Đề ôn thi Trung học Phổ thông môn Toán năm 2020 - Đề số 109 - Đề chuẩn cấu trúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi Trung học Phổ thông môn Toán năm 2020 - Đề số 109 - Đề chuẩn cấu trúc (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 109 – Đoàn 10ĐỀ ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC Môn thi: TOÁN (Đề gồm có 06 trang) (Thời gian làm bài 90 phút) MUA BỘ 120 ĐỀ TINH GIẢN MỚI NHẤT THEO BGD LIÊN HỆ: ntthuong987@gmail.com Câu 1. Một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh đi lao động trong đó có 2 học sinh nam ? A. 2 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 3 C 9 .C 6 . C 6 +C 9 . A6 .A9 . C 6 .C 9 . Câu 2. Một cấp số nhân có số hạng đầu công bội Biết Giá trị của bằng u1 = 3, q = 2. Sn = 765. n A. 7. B. 6. C. 8. D. 9. 4x-4 m-1 Câu 3. Phương trình 3 = 81 vô nghiệm khi và chỉ khi A. m 2. B. m = 2. C. D.m < 2. -2 < m < 2. p 3 dx Câu 6. Tích phân I = bằng ò 2 p sin x 4 p p p p p p p p A. B.co t C. -D.c o t × cot + cot × -cot + cot × -cot - cot × 3 4 3 4 3 4 3 4 Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Thể tích hình chóp đã cho bằng 3 3 3 9a 3 3 9a A. 9a 3. B. × C. 9a . D. × 2 2 Câu 8. Thiết diện qua trục của hình nón (N ) là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần của hình nón (N ) bằng 2 2 2 pa (2 + 2) pa ( 2 + 1) 2 pa (1 + 2 2) A. B. C. D. × × pa ( 2 + 1). × 2 2 2 Câu 9. Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó bằng 3 3 2 3 A. × B. × C. 3 3. D. 2 3. 2 3 Câu 10. Cho hàm số y = 2x 2 + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? Trang - 1 -
2. A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+¥). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+¥). 1 1 a 3 b +b 3 a Câu 11. Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức A = ta được 6 a + 6 b 1 3 6 1 A. A = × B. A = ab. C. A = ab. D. A = × 3 ab 6 ab Câu 12. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ với AB = 4a và AC = 5a. Thể tích khối trụ đã cho bằng A. 16pa 3. B. 12pa 3. C. 4pa 3. D. 8pa 3. Câu 13. Cho hàm số f (x) = x 3 - 3x 2 + mx -1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa 2 2 x1, x2 x1 + x2 = 3. 3 1 A. m = × B. m = × C. m = -2. D. m = 1. 2 2 Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào ? A. x B. y = e . y = log 7 x. 1 C. D. y = log1 x. y = x × 2 e Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới. Hỏi đồ thị hàm số y = f (x )có bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Câu 16. Tập nghiệm của của bất phương trình 1 - 2x là log1 > 0 3 x æ ö æ ö æ ö æ ö A. ç1 ÷ B. ç 1÷ C. ç1 1÷ D. ç 1÷ ç ;+¥÷. ç0; ÷. ç ; ÷. ç-¥; ÷. èç3 ÷ø èç 3ø÷ èç3 2ø÷ èç 3ø÷ Câu 17. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên các khoảng (-¥;0) và (0;+¥), có bảng biến thiên bên dưới. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f (x) = m có 4 nghiệm phân biệt ? A. -4 < m < 3. B. -3 < m < 3. C. -4 < m < 2. D. -3 < m < 2. Trang - 2 -
