Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Võ Xán (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Võ Xán (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TÂY SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS VÕ XÁN NĂM HỌC: 2018 - 2019 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề gồm 1 trang, 5 bài ) Bài 1 (3,0 điểm) Với n chẵn (n N) Chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) chia hết cho 323 a 1 a a 1 a2 a a a 1 Bài 2 (5,0 điểm) Cho biểu thức: M ( với a > 0, a 1). a a a a a a a) Chứng minh rằng M 4. 6 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên? M Bài 3 (5,0 điểm) 34 a) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y . 35 2 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 3x 4y 5x 7y b) Giải phương trình : x2 4x 5 2 2x 3 Bài 4 (2,0 điểm) BC Cho tam giác ABC cân tại A có B·AC 1080 . Chứng minh là số vô tỉ . AC Bài 5 (5,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. Hết Chú ý : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : . Chữ kí giám thị 1: . Số báo danh : Chữ kí giám thị 2: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2018 - 2019 Bài Câu Nội dung cần đạt Điểm *Ta có: (20n + 16n – 3n – 1) = (20n– 1) + (16n – 3n ) 0,25 Vì: (20n– 1) M 19 0,25 Và: (16n – 3n )M 19 ( Vì n chẵn) 0,25 Do đó: (20n + 16n – 3n – 1) M 19 (1) 0,25 *Ta cũng có: (20n + 16n – 3n – 1) = (20n– 3n ) + (16n – 1) 0,25 1 3,0 Vì: (20n– 3n ) M 17 0,25 Và: (16n – 1)M 17 ( Vì n chẵn) 0,25 Do đó: (20n + 16n – 3n – 1) M 17 (2) 0,25 Mặt khác: (17;19) = 1 (3) 0,5 Từ (1); (2);(3) suy ra (20n + 16n – 3n – 1)M 323 0,5 a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1 Do a > 0, a 1 nên: 0,5 a a a ( a 1) a Và: 0,5 a 2 a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1 a a a a (1 a) a (1 a) a a a 1 0,5 3,0 M 2 a Do a 0; a 1 nên: ( a 1)2 0 a 1 2 a 1,0 2 2 a 0,5 M 2 4 a 6 3 0,5 Ta có 0 N do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1 M 2 6 a 0,5 Mà N = 1 1 a 4 a 1 0 ( a 2)2 3 b a 1 2 a 2,0 a 2 3 hay a 2 3 (thõa mãn) 0,5 Vậy, N nguyên a (2 3)2 0,5 Ta có: 2 8 A 3x 4y 5x 7y 1 1 2 5x 8 7y x y 0,5 2 2 5x 2 7y 2 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được: 3 a 3,0 2 5x 2.5x 0,5 2 2 5x 2 5x.2 8 7x 8.7x 2 4 0,5 7x 2 7x.2 34 1 34 17 0,5 Vì x y nên A . 2 4 6 35 2 35 35
3. 2 5x 5x 2 2 x 8 7y 5 Dấu "=" xảy ra khi (Vì: x;y>0) 0,5 7y 2 4 y 34 7 x y 35 2 x 17 5 Vậy : MinA=6 khi 35 4 0,5 y 7 x2 4x 5 2 2x 3 (1) 3 ĐKXĐ: x 0,5 2 3 Với x thì: (1) x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0 0,5 2,0 b 2 2 2 x 1 0 x 1 2x 3 1 0 x 1 ( thõa mản) 2x 3 1 0,5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 0.5 B A C x D Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của B·Cx , tia Cx cắt đường thảng AB 0,5 tại D . · · 0 · · · 0 Ta có : DCA ACB 36 ; DCB DAC ADC 72 DCA cân tại C , BCD cân tại B 4 AB AC DC . Theo tính chất phân giác trong tam giác BCD ta có CB AB BC CA 0,5 CD AD CA BD CA Mà BC=BD (vì BCD cân tại B) 2,0 BC C A BC ( BC C A) C A 2 BC 2 BC .C A C A 2 0 C A BC C A 2 2 BC BC BC 1 5 1 0 C A C A C A 2 4 0,5 BC 1 5 BC 0,5 Suy ra : ( Vì 0) . CA 2 CA BC Điều này chứng tỏ là số vô tỉ AC
4. F M B C A O E ( C ) N Lập luận được: MN  BF 0,25 Và BC  NF A là trực tâm của tam giác BNF a FA  NB 0,25 1.0 Lại có AE  NB (Vì E thuộc đường tròn đường kính AB) 0,25 Nên A, E, F thẳng hàng 0,25 5 Ta có: C·AN M· AB (đối đỉnh) 0,5 Nên: ACN và AMB đồng dạng. 0,5 2,0 AN AC 0,5 b Suy ra: AB AM Hay AM AN ABAC 2R 2 không đổi (với R là bán kính đường tròn) 0,5 2 Vì : BA BC (gt) 3 Nên : A là trong tâm tam giác BNF 0,5 C là trung điểm NF (3) Ta cũng có : C·AN C·FM Nên : Hai tam giác CNA và CBF đồng dạng 2,0 c CN AC 0,5 CN CF BCAC 3R 2 BC CF Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3 không đổi Suy ra : NF ngắn nhất CN =CF 0,5 C là trung điểm NF (4) Từ (3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF NF ngắn nhất 0,5 * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở bài 4; bài 5 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. Phú Phong, ngày 03 tháng 10 năm 2018 KÍ DUYỆT BAN GIÁM HIỆU Giáo viên ra đề TRẦN NGỌC MINH