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y. Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn: Toán Bài 1: 3 1 a) Với m = 1 thì hàm số có dạng: y = x 3 x 2 2 2 * TXĐ: D = R (0,25) • Chiều biến thiên y’ = 3x2 – 3x = 3x(x-1) x 0 y’ = 0 x 1 => Hàm số đồng biến trên (- ; 0 ) và (1; + ) Hàm số nghịch biến trên (0;1) • Cực trị 1 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , ycđ = 2 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yct = 0 • Giới hạn lim y = - , lim y = x - x (0,25) * Tính lồi, lõm, điểm uốn. y” = 6 x – 3 1 y” = 0 x = 2 Dấu của y”: x - 1/2 y” - 0 + Đồ thị Lồi Điểm uốn Lõm (1/2;1/4) * Bảng biến thiên: x - 0 1/2 1 y’ + 0 - 0 + y 1/2 1/4 - 0 (0,25) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đồ thị : Giao điểm với trục ox: (1;0) và (-1/2; 0) Giao điểm với trục oy: (0; 1/2) (0,25) b) PT hoành độ giao điểm: 3 1 x3 - mx 2 x m3 0 (1) 2 2 Đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,B,C pt (1) có 3 nghiệm phân biệt 3 xA, xB, xC. Theo Vi et ta có : xA + xB +xC = m (2) 2 theo gt AB = BC 2 xB =xA + xC (3) m m Từ (2) và (3) xB = . Vậy x = là một nghiệm của (1). 2 2 3 1 m Chia f(x) = x 3 mx 2 x m3 cho x ta được: 2 2 2 m 2 m3 f(x) = (x - m ) (x2 – mx – 1 - ) - m + . (0,25) 2 2 2 4 m m m3 x = là nghiệm của (1) - + = 0 m=0, m = 2 2 2 4 m 2 Khi đó f(x) = (x - m ) (x2 – mx – 1 - ) có 3 nghiệm phân biệt 2 2 m 2 vì (x) = x2 – mx – 1 - có 2 nghiệm trái dấu (0,25) 2 m 3m 2 và có ( ) = -1 - 0 . m 2 4 vậy: m = 0 ; m = 2 (0,25) 1 Bài 2: I = x 3 . 1 x 2 .dx 0 Đặt x = sin t, t ; dx = cost . dt (0,5) 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x = 0 t = 0, x=1 t = 1 x 2 1 sin 2 t cost 2 2 2 I = sin 3t.cos 2 t.dt (1 cos 2t).cos 2 t.d(cost) 0 0 2 1 1 2 (cos 4t cos 2 t).d(cost) ( cos5 t cos3 t) | / 2 = 0 (0,5) 0 5 3 15 1 2 Vậy x 3 . 1 x 2 .dx (0,5) 0 15 Bài 3: a) x2 – 2(m-1) + 2m2 – 3m + 1 = 0 (1) Ta có ’ = (m-1)2 – (2m2 – 3m + 1) = - m2 + m (0,25) PT (1) có nghiệm ’ 0 - m2 + m 0 0 m 1 (0,25) Vậy 0 m 1 thì pt (1) có nghiệm b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Theo Vi ét ta có: x1 + x2 = 2(m-1) 2 x1 . x2 = 2m – 3m + 1 (0,25) 2 2 | x1 + x2 + x1 .x2 | = | 2m – 2 + 2m – 3m + 1| = | 2m – m – 1| (0,25) = 2 | m2 - m -1 | = 2 |(m - 1 )2 -9 | (0,25) 2 2 4 16 1 Với 0 m 1 thì ( m - )2 0 4 1 9 9 | (m - )2 - | 4 16 16 (0,25) 9 9 Vậy | x1 + x2 + x1 . x2 | 2. = (0,25) 16 8 Bài 4: Giải phương trình 23x 2 + x 2 3 4 (3x 2)(x 2) (1) 2 TXĐ: D = x R \ x  3 Trên D thì x 2 > 0, Chia 2 vế của (1) cho x 2 ta được 3x 2 3x 2 2 1 3 4 (0,25) x 2 x 2 3x 2 Đặt t = 4 , t 0 (0,25) x 2 1 BPT 2t2 – 3t + 1 0 0 t hoặc t 1 (0,25) 2 1 3x 2 1 2 34 * Với 0 t thì 4 x (0,25) 2 x 2 2 3 47 3x 2 * Với t 1 thì 4 1 x 2 (0,25) x 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 34 Vậy tập nghiệm của BPT (1): T = ;  2;  (0,25) 3 47 Bài 5: Giải phương trình sin3 (x + ) 2.sin x 4 Đặt t = x + thì phương trình trở thành (0,25) 4 sin3 t = 2 sin (t - ) sin3t = sint – cost (0,5) 4 sint (1 – cos2t) = sint – cost cost (1- sint.cost) = 0 (0,5) 1 1 sin t.cost 0 1 sin 2t 2 Vô nghiệm (0,5) cost 0 t k x k 2 4 Vậy x = + k ( k z) 4 cos 2 A cos 2 B Bài 6: = 1 (cotg2A + cotg2B) sin 2 A sin 2 B 2 2 (sin 2 A sin 2 B) 1 1 1 = ( 1 1) (0,5) sin 2 A sin 2 B 2 sin 2 A sin 2 B 2 1 1 1 1 ( ) 1 (0,25) sin 2 A sin 2 B 2 sin 2 A sin 2 B 2 sin 2 A sin 2 B = (0,25) sin 2 A sin 2 B 2sin 2 sin 2 B 4 sin 2 A . sin 2 B = (sin 2 A sin 2 B) 2 (0,25) 2 sin 2 A sin 2 B 0 (0,25) sin A sin B (0,5) A B ABC cân Bài 7: 3 x 7 5 x 2 3 x 7 2 5 x 2 2 I = lim = lim lim (0,5) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (3 x 7 2)(3 (x 7) 2 3 x 7.2 4) ( 5 x 2 2)( 5 x 2 2 = lim lim x 1 3 2 3 x 1 2 (x 1)( (x 7) x 7.2 4) (x 1)( 5 x 2) (0,5) (x 7 8) (5 x 2 4) =lim lim x 1 (x 1)(3 (x 7) 2 2.3 x 7 4) x 1 (x 1)( 5 x 2 2) (0,25) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 x 1 =lim lim x 1 3 (x 7) 2 23 x 7 4 x 1 5 x 2 2 (0,5) 1 1 7 = (0,25) 12 2 12 Bài 8: Điều kiện 5 x; x 5 (0,25) 2 2 4 x x 5 12.2 x 1 x 5 8 0 2 2 2 2 x x 5 6.2 x x 5 8 0 (0,25) 2 Đặt 2 x x 5 t ( t > 0 ) phương trình trở thành (0,25) t 2 6t 8 0 t = 2 hoặc t = 4 (0,5) 2 * Với t = 2 2 x x 5 2 x x 2 5 1 x 3 (t/m) (0,25) 2 9 * Với t = 4 2 x x 5 4 x x 2 5 2 x (t/m) (025) 4 Vậy phương trình có nghiệm x = 3; x = 9 (0,25) 4 Bài 9: Phương pháp tổng hợp: - Từ D dựng Dx // AC - Từ A dựng AF  Dx ( F Dx) và AH  SF ( H SF) - Dựng HP // FD ( P SD) - Dựng PQ // AH (Q AC) Khi đó PQ là đoạn vuông góc chung của SD và AC. Thật vậy (0,25) Ta có: FD  SA FD  FA FD  (SAF) (0,25) Suy ra FD  AH SF  AH AH  (SFD) (0,25) Do đó: AH  FD AH  AC mà PQ // AH nên PQ  AC (0,25) Hơn nữa: AH  (SFD) nên AH  SD suy ra PQ  SD Vậy ta có: d (AC, SD) = PQ = AH (0,25) Xét tam giác vuông AFD ~ tam giác vuông ABC ta có: AF AD AB.AD 3 AF (025) AB AC AC 10 trong tam giác vuông SAF ta có: 1 1 1 1 10 49 (0,25) AH 2 SA2 AF 2 4 9 36 Vậy d (AC,SD) = AH = 6 7 2 3 Bài 10: Ta có: 2 3 . x . y (0,5) x y Theo BĐT Bunhiacopski ta có: DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 2 3 2 3 ( )(x y) 6(x y) (0,5) x y ( 2 3) 2 5 2 6 x y (0,25) 6 6 Đẳng thức xảy ra khi 2 3 2 6 6 x x y 6 (0,5) x 2 y 2 3 6 y 2 3 6 5 2 6 2 6 Vậy min x y = tại x 6 6 (0,25) 3 6 y 6 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 đề thi học sinh giỏi 12 môn: toán thời gian: 180' (không kể thời gian giao đề) Đề bài: x 2 mx 1 Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = x 1 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1) 2đ b) Tìm trên 2 nhánh của (C1) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất 2đ 2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT và yCĐ.yCT > 0 1đ Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 6 x2 1 2đ b) Tìm  x, y Z thoả mãn 2đ 2 2 y 8 2 log 2 x 2x 3 7 y 3y x2 (4 điểm) Cho dãy số In e sinxdx Bài 3: 0 (n = 1, 2, ) 2e 2 a) CMR: I n 1,2, 3đ n n b) Tính lim I 1đ n n x 2 y 2 Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 1 có a > b a 2 b 2 Xét Mo(Xo, Yo) E ; O là gốc toạ độ 1) CMR: a OM b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E tại MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B thì tồn tại vị trí MO để độ dài AB min. 2đ DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin. Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: 1 a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x + x 1 TXĐ: R - {-1) 0,5đ 1 b) y' = 1 y' = 0 x 1 2 khi x = -2 hoặc x = 0 dấu y' + - - + - 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (- , -2)  (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2, -1)  (-1, 0) Có xLĐ = -2, yCĐ = -3 và xCT = 0 yCT = 1 0,5đ 1 Tiệm cận: đứng x = -1 vì lim x x 1 x 1 1 Tiệm cận xiên y = x vì lim = 0 x x 1 Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + y' + 0 - - 0 + -3 + y + - - 1 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vẽ đồ thị (0,5d) y y = x 1 -2 -1 x 0 - 1 - 3 b) Gọi A nhánh phải; B nhánh trái. 0,5đ 1 1 A (-1 + , -1 + + ) và (-1 -, -1 - - ) với và  dương  2 1 BA2 = AB2 = ( + )2 + ( + )2 1  2 1 2 1 2 1 1 4  2 = ( + ) 2 2    4 = 8  + 8 8 8 2  => ABmin 8 8 2 1điểm 1 1 1 tại =  = A 1 ; 1 4 2 4 2 4 2 4 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 B 1 ; 1 4 2 0,5đ 4 2 4 2 Bài 2: a) x = 1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ chia 2 vế cho 6 x 2 1 ta có: x 1 x 1 x 1 6 6 1 đặt t 6 (t 0) x 1 x 1 x 1 1 ta có: t 1 0 t2 - t - 1 = 0 t 1 5 1 5 t (t loại) 0,5đ 2 2 6 6 x 1 1 5 1 5 x 1 x 1 2 2 6 1 5 6 1 1 5 2 1 x 1đ 6 2 1 5 1 2 b) Nhận xét rằng: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 2 2 log2(x + 2x + 3) 1  x R 0,75đ - 2 + 3 + 7 điều kiện cần phải có y y 1 y 2 + 8 1 y 1 y Z y = 1 0,5đ 2 x2 + 2x + 3 2 x = -1 0,5đ x 1 BPT có nghiệm ( Z) 0,25 y 1 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 Đặt x Bài 3: I n 0 e .sin nxdx 2 2 1 u ex du 2xex dx, sin nxdx cos nx n 1 2 2 2 x x 1,0đ In e cosnx 0 xe cosnxdx n 0 n 1 2 2 2 n x In 1 ( 1) .e Jn ; Jn 0 xe cosnxdx n n 1 ( 1)n e 2 2 1 e 2 2 => I J J 1,0đ n n n n n n n mặt khác có:   x2   x2   x2 J n 0 xe cos nxdx 0 xe cos nxdx J n 0 xe dx e 2 1 2e 2 = I 1,0đ 2 n n 2e 2 2e 2 Do 0 và 0 n n nên In 0 theo nguyên lí kẹp (1đ) Bài 4: 2 2 x O y O 1) 2 điểm: từ MO E 1 a 2 b 2 2 2 2 và OM = x O y O và từ a > b ta có: 1,0đ 2 2 2 2 x 0 y 0 x 0 y0 2 2 2 1= + + b (1) x + y a 2 b 2 b 2 b 2 0 0 2 2 2 2 x 0 y 0 x 0 y0 2 2 2 và 1= + + a x (2)+ y a 2 b 2 a 2 a 2 0 0 từ (1) và (2) a2 OM2 b2 a OM b 1,0đ x y 2) Đường thẳng AB có dạng 1 m n với A(m,o); B(n,o) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a 2 b 2 theo t/c tiếp tuyến 1 => 0,5đ m 2 n 2 vậy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 = 2 2 2 2 2 2 a b 2 2 m 2 n 2 = m n a b b a 0,5đ m 2 n 2 n 2 m 2 m 2 n 2 a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 dấu = có khi b 2 a 2 n 2 m 2 m 2 b n 2 a a 2 b 2 1 m 2 n 2 S m a 2 ab ABmin = a + b khi 1đ  2 n b ab  Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM =  Ta có: P = sin + 2sin + 3sin M sẽ tính được sin2 + sin2 + sin2 = 2 0,5đ 2 2 2 sin + sin + sin sin + sin  + sin  = 2 C => sin + sin - 1 1 - sin A 2(sin + sin) - 2 1 - sin 0,5đ 2sin + 3sin + sin 2 + 1 = 3 1,0đ B 2 2 2 Pmin = 3 khi sin = sin ; sin = sin ; sin = sin  0,5đ => sin  = 0, sin = sin = 1 = 900,  = 900,  = 00 Pmin = 3 khi M  C. DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Bảng B Bài I 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 -3x +2 (C) 2.Giả sử A,B,C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A,B,C tương ứng cắt lại (C) tại A',B',C'. Chứng minh rằng A',B',C' thẳng hàng. ( Đề ôn luyện số 4 Toán học tuổi trẻ tháng 5/2005) Bài II. 1. Giải hệ phương trình x y - 3x 2y -1 x +y + x – y = 0 (Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002) 2. Giải bất phương trình: lnx 1 - ln(x2-x +1) > 0 2 (Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002) Bài III: 1. Gọi F(x) = dx ∫ x 3 x 5 Bằng phương pháp thêm bớt vào tử số hãy tính nguyên hàm F(x) trên. (Đề thi Đại học Y khoa năm 1997) 1 2. Tính I = ∫ln( x 2 a 2 x)dx (đk a # 0) 1 ( Đề ôn luyện số 3 Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005) Bài IV: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB =AC =a. SA=a. Cạnh SA vuông góc với đáy, M là một điểm nằm trên cạnh SB, N nằm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM. Tìm tỉ số MS/MB. (Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002) Bài V: Xét các tam giác ABC. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 5cotg2A +16cotg2B + 27 cotg2C. ( Đề ôn luyện số 3 Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005) Hướng dẫn chấm Bài (6đ) CâuI (3đ) Tập xác định: R DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Sự biến thiên: a. y’ = 3x2 -3 = 3(x2-1) => x =-1 hoặc x = 1 (0.25đ) y’>0 trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) y’ x = 0 x - ∞ 0 + ∞ y” - 0 + đồ thị lồi U(0;2) lõm (0.5đ) e. Bảng biến thiên: x - ∞ -1 0 1 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y 4 2 + ∞ - ∞ 0 (0.25đ) 3.Đồ thị: ( Học sinh tự vẽ) Đồ thị: qua A(-2;0) nhận I(0;2) làm tâm đối xứng CâuII:(3đ) Giả sử A,B,C là 3 điểm thẳng hàng thuộc đường thẳng d có phương trình y=ax+b Gọi x1,, x2, x3 lần lượt là hoành độ các điểm A,B,C thuộc (d). Tiếp tuyến với đồ thị (C) 2 3 đ của hàm số tại A có phương trình y=(3x1 -3,)(x- x1,) + x1, -3x1, + 2 (d1) (0.5 ) Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (C) là: 3 2 3 x -3x +2 = (3x1 -3,)(x- x1,) + x1, -3x1, + 2. 