3. 3 3 3 Câu 18. Nếu é ù và é ù thì é ù bằng ò ëêf (x) + 3g(x)ûú dx = 10 ò ëê2f (x) - g(x)ûú dx = 6 ò ëêf (x) + g(x)ûú dx 1 1 1 A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Câu 19. Trên tập số phức, cho 2x + y + (2y - x)i = x - 2y + 3 + (y + 2x + 1)i với x, y Î . Giá trị của biểu thức 2x + 3y bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 20. Cho số phức z = a +bi (a, b Î ) thỏa mãn (1 + i)z + 2z = 3 + 2i. Giá trị của a + b bằng 1 1 A. × B. 1. C. -1. D. - × 2 2 Câu 21. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z - 2 + 5i = 4 một đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm I và R. A. I(2;-5) và R = 2. B. I(-2;5) và R = 4. C. I(2;-5) và R = 4. D. I(0;0) và R = 2. Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;3), B(2;6;5), C(-6;-1;7). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là một hình bình hành. A. D(-7;-6;5). B. D(-7;-6;-5). C. D(7;6;5). D. D(7;-6;-5). Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x -1)2 + (y -1)2 + (z - 2)2 = 6 và điểm M(2;2;4). Tìm khẳng định đúng ? A. Điểm Mnằm bên ngoài (S). B. Điểm nằmM bên trong (S). C. Điểm Mthuộc mặt cầu (S). D. Đường kính mặt cầu bằng 6. Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho A(1;-1;2017) và mặt phẳng (P) : mx - 2y + mz + 2016 = 0. Tìm tham số m để điểm A thuộc mặt phẳng (P) ? A. m = -1007. B. m = 1. C. m = -1. D. m = 1009. Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 4x - z + 3 = 0. Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d ? A. u = (4;1;3). B. u = (4;0;-1). C. u = (4;1;-1). D. u = (4;-1;3). Câu 26. Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = AB = BC (xem hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng S A. 30°. B. 45°. C. 60°. A C 1 D. arccos × 3 B Câu 27. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số y = f (x có) bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Trang - 3 -
4. Câu 28. Cho hàm số y = x 3 + 3m 2x + 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] bằng 42. A. m = -1. B. m = 1. C. m = ±1. D. m = -2. Câu 29. Biết rằng thỏa mãn Giá trị của 4 bằng a, b, c > 1 logab (bc) = 2. logc a + logc (ab) b a A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 30. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 + 2x 2 - m 2 - 1 với trục hoành (với m là tham số). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 Câu 31. Số nghiệm nguyên của bất phương trình (17 -12 2)x ³ (3 + 8)x là A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 32. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AC = a 5. Diện tích xung quanh của hình trụ khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB bằng A. 2pa 2. B. 4pa 2. C. 2a 2. D. 4a 2. m x 3 Câu 33. Cho m là số thực dương thỏa mãn dx = × Mệnh đề nào sau đây là đúng ? ò 2 3 0 (1 + x ) 16 æ ö æ ö æ ö æ ö A. ç 7÷ B. ç 3÷ C. ç3 ÷ D. ç7 ÷ m Î ç3; ÷× m Î ç0; ÷× m Î ç ;3÷× m Î ç ;5÷× èç 2ø÷ èç 2ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ Câu 34. Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi y = f (x) và parabol y = x 2 - 2x. Biết 1 3 1 f (x)dx = × Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng - ò 2 4 9 A. × 8 3 B. × 2 3 C. × 8 8 D. × 3 Câu 35. Cho số phức z = m + 3 + (m2 - 4)i với m Î . Gọi (C) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành bằng 4 32 8 A. × B. C. D.× × 1. 3 3 3 Câu 36. Gọi là nghiệm phức của phương trình 2 trong đó có phần ảo âm. Số z1, z2 z + 2z + 5 = 0, z1 phức là z1 + 2z2 A. -3 + 2i. B. -3 - 2i. C. 3 - 2i. D. 3 + 2i. Câu 37. Trong không gian cho điểm Gọi lần lượt là hình chiếu của trên Oxyz, M(1;2;3). A, B, C M các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. 3x + 2y + z - 6 = 0. B. 2x + y + 3z - 6 = 0. C. 6x + 3y + 2z - 6 = 0. D. x + 2y + 3z - 6 = 0. Trang - 4 -
5. x -1 y + 3 z -1 x + 1 y z Câu 38. Cho M(-1;1;3) và hai đường thẳng d : = = ; d : = = × 1 3 2 1 2 1 3 -2 Phương trình đường thẳng đi qua đồng thời vuông góc với và là M, d1 d2 ì ì ì ì ïx = -1 -t ïx = -t ïx = -1 -t ïx = -1 -t ï ï ï ï A. íy = 1 + t . B. íy = 1 + t . C. íy = 1 -t . D. íy = 1 + t . ï ï ï ï ïz = 1 + 3t ïz = 3 + t ïz = 3 + t ïz = 3 + t îï îï îï îï Câu 39. Cho tập số {1;2;3;4; ;30}. Xác suất lấy ra ba số sao cho ba số đó lập thành một cấp số cộng bằng 3 3 45 24 A. × B. × C. × D. × 16 58 812 19 Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng S 2a 5 A. × 5 4a 5 B. × 5 a 15 A C. × D 5 2a 15 D. × 5 B C Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = (m 3 - 3m)x 4 + m2x 3 - mx 2 + x + 1 đồng biến trên . A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 42. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a(t) = -2t + 10 (m/s2 ). Vận tốc ban đầu của vật là 5 m/s. Tính vận tốc của vật sau 5 giây. A. 30 m/s. B. 25 m/s. C. 20 m/s. D. 15 m/s. 2 Câu 43. Cho đồ thị hàm số y = e-x như hình vẽ với ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Cạnh AD nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 2 2 2 A. × B. C.× D.× × e e e e Câu 44. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 6 .Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A,B sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến dây ABbằng 3, biết diện tích tam giác SAB bằng 9 10 . Tính thể tích khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho. Trang - 5 -
