Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Đề số 100 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Đề số 100 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 100 – Đoàn 01ĐỀ ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC Môn thi: TOÁN (Đề gồm có 06 trang) (Thời gian làm bài 90 phút) Câu 1. Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là 3 30 3 A. A30. B. 3 . C. 10. D. C 30. Câu 2. Cho cấp số cộng (un ) có u1 = - 3, u6 = 27. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 7. B. 5. C. 8. D. 6. 2 Câu 3. Số nghiệm của phương trình 2x - x = 1 là A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 4. Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là A. B.2a 3C D. 27a3. 8a3. 3a3. Câu 5. Gọi D là tập tất cả những giá trị của x để log3(2018 - x) có nghĩa. Tìm D ? A. D = [0;2018]. B. D = (- ¥ ;2018). C. D = (- ¥ ;2018]. D. D = (0;2018). 3 Câu 6. Hàm số F(x) = ex là một nguyên hàm của hàm số x3 3 3 e 3 A. f (x) = ex . B. f (x) = 3x 2.ex . C. f (x) = × D. f (x) = x 3.ex - 1. 3x 2 Câu 7. Cho tứ diện O.A BC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = 2cm, OB = 3cm, OC = 6cm. Thể tích của khối tứ diện O.A BC bằng A. 6cm3. B. C.36 c D.m3 . 12cm3. 18cm3. Câu 8. Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4. Thể tích của khối nón đã cho bằng A. 16p 3. B. 12p. C. 4. D. 4p. Câu 9. Một quả bóng bàn có mặt ngoài là mặt cầu bán kính là 2cm. Diện tích mặt ngoài của quả bóng bàn bằng A. 4cm2. B. 4pcm2. C. 16pcm2. D. 16cm2. Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (0;1). B. (- ¥ ;0). C. (1;+ ¥ ). D. (- 1;0). 1 2 2 Câu 11. Cho b là số thực dương khác 1. Giá trị của logb(b .b ) bằng 3 5 1 A. B. × C. D. 1. × × 2 2 4 Câu 12. Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng a và bán kính đáy bằng R. Thể tích khối trụ đã cho bằng 1 A. paR2. B. 2paR2. C. paR2. D. aR2. 3 Trang - 1 -
2. Câu 13. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3. C. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4. Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào ? A. y = - x 3 + x 2 - 1. B. y = x 4 - x 2 - 1. C. y = x 3 - x 2 - 1. D. y = - x 4 + x 2 - 1. 1- 4x Câu 15. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = ? 2x - 1 1 A. B.y = C.2 . D. y = 4. y = × y = - 2. 2 Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình log3(x - 1) > 2 là A. (10;+ ¥ ). B. (- ¥ ;10). C. (0;10). D. [10;+ ¥ ). Câu 17. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f (x) - 1 = 0 là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. 2 2 é ù Câu 18. Nếu ò f (x)dx = 3 thì ò ëê4f (x) - 3ûúdx bằng 0 0 A. 2. B. 6. C. 8. D. 4. Câu 19. Tìm số phức liên hợp của z = i(3i + 1). A. 3- i. B. - 3 + i. C. 3 + i. D. - 3 - i. Câu 20. Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp z của số phức z = - i(4i + 3). A. Phần thực là 4 và phần ảo là - 3. B. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. D. Phần thực là và- phần4 ảo là 3i. Câu 21. ̉ nĐiểm hiệ n lư ớMi trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức y Khung hì nh bao quanh A. z = - 2 + i. M 1 Ẩ nB. hi ệ nz ho=à nh1 đ-ộ 52,6i. Ẩ n hiệ n hoà nh độ 3,4 C. z = 2 + i. -4 -3 2 O x D. z = 1+ 2i. Câu 22. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm M-(21;- 1;2) lên trục Oy. Trang - 2 -