2 đ (x- x1,) (x+2x1) = 0 (0.5 ) => d1 cắt (C) lần nữa tại A' có hoành độ: x1' = -2 x1. đ Tương tự B',C' lần lượt có hoành độ x2' = -2 x2, x3' = -2 x3 (0.5 ) Vì A,B,C có hoành độ xi thoã mãn phương trình 3 axi + b = xi -3 xi + 2 (i = 1,2,3) 3 mà xi = - xi'/2 =>a(- xi'/2) + b = (- xi'/2) -3(- xi'/2) + 2 (0.5đ) 3 => -4a xi' + 8b = -xi -12 xi+16 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 3 ' xi' -3 xi + 2 = (4a + 9) xi' + 18 - 8b hay ba điểm A',B',C' nằm trên đường thẳng y = (4a + 9) x' + 18 - 8b Bài II (4đ) Câu I: điều kiện x+y ≥ 0 3x +2y ≥ 0 Đặt u = x y 0 => x –y = 2v2 -5u2 (0.5đ) v = 3x 2y 0 Ta có hệ phương trình đã cho  u – v = -1 (0.5đ) u + 2v2 -5u2 = 0 u = 2 (0.5đ)  v = 3 Vậy x + y = 4 x = 1 3x + 2y = 9  y = 3 (0.5đ) Thõa mãn điều kiện Câu II điều kiện x # -1 Ta có bất phương trình lnx 1 > ln(x2-x +1) (0.5đ) 2 x 1 > 2(x2-x +1) (1) (0.5đ) * Nếu x+1 > 0 x>-1 thì (1) x+1 >2(x2-x +1) 2x2-3x +1 1/2 -1) (0.5đ) * Nếu x + 1 x -x-1 >2(x2-x +1) 2x2-x +3 F(x) = x 3dx ln x ln(1 x 2 ) C (1đ) x 2 2 1 x 2 x 2 2 CâuII (2.5đ) 1 ln( t 2 a 2 t)dt Đặt t= - x => I = 1 (0.5đ) 1 a 2 1 1 ln dt ln a 2 dt ln( t 2 a 2 t)dt (1đ) 2 2 1 t a t 1 1 I = 2lna2 – I => I = lna2 (1đ) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài IV: S N A C M B Cho hệ toạ độ Axyz với A(0,0,0) B(a,0,0) C(0,a,0) S(0,0,a) Giả sử M(x,0,a-x) (0 ≤ x ≤ a) Do tam giác SAC vuông cân tại A và MS/MB = NS/NC => N(0,x,a-x) (1đ) Vậy AN = (0,x,a-x) CM = (x,-a,a-x) Do AN vuông góc với CM AN. CM = 0 (1đ) => -ax + (a-x)2 = 0 x2 - 3ax + a2 = 0 3 5 MS x 5 1 x = => (1đ) 2 MB a x 2 Bài V:(2đ) F = 5cotg2A + 16cotg2B + 27 cotg2C = (3+2)cotg2A +(12+4) cotg2B +(9+18) cotg2C = (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + 2 cotg2A) (1đ) ≥12(cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12 Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3 (1đ) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Đề thi học sinh giỏi toán 12 Thời gian : 180 phút Bài 1: (2điểm) : Tìm các điểm cực trị của hàm số : y = excosx. (Trích chuyên đề Hàm số của Lê Hồng Đức) Bài 2 (4 điểm) : Cho phương trình : cos3x - cos2x + m cosx - 1 = 0 a- (2 điểm) : Giải phương trình với m = 1. b- (2 điểm) : Tìm m để phương trình có đúng bảy nghiệm (- ; 2 ). 2 (Trích đề thi ĐH Y thành phố Hồ Chí Minh - 1999) Bài 3 (2 điểm) : Giải bất phương trình : 2 x 2 6 x 1 - x + 2 > 0. (Trích 150 đề thi Đại học) Bài 4 (2 điểm) : Chứng minh rằng :  ABC nhọn ta đều có : 2 (SinA + SinB + SinC) + 1 (tgA + tgB + tgC) > . 3 3 (Trích đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Hải Phòng - 1998) Bài 5 (2 điểm). 3 3 2 Tìm A = lim F(x) với F(x) = 5 x x 7 x 2 1 x 1 (Trích đề thi ĐH QGHN năm 1993) 1 xdx Bài 6 (2 điểm) : Tính : I = 4 2 0 x x 1 (Trích đề ĐH TCKT năm 2000) 3 Bài 7 (2 điểm) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x3 + với x > 0 x 2 (Trích PP giải toán hàm số của tác giả Lê Hồng Đức) 2sinx 3 sinx 2 Bài 8 (2 điểm) : Giải phương trình : 3 (3sinx 10).3 + 3 - Sinx = 0 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 12- tỉnh Đồng Nai - 1996) Bài 9 (2 điểm) : Cho ABC biết A (2; -1) và hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có phương trình là : dB : x - 2y + 1 = 0 dC : x + y + 3 = 0 Hãy lập phương trình đường thẳng BC./. (Trích đề thi ĐH Thương mại năm 1999) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn hướng dẫn chấm thi môn toán đề thi học sinh giỏi toán 12 Thời gian : 180 phút Bài Nội dung Điểm 1 TXĐ : D = R 0,25 Ta có : y' = excosx - exsinx. Cho y' = 0 ex (cosx - sinx) = 0 sinx = cosx x = + k ( k z). 4 0,25 y" = excosx - exsinx - (exsinx + excosx) = - 2exsinx 0,5 Với x = + k 4 TH1 : Nếu k = 2l (l z) thì x = + l2 . 4 Thay vào y" : l 2 y"( + l2 ) = -2e 4 . Sin ( + l2 ) 0 4 4 x = 5 + l2 là điểm cực tiểu của hàm số (l z) 4 0,5 2 4.00 2a 2.00 Biến đổi phương trình về dạng : 4cos3x - 3cosx - 2cos2x + 1 + mcosx - 1 = 0 4cos3x - 2cos2x + (m - 3) cosx = 0 (1) 0,5 Đặt t = cosx, x R thì t [-1; 1] (*) Với m = 1 thay vào (1) ta được : 1.00 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn t (4t2 - 2t - 2) = 0 t = 0; t = - 1 ; t = 1 thoả mãn (*) 2 cosx = 0 x = + k2 2 1 2 cosx = - x = + k2 (k z) 0,5 2 3 cosx = 1 x = k2 2b 2.00 Từ phương trình (1) ta có : cosx = 0 (2) 4cos2x - 2cosx + m - 3 = 0 (3) Giải (2) ta có : cosx = 0 x = + k (k z) 2 Vì x (- ; 2 ) nên phương trình (2) chỉ nhận : x = là nghiệm 2 2 0,5 x = 3 2 Đặt t = cosx thì (3) 4t2 - 2t + m - 3 = 0 (4) Để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm (- ; 2 ) thì phương trình (4) phải 2 có nghiệm thoả mãn điều kiện sau : -1 0 0,5 af(1) > 0 m - 3 0 1 0 3 2.00 2x2 6x 1 > x - 2 2x2 - 6x + 1 0 x - 2 (x - 2)2 x - 2 0 x 3 7 2 0.5 x 3 7 2 x < 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2x2 - 6x + 1 > x2 - 4x + 4 x 2 x 3 7 2 0,5 x2 - 2x - 3 > 0 x 2 x 3 7 2 x 3 x > 3 x 2 KL : Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là : 0,5 3 7 T = (- ; ]  (3; + ) 2 4 2.00 Chứng minh : Xét hàm số : f(x) = 2 sinx + 1 tgx - x 3 3 0.5 Với x (0 ; ) 2 Ta có : f'(x) = 2 cosx + 1 - 1 3 3cos2 x 1 1 1 f'(x) = (cosx + cosx + ) - 1 . 3 - 1 0,5 3 cos2 x 3 f'(x) 0 Hàm số y = f(x) là hàm số ĐB trên (0 ; ) f(x) > f(0) 0,5 2 2 sinx + 1 tgx - x > 0  x (0 ; ) 3 3 2 Vì ABC nhọn nên ta có : Vậy (2 sinA + 1 tgA - A) + (2 sinB + 1 tgB - B) + (2 sinC + 1 tgC - C) > 0. 3 3 3 3 3 3 2 (sinA + sinB + sinC) + 1 (tgA + tgB + tgC) > A + B + C 0, 5 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 (sinA + sinB + sinC) + 1 (tgA + tgB + tgC) > () 3 3 5 2.00 Viết F(x) về dưới dạng : ( 5 x 3 2) (3 x 2 7 2) F(x) = x 2 1 5 x 3 2 3 x 2 7 2 Vậy : A = lim ( ) - lim 1.00 x 2 1 x 2 1 x 1 x 1 5 x 3 2 5 x3 4 Ta có : lim ( ) = lim = x 2 1 (x2 1)( 5 x3 2 x 1 x 1 (x 2 x 1) 0,5 = lim = - 3 (x 1)( 5 x3 2 8 x 1 3 x2 7 2 x2 1 Ta có : lim 2 = lim = x 1 (x2 1)[(3 x2 7)2 23 x2 7 4] x 1 x 1 1 = lim = 1 (3 x2 7)2 23 x2 7 4 12 0,5 x 1 A = - - 3 - 1 = - 11 8 12 24 6 2.00 Đặt t = x2 dt = 2xdx Khi x = 0 t = 0 x = 1 t = 1 khi đó ta có : 1 1 0,5 1 dt I = = 1 dt 2 2 t t 1 2 1 2 3 0 0 (t ) 2 4 1 3 3 du 3 2 Đặt t + = tgu dt = 2 = (1 + tg u) du 2 2 2 cos u 2 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Khi t = 0 u = 6 t = 1 u = 3 3 2 3 (1 tg u )du 3 1 1 I = 2 du 0,5 2 3 3 tg 2u 3 6 4 4 6 1 3 I = u 0,5 3 6 3 6 7 2.00 1 1 1 1 1 Ta có : y = x3 + x3 + + + ( x >0) 0,5 2 2 x 2 x 2 x 2 áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 5 số : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x3 ; x3; ; ; ta có : y 5 5 x 3 . x 3 . . . 