6. 189 A. p. B. 54p. C. 27p. D. 162p. 8 ïì2ax khi x £ 0 Câu 45. Cho hàm số ï (với là các tham số thực) thỏa mãn điều kiện f (x) = í 2 a, b ï6ax + 2bx khi x > 0 îï 1 2a 2b ò f (x)dx = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = e + e bằng -1 A. 2e4. B. 2e2. C. 4e. D. 4e4. Câu 46. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f (x 2 + 2x - 2) = 3m + 1 có nghiệm thuộc đoạn [0;1 ] là A. [0;4]. B. [-1;0]. C. [0;1]. é 1 ù D. ê- ;1ú × ê ú ë 3 û 1 4 2 Câu 47. Cho a > , b > 1. Khi biểu thức P = log b + log (a - 9a + 81) đạt giá trị nhỏ nhất thì 3 3a b tổng a + b bằng A. 3 + 9 2. B. 9 + 2 3. C. 2 + 9 2. D. 3 + 3 2. Câu 48. Cho hàm số f (x) = x 4 - 2x 2 + m với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m nguyên thuộc đoạn [-10;10] sao cho max f (x) < 3 min f (x) . Số phần tử của S là [0;2] [0;2] A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Câu 49. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC = 3BM, 2BD = 3BN và AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD C V thành hai phần có thể tích là (tham khảo hình vẽ). Tỉ số 1 bằng V1, V2 V2 26 P A. × 19 M 3 B B. × A 19 15 N Q C. × D 19 26 D. × 13 I Câu 50. Biết trong tất cả các cặp thỏa mãn 2 2 chỉ có duy (x;y) log2(x + y + 2) = 2 + log2(x + y -1) nhất một cặp (x;y) thỏa mãn 3x + 4y -m = 0. Tổng các giá trị của tham số m bằng A. 28. B. 46. C. 20. D. 14. Trang - 6 -
7. MA TRẬN ĐƠN VỊ BÀI HỌC MỨC ĐỘ TỔNG LỚP CHƯƠNG Vị trí câu TỔNG NB TH VDT VDC ĐVBH Đơn điệu 10-41 1 1 2 ỨNG Cực trị 13-27 1 1 2 DỤNG GTLN – GTNN 28-48 1 1 2 12 ĐẠO HÀM Đường Tiệm cận 15 1 1 Đồ thị 14-17-30-43-46 1 2 1 1 5 Công thức Mũ – Log HÀM 11-29 1 1 2 SỐ HS Mũ – Log 5-47 1 1 2 9 MŨ PT Mũ – Log 3-50 1 1 2 LOGARIT BPT Mũ – Log 16-31-42 2 1 3 12 Định nghĩa & tính chất 19-21 1 1 2 SỐ Phép Toán 20-35 1 1 2 5 PHỨC PT bậc hai theo hệ số thực 36 1 1 4 Nguyên hàm 6 1 1 5 NGUYÊN HÀM Tích phân 18-33-45 2 1 3 / 5 5 TÍCH Ứng dụng tính S 34 1 1 0 PHÂN Ứng dụng tính V 0 KHỐI Đa diện lồi – Đa diện đều 0 3 ĐA DIỆN Thể tích khối đa diện 4-7-49 1 1 1 3 KHỐI Khối nón 8-32 1 1 2 TRÒN Khối trụ 12-44 1 1 2 5 XOAY Khối cầu 9 1 1 HÌNH HỌC Phương pháp tọa độ 22 1 1 GIẢI TÍCH Phương trình mặt cầu 23 1 1 TRONG 6 Phương trình mặt phẳng 24-37 1 1 2 KHÔNG GIAN Phương trình đường thẳng 25-38 1 1 2 DÃY SỐ Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp 1 1 1 11 ĐẠI SỐ Cấp số cộng (cấp số nhân) 2 1 1 3 5 TỔ HỢP Xác suất / 39 1 1 5 QUAN HỆ Góc 26 1 1 0 VUÔNG Khoảng cách 2 40 1 1 GÓC TỔNG 20 15 10 5 50 50 Trang - 7 -
8. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.B 9.B 10.B 11.B 12.B 13.A 14.B 15.A 16.C 17.D 18.C 19.B 20.C 21.C 22.A 23.C 24.C 25.B 26.A 27.B 28.C 29.C 30.B 31.D 32.B 33.B 34.A 35.B 36.B 37.C 38.D 39.B 40.B 41.C 42.A 43.A 44.B 45.B 46.D 47.A 48.B 49.A 50.A LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪ CÂU 36 ĐẾN 50 Câu 36. Gọi là nghiệm phức của phương trình 2 trong đó có phần ảo âm. Số z1, z2 z + 2z + 5 = 0, z1 phức là z1 + 2z2 A. -3 + 2i. B. -3 - 2i. C. 3 - 2i. D. 3 + 2i. Lời giải éz = -1- 2i Ta có: z 2 + 2z + 5 = 0 Û ê 1 Þ z + 2z = -3 - 2i. êz = -1 + 2i 1 2 ëê 2 Chọn đáp án B. Câu 37. Trong không gian cho điểm Gọi lần lượt là hình chiếu của trên Oxyz, M(1;2;3). A, B, C M các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. 