Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia - Đề số 1 - Năm học 2021-2022 Sở giáo dục và đào tạo Nam Định

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia - Đề số 1 - Năm học 2021-2022 Sở giáo dục và đào tạo Nam Định

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA NAM ĐỊNH Năm học: 2021 – 2022 Môn: Toán – Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 2x22 3 y 7 y4 5 x 5 Bài 1. (5,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 2 (x 1 3) x 6 x 1 y 3 y 5 y 3 x 1 1 Bài 2. (4,0 điểm) Cho dãy số ()xn thỏa mãn n 1 x x ,*  n nn 1 nxn a) Chứng minh rằng lim xn x 2 b) Tính giới hạnlim n 21n Bài 3. (3,0 điểm) Xét hàm số f : thỏa mãn điều kiện: (2a f ())|( b b2 2()()), f a f b  a , b * a) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì f (p) không có quá 3 ước nguyên dương. b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên. Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB, và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB. Các tia MH ,NH, PH lần lượt cắt (O) tại A ,B ,C.GọiX là giao điểm của AA’ và BB’. X ‘ là giao điểm của BC và AC’ và AD là đường kính của (O). a) Chứng minh rằng các điểm D ,M, H, A thẳng hàng và tứ giác A’ HB’X’ nội tiếp. b) Gọi I và I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’XB’ và tam giác CX’C’. Chứng minh rằng XI vuông góc AB và các đường thẳng II’,B’C’,A’C đồng quy. Bài 5. (4,0 điểm)
2. a) Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số mà trong mỗi số đó, mỗi chữ số 1, 2 và 3 đều xuất hiện đúng hai lần, chữ số 4 xuất hiện đúng một lần, đồng thời hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau? b) Để lát một hình chữ nhật có kích thước 11x 12 người ta dùng các viên gạch loại A hoặc loại B. Biết rằng mỗi viên gạch loại A là một hình chữ nhật kích thước 1x6, mỗi viên gạch loại B là một hình chữ nhật kích thước1x7, có thể dùng một hoặc cả hai loại gạch này để lát. Gọi a là tổng số viên gạch được dùng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của a. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA NAM ĐỊNH Năm học: 2021 – 2022 Môn: Toán – Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1. (4,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc =1. (a22 a b )( ab b 1) b (2 a 1) a) Chứng minh rằng 4b 1 4 c 14 a 1 b) Chứng minh rằng 1 (2a 1)2 (2 b 1) 2(2 c 1 ) 2 Bài 2. (4,0 điểm) Cho P(x) là đa thức monic bậc n với n *có đúng n nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực a mà P( a2 4 a 2021) 0 . Chứng minh rằng đa thức Px(2 4x 2021) chia hết cho đa thức (x 2)2 và P(2021) 4n . Bài 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB, AC . Đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn (O) tạ ấy điểm P nằm trên đường tròn (K;KB) sao cho P nằm trong tam giác ABC và nằm khác phía B so với đường thẳng AD. Đường thẳng PK cắt BC tại L,cắt đường tròn (K;KB) tại Q , Q khác P . Đường thẳng AL cắt đường tròn (O) tại F, đường thẳng KF cắt đườngthẳng BC tại T, đường thẳng AQ cắt đường tròn (O) tại R, R và F khác A. a) Chứng minh rằng KQ2 KA., KB  KAQ  KQDvà PT // KR. b) Gọi E là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn (O). Chứng minh rằng KE đi qua trung điểm của PT. Bài 4. (4,0 điểm) Cho a và n là các số nguyên dương, a 2. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của aa2.6nn 6 1đều có dạng 61n 1 k với k là số nguyên dương. Bài 5. (4,0 điểm) Với N, k *, N 3, xét kết quả: Tồn tại tập hợp S gồm N số phân biệt và họ k tập hợp phân biệt SSS12, , k thỏa mãn đồng thời các tính chất
3. i. Với mỗi ik 1;2; ; chứa ít nhất ba số thuộc S. ii. Với ba số phân biệt thuộc S, tồn tại duy nhất ik 1;2; ; mà Si chứa ba số đó. Chứng minh rằng: a) Khi (N;k) =(5;7) thì kết quả nêu trên là đúng. a) Khi (N; k) = (12; 210 ) thì kết quả nêu trên là sai. Câu 1 thì xét pt ở dưới ra được sqrt (x+1)^3+3(x+1)+5 sqrt x+1=y^3+3y^2+5y.Xét f(sqrt x+1)=f(y).Xét f(t)=t^3+3t^2+5t=>f'(t)=3t^2+6t+5=3(t+1)^2+2>0 với mọi t =>f(t) đồng biến trên (- oo;+oo)=> sqrt x+1=y=>x+1=y^2.Thay vào pt trên ra được 2 th của y.Với y=1=>x=0.Với y=- 1x=0=>(x;y)=(0;1),(0;-1)
4. E xin góp Bài 5.2: Gọi số gạch 1x6 là x, số gạch 1x7 là y Ta có: 6x + 7y = 11.12=132 Do 6|6x; 6|132 > 6|7y > 6|y > y ∈ {0; 6; 12; 18} Ứng với mỗi y thuộc tập trên > x ∈ {22; 15; 8; 1} Ta có, MAX{x+y}=22 với cách lát toàn bộ đều là gạch 1x6 Ta sẽ tìm MIN{x+y} Nếu x=1; y=18 Tức có một viên gạch 1x6; 18 gạch 1x7 Lại có nhận xét: "với mỗi hàng/cột thì chỉ lát nhiều nhất là một viên gạch 1x7" Do đó, dễ cm số viên gạch 1x7 được lát vào bảng nhiều nhất chỉ có thể là 16 viên > TH 18 viên gạch 1x7 không xảy ra. Ta xét bộ x,y kế với x=8; y=12
5. Xếp theo mô hình bên dưới ta đc bảng thỏa mãn Vậy MAX {x+y}=22; MIN {x+y}=20