0,5 2 2 x 2 x 2 x 2 2 3 x 2 x 2 x 2 1 5 y 55 y 4 5 4 5 Min y = 0,5 5 4 (0; + ) Dấu "=" sảy ra 1 x3 = 1 x3 = x2 = x2 = x2 2 2 0,5 5 x5 = 2 x = 2 8 2.00 32sinx - 3 + (3sinx - 10) 3sinx - 2 + 3 - sinx = 0 (5) Đặt t = 3sinx - 2 với t > 0. Khi đó phương trình tương đương với : 3t2 + (3sinx - 10)t + 3 - sinx = 0 (6) = (3sinx - 10)2 - 4.3(3 - sinx) = (3sinx - 8)2 0,5 Phương trình (6) có nghiệm là : t = 1 3 t = 3 - sinx + Với t = 1 ta được : 3sinx - 2 = 1 sinx - 2 = -1 sinx = 1 3 3 x = + k2 (k z ) 2 0,5 + Với t = 3 - sinx ta có : 3sinx - 2 = 3 - sinx (7) 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Nhận thấy sinx = 2 là nghiệm của phương trình (7) vì 30 = 3 - 2 (đúng) Chứng minh sinx = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (7) vì : Vế trái y = 3sinx - 2 là hàm số đồng biến. Vế phải y = 3 - sinx là hàm số nghịch biến Mặt khác, sinx = 2 (loại) vì 2 > 1 0,5 KL : Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x = + k2 (k z ) 2 9 2.00 Gọi A1; A2 theo thứ tự là điểm A(2; -1) dB đối xứng của A qua (dB) và (dC) dC thì A1; A2 BC. E F Phương trình đường thẳng A1A2 cũng chính là phương trình của đường thẳng B. B A1 A2 C + Xác định A1 : Gọi (d1) là đường thẳng thoã mãn : (d1) đi qua A (d1)  (dB) (d1) đi qua A ( 2; -1) nhận véc tơ pháp tuyến n1 = (2; 1) (d1) : 2x + y - 3 = 0 Gọi E = (d1)  (dB) Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ : 2x + y - 3 = 0 E (1;1) vì E là trung điểm AA1 A1(0;3) 0,5 x - 2y + 1 = 0 + Xác định A2 : Gọi (d2) là đường thẳng thoã mãn : (d2) đi qua A (d2)  (dC) (d2) đi qua A ( 2; -1) nhận véc tơ pháp tuyến n2 = (1; -1) (d2) : x - y - 3 = 0 Gọi F = (d2)  (dC). Toạ độ điểm F là nghiệm của hệ : 0,5 x - y - 3 = 0 F (0; -3) Vì F là trung điểm AA2 A2(-2; -5) x + y + 3 = 0 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy phương trình BC được xác định : BC đi qua A1 BC : 4x - y + 3 = 0 0,5 đi qua A2 *Ghi chú : Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Người lập đáp án Lê Thị Minh DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 Đề chính thức Môn thi: toán (bảng A) Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Giải phương trình: 3 x x 3 4 log2 x 2 2 2 b) Chứng minh phương trình: x5 – 4x2 – 4x = 1 có đúng một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương. Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 3 5 x2 b) Cho các số thực x; y thỏa mãn: 0 < x ≤ y < Chứng minh: x3 6x sin y y3 6y sin x . 2x2 y x2 1 3 4 2 Bài 3: Giải hệ phương trình: 3y z y y 1 4 4 6 4 2 1 z x z z z Bài 4: a) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). Biết (C) có phương trình: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5; Ã BC = 900; A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4. Tìm tọa độ các đỉnh B; C. b) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho điểm B(-3;0), C(3;0) Điểm A di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm I thuộc một đường cong cố định. Hết Họ và tên thí sinh SBD: đáp án và biểu điểm chấm đề chính thức DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Môn: Toán (Bảng A) Bài Nội dung Điểm Bài 1: a.(2,5đ) - TXĐ: D = [0; + ). Đặt x t 0 0.25 (5,5đ) 2 3 3 t t 4 0.25 PT trở thành: log2 t 2 2 0 (1) 2 3 t2 t 3 4 0.25 Xét f(t) = log2 t 2 2 với t 0 2 3 1 t2 t 0.5 Có f '(t) = (2t 1)2 4.ln2 3 t .ln2 2 1 0.75 Ta có: f '(t) > 0  t 0, f 0 2 0.25 1 pt (1) có một nghiệm duy nhất t = . 2 1 0.25 Vậy pt đã cho có một nghiệm x = 4 b.(3đ): Ta có pt x5 = (2x + 1)2 Nếu x là nghiệm thì x5 0 x5 = (2x + 1)2 1 x 1 0.5 Với x 1 xét f(x) = x5 - 4x2 - 4x - 1 Ta có: f '(x) = 5x4 - 8x - 4; f "(x) = 20x3 - 8 > 0 với  x 1 0.5 f '(x) đồng biến trên [1, + ), mà f '(1) = -7; Limf '(x) 0.5 x  x0 (1; + ) để f '(x0) = 0 0.5 Ta có bảng biến thiên: x 1 x0 + f'(x) - 0 + + f(x) -8 0.5 f(x0) Dựa vào bảng biến thiên suy ra pt: f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó có giá trị dương đpcm. 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 2: a. (3đ): TXĐ: D = 5; 5 0.25 (6 điểm) x2 3 5 x2 2x2 5 Ta có: f '(x) = 3 + 5 x2 = 0.5 5 x2 5 x2 f '(x) = 0 3 5 x2 2x2 5 0 ; x 5; 5 0.25 2 5 x 2 x 2 1.0 2 x 4 4 2 x 2 4x 11x 20 0 0.5 Có f(2) = 8, f(-2) = -8, f 5 3 5 , f 5 3 5 0.5 Max f(x) = 8 khi x = 2; Min f(x) = -8 khi x = -2 b. (3đ) Do 0 0, siny > 0 0.5 x3 6x y3 6y Bất đẳng thức 0.25 sinx siny t3 6t Xét f(t) = với t (0; ) 0.25 sint 3t2 6 sint t3 6t cost Có f '(t) = 0.5 sin2 t Xét g(t) = (3t2 - 6)sint - (t3 - 6t)cost với t (0; ) Có g'(t) = t3sint > 0  t (0; ) 0.5 g(t) đồng biến trên (0; ) g(t) > g(0) = 0 0.5 f'(t) > 0 với  t (0; ) f(t) đồng biến trên (0; ) mà x y f(x) f(y) suy ra đpcm. 0.5 Bài 3: Trường hợp 1: Với x = 0 thì hệ có nghiệm x = y = z = 0. 0.5 (3 điểm) Trường hợp 2: Với x 0 để hệ có nghiệm thì x > 0, y > 0, z > 0 0.25 Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ có: 2 2 2x = y(1 + x ) 2xy x y 0.5 3 4 2 2 4 2 2 3y = z(y + y +1) z.3y y z (vì y + y + 1 3y ) 0.5 4 6 4 2 3 6 4 2 3 4z = x(z + z + z +1) x.4z z x (vì z + z + z + 1 4z ) 0.5 Vậy: x y z x x = y = z 0.25 Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: x = y = z = 1 0.25 Hệ có 2 nghiệm: x = y = z = 0 hoặc x= y = z = 1 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 4: a. (3đ): (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 5 0.25 (5,5 đ) Do Ã BC 900 C đối xứng với A qua I C(0; -4) 0.25 có pt đường thẳng AC là: 2x - y - 4 = 0 0.25 2S 4 0.25 Có S ABC = 4 khoảng cách từ B đến AC là: d = AC 5 B đường thẳng  AC, cách AC một khoảng bằng d 0.25 pt của có dạng: 2x - y + m = 0. 