3x + 2y + z - 6 = 0. B. 2x + y + 3z - 6 = 0. C. 6x + 3y + 2z - 6 = 0. D. x + 2y + 3z - 6 = 0. Lời giải Theo đề ta có tọa độ A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). x y z Þ (ABC) : + + = 1 Þ (ABC) : 6x + 3y + 2z - 6 = 0. 1 2 3 Chọn đáp án C. Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-1;1;3) và hai đường thẳng x -1 y + 3 z -1 x + 1 y z d : = = ; d : = = × Phương trình đường thẳng đi qua M, 1 3 2 1 2 1 3 -2 đồng thời vuông góc với và là d1 d2 ì ì ì ì ïx = -1 -t ïx = -t ïx = -1 -t ïx = -1 -t ï ï ï ï A. íy = 1 + t . B. íy = 1 + t . C. íy = 1 -t . D. íy = 1 + t . ï ï ï ï ïz = 1 + 3t ïz = 3 + t ïz = 3 + t ïz = 3 + t îï îï îï îï Lời giải ïì ïu1 = (3;2;1) Ta có: í Þ [u ,u ] = (-7;7;7) = -7(-1;1;1). ïu = (1;3;-2) 1 2 îï 2 ïì ì ïx = -1 -t ïQua M(-1;1;3) ï Khi đó d : í Þ d : íy = 1 + t . ïVTCP : u = (-1;1;1) ï îï d ïz = 3 + t îï Trang - 8 -
9. Chọn đáp án D. Câu 39. Cho tập số {1;2;3;4; ;30}. Xác suất lấy ra ba số sao cho ba số đó lập thành một cấp số cộng bằng 3 3 45 24 A. × B. × C. × D. × 16 58 812 19 Lời giải Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập số có 3 C 30 cách Þ n(W) = 4060. Gọi 3 số lấy được tạo thành một cấp số cộng là a, b, c Þ 2a = b +c. Do 2a là số chẵn nên b và c cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Từ 1 đến 30 ta có 15 số chẵn và 15 số lẻ, vậy chọn và có 2 cách và mỗi cặp b c 2´C15 = 210 b,c chỉ có duy nhất 1 cách chọn a Þ n(A) = 210. n(A) 210 3 Vậy xác suất cần tìm là P(A) = = = . n(W) 4060 58 Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng S 2a 5 A. × 5 4a 5 B. × 5 a 15 A C. × D 5 2a 15 D. × B C 5 Lời giải S K A D H B C Ta có: AD  BC ® AD  (SBC) Þ d(AD,BC) = d (AD,(SBC)) = d (A,(SBC)). d (A,(SBC)) AB Mà = = 2 Þ d (A,(SBC)) = 2d (H,(SBC)). d (H,(SBC)) HB Gọi H trung điểm của AB. Dựng KH ^ SB, K Î SB. ì ïBC ^ SH Ta có: í Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ HK Þ HK ^ (SBC) ïBC ^ AB îï Trang - 9 -
10. 2 2 AB AB SA - . SH.HB 2a 5 Þ d H,(SBC) = HK = = 4 2 = × ( ) 2 2 2 2 SH + HB 2 AB AB 5 SA - + 4 4 4a 5 Vậy khoảng cách cần tìm là . 5 Chọn đáp án B. Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = (m 3 - 3m)x 4 + m2x 3 - mx 2 + x + 1 đồng biến trên . A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải Ta có: y¢ = 4(m 3 - 3m)x 3 + 3m2x 2 - 2mx + 1. Hàm bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm đơn, để hàm số đồng biến trên thì ém = 0 3 ê 4(m - 3m) = 0 Û ê . m = ± 3 ëê Với m = 0 Þ y¢ = 1 > 0 Þ nhận m = 0. Với m = 3 Þ y¢ = 9x 2 - 2 3x + 1 > 0 Þ nhận m = 3. Với m = - 2 Þ y¢ = 9x 2 + 2 3x + 1 > 0 Þ nhận m = - 3. Vậy có 3 tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C. Câu 42. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a(t) = -2t + 10 (m/s2 ). Vận tốc ban đầu của vật là 5 m/s. Tính vận tốc của vật sau 5 giây. A. 30 m/s. B. 25 m/s. C. 20 m/s. D. 15 m/s. Lời giải 2 Ta có: v(t) = ò a(t)dt = ò (-2t + 10)dt = -t + 10t +C. Vận tốc ban đầu của vật là 5 m / s Þ C = 5 ® v(t) = -t 2 + 10t + 5. Þ v(5) = 30. Chọn đáp án A. 2 Câu 43. Cho đồ thị hàm số y = e-x như hình vẽ với ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Cạnh AD nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 2 2 2 A. × B. C.× D.× × e e e e Lời giải Trang - 10 -
11. 2 Đồ thị hàm số y = e-x nhận trục tung là trục đối xứng, gọi A(-a;0) Þ D(a;0). 2 2 2 Þ B(-a;e-a ), C(a;e-a ) Þ AD = 2a, DC = e-a . 2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là AD ´DC = 2a.e-a . -a2 2 -a2 ± 2 Xét hàm số f (a) = a.e (a > 0), f ¢(x) = (1 - 2a )e , f ¢(x) = 0 Þ a = × 2 æ ö ç 2 ÷ 2 Lập bảng biến thiến với a > 0 Þ max f (x) = f ç ÷ = . (0;+¥) ç ÷ èç 2 ø÷ e Chọn đáp án A. Câu 44. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 6 .Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A,B sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến dây ABbằng 3, biết diện tích tam giác SAB bằng 9 10 . Tính thể tích khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho. 189 A. p. B. 54p. C. 27p. D. 162p. 8 Lời giải S A M I B Gọi M trung điểm AB Þ IM ^ AB ® d(I,AB) = IM = 3. h = SI = 6 ® SM = SI 2 + IM 2 = 62 + 32 = 3 5. ì ïAB ^ IM 1 1 Ta có: í Þ AB ^ SM. Mà S = SM.AB Û 9 10 = AB.3 5 ® AB = 6 2. ïAB ^ SI SAB 2 2 îï 2 2 2 2 AB 2 2 1 2 AI = AM + IM = + 3 = 27 = R ÞV = pR .h = 54p. 4 Nón 3 Chọn đáp án B. ïì2ax khi x £ 0 Câu 45. Cho hàm số ï (với là các tham số thực) thỏa mãn điều kiện f (x) = í 2 a, b ï6ax + 2bx khi x > 0 îï 1 2a 2b ò f (x)dx = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = e + e bằng -1 A. e4. B. 2e2. C. 4e. D. 4e4. Lời giải Có tích phân cận từ -1 đến 1 nên hàm số liên tục tại x = 0. Trang - 11 -
12. 1 0 1 0 1 f (x)dx = 2 Û 2axdx + (6ax 2 + 2bx)dx = 2 Û ax 2 + (2ax 3 +bx 2 ) = 2 ò ò ò -1 0 -1 -1 0 Û -a + 2a +b = 2 Þ a +b = 2 ® b = 2 -a. 4 4 2a 2b 2a 4-2a 2a e 2a e 2 Mà P = e + e = e + e = e + ³ 2 e ´ = 2e . e2a e2a Chọn đáp án B. Câu 46. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f (x 2 + 2x - 2) = 3m + 1 có nghiệm thuộc đoạn [0;1 ] là A. [0;4]. B. [-1;0]. C. [0;1]. é 1 ù D. ê- ;1ú × ê ú ë 3 û Lời giải Đặt t = x 2 + 2x - 3 Þ t¢ = 2x + 2 > 0, "x Î [0;1]. Do đó và Suy ra tmin = t(0) = -3 tmax = t(1) = 0. t Î [-3;0]. Khi đó yêu cầu bài toán Û f (t) = 3m + 1 có nghiệm t Î [-3;0]. 1 Dựa vào đồ thị, suy ra 0 £ 3m + 1 £ 4 Û - £ m £ 1. 3 Chọn đáp án D. 1 4 2 Câu 47. Cho a > , b > 1. Khi biểu thức P = log b + log (a - 9a + 81) đạt giá trị nhỏ nhất thì 3 3a b tổng a + b bằng A. 3 + 9 2. B. 9 + 2 3. C. 2 + 9 2. D. 3 + 3 2. Lời giải Ta có: a 4 - 9a 2 + 81 = a 4 -18a 2 + 81 + 9a 2 = (a 2 - 9)2 + 9a 2 ³ 9a 2. 