3. A. H(0;- 1;0). B. H(1;0;0). C. H(0;0;2). D. H(0;1;0). Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ? A. I (- 1;2;1) và R = 3. B. I (1;- 2;- 1) và R = 3. C. I (- 1;2;1) và R = 9. D. I (1;- 2;- 1) và R = 9. Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 3x - z + 2 = 0. Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của (P) ? r r r r A. n4 = (1;0 - 1). B. n1 = (3;- 1;2). C. n3 = (3;- 1;0). D. n2 = (3;0;- 1). x + 1 y - 2 z Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = × Điểm nào sau đây thuộc 1 - 1 3 d ? A. Q(1;0;2). B. N(1;- 2;0). C. P(1;- 1;3). D. M (- 1;2;0). Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 2, AD = a, SA vuông góc với đáy và SA = a (minh họa như hình bên dưới). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng S A. 90°. B. 60°. A C. 45°. D D. 30°. B C Câu 27. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của f ¢(x) như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. 4 2 Câu 28. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x - 2x + 3 trên [0;2]. A. M = 11, m = 3. B. M = 3, m = 2. C. M = 5, m = 2. D. M = 11, m = 2. 4 Câu 29. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn log a + log b = 2. Giá trị của a3.b4 bằng 2 3 2 A. 8. B. 6. C. 64. D. 32. Câu 30. Đồ thị của hàm số y = x 4 - 2x 2 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm ? A. 0. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình 4x - 3.2x + 2 > 0 là D. (0;1). B. [0;1). C. (1;2). D. (- ¥ ;0) È (1;+ ¥ ). Câu 32. Cho tam giác OAB vuông tại O có OA = 3, OB = 4. Diện tích toàn phần của hình nón tạo thành khi quay tam giác OAB quanh OA bằng A. 36p. B. 20p. C. 26p. D. 52p. p p Câu 33. Xét 2 sin2 x cosxdx, nếu đặt u = sin x thì 2 sin2 x cosxdx bằng ò0 ò0 Trang - 3 -
4. 1 1 0 - 1 A. u2du. B. 2 udu. C. - u2du. D. - u2du. ò0 ò0 ò- 1 ò0 Câu 34. Hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - 1, x = 2, y = 0, y = x 2 - 2x có diện tích S được tính theo công thức nào dưới đây ? 2 0 2 A. S = ò(x 2 - 2x)dx. B. S = ò(x 2 - 2x)dx - ò(x 2 - 2x)dx. - 1 - 1 0 0 2 2 C. S = ò(x 2 - 2x)dx + ò(x 2 - 2x)dx. D. S = ò x 2 - 2x dx. - 1 0 0 Câu 35. Cho hai số phức z1 = 1+ 3i và z2 = 2 - i. Phần ảo của số phức z1.z2 bằng A. - 7. B. 5i. C. 5. D. - 7i. 2 Câu 36. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z - 4z + 3 = 0 .Giá trị của z1 + z 2 bằng A. 3 2. B. 2 3. C. 3. D. 3. Câu 37. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (2;- 1;- 3) và vuông góc với trục tung Oy có phương trình là A. y + 1 = 0. B. C.z + 3 = 0. x -D.2 = 0. y - 1 = 0. Câu 38. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;- 3), B(3;- 6;1) là x - 2 y + 2 z + 1 x - 1 y - 2 z + 3 A. = = × B. = = × - 1 4 - 2 3 - 1 1 x - 3 y + 6 z - 1 x - 3 y + 1 z - 1 C. = = × D. = = × 1 - 4 - 2 1 - 4 2 Câu 39. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11. 