Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013-2014 MễN THI : TOÁN 8 Ngày thi: 12/4/2014 Thời gian làm bài: 120 phỳt. Cõu 1: (4 điểm). 2 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rỳt gọn biểu thức A b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn Cõu 2: (4 điểm). 3 2 2 a) Chứng minh rằng A = n (n 7) 36n M7 với n Z . b) Cho P = n4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Cõu 3: (4 điểm). 1 1 1 1 a) Giải phương trỡnh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Cõu 4: (6 điểm). Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB . Trờn tia Ax lấy điểm C (C khỏc A). Từ O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuụng gúc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giỏc AMB vuụng c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC Cõu 5: (2 điểm). Cho a, b, c là cỏc số thực dương thoả món a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 . b c c a a b Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Kè THI NGÀY 12/4/2014 MễN THI : TOÁN 8 Ghi chỳ: Đỏp ỏn chỉ là sơ lược từng bước giải và cỏch cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yờu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hỡnh vẽ sai khụng chấm điểm. Nếu HS giải cỏch khỏc đỳng thỡ chấm điểm từng phần tương ứng. HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM ĐIỂM Cõu 1 2 2 x 1 x 1 a) A . x 1 : 3x x 1 3x x 0,5đ 2 2 (x 1) 3x(x 1) x 1 A . : 0,5đ 3x x 1 3x x 2 2(1 3x) x A . 3x 3x x 1 0,5đ x 2x A 2. x 1 x 1 0,5đ 2x 2 b) Với x 0; x 1 Ta cú A 2 0,5đ x 1 x 1 Để A Z thỡ (x-1) phải là ước của 2 0,5đ Suy ra x 1  1; 2 0,5đ Xột từng trường hợp tỡm x Đối chiếu điều kiện tỡm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa món và kết luận 0,5đ Cõu 2 3 2 2 a) Ta cú: A = n (n 7) 36n 0,5đ A n n(n2 7) 6 n(n2 7) 6 n(n3 7n 6)(n3 7n 6) 3 3 2 2 n(n n 6n 6)(n n 6n 6) n n(n 1) 6(n 1) n(n 1) 6(n 1) 0,5đ 2 2 n(n 1) n n 6 n 1 n n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 0,5đ Do đú A là tớch của 7 số nguyờn liờn tiếp => A M 7 với n Z . 0,5đ
3. 4 4 2 2 2 2 2 b) b) P = n + 4 = n + 4n + 4 - 4n = (n + 2) - (2n) 0,5đ = (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1]. 0,5đ Vì n là số tự nhiên nên (n + 1)2 + 1 2; Nh- vậy muốn P là số nguyên tố thì 0,5đ phải có (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1. Khi đó P = 5 là số nguyên tố. 0,5đ Cõu 3: a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; 2 x +11x+30 =(x+6)(x+5) ; 0,5đ x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; TXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trỡnh trở thành : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0,5đ 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) 0,5đ (x+13)(x-2)=0 Từ đú tỡm được x=-13; x=2 (thỏa món) 0,5đ Kết luận b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. Ta cú x, y, z >0 y z x z x y 0,5đ Từ đú suy ra a=;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y Thay vào ta được A= 0,5đ 2x 2y 2z 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 2 x y z x z y 0,5đ 1 Từ đú suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0,5đ
4. Cõu 4 (6 điểm) Hỡnh vẽ D M C N A B O a) Xột ACO và BOD cú àA Bà= 900 ; 0,5đ CãOA OãDB (cựng phụ với DãOB ) Nờn ACO đồng dạng với BOD 0,5đ AO BD => => AO.BO = AC.BD AC BO 0,5đ mà AO=BO Nờn AO2 = AC.BD 0,5đ b) Xột CMO và OMD cú 0,5đ CãMO = OãMD = 900 OãCM DãOM (cựng phụ với CãOM ) CO OM => CMO đồng dạng với OMD => (1) 0,5đ OD MD CO AO Mà ACO đồng dạng với BOD => OD BD CO OB => (2) (Do AO = OB) 0,5đ OD BD OM OB Từ (1) và (2) ta cú => tam giỏc OMD và tam giỏc OBD đồng MD BD dạng 0,5đ => Mã OD BãOD => OMD OBD (cạnh huyền , gúc nhọn) => OM = OB = OA suy ra tam giỏc AMB vuụng tại M
5. c) Ta cú AC // BD (cựng vuụng gúc với AB) 0,5đ CN AC => NB BD mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) 0,5đ Tương tự ta chứng minh AC = CM 0,5đ CN CM Nờn => MN// BD//AC 0,5đ BN DM Cõu 5: - Nhận xột: Cú a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự cú b + ca = (b + a)(b + c) 0,5đ c + ab = (c + a)(c + b) (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) do đú: VT b c c a a b 0,5đ ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si ta cú (a b)(a c) (b a)(b c) 2(a b) b c c a (a b)(a c) (c a)(c b) 0,5đ 2(a c) b c a b (b a)(b c) (c a)(c b) 2(b c) a c a b Vậy 2. VT 4(a b c) 4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 0,5đ 3