0.25 mà  AC khoảng cách từ A đến bằng d 4 m 4 m 0 0.25 Vậy 5 5 m 8 + Với m = 0 pt của : 2x - y = 0 toạ độ B là nghiệm của hệ: 6 x y 2x x 0 5 0.5 2 2 hoặc x 1 y 2 5 y 0 12 y 5 + Với m = -8 Pt của : 2x-y- 8 = 0 toạ độ B là nghiệm của hệ: 16 x 0.5 y 2x 8 x 2 5 2 2 hoặc x 1 y 2 5 y 4 8 y 5 6 12 Vậy toạ độ C(0; - 4), toạ độ B là: hoặc (0; 0) hoặc ( ; ) 5 5 0.25 16 8 hoặc (2; -4) hoặc (; ) 5 5 b. (2,5đ): Kẻ AH  BC, IK  BC, đặt AH = h, bán kính đường tròn nội tiếp là r và I(x; y). Có: h = 3r y (AB + BC + CA)r = 3BC.r 0.5 AB + CA = 2BC A sinC + sinB = 2sinA B C cotg.cot g = 3 (*) 0.5 2 2I B BK C CK mà-3 cotg ; cot g 0.25 2 IK 2 3 IK Từ B (*) BK.CK 0 K = H3IK 2 C ( ) x 0.25 Do I là tâm đường tròn nội tiếp K thuộc đoạn BC 0.25 nên BK.CK = (3 + x)(3 - x), IK2 = y2 0.25 Thay vào ( ) ta có: x2 + 3y2 = 9. 0.25 Suy ra I thuộc đường cong có phương trình: x2 + 3y2 = 9 0.25 Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1.Cho hàm số: y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số) a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m. b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ) . Bài 2. a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau : x2- 2mx + 2x m +5 0). AR BS Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng. Bài 4. Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)2 6(AD2 +BD2 +CD2). Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện : 2y x2 ; y -2x2 + 3x . Chứng minh rằng : x2 + y2 2. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Hướng dẫn chấm. Bài 1.(4điểm). a.(2điểm) Điểm A(x0;y0) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. 0.5đ DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 3 2 2 x 0 (m 1)x 0 (2m 3m 2)x 0 2m(2m 1),m. 2 2 3 2 2(2 x 0 )m (x 0 3x 0 2)m (x 0 x 0 2x 0 y0 ) 0,m. 0.5đ 2 x 0 0 2 x 0 2 x 0 3x 0 2 0 y 0 3 2 0 x 0 x 0 2x 0 y0 0 0.5đ Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua m 0.5đ b.(2điểm) Ta có: y , g(x) 3x 2 2(m 1)x (2m 2 3m 2) 0.5đ ∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 ,m 0.5đ g(2) 0 y, 0,x (2; ) S 0.5đ 2 0 2 2m 2 m 6 0 3 m 2 0.5đ m 5 0 Bài 2.(6điểm) a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với : (x m) 2 2 x m 5 m 2 0 (*) 0.5đ đặt: t =x m điều kiện : t, 0 0.5đ t 2 2t 5 m 2 0 (1) (*)trở thành 0.5đ t 0 ' 0 Hệ có nghiệm (t2 là nghiệm lớn) 0.5đ t2 0 2 m 4 0 0.5d 2 1 m 4 0 m 5 0.5d b.(3điểm) Đ/k : x>0 , x 1 , a>0 , a 1 0.5đ 1 1 x 1 (1) . log log x log 2 . x 2 a 2 a a x loga2 loga 2 2log 2 .log x log 2 log x a 0.5đ x a a a x loga loga Đặt : t = x , b= 2 .Ta được phương trình: loga loga 2 2b t b t 2t b t 2 2b 0 (2) 0.5đ t t -Nếu t b thì (2) t 2 2t 4b 0 (3) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 có nghiệm ' 0 b 4 Lúc đó (3) có hai nghiệm t1 1 1 4b ; t2 1 1 4b Rõ ràng t1 0 nên a 2 0.5đ -Nếu t 2 2 2 1 a 2 2 1 a 2 0.5đ loga Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1 Khi 1<a< 2 thì nghiệm là x = a2 1 4log 2 1 Khi a 2 thì nghiệm là x = aa 0.5đ Bài 3.(4điểm) 1 PQ (PC PD) 0.5d 2 1 (AC AP) (BD BP) 0.5d 2 1 (AC BD) (AP BP) 0.5d 2 1 (AC BD) (vi AP BP 0) 0.5d 2 1 k(AR BS) 0.5d 2 k (AP PR BP PS) 0.5d 2 k (PR PS) (vi AP BP 0) 0.5d 2 k k PQ PR PS ba vec to PQ, PR, PS 2 2 Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng. 0.5đ Bài 4.(4điểm) Trước hết ta chứng minh CDA =900 Thật vậy: Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E Do :AB DH và AB CE nên AB  (DEC) Suy ra : AB DC (1) 1đ Mặt khác :theo giả thiết BDC =900 DC  BD (2) Từ (1)và (2) DC  (ABD) DC  DA CDA =900 0.5đ DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Hoàn toàn tương tự : ADB =900 0.5đ Từ đó ta có : AB2 + BC2 + CA2 =2(AD2+BD2+CD2) (1) 0.5đ Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có: (AB+BC+CA)2 = AB2+BC2+CA2+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB (AB2+BC2+CA2) (2) Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA)2 6(AD2+BD2+CD2) 1đ Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA. 0.5đ Bài 5.(2điểm) Từ giả thiết suy ra : x 2 y 2x 2 3x (1) 0.5đ 2 (Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng được tô đậm ở hình bên). Hoành độ giao điểm của hai Parabol: 2 3 6 x 2 0 y1= và y2=-2x +3x 4 5 2 x 2 6 là nghiệm phương trình: 2x 2 3x x 0, x 2 5 Với điều kiện (1) ,ta có : 6 x2+y2 x 2 ( 2x 2 3x)2 = 4x 2 12x 3 10x 2 với 0 x 0.5đ 5 Ta xét hàm số : 4 3 2 6 f(x)=4x –12x +10x trên 0; 5 f’(x)=16x3-36x2+20x =4x(4x2-9x+5) 5 f’(x)=0 x=0 , x=1, x= 0.5đ 4 Bảng biến thiên x 0 1 6\5 f’(x) + 0 - 2 f(x) 0 1224 625 Từ bảng biến thiên : Maxf (x) = 2. 6 0; 5 Vì vậy : x 2 y 2 2. Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1. 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 đề thi học sinh giỏi lớp 12 MÔN :TOáN ThờI GIAN : 180 PHúT Bài 1 (4đ) Cho hàm số: y = 2x3 + mx2 - 8x (cm) 1) KS vẽ đồ thị hàm số m = 1 (C1) 2) Tìm m ? hàm số (Cm) đồng biến/ (1,2) Bài 2:( 6đ) Cho phương trình: cos2x (2cos x . cos3x - 7) = -m GPT: m = -7 3  2) CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n0 [-; ] 8 8 Bài 3( 4đ) 1) Tính I = (x 1)dx x(1 xex 5 7 2) A? = lm 1 3x. 1 397x 1 x x -> 0 Bài 4( 2đ) Cho ABC biết pt cạnh BC: 4x - y + 3 = 0 và 2 đường phân giác trong của B, C lần lượt là (dB): x - 2y + 1 = 0 ; (dC): x + y + 3 = 0. Lập pt cạnh AB; AC Bài 5: ( 2đ) log x GPT: 2005 20052006 + log2006(-x+1) =1 Bài 6: (2đ) Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng a2 b2 c5 d 2 1 1 1 1 ./. b5 c5 d 5 a5 a3 b3 c3 d 3 đáp án đề toán - lớp 12 Bài 1(4đ) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn y = 2x3 + mx2 - 8x 1) KS vẽ đt: m = 1 y = 2x3 + x2 - 8x a) TXĐ: R b) SBT: * CBT: y/ = 6x2 + 2x - 8 y/ = 0 = x = 1; x = -4/3 (Lập bảng xét dấu y/ KL: HSĐB/ x (- ; - 4/3) U (1, + ) HSĐB/ x (- 4/3, 1). * Giá trị: xCT = 1 -> yCT = -5 208 xCĐ = -3/4 -> yCĐ = 27 * Giới hạn: Lim y = x -> HSK0 có t/c Y// = 12x + 2 Y// = 0 z x = -1/6 Lập bảng xét dấu y// c) đồ thị 2) m ? hs ĐB/ /(1,2) y/ = 6x2 + 2mx - 8 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn / 2 / NX: = m + 48 > 0  m -> y có n0 x1 0 af (1) 0 TH1: x1 s 1 0 2 2m 1 0 m 1 -> m -> -> m 1 1 0 m 6 6 af (2) 0 4 m 0 TH2: 2 x1 s -> 2 0 m 12 2 m 4 -> ->vô nghiệm m 12 KL: m 1 là giá trị cần tìm Bài 2: (6đ) cos2x (2cosx . cos3x - 7) = -m 2cos32x + cos22x - 8 cos2x + m = 0 (1) 1) m = -7 2cos32x + cos22x - 8 cos2x + 7 = 0 (cos2x + 1) (2cos22x - cos2x - 7) = 0 cos2x = -1 -> x =  /2 + k  2cos22x - cos2x - 7 = 0 ; cos2x = 1 57 (loại) 4 KL: với m = - 7 -> x =  /2 + k  3  CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n0 [-; ] 8 8 3  3  2 2 NX : x [-; ] -> 2x [-; ] -> cos2x [ ; ] 8 8 4 4 2 2 1-> -m = 2t3 +t2 -8t ===f(t) 2 2 t= cos2x [ ; ] 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn f’(t) = 6t2 +2t -8 2 2 f’(t) = 0 khi t=1 , t= - 4/3 > f’(t) ưngd duy nhất x [-; ] 2 2 8 8 3  nen không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1 nghiệm x [-; ] 8 8 Bài 3 (4đ) a) tính I = (x 1)dx x(1 xex ) đặt t= 1+ xex -> dt = ex(1+ x)dx dt dt dt xex I= ln t 1 ln t C ln C t(t 1) t 1 t 1 xex b) 7 1 397x 1 5 1 3x 1 A= lim5 1 3x( ) lim =3/5 + 397/7 x x x-> 0 x-> 0 Vậy A = 2006/35 Bài 4 (2đ) 4x 3y 3 0 Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ B (-5/7 ;1/7) x 2y 1 0 4x 3y 3 0 Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ C(-6/5 ;-9/5) x y 3 0 Gọi M( 0 ,3) thuộc BC. Lờy M1 ,M2 đxứng với M qua dC , dB ->M1thuộc AB , M2 thuộc AC. nMM ud (2;1) và MM1 qua M (0 ;3) -> MM1 : 2x +y –3 =0 1 B H1 = MM1 x dB -> H1 (1;1) -> M1 (2 ;1) DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Từ đó -> AB : 56x + 133y + 21 =0 (chứa B va M1) AC : 5x – 20y –30 = 0 ( chứa C và M2) Bài 5 (2đ) log x 2005 20052006 + log2006(-x+1) = 1 ĐK : x 2006 + log2006(-x+1) = 1 x log2006(-x+1) = 1- 2006 (*) y y Đặt y= log2006(-x+1) -> -x+ 1=2006 -> x= 1 – 2006 hàm số y = 1- 2006x với x 1- 2006x = x x = 0 ( do x < 1). Bài 6 a2 a2 a2 Ad BĐT Cô si cho 5 số dương , , , 1 , 1 ta có: b5 b5 b5 a3 a3 3a2 2 5 (1) dấu = xảy ra khi a = b b5 a3 b3 tuơng tự 3b2 2 5 (2) dấu = xảy ra khi c = b c5 b3 c3 3c2 2 5 (3) dấu = xảy ra khi c = d d 5 c3 d 3 3d 2 2 5 (4) dấu = xảy ra khi a = d a5 d 3 a3 cộng (1) ,(2) ,(3) ,(4) theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh dấu = xảy ra khi a = b = c = d [ [ [ ơ DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn : Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: x2 2mx 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = với m = 1. x 1 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 là như nhau. Bài 2: 4x2 1) Giải phương trình x2 + 5 x2 - 4x 4 2) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của: F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 theo a Bài 3: 1) Giải bất phương trình: 2 log x - log (x 6) 2x 3 2-x 2 2 > 1 2) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC đều: 2a b c 2A B C Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SB = x, tất cả các cạnh còn lại bằng b x (b > ) 3 a) Tính thể tích hình chóp theo b và x b) Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất. x2 y2 Bài 5: Cho Elip (E) có phương trình: 1 và M(1, 1) 9 4 Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho MA = MB. 1 x4 1 dx : Tính : I = Bài 6 6 0 x 1 hướng dẫn và biểu điểm chấm DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT Môn : Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài Nội dung Điểm Bài 1 x2 2x 2 1 2 đ 1) Với m = 1, hàm số trở thành: y = x 1 x 1 x 1 1.1- Tập xác định: D = R \ 1 1.2- Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 1 1 Ta có: y’ = 1 - ; cho y’ = 0 1 - = 0 (x+ 1)2 = 1 x 1 2 x 1 2 0,25 x 1 1 x 0 x 1 -1 x - 2 Xét dấu y’: + -1 + - 2 0 Hàm số đồng biến trên khoảng (- ; -2)  (0; + ) và nghịch biến trên khoảng (-2; -1)  (-1; 0) b) Cực trị: 0,25 Tại x = -2 , hàm số đạt giá trị cực đại , yCĐ = y(-2) = -2 Tại x = 0 , hàm số đạt giá trị cực tiểu , yCT = y(0) = 2 c) Tính lồi lõm và điểm uốn (không xét) x2 2x 2 d) Giới hạn: lim y lim x x x 1 x2 2x 2 lim y lim x x x 1 * (D1): x = -1 là tiệm cận đứng vì lim y = x 1 1 * (D2): y = x + 1 là tiệm cận xiên vì lim y - (x 1) = lim = 0 x x 1 x 0,25 e) Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + (C) y DeThi.edu.vn x= -1 -2 1 x -2 -2 2log x-log (x 6) 2x 32-x 2 2 1
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn y’ + 0 - - 0 + y -2 + + - - 2 0,75 1.3- Đồ thị: x2 2x 2 Gọi (C): y = x 1 (C)  oy = (0; 2) (C)  ox vì phương trình: x2 2x 2 = 0 vô nghiệm x 1 * Nhận xét: Gọi I là giao của 2 tiệm cận 0,5 I(-1; 0) là tâm đối xứng của đồ thị (C) x2 2mx 2 2) y = TXĐ: D = R\ 1 x 1 2x 2m x 1 - x2 2mx 2 x2 2x 2m - 2 Ta có: y’ = x 1 2 x 1 2 x2 2x 2m - 2 Hàm số có cực đại, cực tiểu y’ = có 2 nghiệm phân x 1 2 3 biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm m < (*) 2 0,25 * Giả sử các điểm cực đại, cực tiểu A1(x1, y1) và A2(x2,y2) có x1, x2 là 2 nghiệm của: x2 + 2x + 2m – 2 = 0 và có: y1 = 2x1 + 2m , y2 = 2x2 + 2m . Khoảng cách từ A1 và A2 tới đường thẳng x + y + 2 = 0 sẽ bằng nhau. x1 y1 2 x2 y2 2 3x1 2m 2 3x2 2m 2 3(x1 + x2) = - (4m + 4) 1 0,25 3(-2) = - (4m + 4) m = (thoả mãn (*)) 2 Vậy m = 1 2 4 đ Bài 2 4x2 1) Phương trình: x2 + 5 x2 - 4x 4 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 4x 2 2x 2x 4x x + 2 5 x + 2x + - 5 (x - 2) x - 2 x - 2 x - 2 2 2x 4x2 x - 5 x -2 x -2 0,5 2 x2 x2 - 4  - 5 0 x - 2 x - 2 0,25 x2 Đặt t = , phương trình trở thành: 0,5 x - 2 2 t -1 t – 4t – 5 = 0 t 5 0,25 2 x 2 x 1 * Với t = -1 -1 x x - 2 0 x - 2 x - 2 0,25 x2 * Với t = 5 5 x2 - 5 x 10 0 (phương trình vô nghiệm) x - 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1; x = - 2 2) F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 * Nhận xét: (x+ y – 2)2 ≥ 0 ; (x + ay – 3)2 ≥ 0 F ≥ 0 0,5 x y 2 0 x y 2 Xét hệ: (I) x ay 3 0 x ay 3 0 0,25 1 1 TH1: Hệ (I) có nghiệm D = = a – 1 0 a 1 1 a Thì  (x,y) để F = 0 Min F = 0 0,25 TH2: Hệ (I) vô nghiệm D = 0 a – 1 = 0 a = 1 (hệ số không tỷ lệ) Với a = 1 F (x + y – 2)2 + (x + y – 3)2 Đặt t = x + y – 3 ; t R 0,75 1 1 1 F = (t + 1)2 + t2 = 2t2 + 2t + 1 = 2(t2 + 2t + ) 2 4 2 1 1 1 = 2(t + )2 + ≥ ,  t. 2 2 2 1 1 1 Min F = Đạt được t = - x + y – 3 = - 2 2 2 5 0,25 x + y - = 0 2 Bài 3: 1) Bất phương trình: 0,25 2 log x log( x 6) 2 x 3.2 x 2 2 1 (1) * Điều kiện x > 0 DeThi.edu.vn S x b b B C H O b A D