5 3 4 14 A. × B. × C. × D. × 12 11 21 55 Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a (minh học như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB .Biết khoảng 2a S cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng × Khi đó AC bằng 3 A. 4a. B. a 15. M a 3 A B C. × 3 D. 3a. C 1 Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m + 3)x + 2 3 đồng biến trên ¡ . A. Vô số. B. 5. C. 3. D. 7. Câu 42. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t) = s(0).2t , trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A Trang - 4 -
5. có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút. ax + 1 Câu 43. Cho hàm số y = (a, b, c Î ¡ ) có bảng biến thiên bên dưới và đồ thị cắt trục hoành tại bx + c điểm có hoành độ âm. Tìm khẳng định đúng ? A. a 0, b > 0, c 0, b > 0, c > 0. D. a > 0, b 0. Câu 44. Cho hình trụ có trục OO¢, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a .Mặt phẳng (P ) song song với trục và cách trục một khoảng 0,5a. Diện tích thiết diện của trụ cắt bởi (P) bằng A. pa2. B. a2. C. 2 3a2. D. 3a2. Câu 45. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 6 .Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A,B sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến dây A Bbằng 3, biết diện tích tam giác SA B bằng 9 10 . Tính thể tích khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho. 189 A. p. B. 54p. C. 27p. D. 162p. 8 Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn [0;2p] của phương trình f (cosx) + 2 = 0 là A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 47. Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b> 1 và ax = by = a b. Giá trị nhỏ nhất của x + 2y bằng A. 4. B. 2 5. C. 2 3. D. 3 2. 2x - m Câu 48. Cho hàm số y = (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m thỏa x - 1 mãn 2(max y)2 - 3(miny)2 = - 3. Số phần tử của S là [- 1;0] [- 1;0] A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 49. Cho hình lập phương ABCDA¢B¢C ¢D¢ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, N là trung điểm của A¢D ¢. Thể tích của tứ diện MNB¢C ¢ bằng a3 a3 a3 2a3 A. B. C.× D. × × × 3 6 4 5 2 2 Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log3(x + 2y) = log2(x + y ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số. Trang - 5 -
6. MA TRẬN ĐƠN VỊ BÀI HỌC MỨC ĐỘ TỔNG LỚP CHƯƠNG Vị trí câu TỔNG NB TH VDT VDC ĐVBH Đơn điệu 10-41 1 1 2 ỨNG Cực trị 13-27 1 1 2 DỤNG GTLN – GTNN 28-48 1 1 2 12 ĐẠO HÀM Đường Tiệm cận 15 1 1 Đồ thị 14-17-30-43-46 1 2 1 1 5 Công thức Mũ – Log HÀM 11-29 1 1 2 SỐ HS Mũ – Log 5-47 1 1 2 9 MŨ PT Mũ – Log 3-50 1 1 2 LOGARIT BPT Mũ – Log 16-31-42 2 1 3 12 Định nghĩa & tính chất 19-21 1 1 2 SỐ Phép Toán 20-35 1 1 2 5 PHỨC PT bậc hai theo hệ số thực 36 1 1 4 Nguyên hàm 6 1 1 5 NGUYÊN HÀM Tích phân 18-33-45 2 1 3 / 5 5 TÍCH Ứng dụng tính S 34 1 1 0 PHÂN Ứng dụng tính V 0 KHỐI Đa diện lồi – Đa diện đều 0 3 ĐA DIỆN Thể tích khối đa diện 4-7-49 1 1 1 3 KHỐI Khối nón 8-32 1 1 2 TRÒN Khối trụ 12-44 1 1 2 5 XOAY Khối cầu 9 1 1 HÌNH HỌC Phương pháp tọa độ 22 1 1 GIẢI TÍCH Phương trình mặt cầu 23 1 1 TRONG 6 Phương trình mặt phẳng 24-37 1 1 2 KHÔNG GIAN Phương trình đường thẳng 25-38 1 1 2 DÃY SỐ Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp 1 1 1 11 ĐẠI SỐ Cấp số cộng (cấp số nhân) 2 1 1 3 5 TỔ HỢP Xác suất / 39 1 1 5 QUAN HỆ Góc 26 1 1 0 VUÔNG Khoảng cách 2 40 1 1 GÓC TỔNG 20 15 10 5 50 50 Trang - 6 -
7. ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A 11.C 12.A 13.A 14.B 15.D 16.A 17.B 18.B 19.D 20.B 21.A 22.A 23.A 24.D 25.D 26.D 27.C 28.D 29.C 30.D 31.D 32.A 33.A 34.B 35.A 36.D 37.A 38.A 39.A 40.A 41.B 42.C 43.C 44.C 45.B 46.A 47.A 48.D 49.B 50.B LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪ CÂU 36 ĐẾN 50 2 Câu 36. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z - 4z + 3 = 0 .Giá trị của z1 + z 2 bằng A. 3 2. B. 2 3. C. 3. D. 3. Lời giải é 1 2 êz = + i ê1 1 2 1 2 Phương trình 4z2 - 4z + 3 = 0 Û ê 2 2 Þ z + z = + i + - i = 3. ê 1 2 1 2 2 2 2 2 êz = - i ëê 2 2 2 Chọn đáp án D. Câu 37. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (2;- 1;- 3) và vuông góc với trục tung Oy có phương trình là A. y + 1 = 0. B. C.z + 3 = 0. x -D.2 = 0. y - 1 = 0. Lời giải ì ï Qua M (2;- 1;- 3) Từ đề bài, suy ra mặt phẳng (P) : íï r r ï VTPT : n = k = (0;1;0) îï (P ) Þ (P) : 0.(x - 2) + 1.(y + 1) + 0.(z + 3) = 0 Þ (P) : y + 1 = 0. Chọn đáp án A. Câu 38. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A (1;2;- 3), B(3;- 6;1) là x - 2 y + 2 z + 1 x - 1 y - 2 z + 3 A. = = × B. = = × - 1 4 - 2 3 - 1 1 x - 3 y + 6 z - 1 x - 3 y + 1 z - 1 C. = = × D. = = × 1 - 4 - 2 1 - 4 2 Lời giải ïì Qua A(1;2;- 3), ï Phương trình đường thẳng d : í r uuur có dạng ï VTCP : u = AB = (2;- 8;4) = - 2.(- 1;4;- 2) îï x - 1 y + 4 z + 3 d : = = × Quan sát bốn đáp án, loại B và C. - 1 4 - 2 Trên đường thẳng d của đáp án không lấy hai điểm A, B mà lấy điểm khác. Trang - 7 -
8. x - 2 y + 2 z + 1 1- 2 2 + 2 - 3 + 1 Thử với đáp án A, tức A(1;2;- 3) Î d : = = Û = = - 1 4 - 2 - 1 4 - 2 Û 1 = 1 = 1 : đúng nên nhận đáp án A. Chọn đáp án A. Câu 39. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11. 5 3 4 14 A. × B. × C. × D. × 12 11 21 55 Lời giải Xếp 9 học sinh vào 9 ghế, suy ra phần tử không gian mẫu là n(W) = 9!. Gọi A là biến cố: " xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11". Mô tả trường hợp thuận lợi của biến cố A : Giai đoạn 1. Xếp 6 học sinh lớp 11 có 6! cách xếp. Giai đoạn 2. Giữa 6 học sinh lớp 11 có 7 vách ngăn (gồm 5ở giữa và 2ở đầu). Chọn 3 3 vách ngăn trong 7 vách ngăn để xếp 3 học sinh lớp 12 vào có A7 cách. 3 Theo quy tắc nhân, suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = 6!.A7 . n(A) 6!.A3 5 Vậy xác suất cần tìm là P(A) = = 7 = × n(W) 9! 12 Chọn đáp án A. Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a (minh học như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB .Biết khoảng 2a S cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng × Khi đó AC bằng 3 A. 4a. B. a 15. M a 3 A B C. × 3 D. 3a. C Lời giải Gọi N là trung điểm của AC. Ta có BC PMN Þ BC P(SMN ). Khi đó d(BC,SM ) = d(BC,(SMN )) = d(B,(SMN )) = d(A,(SMN )). Dựng AI ^ MN (I Î MN ), AH ^ SI (H Î SI ). Suy ra d(A,(SMN )) = AH. a.x Đặt AN = x và có AM = a Þ AI = × a2 + x 2 a.x a. SA.AI 2a a2 + x 2 x 2 DSAI có AH = Û = Û = Þ AC = 4a. SA2 + AI 2 3 a2x 2 a2 + 2x 2 3 a2 + a2 + x 2 Chọn đáp án A. Trang - 8 -