4 2 2 2 Þ P = log3a b + logb (a - 9a + 81) ³ log3a b + logb (9a ) = log3a b + log3a b Cauchy 2 2 Þ P = log3a b + ³ 2 log3a b ´ = 2 2. log3a b log3a b ïìa 2 - 9 = 0 ï ïìa = 3 ï ï 2 Dấu " = " xảy ra khi íï 2 Þ íï ® a +b = 3 + 9 . ïlog b = ïb = 9 2 ï 3a ïî îï log3a b Chọn đáp án A. Câu 48. Cho hàm số f (x) = x 4 - 2x 2 + m với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m nguyên thuộc đoạn [-10;10] sao cho max f (x) < 3 min f (x) . Số phần tử của S là [0;2] [0;2] A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Trang - 12 -
13. Lời giải Ta có: f ¢(x) = 4x 3 - 4x, f ¢(x) = 0 Û x = 0 Ú x = ±1. Lập bảng biến thiên Þ min f (x) = m -1, max f (x) = m + 8. [0;2] [0;2] Vì f (x) ³ 0 "x Î [0;2] Þ (m -1)(m + 8) > 0. TH1 : m + 8 0 ® m > 1 Þ max f (x) = m + 8 , min f (x) = m - 1 [0;2] [0;2] é 11 êm > ê Þ m + 8 < 3 m -1 Þ ê 2 Þ m Î {6; 7; 8; 9; 10}. ê -5 êm < ë 4 Chọn đáp án B. Câu 49. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC = 3BM, 2BD = 3BN và AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD C V thành hai phần có thể tích là (tham khảo hình vẽ). Tỉ số 1 bằng V1, V2 V2 26 P A. × 19 M 3 B B. × A 19 15 N Q C. × D 19 26 D. × 13 I Lời giải Áp dụng định lí Menelause trong tam giác BCD : MB IC ND 1 IC 1 IC × × = 1 Û × × = 1 ® = 4 MC ID NB 2 ID 2 ID Áp dụng đinh lí Menelause trong tam giác ACD : PA IC QD QD 1 × × = 1 Û 1× 4 × = 1 Þ QD = QA. PC ID QA QA 4 VCMNDQP =VC .MNP +VC .NDQ +VC .PNQ . V C .MNP CM CP 1 2 2 2 2 = × = ÞVC .MNP = VC .BNA = × VABCD = VABCD (1). VC .BNA CB CA 6 6 6 3 9 S NDQ DN DQ 1 1 1 1 = × = × = ÞVC .NDQ = VABCD (2) SBDA DB DA 3 5 15 15 V C .NQP CP 1 1 = = ÞVC .NQP = VC .NQA VC .NQA CA 2 2 Trang - 13 -
14. 1 1 1 4 4 1 4 SNQA = d(N,AQ).AQ = × d(B,AD)× AD = × d(B,AD).AD = SABD 2 2 3 5 15 2 15 VC .NQA 4 2 Þ = ®VC .NQA = VABCD (3) VC .ABD 15 15 2 1 2 19 V =V +V +V = V + V + V = V . CMNDQP C .MNP C .NDQ C .PNQ 9 ABCD 15 ABCD 15 ABCD 45 ABCD V 26 1 26 ÞVABMNQP = VABCD Þ = × 45 V2 19 Chọn đáp án A. Câu 50. Biết trong tất cả các cặp thỏa mãn 2 2 chỉ có duy (x;y) log2(x + y + 2) = 2 + log2(x + y -1) nhất một cặp (x;y) thỏa mãn 3x + 4y -m = 0. Tổng các giá trị của tham số m bằng A. 28. B. 46. C. 20. D. 14. Lời giải log (x 2 + y2 + 2) = 2 + log (x + y -1) Û log (x 2 + y2 + 2) = log 4(x + y -1) 2 2 2 2 Û x 2 + y2 + 2 = 4(x + y -1) Û x 2 + y2 - 4x - 4y + 6 = 0 (1) Có phương trình (1) là phương trình của đường tròn với tâm I(2;2), bán kính R = 2. Để phương trình (1) có một cặp nghiệm duy nhất thỏa mãn 3x + 4y - m = 0 (d) thì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng: é 3.2 + 4.2 - m êm = 14 + 5 2 d(I,d) = R Û = 2 Û m -14 = 5 2 Û ê Þ S = 28. 2 2 êm = 14 - 5 2 3 + 4 ë Chọn đáp án A. Trang - 14 -