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x . -x x3 0,25 Nhận xét: 2 + 3 2 > 1 vì x 2 (loai) (1) 2log x – log (x + 6) > 0 0,25 x 2 0,5 2log x > log (x + 6) log x2 > log (x + 6) 2 2 2 2 0,5 2 2 x 3 x > x + 6 x – x – 6 > 0 x - 2 (loai) 0,25 Vậy T = (3; + ) 2a b c (1) 0,25 2) 2A B C (2) 0,25 a b c Theo định lý Sin, ta có: 2R SinA SinB SinC B C B - C Thay vào (1) : 2SinA = SinB + SinC 2SinA = 2Sin  Cos 0,5 2 2 Thay (2) : B + C = 2A , ta được : B - C 0,5 SinA = SinA Cos 1 (vì SinA 0) 2 B - C 0 B C 2 Vì A + B + C = 1800 , kết hợp với (2) 3A = 1800 A = 600 0,5 ABC cân tại A và A = 600 ABC đều 0,25 Bài 4: a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD 4 đ’ Xét 2 SAC và ADC Có AC chung, SA = SC = DA = DC = b SAC = ADC SO = OD = OB 0,5 ABC vuông tại S Ta được : BD = SB2 SD2 x2 b2 ODC vuông tại O 1 Có DC = b; OD = x2 b2 2 1 OC2 = DC2 – OD2 = b2 - (x2 + b2) 4 3b2 - x2 = 4 OC = * Tứ giác ABCD có AC  BD 1 1 2 2 2 2 SABCD = AC  BD  3b - x  x b (1) 0,25 2 2 * BSD vuông, gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 SH BD 0,25 SH 2 SB2 SD2 2 2 2 2 1 1 1 b x 2 b x bx 2 2 2 2 2 SH 2 2 SH (2) SH x b b  x b x b2 x2 0,25 Từ (1) và (2) 1 1 bx 1 2 2 2 2 VchópSABCD = SH  SABCD   3b - x  x b 3 3 b2 x2 2 1 0,5 = bx  3b2 - x2 6 1 2 2 b 1 2 2 2 b) Ta có: VchópSABCD = x  3b - x  x 3b - x 6 6 2 0,5 b b3 0,5 = 3b2 12 4 3 b 2 2 VchópSABCD lớn nhất là ; đạt được  x = 3b x 4 0,5 3 3 x2 = 3b2- x2 2x2 = 3b2 x2 = b2 x b Bài 5 : 2 2 (2 điểm) 0,25 Phương trình đường thẳng (d) qua M (1,1) với hệ số góc k có dạng : y = k (x – 1) + 1 (d) : y = kx – k + 1 (1) Toạ độ giao điểm A,B của (d) và (E) là nghiệm của hệ : 4x 2 9y 2 36 4 x2 + 9 (kx – k +1)2 = 36 0,25 y kx k 1 (4+ 9k2)x2 – 18k(k-1)x + 9k2 –18k –27= 0 (2) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt : 0,25 9k k 1 2 - (4+9k2) (9k2 – 18k – 27) > 0 0,5 9k2 (k – 1)2 – (4 + 9k)2 (k2 – 2k – 3) > 0 32k2 + 8k + 12 > 0 (luôn đúng) Vậy phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt và : 18K(k 1) X X A B 4 9k 2 9k 2 18k 27 X .X A B 2 4 k 0,25 18k k 1 Theo giả thiết MA = MB xA + xB = 2xM = 2 4 9k 2 k = - 4 9 Thay k = -4 vào (1), ta được (d) có phương trình : 4x + 9y – 13 = 0 9 Bài 6: (2 điểm) 1 x4 1 dx I = 6 0 x 1 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x4 1 x4 1 x4 x2 1 x2 x2 f(x) = = = = 1 + x6 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x6 1 0,25 1 dx 1 x2dx I = + 2 6 0 x 1 0 x 1 1 dx I = 2 0 x 1 0,5 1 4 Đặt x = tg t ; t ; x t 2 2 0 0 dx = dt = (1+tg2t) dt cos2 t 4 2 4 1 tg t 4 I = dt = dt = t = 1 2 0 tg t 1 0 0 4 1 x2dx I = 2 6 0 x 1 1 1 Đặt u = x3 ; x u 0 0 du Ta có : du = 3x2dx x2dx = 3 1 du 1 1 du 1 I = = = = 2 2 2 0 3 u 1 3 0 u 1 3 4 12 Khi đó I = I1 + I2 = + = 0,25 4 12 3 Vậy I = 3 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn : Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: x2 2mx 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = với m = 1. x 1 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 là như nhau. Bài 2: 4x2 1) Giải phương trình x2 + 5 x2 - 4x 4 2) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của: F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 theo a Bài 3: 1) Giải bất phương trình: 2 log x - log (x 6) 2x 3 2-x 2 2 > 1 2) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC đều: 2a b c 2A B C Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SB = x, tất cả các cạnh còn lại bằng b x (b > ) 3 a) Tính thể tích hình chóp theo b và x b) Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất. x2 y2 Bài 5: Cho Elip (E) có phương trình: 1 và M(1, 1) 9 4 Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho MA = MB. 1 x4 1 dx : Tính : I = Bài 6 6 0 x 1 hướng dẫn và biểu điểm chấm DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT Môn : Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài Nội dung Điểm Bài 1 x2 2x 2 1 2 đ 1) Với m = 1, hàm số trở thành: y = x 1 x 1 x 1 1.1- Tập xác định: D = R \ 1 1.2- Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 1 1 Ta có: y’ = 1 - ; cho y’ = 0 1 - = 0 (x+ 1)2 = 1 x 1 2 x 1 2 0,25 x 1 1 x 0 x 1 -1 x - 2 Xét dấu y’: + -1 + - 2 0 Hàm số đồng biến trên khoảng (- ; -2)  (0; + ) và nghịch biến trên khoảng (-2; -1)  (-1; 0) b) Cực trị: 0,25 Tại x = -2 , hàm số đạt giá trị cực đại , yCĐ = y(-2) = -2 Tại x = 0 , hàm số đạt giá trị cực tiểu , yCT = y(0) = 2 c) Tính lồi lõm và điểm uốn (không xét) x2 2x 2 d) Giới hạn: lim y lim x x x 1 x2 2x 2 lim y lim x x x 1 * (D1): x = -1 là tiệm cận đứng vì lim y = x 1 1 * (D2): y = x + 1 là tiệm cận xiên vì lim y - (x 1) = lim = 0 x x 1 x 0,25 e) Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + (C) y DeThi.edu.vn x= -1 -2 1 x -2 -2 2log x-log (x 6) 2x 32-x 2 2 1