9. 1 Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m + 3)x + 2 3 đồng biến trên ¡ . A. Vô số. B. 5. C. 3. D. 7. Lời giải Yêu cầu bài toán Û y¢= x 2 - 2mx + 2m + 3 ³ 0, " x Î ¡ ì ï a = 1 > 0 Û íï Û - 1 £ m £ 3. Do m Î ¢ Þ m Î {- 1;0;1;2;3} . ï D¢= m2 - 2m - 3 £ 0 îï Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa bài toán. Chọn đáp án B. Câu 42. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t) = s(0).2t , trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút. Lời giải Khi t = 3 thì S(t) = 625000, suy ra: 625000 = s(0).23 Þ s(0) = 78125. Khi s(t) = 10000000 Þ 10000000 = 78125.2t Û 2t = 128 = 27 Û t = 7 phút. Chọn đáp án C. ax + 1 Câu 43. Cho hàm số y = (a, b, c Î ¡ ) có bảng biến thiên bên dưới và đồ thị cắt trục hoành tại bx + c điểm có hoành độ âm. Tìm khẳng định đúng ? A. a 0, b > 0, c 0, b > 0, c > 0. D. a > 0, b 0. Lời giải c g Đường tiệm cận đứng: x = - = - 1 Û b = c. b a g Đường tiệm cận ngang: y = = 1 Û a = b. Suy ra a = b = c. b ax + 1 1 Do đồ thị cắt trục hoành Ox : y = 0 Þ 0 = Û x = - 0. bx + c a Mà a = b = c nên a > 0, b > 0, c > 0. Chọn đáp án C. Câu 44. Cho hình trụ có trục OO¢, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a .Mặt phẳng (P ) song song với trục và cách trục một khoảng 0,5a. Diện tích thiết diện của trụ cắt bởi (P) bằng 2 2 2 2 A. pa . B. a . C. 2 3a . D. 3a . P Lời giải O' Do thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a Þ h = 2r = 2a Þ r = a. Q TrangN - 9 - O I M
10. Giả sử (P) cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật MNPQ như hình. Suy ra: QM = h = 2a. Dựng OI ^ MN Þ I là trung điểm của MN và OI ^ (MNPQ) Suy ra OI = 0,5a. 3 Tam giác OIM vuông tại I có IM = OM 2 - OI 2 = r 2 - OI 2 = a2 - (0,5a)2 = × 2 Mà MN = IM = 3. Do đó diện tích thiết diện là SMNPQ = QM .MN = 2a 3. Chọn đáp án C. Câu 45. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 6. Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến dây AB bằng 3, biết diện tích tam giác SAB bằng 9 10. Tính thể tích khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho. 189 A. p. B. 54p. C. 27p. D. 162p. 8 Lời giải S Theo đề có h = SO = 6, OI = 3, SDSAB = 9 10. Cần tìm r = OB = ? 1 Ta có: S = 9 10 Û AB.SI = 9 10 DSAB 2 1 2 2 Û ×(2IB). SO + IO = 9 10 K 2 A Û IB. 62 + 32 = 9 10 Û IB = 3 2. I O Suy ra: r = OB = IB 2 + IO2 = (3 2)2 + 32 = 3 3. B 1 1 Vậy thể tích của khối nón là V = p.r 2.h = p.(3 3)2.6 = 54p. Chọn đáp án B. 3 3 Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn [0;2p] của phương trình f (cosx) + 2 = 0 là A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải Đặt t = cosx Þ t ¢= - sin x = 0 Û x = kp ¾ ¾xÎ [0¾;2p]¾® x = { 0;p;2p} . x 0 p 2p Mối tương quan giữa nghiệm t và x. t ¢ - 0 + g t 1 : cho 0 nghiệm x. g t = - 1 : 1 x. 1 1 cho nghiệm t g t Î (- 1;1] : 2 x. - 1 cho nghiệm Khi đó phương trình trở thành f (t) = - 2 và nhìn vào bảng biến thiên của đề: Trang - 10 -