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn y’ + 0 - - 0 + y -2 + + - - 2 0,75 1.3- Đồ thị: x2 2x 2 Gọi (C): y = x 1 (C)  oy = (0; 2) (C)  ox vì phương trình: x2 2x 2 = 0 vô nghiệm x 1 * Nhận xét: Gọi I là giao của 2 tiệm cận 0,5 I(-1; 0) là tâm đối xứng của đồ thị (C) x2 2mx 2 2) y = TXĐ: D = R\ 1 x 1 2x 2m x 1 - x2 2mx 2 x2 2x 2m - 2 Ta có: y’ = x 1 2 x 1 2 x2 2x 2m - 2 Hàm số có cực đại, cực tiểu y’ = có 2 nghiệm phân x 1 2 3 biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm m < (*) 2 0,25 * Giả sử các điểm cực đại, cực tiểu A1(x1, y1) và A2(x2,y2) có x1, x2 là 2 nghiệm của: x2 + 2x + 2m – 2 = 0 và có: y1 = 2x1 + 2m , y2 = 2x2 + 2m . Khoảng cách từ A1 và A2 tới đường thẳng x + y + 2 = 0 sẽ bằng nhau. x1 y1 2 x2 y2 2 3x1 2m 2 3x2 2m 2 3(x1 + x2) = - (4m + 4) 1 0,25 3(-2) = - (4m + 4) m = (thoả mãn (*)) 2 Vậy m = 1 2 4 đ Bài 2 4x2 1) Phương trình: x2 + 5 x2 - 4x 4 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 4x 2 2x 2x 4x x + 2 5 x + 2x + - 5 (x - 2) x - 2 x - 2 x - 2 2 2x 4x2 x - 5 x -2 x -2 0,5 2 x2 x2 - 4  - 5 0 x - 2 x - 2 0,25 x2 Đặt t = , phương trình trở thành: 0,5 x - 2 2 t -1 t – 4t – 5 = 0 t 5 0,25 2 x 2 x 1 * Với t = -1 -1 x x - 2 0 x - 2 x - 2 0,25 x2 * Với t = 5 5 x2 - 5 x 10 0 (phương trình vô nghiệm) x - 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1; x = - 2 2) F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 * Nhận xét: (x+ y – 2)2 ≥ 0 ; (x + ay – 3)2 ≥ 0 F ≥ 0 0,5 x y 2 0 x y 2 Xét hệ: (I) x ay 3 0 x ay 3 0 0,25 1 1 TH1: Hệ (I) có nghiệm D = = a – 1 0 a 1 1 a Thì  (x,y) để F = 0 Min F = 0 0,25 TH2: Hệ (I) vô nghiệm D = 0 a – 1 = 0 a = 1 (hệ số không tỷ lệ) Với a = 1 F (x + y – 2)2 + (x + y – 3)2 Đặt t = x + y – 3 ; t R 0,75 1 1 1 F = (t + 1)2 + t2 = 2t2 + 2t + 1 = 2(t2 + 2t + ) 2 4 2 1 1 1 = 2(t + )2 + ≥ ,  t. 2 2 2 1 1 1 Min F = Đạt được t = - x + y – 3 = - 2 2 2 5 0,25 x + y - = 0 2 Bài 3: 1) Bất phương trình: 0,25 2 log x log( x 6) 2 x 3.2 x 2 2 1 (1) * Điều kiện x > 0 DeThi.edu.vn S x b b B C H O b A D
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x . -x x3 0,25 Nhận xét: 2 + 3 2 > 1 vì x 2 (loai) (1) 2log x – log (x + 6) > 0 0,25 x 2 0,5 2log x > log (x + 6) log x2 > log (x + 6) 2 2 2 2 0,5 2 2 x 3 x > x + 6 x – x – 6 > 0 x - 2 (loai) 0,25 Vậy T = (3; + ) 2a b c (1) 0,25 2) 2A B C (2) 0,25 a b c Theo định lý Sin, ta có: 2R SinA SinB SinC B C B - C Thay vào (1) : 2SinA = SinB + SinC 2SinA = 2Sin  Cos 0,5 2 2 Thay (2) : B + C = 2A , ta được : B - C 0,5 SinA = SinA Cos 1 (vì SinA 0) 2 B - C 0 B C 2 Vì A + B + C = 1800 , kết hợp với (2) 3A = 1800 A = 600 0,5 ABC cân tại A và A = 600 ABC đều 0,25 Bài 4: a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD 4 đ’ Xét 2 SAC và ADC Có AC chung, SA = SC = DA = DC = b SAC = ADC SO = OD = OB 0,5 ABC vuông tại S Ta được : BD = SB2 SD2 x2 b2 ODC vuông tại O 1 Có DC = b; OD = x2 b2 2 1 OC2 = DC2 – OD2 = b2 - (x2 + b2) 4 3b2 - x2 = 4 OC = * Tứ giác ABCD có AC  BD 1 1 2 2 2 2 SABCD = AC  BD  3b - x  x b (1) 0,25 2 2 * BSD vuông, gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 SH BD 0,25 SH 2 SB2 SD2 2 2 2 2 1 1 1 b x 2 b x bx 2 2 2 2 2 SH 2 2 SH (2) SH x b b  x b x b2 x2 0,25 Từ (1) và (2) 1 1 bx 1 2 2 2 2 VchópSABCD = SH  SABCD   3b - x  x b 3 3 b2 x2 2 1 0,5 = bx  3b2 - x2 6 1 2 2 b 1 2 2 2 b) Ta có: VchópSABCD = x  3b - x  x 3b - x 6 6 2 0,5 b b3 0,5 = 3b2 12 4 3 b 2 2 VchópSABCD lớn nhất là ; đạt được  x = 3b x 4 0,5 3 3 x2 = 3b2- x2 2x2 = 3b2 x2 = b2 x b Bài 5 : 2 2 (2 điểm) 0,25 Phương trình đường thẳng (d) qua M (1,1) với hệ số góc k có dạng : y = k (x – 1) + 1 (d) : y = kx – k + 1 (1) Toạ độ giao điểm A,B của (d) và (E) là nghiệm của hệ : 4x 2 9y 2 36 4 x2 + 9 (kx – k +1)2 = 36 0,25 y kx k 1 (4+ 9k2)x2 – 18k(k-1)x + 9k2 –18k –27= 0 (2) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt : 0,25 9k k 1 2 - (4+9k2) (9k2 – 18k – 27) > 0 0,5 9k2 (k – 1)2 – (4 + 9k)2 (k2 – 2k – 3) > 0 32k2 + 8k + 12 > 0 (luôn đúng) Vậy phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt và : 18K(k 1) X X A B 4 9k 2 9k 2 18k 27 X .X A B 2 4 k 0,25 18k k 1 Theo giả thiết MA = MB xA + xB = 2xM = 2 4 9k 2 k = - 4 9 Thay k = -4 vào (1), ta được (d) có phương trình : 4x + 9y – 13 = 0 9 Bài 6: (2 điểm) 1 x4 1 dx I = 6 0 x 1 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn x4 1 x4 1 x4 x2 1 x2 x2 f(x) = = = = 1 + x6 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x6 1 0,25 1 dx 1 x2dx I = + 2 6 0 x 1 0 x 1 1 dx I = 2 0 x 1 0,5 1 4 Đặt x = tg t ; t ; x t 2 2 0 0 dx = dt = (1+tg2t) dt cos2 t 4 2 4 1 tg t 4 I = dt = dt = t = 1 2 0 tg t 1 0 0 4 1 x2dx I = 2 6 0 x 1 1 1 Đặt u = x3 ; x u 0 0 du Ta có : du = 3x2dx x2dx = 3 1 du 1 1 du 1 I = = = = 2 2 2 0 3 u 1 3 0 u 1 3 4 12 Khi đó I = I1 + I2 = + = 0,25 4 12 3 Vậy I = 3 DeThi.edu.vn
Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 12 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 Đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán x 2 Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: y (C) x 1 a. Khảo sát hàm số b. Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất. (Trích trong cuốn “Đạo hàm và ứng dụng” của tác giả: Lê Hồng Đức) Câu 2: (2 điểm) Tính tích phân xác định sau: (Sáng tác) 2 dx I 2006 0 1 tg x Câu 3: (3 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 x 6 x (3 x)(6 x) m (Trích trong cuốn “Điều kiện cần và đủ để giải phương trình” của: Phan Huy Khải) Câu 4: (2 điểm) Tìm (x;y) biết rằng (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo 3 góc của một tam giác và (x;y) thoả mãn: sin2[(x+1)y] = sin2xy + sin2[(x-1)y] (Trích trong cuốn: “Phương trình lượng giác” của tác giả: Trần Phương) x x Câu 5: (2 điểm) Giải phương trình: 2006 2005 20052006 (Sáng tác) x 2 y 2 Câu 6: (3 điểm) Cho (E): 1 (0 < b < a). A, B là hai điểm tuỳ ý nằm trên (E) a 2 b 2 sao cho OA  OB . Hãy xác định vị trí của A và B trên (E) để cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. (Trích trong cuốn: “Hình giải tích” của tác giả: Trần Phương) Câu 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác đều SABC nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R, các cạnh bên hợp với nhau góc . a. Tính thể tích hình chóp SABC theo R và b. Khi thay đổi xác định để thể tích ấy lớn nhất DeThi.edu.vn