11. y = - 2 Suy ra f (t) = - 2 Û t = - 1 : cho 1 cho nghiệm x và t = 1 : cho 2 nghiệm x. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn đáp án A. Lưu ý. Có thể dùng đồ thị hình cos cho nhanh nhưng học sinh sẽ khó khăn khi gặp bài toán chứa tham số m hoặc đặt t là căn hoặc t biểu thức lượng giác, mũ, lôga, Câu 47. Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1 và a x = by = a b. Giá trị nhỏ nhất của x + 2y bằng A. 4. B. 2 5. C. 2 3. D. 3 2. Lời giải Ta có: a > 1, b > 1 Þ loga b > 0. ïì 2 x y 2x 2y 2 ï 2x = loga(a b) = 2 + loga b Từ đề a = b = a b Û a = b = a b Þ íï . ï 2y = log (a2b) = 1+ 2log a îï b b æ1 öCauchy ç ÷ Khi đó: x + 2y = 2 + ç loga b + 2logb a÷ ³ 2 + 2 loga b.logb a = 4. èç2 ÷ø Chọn đáp án B. 2x - m Câu 48. Cho hàm số y = (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m thỏa x - 1 mãn 2(max y)2 - 3(miny)2 = - 3. Số phần tử của S là [- 1;0] [- 1;0] A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải m + 2 Gọi 2(max y)2 - 3(miny)2 = - 3 (*) và có y(- 1) = và y(0) = m. [- 1;0] [- 1;0] 2 m - 2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [- 1;0]. Ta có: y¢= × (x - 1)2 g Trường hợp 1. Nếu m = 2 Þ y = 1 Þ miny = max y = 1 không thỏa (*) [- 1;0] [- 1;0] g Trường hợp 2. Nếu m - 2 > 0 Û m > 2. m + 2 Hàm số đồng biến trên [- 1;0] Þ miny = y(- 1) = và max y = y(0) = m. [- 1;0] 2 [- 1;0] é æ ö2 êm = 0 2 çm + 2÷ 2 m> 2 12 (*) Þ 2m - 3.ç ÷ = - 3 Û 5m - 12m = 0 Û ê 12 ¾ ¾ ¾® m = × èç 2 ø÷ êm = 5 ëê 5 g Trường hợp 2. Nếu m - 2 < 0 Û m < 2. m + 2 Hàm số nghịch biến trên [- 1;0] Þ miny = y(0) = m và max y = y(- 1) = × [- 1;0] [- 1;0] 2 Trang - 11 -
12. æ ö2 çm + 2÷ 2 2 ± 3 6 (*) Þ 2ç ÷ - 3m = - 3 Û m = (thỏa m < 2) nên nhận. èç 2 ø÷ 5 12 2 ± 3 6 Vậy có ba giá trị m là m = , m = thỏa bài toán. Chọn đáp án D. 5 5 Câu 49. Cho hình lập phương ABCDA¢B¢C ¢D¢ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, N là trung điểm của A¢D¢. Thể tích của tứ diện MNB¢C ¢ bằng a3 a3 a3 2a3 A. B. ×C. D. × × × 3 6 4 5 Lời giải B C M A D B' C' A' N D' 1 a a2 Ta có: S = S - (S + S ) = a2 - 2. . .a = × DB ¢NC ¢ A¢B ¢C ¢D ¢ DB ¢NA¢ DD ¢NC ¢ 2 2 2 1 1 a2 a3 Suy ra: V = .S .CC ¢= . .a = × MNB ¢C ¢ 3 DB ¢NC ¢ 3 2 6 Chọn đáp án B. 2 2 Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log3(x + 2y) = log2(x + y ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số. Lời giải ïì t 2 2 ï x + 2y = 3 Đặt log (x + 2y) = log (x + y ) = t Û íï (*) 3 2 ï x 2 + y2 = 2t îï t Hệ (*) có nghiệm khi đường thẳng D : x + 2y - 3t = 0 và đường tròn (C) : x 2 + y2 = ( 2 )2 t t 0 + 0 - 3 t t æ ö t 9÷ có điểm chung Û d(O,D) £ R Û £ 2 Û 3 £ 5. 2 Û ç ÷ £ 5 Û t £ log 5. 2 2 ç ÷ 9 1 + 2 è2ø 2 t log 5 2 2 t 9 Do x + y = 2 nên y £ 2 Þ y £ 2 2 » 1,448967 Vì y Î ¢ nên y Î {- 1;0;1} . Thử lại: ïì t ï x - 1 = 3 t 2 t g Với y = - 1 Þ hệ íï Þ (3 + 1) + 1 = 2 : vô nghiệm nên loại y = - 1. ï x 2 + 1 = 2t îï Trang - 12 -
13. ïì x = 3t æ öt ï t t 9÷ g Với y = 0 Þ íï Þ 9 = 2 Û ç ÷ = 1 Û t = 0 Þ x = 1 : nhận. ï x 2 = 2t ç2÷ îï è ø ïì t ï x + 1 = 3 t 2 t g Với y = 1 Þ íï Þ (3 - 1) = 2 - 1 Þ t = 0 Þ x = 0 : nhận. ï x 2 + 1 = 2t îï Vậy có 2 số nguyên y thỏa mãn bài toán. Chọn đáp án B. Trang - 13 -